数与向量的乘法
两向量相乘的计算公式
两向量相乘的计算公式两个向量相乘有两种方式：点积和叉积。
1.点积（内积）：点积是指两个向量相乘后再相加的结果。
如果两个向量为a和b，那么点积的计算公式为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a·b表示a和b的点积，a，和，b，表示a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
点积的计算步骤如下：1)计算向量a和b的长度。
2)计算向量a和b之间的夹角θ。
3)使用上述公式计算a和b的点积。
点积的应用：点积可以用于计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行，计算向量在一些方向上的分量等。
2.叉积（外积）：叉积是指两个向量相乘后得到一个新的向量。
如果两个向量为a和b，那么叉积的计算公式为：a ×b = ，a，，b，sinθ n其中，a×b表示a和b的叉积，a，和，b，表示a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
叉积的计算步骤如下：1)计算向量a和b的长度。
2)计算向量a和b之间的夹角θ。
3)计算垂直于a和b所在平面的单位向量n。
4)使用上述公式计算a和b的叉积。
叉积的应用：叉积可以用于计算向量所构成的平行四边形的面积，计算向量的方向，判断两个向量是否共面等。
总结：点积和叉积是两种常用的向量相乘方式。
点积计算得到的是一个标量(数量)，而叉积计算得到的是一个新的向量。
两者的应用并不相同，点积通常用于计算向量之间的夹角、判断正交与平行等，而叉积通常用于计算平行四边形的面积、计算方向等。
根据具体问题的需求，可以选择使用点积还是叉积进行相应的计算。
24.6(3) 实数与向量的乘法
其中： k
b a
，k符号由b 与a 的方向确定
如果存在唯一的实数k,使 b ka 反过来说： 那么 a 0 ， b∥a
定理应用 练习：用向量 a 表示 b （1）a 与 b 同向， a 2, b 3 （2）a 与 b 反向，a 5, b 2
例题：如果 a b 2c, a b 3c ，其中
24.6 实数与向量相乘（3）
复习：实数与向量的乘法运算律 1、结合律：m na mn a
a na
a b ma mb
根据向量研究两直线平行及线段长度
比如：通过向量来证明三角形中位线定理
如图，EF是△ABC的中位线
1 求证：EF∥BC且EF= BC 2
问题：如图，梯形ABCD，AD∥BC,EF 是梯形的中位线，AD=2，BC=3，设
AD a ,请用 a 表示 BC、 FE
讨论：已知非零 a ，如果向量b ∥ a 那么 b 能用 a 表示吗？ 平行向量定理：如果向量 b 与非零向量 a 平行，那么 存在唯一的实数k,使 b ka
c 是非零向量，那么 a 与 b 平行吗？
了解概念：
长度为1的向量叫做单位向量，设 向量，则 e 1
e 是单位
不同的单位向量，是指 方向 不同，长度 相同
对于非零的向量 a ，与它同方向的单位
向量记作： a
0
a a a0 由实数与向量的乘法可知：
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量运算加减乘除
向量运算加减乘除向量运算是线性代数中的重要内容之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
本文将对向量运算的四种基本操作进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用向量运算。
一、加法运算：向量的加法是指将两个向量相应位置的元素分别相加得到一个新的向量。
假设有两个向量 A 和 B，它们的维度相同，即都有 n 个分量。
向量加法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的和为 A + B = (2+1, 3+(-1), 4+2) = (3, 2, 6)。
二、减法运算：向量的减法是指将一个向量的每个分量减去另一个向量相应位置的分量，得到一个新的向量。
向量减法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的差为 A - B = (2-1, 3-(-1), 4-2) = (1, 4, 2)。
三、乘法运算：向量的乘法包括数量乘法和点乘法。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个标量相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量 A 和一个标量 k，数量乘法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)k为标量kA = (ka1, ka2, ..., kan)例如，给定向量 A = (1, 2, 3) 和标量 k = 2，则 kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)。
点乘法是指将两个向量对应位置的元素相乘，并将结果相加得到一个标量。
假设有两个向量A 和B，它们的维度相同，即都有n 个分量。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数n ，a 为向量，我们用表示ann 个a 相加；用表示个相a n -n a -加.又当为正整m 数时，a m n 表示与同向a 且长度为的a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P 就是将的a a 长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将a a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数与向量k a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数与向量k a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量与它同方a 向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量与b 非零向量平a 行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与b a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a =，则向量与非b 零向量平行a .