精品2019高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模教案 北师大版必修1
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》优质课教案_6
《函数模型的应用实例》设计§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计一、教学内容解析1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。
2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。
本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。
它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。
3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.二、教学目标设置1、知识与技能：（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.（2）能拟合函数解决实际问题.2、过程与方法：（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.3、情感、态度与价值观：（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.三、学生学情分析1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模北师大版必修
合作探究·课堂互动
二次函数模型
某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值．
[思路探究] 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系． 依据：利润＝销售总额－进货总额，可明确所需代数式，日销售量＝(100－ 10x)个；销售总额＝(10＋x)(100－10x)元；进货总额＝8(100－10x)元．
(3)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口． ②文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系． ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解析： (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110. 所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)， 则 Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x－110x2－3x＋40 ＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10，25]， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
[自主练习]
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第
4.2.2【教学设计】《用函数模型解决实际问题》(北师大)
?用函数模型解决实际问题?◆教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第2节的内容。
函数根本模型的应用是本章的重点内容之一，教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进展练习。
教科书中还渗透了函数拟合的根本思想。
通过本节学习让学生进一步熟练函数根本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力。
◆教学目标【知识与能力目标】能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。
【过程与方法目标】感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。
【情感态度价值观目标】体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。
◆教学重难点◆【教学重点】运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。
【教学难点】将实际问题转变为数学模型。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入局部大约在一千五百年前，大数学家孙子在?孙子算经?中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？〞这四句的意思就是：有假设干只鸡和兔在同一个笼子里,从上面数,有三十五个头；从下面数,有九十四只脚,求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼〞问题的吗？你有什么更好的方法？ 二、研探新知，建构概念 白板投影出上面实例。
介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，那么每只鸡和兔就变成了“独脚鸡〞和“双脚兔〞. 这样，“独脚鸡〞和“双脚兔〞脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝232.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型有一次函数模型(y =kx +b,k ≠0，b ≠0)、二次函数模型(y =ax 2+bx +c,a ≠0)、正比例函数模型(y =kx,k ≠0)、反比例函数模型(y =kx ,k ≠0、分段函数模型、指数函数模型(y =k(1+a)x ,k ≠0,a >−1且a ≠0)、对数函数模型(y =k log a x +b,k ≠0,a >0且a ≠1)、幂函数模型〔y =kx n +b,k ≠0,x >0〕。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大
4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。
2．过程与方法：（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。
（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。
３．情感、态度与价值观：（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。
（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。
（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。
【教学重点】常用简单函数模型的应用。
【教学难点】实际问题的函数刻画化归。
【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
【课前准备】①多媒体课件；②坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．[课堂引入]有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。
高一数学教学案4.2实际问题的函数建模北师大版必修1
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
30
20
20
10
10
售价/(元/包)
75
210
330
450
380
460
发现该市在制定每包售价时，有一定的规则，如果现在按照这个规则制造一种新规格的垃圾袋，并以25个装成一包出售，设每个容量为xL。每包售价为y元，试确定x与y之间的关系。
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
X
16
20
24
28
y
42
30
18
6
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大
高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.2.1函数模型的应用实例一、教学目标：1。
知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2。
教学难点：将实际问题转变为数学模型。
三、学法与教法1.学法:学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2。
教法：自主阅读、尝试、讨论法。
四、教学过程(一）创设情景,揭示课题引例：大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔".这样，“独脚鸡"和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是:35－12＝23。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.2 用函数模型解决实际问题学案(无答
高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.2 用函数模型解决实际问题学案（无答案）北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.2 用函数模型解决实际问题学案（无答案）北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
