提能拔高限时训练57 函数,数列的极限,函数的连续性
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法
解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法在高考数学考试中，函数极限与连续性是一道难题，许多学生常常感到头疼。
然而，只要掌握正确的解题方法和技巧，这类题目不再是难题。
本文将介绍一些解决高考数学中的函数极限与连续性难题的方法，帮助学生们更好地应对这一考点。
一、关于函数极限函数极限是高考数学中常见的考点之一。
在解决函数极限难题时，一般可以采取以下步骤：1. 确定x趋于的值：首先，需要明确x的变化趋势，是否趋于无穷大、无穷小或某一特定值。
根据情况，选择使用不同的极限判断方法。
2. 分解式并化简：对于复杂的函数，可以通过分解式和化简的方式来更好地理解题目，找到解题的突破口。
将函数拆解成更简单的形式，有助于快速求解。
3. 利用常用极限公式：高考中涉及到的函数极限问题中，有许多常用的极限公式可以利用。
例如极限值为自然对数e、三角函数极限、指数函数极限等。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则是许多函数极限问题中的常用技巧。
当遇到函数间的极限形式为“无穷与无穷相除”、“0/0”、“∞/∞”等不确定形式时，可使用洛必达法则将问题转化为求导数的形式，进一步求解。
5. 利用夹逼定理：夹逼定理是函数极限问题中常用的判断方法。
当某一函数趋于极限时，可以找到两个已知函数，一个极限值较小，一个极限值较大，通过这两个函数夹逼待求函数，从而确定其极限。
二、关于函数连续性函数连续性是另一个常见的考点，解决函数连续性难题可以采取以下方法：1. 确定函数的定义域：首先，需要明确函数的定义域，即x的取值范围。
根据定义域的特点，确定函数在该范围内是否连续。
2. 利用函数连续性的性质：函数连续性的性质是解决连续性问题的关键。
例如，有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值等。
3. 分段讨论函数的连续性：对于分段函数，可以将函数分为不同的区间，并分别讨论每个区间上的连续性。
通过分段讨论，可以更好地理解函数在不同区间上的连续性特点。
4. 利用介值定理和零点定理：介值定理和零点定理是解决连续性问题的重要定理。
数列极限与函数极限习题
lim
x→1
x2−1 2x2−x−1
；
(3)
lim
x→0
(x−1)3+(1−3x) x2+2x3
；
(4)
lim
x→1
x2√−√x x
；
6
√
(5) lim
x→3
1+x−2 x−3
；
(6)
lim
x→3
x2−5x+6 x2−8x+15
；
(7)
lim
x→1
xn−1 xm−1
（n,
m为正整数）；
√
(8) lim
(3) lim
n→∞
1
+
1 2n
n；
(4) lim
n→∞
1
+
1 n2
n.
§3 函数的极限
1．用极限定义证明下列极限：
(1)
lim
x→−1
x−3 x2−9
=
1 2
；
(2)
lim
x→3
x−3 x2−9
=
1 6
；
(3)
lim
x→1
√xx−−11
=
2；
(4)
lim
x→1
(x−2)(x−1) x−3
=
0；
√ (5) lim x2 + 5 = 3；
(5)
lim
x→∞
x2+3x x2
；
(6)
lim
x→+∞
x sin x x2−4
；
(7)
lim
x→−∞
x−cos x
x；
(8) lim
极限与连续练习题计算函数的极限与判断连续性
极限与连续练习题计算函数的极限与判断连续性极限与连续练习题：计算函数的极限与判断连续性在微积分中，极限和连续是重要的概念，它们在函数的研究和应用中起着关键作用。
本文将通过一些练习题来讨论如何计算函数的极限以及如何判断函数的连续性。
1. 计算极限：例题1：求函数f(x) = 2x + 3在x趋于2时的极限。
解：当x趋于2时，我们可以通过直接代入或者利用极限的性质来计算。
直接代入得：lim(x→2) 2x + 3 = 2(2) + 3 = 7极限的性质告诉我们，如果函数在某点附近都有定义且趋近于该点，那么该函数在该点处的极限即为函数在该点处的值。
所以根据上述性质，我们可以得到同样的结果。
例题2：求函数g(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)在x趋于2时的极限。
解：当直接代入得：lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = 0/0，这是一个不确定型。
