图与网络分析-最短路
《运筹学》第8章_图与网络分析
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
运筹学图论
6、赋地权有图一：个对数一wi个j，无则向称图图GG的为每赋一权条图边，(wvii,j称vj)为，边相(应vi,vj) 上的权。
7、网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网 络。
完所有桥但不能回到原处； c、一个图奇顶点的个数大于“2”时，不可能既不重复，
也不遗漏走完而且回到原处。
2021/6/21
9
案例1：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、 C、D、E、F六个项目的比赛。如表所示中打的是各运动员报 名参加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到 每名运动员都不连续地参加两项比赛。
A
B
C
D
E
F
甲
√
乙
√
丙
丁
√
戊
√
己
A●
C●
√ √
√ √
B ●
●D
√
√
√
√
√
√
√
√
A-C-B-F-E-D
2021/6/21
●
●
10
E
F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导 1
2
3
4
5
6
7
8
9
内容
A
√√√
√
√
B
√
√
√√
第五章 图与网络分析
§1 图与网络的基本概念 §2 最小生成树问题 §3 最短路问题 §4 最大流问题
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
networkx 最短路算法
一、网络图简介网络图是一种表示对象之间关系的数学结构，它由一组节点和连接这些节点的边组成。
在现实生活中，网络图可以用来表示交通网络、社交网络、电力网络等各种复杂系统。
在计算机科学中，网络图通常被用于建模和解决各种问题，比如最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等。
二、 NetworkX 简介NetworkX 是一个用 Python 语言编写的开源图论和复杂网络分析工具包，它提供了创建、操作和研究复杂网络的功能。
NetworkX 支持创建各种类型的网络图，包括有向图、无向图、加权图等，并提供了丰富的图算法和分析工具。
其中，最短路径算法是 NetworkX 中的一个重要功能，它可以用来寻找网络图中的最短路径。
三、最短路径算法概述最短路径算法用于寻找网络图中两个节点之间的最短路径，其中路径的长度可以通过边的权重来定义。
最短路径算法有多种实现方式，常见的算法包括 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法等。
这些算法在不同场景下具有不同的适用性和效率。
四、 NetworkX 中的最短路径算法在 NetworkX 中，最短路径算法主要包括两种实现方式：单源最短路径算法和全源最短路径算法。
单源最短路径算法用于寻找网络图中某个特定节点到其他所有节点的最短路径，常见的算法有 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法；全源最短路径算法用于寻找网络图中任意两个节点之间的最短路径，常见的算法有 Floyd-Warshall 算法。
五、单源最短路径算法1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是一种用于计算单源最短路径的贪心算法，它的基本思想是从起始节点开始，逐步扩展到其他节点，并更新节点之间的最短距离。
具体步骤如下：（1）初始化起始节点到其他所有节点的距离为无穷大，起始节点到自身的距离为 0；（2）选择距离起始节点最近的未访问节点，并更新该节点到其相邻节点的距离；（3）重复上述步骤，直至所有节点都被访问过。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
图与网络分析到最短路问题
武汉
南京
上海
第5页
引例3
有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用 图反映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用下 图所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
v5
第6页
图的基本概念与模型
第4页
引例2
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
天津
北京
塘沽
左图是我国北京、上海、重庆等
十四个城市之间的铁路交通图，
济南
青岛
这里用点表示城市，用点与点之
间的线表示城市之间的铁路线。
诸如此类还有城市中的市政管道
徐州
图，民用航空线图等等。
郑州
连云港
点：研究对象（车站、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、铁 路线、两球队比赛及结果)。 对称关系：桥、道路、边界；用不带箭头的连线表 示，称为边。 非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
注意：一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线 的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重 要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上不同。
v3 A 2 3 0 8 5
v4
4
4
8
0
6
v5
7 0 5 6 0
注：当G为无向图时，权矩阵为对称矩阵。
图的矩阵表示
•邻接矩阵
图G=（V，E），p=n，构造矩阵
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6
⑤ ⑥
v7
6）接着往下考察，有四条路可走：(v4 , v6 ), (v4 , v7 ), (v5 , v6 ), (v5 , v7 ). 可选择的最短路为
min{ 46 , k47 , k56 , k57 } min{ ,16,13,14} 13 k 18
① 给 (v5 , v6 ) 划成粗线。 ② 给 v6 标号（13）。 ③ 划第6个弧。
v2
4 4
5
v4
7
9
5
v6
1
v1
6
4
5
1
v8
v3
7
v5
6
v7
v2
4 4
5
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
下求 v1 到 v8 的最短路： 1）从 v1 出发，向 v8 走。首先，从 v1 到 v1 的距离为0，给 v1
标号（0）。画第一个弧。（表明已 v1 标号，或已走出v1 ）
min{ 24 , k25 , k34 , k35} min{ ,8,10,13} 8 k 9
① 给 (v2 , v5 ) 划成粗线。
② 给 v5 标号（8）。 ③ 划第4个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
③
4
v3(6)
7
v5 (8)
④
6
⑤
v7
5）接着往下考察，有四条路可走：(v2 , v4 ), (v3 , v4 ), (v5 , v6 ), (v5 , v7 ). 可选择的最短路为
长度为14。
最短路问题的两个应用
最短路问题在图论应用中处于很重要的地位，下面举两个实
际应用的例子。
例1设备更新问题 某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使 用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买 一套新的，要负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与
2）从 v1 出发，只有两条路可走 (v1 , v2 ), (v1 , v3 ) ，其距离为
l12 4, l13 6.