2。
2用函数模型解决实际问题【学习目标】1．知识与技能（1)学会用函数的知识解决实际问题的基本方法和步骤。
（2）区分不同函数所代表的不同变化趋势，懂得根据不同条件去选取不同函数来解决问题。
2．过程与方法（1)培养自己的观察、分析和猜想证明的能力。
（2）加强对数学的应用意识和应用能力。
3．情感、态度与价值观（1）培养认真参与、积极交流的主体意识，提高学生的团队精神。
（2）培养用“数学”的眼光观察周围事物。
【学习重点】1．如何根据实际问题的表述，设出变量，列出函数关系式2．用待定系数法求出适当的拟合函数【学习难点】根据题目中的数据画出散点图确定函数模型【学习方法】利用多媒体教学手段，根据教师引导启发，学生们之间交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
【课前预习】阅读教科书P140～P142，尝试完成下题：1．某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内,准备凑够200元时一并寄出，储蓄盒里原有60元，两个月后盒内有90元.（1）盒内的钱数（元）与存钱月份数的函数解析式,并画出图象。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修
§2实际问题的函数建模知识点一函数模型的建立[填一填]用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，用图示表示数学建模的过程如图所示．[答一答]1．应用数学模型解决实际问题的步骤是什么？提示：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题的解．此四步用框图可表示为知识点二常见函数模型[填一填][答一答]2．常见函数模型有哪些？提示：(1)直线模型：一次函数模型y ＝kx ＋b (k ≠0)图像增长特点是直线式上升(x 的系数k >0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx (k >0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx(k >0)型，增长特点是y 随x 的增大而减小．(3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．(4)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a >1，m >0)．(5)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a >0)．在以上几种函数模型的建立和选择时，要注意灵活选取恰当的模型，分析自变量的范围，还要与实际问题相结合，如取整等．函数应用题常见类型可以分为两大类(1)函数关系已知的应用题解函数关系已知的应用题的一般步骤是：①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．(2)函数关系未知的应用题其解题步骤可归纳为以下几步：①阅读理解题意摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型．②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型．③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解．④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．类型一一次函数模型应用【例1】某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？【思路探究】每月所赚得的钱＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总数分为3部分：(1)在可卖出400份的20天里，收入为0.5x ·20；(2)在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5×250×10；(3)没有卖掉的(x －250)份报纸可退回报社，报社付出(x －250)×0.08×10的钱，注意写出函数式的定义域．【解】 设每天应从报社买x 份，易知250≤x ≤400.设每月赚y 元，得y ＝0.5·x ·20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35·x ·30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数， 所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1 170元．规律方法 (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．已知某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，手套的出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为( D )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副解析：由10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0，得x ≥800.故选D. 类型二 二次函数模型应用【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金m (万元)的关系有经验公式P ＝13m ＋65，Q ＝76＋4m ，今投入150万元资金生产甲、乙两种产品，并要求对每种产品的投入资金不低于25万元．(1)设对乙种产品投入资金x 万元，求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域； (2)如何分配投入的资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【思路探究】 (1)对乙种产品投入资金x 万元，则对甲种产品投入资金(150－x )万元，代入经验公式即可求得总利润y (万元)关于x 的函数表达式；(2)利用(1)的结论，先换元，再利用配方法可求得总利润的最大值．【解】 (1)对乙种产品投入资金x 万元，则对甲种产品投入资金(150－x )万元(25≤x ≤125)．根据题意，得y ＝13(150－x )＋65＋76＋4x ＝－13x ＋4x ＋191，其定义域为[25,125]．(2)令t ＝x ，则y ＝－13(t －6)2＋203，因为x ∈[25,125]，所以t ∈[5，55]， 当t ∈[5,6]时，函数单调递增； 当t ∈[6,55]时，函数单调递减， 所以当t ＝6，即x ＝36时，y max ＝203.答：当对甲种产品投入114万元，乙种产品投入36万元时，总利润最大，为203万元． 规律方法 1.二次函数模型的特点是随着自变量的增加，函数值先增大后减小，有最大值，或先减小后增大，有最小值．2．解决此类问题的一般方法是根据实际问题建立函数模型，求得解析式后，利用配方法、判别式法、换元法或函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大或用料最省等问题．3．主要考查了数学运算、数学建模的核心素养．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C (元)，其中C ＝500＋30x ，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x 的取值范围是20≤x ≤45.解析：设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0<x <80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1 300，解得20≤x ≤45，所以日销量在20至45件(包括20和45)之间时，每天获得的利润不少于1 300元．类型三 指数函数型模型的应用【例3】 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.天数t 病毒细胞总数N1 12 23 448516632(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.301 0)【思路探究】根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解．【解】(1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函数为y＝2t－1.则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋x lg2≤8，得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．规律方法在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N(1＋P)x表示．(1)已知某市2013年底人口约为130万人，如果今后将人口的年平均增长率控制在1%，那么经过10年此市的总人口约为(A)A ．130×(1＋0.01)10B ．130×(1＋0.01)11C ．130×(1＋10×0.01)D ．130×(1＋11×0.01)(2)工业城市空气污染对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多．据统计，某地从2004年到2013年的10年间平均每两年上升2%,2013年有1 100人患呼吸道疾病，则2003年患呼吸道疾病的人数约为1_000.