第八章----图和网络分析
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学 填空题 及基础知识
7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y﹡= CBB－1。
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
第八章 图与网络分析
Ｖ4
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
运筹学课件 第八章 图与网络分析
运筹学教程
例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
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D
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最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
运筹学教程
第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
e5
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v2
v3
e2
e6
v4
v5
e8
运筹学教程
二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
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效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
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柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
第八章资源规划和配置
第八章资源规划和配置
—年度收入预算（Annual revenue budgets）： 通常用财务术语来表示详细的资源计划，还用
来测量和控制与计划相比经营状况究竟如何。
—财务计划（financial plans）： 用来预测决策对组织整体经营绩效的影响。一
般比年度预算粗略，主要是为了明确资源中的不 足或者为了说明资源组合变化对组织整体业绩的 影响。
—一般，由于多年一贯的招聘和培训政策，组织中 多是那些十分适合组织既有的主要变化表的人 员。为此，有必要将有不同经验的人们吸引到 组织中来。
第八章资源规划和配置
• 培训和发展（training and development） —应随环境的不同而不同（根据不同的需要相应 采用讲授、竞争模拟、案例研究和岗位轮换、 行为学习等）；应视其为职业计划 （career planning）问题。
第八章资源规划和配置
2020/11/27
第八章资源规划和配置
【本章学习内容及学习重点】
• 在战略的实施过程中，战略的变化是非常重要的 特点，不会发生战略变动仅仅是因为人们认为当 前的战略是可行的，但如果现实情况证明它已经 不可行或不完全可行，则要使新战略发挥作用， 战略变动就是必需的。为此，分析和掌握战略的
第八章资源规划和配置
2．人力资源计划（HRP） • 人力资源配置（manpower configuration） —详细考虑某特定战略对人力资源的要求（人数、
技能、水平等）； —计划如何去实现这种新的人力资源配置。
第八章资源规划和配置
• 招聘和选择（recruitment and selection） —需要把招聘和选择与组织的战略方向和所经历的 变化类型联系起来。 ⊙如变化不大：大量使用现有员工或经培训后 使用；பைடு நூலகம்⊙如变化很大：应吸引“新鲜血液”。
—年度收入预算（Annual revenue budgets）： 通常用财务术语来表示详细的资源计划，还用
来测量和控制与计划相比经营状况究竟如何。
—财务计划（financial plans）： 用来预测决策对组织整体经营绩效的影响。一
般比年度预算粗略，主要是为了明确资源中的不 足或者为了说明资源组合变化对组织整体业绩的 影响。
—一般，由于多年一贯的招聘和培训政策，组织中 多是那些十分适合组织既有的主要变化表的人 员。为此，有必要将有不同经验的人们吸引到 组织中来。
第八章资源规划和配置
• 培训和发展（training and development） —应随环境的不同而不同（根据不同的需要相应 采用讲授、竞争模拟、案例研究和岗位轮换、 行为学习等）；应视其为职业计划 （career planning）问题。
第八章资源规划和配置
2020/11/27
第八章资源规划和配置
【本章学习内容及学习重点】
• 在战略的实施过程中，战略的变化是非常重要的 特点，不会发生战略变动仅仅是因为人们认为当 前的战略是可行的，但如果现实情况证明它已经 不可行或不完全可行，则要使新战略发挥作用， 战略变动就是必需的。为此，分析和掌握战略的
第八章资源规划和配置
2．人力资源计划（HRP） • 人力资源配置（manpower configuration） —详细考虑某特定战略对人力资源的要求（人数、
技能、水平等）； —计划如何去实现这种新的人力资源配置。
第八章资源规划和配置
• 招聘和选择（recruitment and selection） —需要把招聘和选择与组织的战略方向和所经历的 变化类型联系起来。 ⊙如变化不大：大量使用现有员工或经培训后 使用；பைடு நூலகம்⊙如变化很大：应吸引“新鲜血液”。
