2.2.1椭圆的标准方程1(预)
2.2.1椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆及其标准方程【教学目标】1、掌握椭圆的定义；2、掌握椭圆的方程及其推导；3、会求椭圆方程。
【教学重点】椭圆的标准方程推导和应用。
【教学难点】椭圆标准方程的推导。
【教学过程】 一、引入：1、提出问题：（1）动点到两定点之间的距离之和等于这两定点之间距离的点的轨迹是什么？ （2）将等于改为小于呢？轨迹怎样？ （3）将等于改为大于呢？轨迹怎样？ 2、椭圆的定义：我们把 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两个定点的距离叫做椭圆的 。
3、求椭圆方程：（建立如图的坐标系可求出椭圆的标准方程：） （1）焦点在x 轴上 建系设点： 列式：化简：12222=+by a x （222b c a =-）（2）焦点在y 轴上建系设点： 列式：化简：12222=+bx a y （22c a -二、基础自测1、判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y2、椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为3、椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是__________________________ 4、1,6==c a ,焦点在y 一轴上的椭圆的标准方程是三、新授内容：例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）两个焦点的坐标)0,4(1-F ，)0,4(2F 。
椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； （2）)2,0(1-F ，)2,0(2F 且椭圆过点（23-，25-）； （3）焦距为6，且1=-b a 。
【变式拓展1】、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.例2、方程10)2()2(2222=+-+++y x y x 化简后的结果为 .【变式拓展2】、化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x例3、已知椭圆过点M （4，3-），N （32，3），求椭圆的标准方程。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修课件2.2.1 椭圆及其标准方程(共34张ppt)
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
比数列，还要验证a1≠0. • (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意
对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特 殊情形导致解题失误. • 三种方法 • 等比数列的判断方法有： • (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
• 高三数学复习知识点2 • 一、充分条件和必要条件 • 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 • 二、充分条件、必要条件的常用判断法 • 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把
2
所以 a 1 0 .
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0).
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
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第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
2.2.1椭圆的标准方程
椭圆经过点(
2 ,
2)和点( 1 ,
3 ),
2
2
(
2 )2 a2
(
2 )2 2 b2
1 ，
(
3 )2 a2
( 1 )2 2 b2
1
解得
a2
b2
4 1
所求椭圆的标准方程 y2 x2 1. 4
求椭圆的标准方程
1、方法：①定义法：已知焦点和椭圆上一点; ②待定系数法：已知焦点和椭圆上一点， 或已知椭圆上两点.
变式2：设ABC的内角A、B、C所对的
y A
边分别为a、b、c，已知B(2,0)，C(2,0)， c
b
且sin B sinC 3 sin A，则点A的轨迹
方程为
x2 y2 2 ___________1_(_y___0_)
95
a
B(-2,0) O
C(2,0) x
定义
椭圆及其标准方程
2a ( 3 3)2 ( 1)2 ( 2
a 2， 又由焦点坐标可得：c
3
3,
3)2 ( 1)2 4 2
c 3, a2 b2 3
又
椭圆经过点P(
3
,
1 2
),
(
3 )2
(
1 2
)2
1
②
a2
b2
①
b2 a2 c2 4 3 1， 所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
椭圆定义：
平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数 2a
(2a大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1 , F2叫做椭圆的焦点;
2.2.1椭圆及其标准方程(一)
定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
说明
1.平面上这一个条件不可少;
F1
F2
2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即F1F2＝2c.
椭圆的定义式： MF ＋ MF 2a 1 2
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
10
x y 1 (a b 0) 2 2 a b y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
问题1
2
2
y
（ 1）
M F1 0 y F2 O F1 x
（ 2）
F
2x椭圆的标准方程的特：1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。
x
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF 2 2a
代入坐标 MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a(1)
（问题：下面怎样化简？）
8
当x≠0时，分子有理化，得： 4cx
问题2
根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项 的分母大，则其焦点就在 y 轴上，简称“分母大小定焦 点”
11
练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 .
