【审核版】2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第2章-函数-4-指数函数与对数函数(含答案解析)

第四节 指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程 1. (2013浙江理3）已知y x ,为正实数，则(). A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅2.（2014 陕西理 11） 已知42,lg a x a ==，则x =_______.3.（2015浙江理12） 若4log 3a =，则22aa-+=．3.解析 因为242221log 3log 3log 3log 2a ====所以log log 22223--+=+==a a . 4.（2015江苏7）不等式224x x-<的解集为．4.解析 由题意22242x x-<=，根据2x y =是单调递增函数，得22x x -<，即()()22210--=-+<x x x x ，故不等式的解集为()1,2-或写成{}12-<<x x 均可． 5.（2015重庆理4）“1x >”是“12og ()l 20x +<”的（ ）.A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5.解析 由12(og 0l 2)+<x 得1x >-，且“1x >”是“1x >-”的充分不必要条件．故选B ．6.（2015四川理8）设,a b 都是不等于1的正数，则“333ab>>”是“log 3log 3a b <”的（ ）. A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 解析 若333ab>>，则1a b >>，所以log 3log 3a b <，故为充分条件； 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如，13a =，3b =，所以333a b>>不成立. 故选B.7.（2016浙江理12）已知1a b >>.若5log log 2a b b a +=，b aa b =，则a =，b =. 7.4；2解析设log b a t =，因为1a b >>，则1t >.由题知152t t+=，解得2t =，所以2a b =.由b a a b =，将2a b =带入，得22b b b b =，22b b =，得2,4b a ==.8.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.93108.解析 设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg3lg10361lg380x =-=⨯-，即93.28x =，所以接近9310.故选D.9.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（ ）.A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 9.解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<. 故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用1.（2014 浙江理 7）在同一直角坐标系中，函数()()()0,log aa f x x x g x x ==…的图像可能是（ ）.A. B. C. D.2.（2015山东理14）已知函数()()01xf x a b a a=+>≠，的定义域和值域都是[]10-，，则a b+=.2.解析分情况讨论：①当1a>时，()=+xf x a b在[]1,0-上递增．又()[]1,0∈-f x，所以()()1100ff-=-⎧⎪⎨=⎪⎩，无解；②当01a<<时，()=+xf x a b在[]1,0-上递减．又()[]1,0∈-f x，所以()()1001ff-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得122ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b+=-．3.（2015陕西理9）设()ln,0f x x a b=<<，若p f=，()2a bq f+=，1(()())2r f a f b=+，则下列关系式中正确的是（）．A．q r p=<B．q r p=>C．p r q=<D．p r q=>3.解析解法一：依题意()()()()111ln ln ln222p ab a b f a f b r===+=+=，ln2a bq p+=>=,所以p r q=<.故选C.解法二：令1,9a b==,ln3p==,19ln ln52q+==，()1ln1ln9ln32r=+=，所以p r q=<.故选C.4.（2015天津理7）已知定义在R上的函数()21x mf x-=-（m为实数）为偶函数，记()0.5log3a f=，()2log5b f=，()2c f m=，则a，b，c的大小关系为（）.A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 4.解析 因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭， ()()2log 502log 52142(0)210b f c f m f ==-====-=，.所以c a b <<.故选C.题型26 指（对）数函数的性质及应用1.(2013天津理7）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.（2014 重庆理 12）函数())log2f x x =的最小值为_________.3.(2016全国丙理6)已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）. A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<3. A 解析由423324a ==，233b =，得a b >，由1223332554c ==>，则c a >因此c a b >>.故选A.4.（2016全国乙理8）若1a b >>，01c <<，则（ ）.A.cca b < B.ccab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c <4. C 解析对于选项A ：由于01c <<，所以函数cy x =在()0,+∞上单调递增.由1a b >>，得cc ab >.故A 错误.对于选项B ：要比较cab 与cba 的大小，只需比较a b 与c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小.构造函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为1a b >>，所以1a b >，因此函数x a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增.又01c <<，所以ca ab b⎛⎫< ⎪⎝⎭，即c c ba ab <.故B 错误.对于选项C:要比较log b a c 与log a b c 的大小关系，只需比较ln ln c b b 与ln ln ca a的大小，。