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
可能最短路为
min{ 12 , k13} min{12 , l13} min{ ,6} 4 k l 4
59 40 28
12
30
21
v1 (0)
①
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
⑹ min{k16 , k26 , k36 , k46 , k56 } min{ ,53,49,50,55} 49 59 给 (v3 , v6 ) 划成彩线。 计算结果：最短路
vs , vt 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 v s 到
vt 的所有路中总权最小的路。即：
L( )
最小。
( vi , v j )
l
ij
最短路算法中1959年由 Dijkstra （狄克斯特洛）提出的
算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra 算 法。下面通过例子来说明此法的基本思想。 条件：所有的权数 lij 0 思路：逐步探寻。
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6③Βιβλιοθήκη 4v3(6)7
v5 (8)
④
最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
最短路问题的一般提法是：设 G (V , E ) 为连通图，图中
v 各边 (vi , v j ) 有权 l ij ( lij 表示 vi ， j 之间没有边）,
30
21
v1 (0)
①
19 13
20
15
v2 (12)
②
v3 14
29
v4 15
22
v5
v6
41
⑴
v1(0)
k 12 ⑵ min{ 12 , k13 , k14 , k15 , k16 } min{ , ,19,28,40,59} 12
给 (v1 , v2 ) 划成彩线。 ⑶ min{k13 , k14 , k15 , k16 , k23 , k24 , k25 , k26 } min{ ,28,40,59,12 13,12 20,12 29,12 41 19 19 }
v7 (33)
k 40 ⑸ min{ 32 , k62 , k67 } min{ ,33,33} 33
分别给 v2 , v7 标号33。 分别给 (v6 , v2 ), (v6 , v7 ) 划成彩线。
v3 (20)
20
30
60 30 20 25
15
v5 (30)
v4 (0)
18
v1 (60)
年底）。
59 40 28
12
30
21
v1
v2
19 13 20
15
v3 14
29
v4 15
22
v5
v6
41
边 (vi , v j ) 上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年 初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得
到）。
这样设备更新问题就变为：求从 v1 到 v6 的最短路问题.
项目 购买费 维修费 残值
第1年 11 5 4
表2 第2年
12 1-2 6 3
第3年 13 2-3 8 2
59
第4年 14 3-4 11 1
第5年 14 4-5 18 0
机器役龄 0-1
40 28
12
30
21
v1
v2
19 13 20
15
v3 14
29
v4 15
22
v5
v6
41
59 40 28
12
D(vi )
93 63 50 63 93
45 15 25 18 48 0 15
60 30 40 33 63 15 0
48
63
由于 D(v6 ) 48 最小，所以医院应建在 v6 ，此时离医院最 远的小区 v5 距离为48。
第四节 最大流问题
最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输
网络中有人流、车流、货物流、供水系统中有水流，金融
v7
⑷
min{ 45 , k35 , k32 , k62 , k67 } min{ ,80,40,33,33} 30 k 30
给 v5 标号30。 给 (v4 , v5 ) 划成彩线。
v3 (20)
20
30
60 30 20 25
15
v5 (30)
v4 (0)
18
v1
v2 (33)
v6 (18) 15
v2 (33)
v6 (18) 15
v7 (33)
⑹
min{ 21} min{ } 63 k 63
给 v1 标号63。 给 (v2 , v1 ) 划成彩线。 其它计算结果见下表：
表1
小区号
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
0 30 50 63 93 45 60 30 0 20 33 63 15 30 50 20 0 20 50 25 40 63 33 20 0 30 18 33 93 63 50 30 0 48 63
59 40 28
12
30
21
v1 (0)
①
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
⑸ min{k15 , k16 , k25 , k26 , k35 , k36 , k45 , k46 } min{40,59, 41, 43, 40, 49, 43,50} 40 给(v1 , v5 ) 、 (v3 , v5 ) 划成彩线。
① 给 (v1 , v3 ) 划成粗线。 ② 给 v3 标号（6）。 ③ 划第3个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
③
4
v3(6)
7
v5 (8)
④
6
v7
4）接着往下考察，有四条路可走：(v2 , v4 ), (v2 , v5 ). (v3 , v4 ), (v3 , v5 ). 可选择的最短路为