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) k 2 3 k m m 1
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
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第二章 §2.2 2.2.1
高中数学第2章2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。
2.2.1 椭圆的标准方程(一)
§2.2 椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程(一)一、基础过关1． 设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 2． 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________． 3． “1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的______________条件． 4． 已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________．5． 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为________________．6． 方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 7.已知如图椭圆两焦点为F 1、F 2，且方程为49x 2＋y 2＝1，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．8． 求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 二、能力提升9． 已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为________．10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．11．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝22，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持P A＋PB的值不变，求曲线E的方程．答案1． 线段 2． 18 3． 必要不充分 4．24 5． x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 6．0<m <137． 68． 解 方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1， ⇒⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝14，b 2＝15. 故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)．依题意，得⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝5，B ＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1. 9． 9或917解析 先将9x 2＋25y 2＝100化为标准方程x 21009＋y 24＝1，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－83，0和⎝⎛⎭⎫83，0， ∴焦距为163，ax 2＋y 2＝8⇒x 28a＋y 28＝1， ①若焦点在x 轴上，则8a>8， ∴0<a <1,28a －8＝163， 解得a ＝917； ②若焦点在y 轴上，则0<8a<8， ∴a >1,28－8a ＝163，解得a ＝9. 综上，a ＝9或a ＝917. 10．411．解 (1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1. 所以a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以PF 1＋PF 2＝2a ＝2×2＝4，又PF 1－PF 2＝1，所以PF 1＝52，PF 2＝32， 又F 1F 2＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 12．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2·cos 60°，∴4＝16－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝4，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12×4×32＝ 3. 13．解如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵P A ＋PB ＝CA ＋CB ＝22＋322＝22， 且P A ＋PB >AB ，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
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2.2.1椭圆的标准方程第1课时（预）预习目标
1.通过阅读，认识到什么是圆锥曲线，什么是二次曲线，认识到研究圆锥曲线的意义。
2. 解析几何的关键是“解”，从本次预习开始，有意训练自己“解”的能力。
预习步骤
1.阅读课外材料，开拓视野（文章见附录）
2.“解”的训练
例1. 化简（先自己试试，在往下看）
6
=
6
解：先将等式左边只留一个根式
6
再等式两边同时平方，整理后就剩一个根式
x+3
再等式两边同时平方，就没根号了
y=0 (x>-3)
想一想，能从几何角度予以解释吗？
3.别小看我，我也能行！！
练一下：化简（
1
）
8
=
化简（
2
）
6
=
4.接受挑战，谁怕谁？
化简（3
）
2()
a a c
>
教师寄语
练好“解“的能力，是学好解析几何的基
础，同时也是培养自己的耐心、细心、不怕困
难，勇于和善于战胜困难等优秀素质的一种手
段！相信我能行，别人能做到我就能做到，别
人做不到我也做得到！
圆锥曲线简介
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交
线就称为圆锥曲线
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线
和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情
形。
具体而言：
1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过
圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆
锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过
圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过
圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为
圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆
锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过
圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此
圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆
锥顶点，结果为两条相交直线。
在笛卡尔平面上，二元二次方程
ax2+bxy+cy2+dx+
ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根
据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛
物线以及圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线
和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对
应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。
圆锥曲
线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们
的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳
的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，
太阳则位于椭圆的一个焦点上。
如果这些行星
运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线
或双曲线运行。
人类发射人造地球卫星或人造
行星就要遵照这个原理。
相对于一个物体，按
万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不
可能有任何其他的轨道了。
因而，圆锥曲线在
这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做
旋转物面的曲面。
它也有一条轴，即抛物线的
轴。
在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，
任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以
后，都成为平行于轴的直线。
这就是我们为什
么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶
双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线
族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组
母直线却相交。
人们在设计高大的立塔（如冷
却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧
又坚固。
从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反
射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲
线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双
曲线的另一个焦点上。
从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线
反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛
物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光
线汇聚在抛物线的焦点。
圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计
过高。