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
电路分析 网络函数
第八章 网络函数8-1 求如图所示的电路网络函数∙∙=S2U U )ωj (H ，其中R 1= 1Ω，R 2 = 2Ω，C = 1F ，L = 2H 。
8-2 求如图所示电路的电压转移函数 ∙∙=12u U U A ，当R 1C 1=R 2C 2时，此网络函数有何特性？8-3 求如图所示电路的谐振角频率，以及谐振时的等效阻抗与R 、L 、C 的关系。
8-4 图示电路中，V t ωcos 21.0U =，当ω=104 rad/s 时电流I 的有效值最大，量值为1A ，此时U L =10 V ，求：（1） R 、L 、C 及品质因数Q ，（2） 电压U C 。
8-5 RLC 串联电路中，已知电源电压U S =1mV ，f =1.59MHz ，调整电容C 使电路达到谐振，此时测得电路电流I 0=0.1mA ，电容上的电压U co =50 mV ，求电路元件参数R 、L 、C 及品质因数Q 和通频带B f 。
8-6 图示电路中，L 1=0.01H ，L 2=0.02H ，M= 0.01H ，R 1=5Ω，R 2=10Ω，C=20μF ，试求电路的谐振角频率，若外加电压 V 06U ∠=∙，求谐振时两电感上的电压1U ∙和2U ∙。
8-7 图示电路中，正弦电压有效值U=210 V ，电流有效值I=3 A ，且电流与电压同相，容抗X C =15Ω，求R 2和X L 。
8-8图示电路中，设R=10Ω，L=1H ，C=0.1F ， V )ψt ωcos(210U S +=。
（1）ω为何值时电路发生谐振？（2）求谐振时的电流i 。
（3）求谐振时RC 并联部分的复功率。
8-9 图示正弦电路中，R=1Ω，L=1H ，A )30t cos(2i S -= ，试问可变电容C 为多大时U c 最大？并求其最大值。
8-10 图示正弦电路中U s =12V ，R i = 60K Ω,L = 54μH ，C=100 pF ，R=9Ω,R L = 60 K Ω, 电路处于谐振状态，求谐振角频率和R L 两端的电压U L 。
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⑤
6
32
9
11
① 10
③
7
6
8
⑦
12
5
④
5
16 ⑥
解 设xij为选择弧(i，j)的状 态变量，选择弧(i，j)时xij＝1， 不选择弧(i，j)时xij＝0，得到 最短路问题的网络模型：
m in Z
cij xij
(i , j ) E
x12 x13 x14 1
e1{v1,v2} e2 {v1,v2}
e10
e3 {v2,v3} e4 {v3,v4}
e5 {v1,v3} e6 {v3,v5}
v6 e9
e7 {v3,v5} e8 {v5,v6}
e9 {v6,v6} e10{v1,v6}
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
用μ表示。{ v1, ( v1, v2), v2, ( v2, v5,) v5}
2. 简单链：没有重复边的链。
V1 V3
V4 V7
V5 V8
对于简单链可由顶点表示，如上链 v1 → v2 → v5
3．初等链：顶点也不相同的简单链。v1 → v2 → v5→
v4 → v3
4．圈（闭链）：起点终点一致的链。（与环不同，环
（或发点），记作v1 ，一个称为终点（或收点），记作 vn ，其余的点称为中间点。对每一条弧 (vi ,vj)A，对 应一个数 w i j ，称为弧上的“权”。通常把这种赋权
的图称为网络。
v1 6
7 3
4
v2
v5 15
1 v1 36
v5 2
7
v2
4 5
v4 5
v3
v4 5
v3
赋权 无向图
赋权 有向图
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
e3
v7
e10 v4 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2
e1
Hale Waihona Puke e8v1e6 e7 v7
v6 e5
v5
(b)
v2 e1 v1 e6 e7
v6
v3 e9
e10 v7 e11
v4
v5
(c)
子图
支撑子图
（二）、连通图
1. 链：点、边交替或点弧交替的序列。V2
V6
（三）、 图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (vi , v j ) 有权 w i j ，构造矩阵 A(ai j)nn ，其中：
aij wij
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个
矩阵 A(ai j)nn ，其中：
为图中任意两点，求一条路 ，使它为从v s 到 v t 的所有
路中总权最短。即：
L() wi j 最小。 (vi , vj )
例 图中的权cij表示vi到vj的距离(费用、时间)，从v1修一条 公路或架设一条高压线到v7，如何选择一条路线使距离最短，建 立该问题的网络数学模型。
②
14
用 d (vi ) 表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
9、设 G1=（ V1 , E1 ），G2 =（ V2 ,E2 ）
如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的子图； 如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的支撑子图。
6、一个无环，无多重边的图称为简单图，一个无环， 有多重边的图称为多重图。