(参考数据：1.023≈1.06,1.025≈1.1)解析：设2003年患呼吸道疾病的人数为a ，则2005年的人数为a (1＋0.02)，2007年的人数为a (1＋0.02)2,2009年的人数为a (1＋0.02)3,2011年的人数为a (1＋0.02)4,2013年的人数为a (1＋0.02)5，依题意，得a (1＋0.02)5＝1 100，即1.1a ＝1 100，解得a ＝1 000.类型四 对数函数模型的应用【例4】 有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量g (x )＝f (x ＋1)－f (x )总是下降的；(2)根据经验，学科甲，乙，丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科.⎝⎛⎭⎫参考数据：e 0.04≈2625，e 0.05≈4139，e 0.06≈5350 【思路探究】 (1)先表示出g (x )的解析式，再证明x ≥7时g (x )单调递减即可；(2)由题意可知0.1＋15ln a a －5＝0.7，解出a ，判断a 所在的区间，即可判定该学科为丙学科．【解】 (1)证明：当x ≥7时，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4).任取x 1，x 2∈[7，＋∞)，不妨设x 1>x 2≥7，则 g (x 1)－g (x 2)＝0.4(x 1－3)(x 1－4)－0.4(x 2－3)(x 2－4)＝0.4(x 2－x 1)(x 1＋x 2－7)(x 1－3)(x 1－4)(x 2－3)(x 2－4)， 因为x 1>x 2≥7，所以g (x 1)<g (x 2)．所以当x ≥7时，掌握程度的增加量g (x )＝f (x ＋1)－f (x )总是下降的．(2)由题意可知0.1＋15ln a a －5＝0.7，得ln a a －5＝0.04，所以a a －5＝e 0.04≈2625，得a ≈130∈(127,133]，因此，该学科为丙学科．规律方法 1.对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．2．主要考查数学建模与数学运算的核心素养．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为：y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年这种动物发展到300只．解析：把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得：a ＝100， 故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)， 所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只．——易错警示系列—— 对题意理解不透彻导致出错【例5】 某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百件)．(1)把利润表示为当年产量的函数f (x )；(2)年产量为多少时，当年公司所得到的利润最大？ (3)年产量为多少时，当年公司不亏本？(取21.562 5＝4.65) 【错解】 (1)设年产量为x 百件．∴f (x )＝5x －x 22－(0.5＋0.25x )．(2)f (x )＝－12(x －4.75)2＋21.562 52.∴当x ＝4.75(百件)时， f (x )max ＝21.562 52(万元)． (3)∵f (x )≥0，∴－12(x －4.75)2＋21.562 52≥0.∴－21.562 5≤x －4.75≤21.562 5. ∴0.1≤x ≤9.4.∴年产量在10件～940件之间不亏本．【正解】 (1)利润y 是生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与总成本C (x )之差．依题意，当x ≤5时，产品能全部售出；当x >5时，只能售出500件．所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )， 0≤x ≤5，(5×5－12×52)－(0.5＋0.25x )， x >5＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75x －0.5， 0≤x ≤5，12－0.25x ， x >5.(2)当0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5.当x ＝－ 4.752·(－12)＝4.75(百件)时，y max ＝10.781 25(万元)当x >5(百件)时，y <12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当生产475件时，利润最大． (3)要使企业不亏本，即要求⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，－12x 2＋4.75x －0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，12－0.25x ≥0.解得5≥x ≥4.75－21.562 5＝0.1或5<x ≤48.∴企业年产量在10件到4 800件之间时，企业不亏本．【错因分析】 解答忽视了条件“市场对产品的需求量为500件”．事实上，当产品生产量超过500件时，市场销售量最多只能是500件．因此这时不能用R (x )＝5x －x 22表示收入，而是R (5)．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( B )A ．[5,6)B ．(5,6]C ．[6,7)D ．(6,7]解析：若按x 千米(x ∈Z )计价，则6＋(x －2)×3＋2×3＝24，得x ＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．一、选择题1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图像表示为图中的( B )解析：由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图像知应选B.2．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( C )A ．y ＝t 3B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 2解析：符合指数函数模型．二、填空题3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0<x <10，且x ∈N ＋)，∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln(1＋M m)．当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln(1＋M m)＝12 000， ∴ln(1＋M m )＝6，∴M m＝e 6－1. 三、解答题5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10)，60 000＋4 200(x －10) (x ≥11)，＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10)，4 200x ＋18 000 (x ≥11)，y 乙＝5 100x (x ∈N )．(2)当x ≤10时，显然y 甲>y 乙；当x >10时，令y 甲>y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ，解得x <20.答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．。
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实际问题的函数建模
【教学目标】
能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
【教学重难点】
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知.
例1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30
设客房租金总上收入y 元，则有：
y =（20+2x ）(300－10x )
=－20(x －10)2 ＋ 8000（0＜x ＜30）
由二次函数性质可知当x =10时，max y =8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元. 变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km ，火车出发10m in 开出13km 后，以120km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程.
例2 要建一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
解析：选择合适的数学模型建立函数关系
解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y 元 y=480+80[4x+(16/x )]
当x=2时，总造价最低为1760元
点评：利用基本不等式
变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
【板书设计】
一、已知函数模型
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
【作业布置】教材P122练习1、2。