（4）向量平行的性质定理：若向量与非b 零向量平行a ，则存在一个实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共线若存在实⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一12,e e 平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这12,e e 一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的分解，当相互垂直12,e e时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
向量数乘运算
VS
详细描述
在数学表达式中，应遵循先乘除后加减的 原则。在进行向量运算时，数乘作为乘法 运算的一种，应优先于加法和减法进行。 因此，在复杂的数学表达式中，应特别注 意数乘运算的优先级，确保运算顺序的正 确性。
理解数乘运算的实际意义
总结词
理解数乘运算的实际意义对于正确应用向量 数乘至关重要。
详细描述
数乘在物理和工程领域有着广泛的应用，如 速度和加速度的缩放、力的放大或缩小等。 理解数乘运算在具体问题中的应用背景和意 义，有助于正确理解和应用数乘运算，避免 出现错误或偏差。在进行向量数乘运算时， 应结合具体问题，深入理解数乘运算的实际
向量数乘运算
CONTENTS 目录
• 向量数乘运算的定义 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的代数性质 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的注意事项
CHAPTER 01
向量数乘运算的定义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘
标量与向量相乘时，标量会与向量的每个分量相乘，得到新的向量。
总结词
数乘和点乘是两种不同的运算，具有不同的数学意义和性质 ，容易混淆。
详细描述
数乘是指向量与标量的乘法，结果仍为向量，其长度或模发 生变化，方向可能改变。点乘则是向量的内积，结果为标量 ，表示两向量的夹角和大小关系。在进行向量数乘运算时， 应明确区分这两种运算，避免混淆。
注意数乘运算的优先级
总结词
CHAPTER 03
向量数乘运算的代数性质
数乘运算的结合律
总结词
数乘运算满足结合律，即对于任意标量$k_1, k_2$和向量$vec{a}$，有$(k_1 k_2) vec{a} = k_1 (k_2 vec{a}) = (k_2 vec{a}) k_1$。
向量的数量乘法和点乘法的运算规则
向量的数量乘法和点乘法的运算规则在数学中，向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等物理量。
向量的数量乘法和点乘法是向量运算中的两种基本运算规则。
本文将详细介绍这两种向量运算规则的定义和性质。
1. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个标量的乘积运算。
设有一个向量a和一个标量k，则向量a的数量乘法表示为ka。
向量的数量乘法运算满足以下规则：(1) 数量乘法的交换法则：ka = ak，即标量与向量的数量乘法满足交换律；(2) 数量乘法的结合法则：(ab)k = a(bk)，即先将向量b与标量k相乘，再将向量a与结果相乘，结果与先将向量a与标量b的乘积再与标量k的乘积相乘所得结果相同。
2. 向量的点乘法向量的点乘法是指两个向量之间的乘积运算。
设有两个向量a和b，则向量a和向量b的点乘表示为a·b。
向量的点乘法有以下性质：(1) 点乘的交换法则：a·b = b·a，即两个向量的点乘满足交换律；(2) 点乘的结合法则：(a·b)·c = a·(b·c)，即先将向量a和向量b点乘，再将点乘的结果与向量c点乘，结果与先将向量b和向量c点乘所得结果再与向量a点乘所得结果相同。
3. 向量的数量乘法和点乘法的关系向量的数量乘法和点乘法之间存在一定的关系。
(1) 数量乘法与点乘法的结合：(ka)·b = a·(kb) = k(a·b)，即将标量k与向量b点乘的结果等于将向量a与向量b点乘的结果再与标量k相乘得到的结果；(2) 点乘法的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c，即将向量a与向量b相加后再与向量a点乘的结果等于将向量a与向量c点乘的结果再与向量a点乘的结果相加。
通过向量的数量乘法和点乘法，我们可以进行向量的运算，例如向量的加法、减法和模长计算等。
在实际应用中，向量的数量乘法和点乘法经常被用于求解物理、力学和几何等问题。
《向量数乘运算》课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
向量的乘法计算公式
向量的乘法计算公式向量这个家伙，在数学的世界里可是相当重要的角色。
咱们今天就来好好聊聊向量的乘法计算公式。
先来说说向量的点乘吧。
点乘，也叫数量积。
假如有两个向量 A = (x₁, y₁) 和 B = (x₂, y₂) ，那它们的点乘 A·B 就等于 x₁×x₂ +y₁×y₂。
给您举个例子啊，就说在物理课上，我们计算力做功的问题。
假设有个力 F 作用在物体上，物体在力的方向上移动了一段距离 s 。
力 F可以看作一个向量，位移 s 也可以看作一个向量。
那力做的功 W 就等于力 F 和位移 s 的点乘，也就是 W = F·s 。
比如，一个力 F = (3, 4) ，位移 s = (5, 0) ，那它们的点乘就是 3×5 +4×0 = 15 ，这就表示这个力做的功是 15 焦耳。
再讲讲向量的叉乘，也叫向量积。