我们可以对该式进行化简：(x^2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2再次利用极限的性质：lim(x→2) (x + 2) = 2 + 2 = 4，得到函数在x=2处的极限为4。
2. 判断连续性：例题3：判断函数h(x) = √(3x - 2)在定义域内的连续性。
解：首先，函数h(x)在非负实数范围内都有定义，即 h(x)在[2/3, +∞)上有定义。
我们知道，函数在某点处连续的必要条件是该点左侧和右侧的极限存在且相等。
对于h(x)来说，我们来计算x=2/3处的左侧极限和右侧极限。
左侧极限：lim(x→2/3-) √(3x - 2) = √(3(2/3) - 2) = 0右侧极限：lim(x→2/3+) √(3x - 2) = √(3(2/3) - 2) = 0由于左侧和右侧的极限都存在且相等于0，所以函数h(x)在x=2/3处连续。
综上所述，函数h(x)在定义域内是连续的。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
函数极限与连续练习题
极限、无穷小与连续性专项练习题1．极限（1）数列极限（极限存在准则）历年真题1.（2006年）证明数列x1=a,x2=a+a=a+x1,…,x n=a+a+a+⋯a=a+x n−1,a> 0收敛，并求出它的极.考点预测利用极限存在准则证明：1limn→∞1+1n;(2)limn→∞n(1n2+π+1n2+2π+⋯+1n2+nπ)=1(3)数列2，,2+2，,2+2+2，…的极限存在，并求出该极限（2）函数极限、无穷小与连续性真题再现1选择、填空题（1）若limx→2x2+ax+bx2−x−2=2,则必有（）A.a=2,b=8B.a=2,b=5C.a=0,b=-8D.a=2,b=-8（2）函数f x=sinxx,x≠02,x=0在x=0处（）A.连续B.不连续但是极限存在C.无定义D.极限不存在（3）limx→0sin3x5x=_________.(4)当x→0时，4+ax−2与sin3x是等价无穷小量，则a=______.(5)limx→∞xsin1ax=__________.(6)若f x=ae x,x<02+x,x≥0在x=0处连续，则a=______.(7)limx→01−cosx=__________.(8)下列变量是当x→+∞时的无穷小量的是（）A.y=e2xB.y=lnxC.y=sinxD.y=1x2+1(9)极限limx→∞(1+12x)x=________.(10)极限lim x →2sin (x−2)x 2−4=__________.(11)lim x →∞6x 3−2x 2+13x 3+5x=_________.(12)lim x →∞(1−x )2x =________.(13)lim x →∞13xsin 3x =________.(14)lim x →∞2x 2−3x +2014−5x 2−2014=_______.(15)若lim n →∞(n 2+2nn+an )=2,则a =__________.2.计算题（1）求lim x →2x 2−x−2sin (x−2)(2)求lim x →3sin (x−3)x 2−7x +12(3)求limx →∞(1−2x )3x(4)计算lim x →0tanxsin 3x(5)计算lim x → x +2− 2(6)计算lim x →3 x +1−2x−3(7)计算lim x →2(1x−2−4x 2−4) (8)求lim x →1(1lnx −1x−1)。
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
高三数学专题 函数连续性问题
高三数学专题函数连续性问题函数连续性是高中数学中一个重要的专题，它和函数的性质有着密切的关系。
函数连续性问题主要包括函数的连续性、间断点和间断性等内容。
下面将重点介绍函数连续性问题的相关概念和解题方法。
1. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内的每一个点都存在极限，并且函数在这些点上的极限等于函数在这些点上的函数值。
也就是说，如果函数在某一点的左极限和右极限存在且相等，那么函数在这一点就是连续的。
函数的连续性可以用数学定义来表示，如下所示：定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一个邻域内有定义，如果 $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 连续。
2. 间断点和间断性当函数在某一点上不连续时，该点就被称为间断点。
间断点的种类有三种：1. 可去间断点：也称为去除不连续点，指的是在某一点上存在极限，只需要对函数在该点进行修正或定义，就可以使函数连续。