7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。
有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条有
向边的简单图。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的度（次），记
作 d(v) 。
下图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）
4
2
0
3
v 6 3 3 3 0
v1 0 1 0 1 1 1
v
2
1
0
1
1
0
0
B
v3 v4
0
1
1 1
0 1
1 0
0 1
1
0
v
5
1
0
0
1
0
1
v 6 1 0 1 0 1 0
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 v2 v3 v4 v5 v6
求最短路有两种算法：
一是求从某一点至其它各点之间最短离的狄克斯屈拉(Dijkstra)算法； 另一种是求网络图上任意两点之间最短路的Floyd(弗洛伊德)矩阵（表格）算法。
最短路的一般提法为：设 G(V,E) 为连通图，图中各边 (vi , v j ) 有权 w （i j wi j 表示 v i , v j 之间没有边），v s , vt
v1 e2
e4 e7
e3
v4 e8
e5 e6
v3
v2
e4
v5
v1
v4 e8
v5
e2
e6
v3
用破圈法求图的最小树。 破圈法：任取一圈，去掉圈中
最长边，直到无圈。
v1
8
v3
7
v5
5
5
4
8
1
2
v2
3
v4
6
v6
最小树长为 C(T)=4+3+5+2+1=15。 注：当一个圈中有多个相同的最长边时，不能同时都 去掉，只能去掉其中任意一条边。最小树有可能不唯 一，但最小树的长度相同
？
？D
A
B
D
A
B
C
C
D3
A
3
B
5
C 3
4
1
3
3
1
2
2
实例2： 下图是一张石油流向管网示意图，A 表示石油开采 地，H 为石油汇集站，B，C，D，E，F 表示可供选择的石 油流动加压站，数字为两地距离（管长），问如何选择管线， 使将油从 A 送到 H 所需油管最短？
A
6B 12
2 2
C
1
6
4 D3
度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度最
短。
v3 5 v5
6
4
v1
17 3
v6
v3
v1
1
v5 3
v6
5
2
4
v2
v4
5
2
v2
4 v4
v2
1
3
5
2
v4
v1
2
v5
4
1
3
v3
三 、最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距
离最短的一条路。
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择等问题， 还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短路问题
只有一条边） v1 → v2 → v3→ v4 → v1
5．连通图： 若图G中任意二点之间至少有一条链连接， 则图G称为连通图，否则称为不连通图。不连通图G每个
连通的部分称为G的一个连通分图。（两个连通分图）
（三）赋权图
在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向
图D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点
加边法：取图G的n个孤立点｛v1，v2，…， vn}作为一
个支撑图，从最短边开始往支撑图中添加，见圈回避，
直到连通（有n－1条边）
v1 4
5×
v3 5
2
v2
3
v4
Min C(T)=15
v5
v1 8 v3
7 v5
5
1
5 482
1
v6
v2 3
v4 6 v6
在图中，如果添加边[v1, v2]就形成圈｛v1, v2, v4｝，这时就 应避开添加边[v1, v2]，添加下一条最短边[v3, v6]。破圈法 和加边法得到树的形状可能不一样，但最小树的长度相等
中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合；E
中的元素 e k 叫做边，E 表示图 G 的边集合。
例
V v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6
E { e 1 ， e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 ,e 8 ,e 9 ,e 1 } 0 v1
二、 树及最小树问题
已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1
v2
v6
v3
以点v为端点的边的个数
v5
v4
称为点v 的度（次），
1、一个连通的无圈的无向图叫做树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。
树 的性质：
（1）树必连通，但无回路（圈）。
（2）n 个顶点的树必有n-1 条边。
（3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初
等链）。
（4）树 连通，但去掉任一条边， 必变为不连通。
（5） 树 无回路（圈），但不相邻的两个点之间加一条
边，恰得到一个回路（圈）。 v1
v2
v6
v3
v5
v4
简单链：没有重复边的链。 初等链：顶点也不相同的简单链。
3、最小生成树问题 如果图 T(V,E1)是图G的一个生成树，那么称E1上所 有边的权的和为生成树T 的权，记作S(T)。如果图G的生