对于向量 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B= (x₂, y₂, z₂) ，它们的叉乘结果是一个向量，设为 C ，C 的模长等于|A|×|B|×sinθ ，其中θ 是 A 和 B 的夹角，C 的方向遵循右手定则。
就像我们在研究磁场的时候，磁感应强度 B 和电流元 I dl 的叉乘就能得出安培力 F 。
记得有一次，我在课堂上讲向量乘法计算公式，有个同学就迷糊了，他怎么都搞不明白为啥要有这么个计算。
我就耐心地给他解释，从实际的例子入手，一点点带着他去理解。
我拿了两支笔当作向量，比划来比划去，终于让他恍然大悟，那一瞬间他眼睛里的迷茫消失了，换上了兴奋和理解的光芒，我心里别提多有成就感了。
回到向量乘法计算公式，大家可别小看它，这在解决很多实际问题中都特别有用。
比如在计算机图形学中，判断两个向量的方向关系，或者在物理学中计算力矩等等。
在数学的海洋里，向量的乘法计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
只要我们用心去理解，去运用，它就能成为我们解决问题的得力助手。
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分析： a a a OA B C
OC = OA+AB+BC = a+a+a = 3a a aa
N M QP PN = PQ+QM+MN =(–a)+(–a)+ (–a)
=-3a
1.定义：实数 λ 与向量 a的积是 一 个向量，记作λ a，它的长度 与方向规定如下： （1） λ a = λ a
（2）当 λ>0时， λ 的a 方向 与 a 的方向相同；当λ<0时， λ a的方向与 a的方向相反； λ=0时， λ =a 0
比较：2×（3 a）与（2×3）a
a
aaa
3a
A
B
C
AC = 2×(3 a)
a a a aa a
M
N
MN =（2×3）a
2×（3 a）=（2×3）a
2. 运算律：
设 λ、μ为实数， 、a 为b 向量,那么
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a -b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ ∴λ= -1 k= -λ k= -1 ∴k= -1
例3 .梯形ABCD，且|AB|=2|DC| M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a，b来表示DC、BC 、MN。
解：DC=
1 2
反过来，若 a(a≠0)与b平行，且b的 长度是a的长度的μ倍，那么当a与b同方 向时，有b=μa;当a与b反方向时，有 b= -μa .即，若a(a≠0)与b平行，则
有且只有一个实数λ，使 b=λa。
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个 实数λ,使得 b =λa .
思考：(1)为什么规定 a ≠ 0 ? (2) 若 b = 0 情况会怎样？
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个 实数λ,使得 b =λa .
作用：判断两个向量是否平行，实 际上就是找出一个实数，使 这个实数能够和其中的一个 向量把另一个 向量表示出来。
例1 已知：△ABC中，AE是BC边上的中线， AB=a，AC=b。
求：AE。
A
B
E
C
例2 . 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D三点共线，则k=___(k∈R)
（1） λ（μ ）a =（λμ ） ；a （2）（ λ+ μ） =a λ +aμ ； a （3） λ（ a+ ）b = λ +a λ 。b
证明这些运算律成立的关键， 是证明等式两边的向量的模相等， 且方向相同。为了证明这些运算律 在任何情况下都成立，还需对各种 可能的情况，做较全面的讨论。下 面针对第（1）条运算律进行证明。
=3AB + 3BC A B
D
=3(AB + BC)
=3AC
AC与AE平行。
例4
ABC中，AD=
2 3
AB,DE与
BC平行交AC于E，AM是BC边上的中
线交DE于N,设AB = a,AC = b,
试用a、b分别表示向量
AE、 BC、DE、 DN、AM、AN。
C
E N
M
A
DB
证明：BD = BC + CD
=6a +23b +(4a – 8b) =10a + 15b =5(2a +3b)
BD = 5AB
BD与AB平行，且有公共端点B，|λa|=|λ| |a| ②当λ>0时，λa与 a 同向 λ<0时， λa与 a 反向 λ=0时，λa=0。
（2）运算律：设λ，m∈R ①λ(m a ) = (λm) a ②(λ+m) a =λa+m a ③λ(a+b)= λa+λb
（3）a∥b (a≠0) 存在唯一k(k∈R) 使k a = b
例5 如图，已知 AD=3AB,DE=3BC. 试判断AC与AE是否平行。
E
解：AE=AD + DE
C
AB=
1 2
a
DMC
BC=BD+DC
=(AD-AB)+DC A N B
=MbN-a=+D12Na-=DbM- 12=a12
a-b-
1 4
a=
1 4
a-b
练习 设 a、b是两个不平行的向量 若AB = 2a + 3b ,BC = 6a + 23b, CD = 4 a – 8 b .
求证：A、B、D三点共线
求证:λ(μa ) = (λμ)a .
证明：若λ=0，μ=0，a =0 中至少 有一个成立，则求证显然成立. 如果λ、μ均不为0,且a≠0,有
|λ(μa )|=|λ||μa|=|λ||μ||a| |(λμ)a|=|λμ| |a|=|λ||μ||a| 所以：|λ(μa)| = |(λμ)a| .
如果λ、μ同号，则求证式子 两边向量的方向都与 a 同向;
如果λ、μ异号，则求证式子 两边向量的方向都与 a 反向.
综上，向量λ(μa )与（λμ）a 有相等的模和相同的方向，所以 这两个向量相等.
3.向量b与非零向量a平行的 充要条件是有且只有一个实数λ, 使得 b =λa .
对于向量a( a≠0 )、b ,如果有一个 实数λ，使 b=λa，那么a与b平行。