2. 跳跃间断点：也称为绝对不连续点，指的是在某一点上的左极限和右极限存在，但两者不相等。
3. 无穷间断点：指的是在某一点上的左极限或右极限为无穷大，或者两者中至少有一个不存在。
3. 解题方法在解决函数连续性问题时，可以采用以下方法：1. 观察函数的定义域和值域，找出函数可能的间断点；2. 分析间断点的性质，并确定其类型；3. 运用极限的相关定理或其他相关数学知识，来判断函数在间断点是否连续；4. 根据函数在不同区间的连续性情况，综合判断函数的连续性。
需要注意的是，解决函数连续性问题时，可以利用函数在不连续点附近的局部性质来分析，同时还需要注意避免除数为零等数学错误。
结论函数连续性问题是高中数学中的重要内容之一，它涉及到函数的连续性、间断点和间断性等概念。
初三数学上册综合算式专项练习题函数的极限与连续性
初三数学上册综合算式专项练习题函数的极限与连续性在初三数学上册中，函数的极限与连续性是一个重要的知识点。
掌握好这个知识点对于解题和理解数学概念都有着重要的作用。
下面我们将通过一些综合算式专项练习题来深入了解函数的极限与连续性。
练习题一：已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 2处的极限值。
解析：要求极限值，我们需要计算函数在该点的左极限和右极限是否存在且相等。
首先，计算左极限：limx→2- f(x) = limx→2- (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0然后，计算右极限：limx→2+ f(x) = limx→2+ (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0左极限和右极限都存在且相等，因此，f(x)在x = 2处的极限值为0。
练习题二：已知函数f(x) = 3x^2 - 5x，求f(x)在x = 1处的极限值。
解析：同样，计算左极限：limx→1- f(x) = limx→1- (3x^2 - 5x) = 3*1^2 - 5*1 = 3 - 5 = -2然后，计算右极限：limx→1+ f(x) = limx→1+ (3x^2 - 5x) = 3*1^2 - 5*1 = 3 - 5 = -2左极限和右极限都存在且相等，因此，f(x)在x = 1处的极限值为-2。
练习题三：已知函数f(x) = √(x + 2)，求f(x)在x = -2处的极限值。
解析：将x = -2带入函数中，得到：f(-2) = √(-2 + 2) = √0 = 0因此，f(x)在x = -2处的极限值为0。
练习题四：已知函数f(x) = |x - 3|，求f(x)的连续区间。
解析：对于函数f(x) = |x - 3|来说，只有在x = 3时函数不连续，因为在x < 3时，f(x) = -(x - 3)，在x > 3时，f(x) = x - 3。
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提能拔高限时训练57 函数,数列的极限,函数的连续性一、选择题 1.)12()12(531lim+-++++∞→n n n n 等于( )A.41 B.21C.1D.2 解析：21)12(lim )12()12(531lim 2=+=+-++++∞→∞→n n n n n n n n .答案：B2.把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112li m +-∞→nn n a a 等于( ) A.41 B.21C.1D.2 解析：令x=1,得1221212221112-=--=++++=++n n nn a , 2222lim 112lim 11=∙=+-++∞→∞→n n n nn n a a . 答案：D3.121lim 221---→x x x x 等于( ) A.0 B.1 C.21 D.32 解析：32142lim 32121lim )12)(1()1)(1(lim 111=-==++=+--+=→→→x x x x x x x x x x x 或原式原式.答案：D 4.123lim1--+→x x x 等于( )A.21 B.0 C.21- D.不存在 解析：)23)(1()1)(1(lim)23)(1)(1()23)(1)(23(lim11++-+-=+++-+++-+=→→x x x x x x x x x x x x 原式 21231lim1=+++=→x x x .5.若数列{a n }是首项为1,公比为23-a 的无穷等比数列,且{a n }各项的和为a,则a 的值是( )A.1B.2C.21D.45 解析：∵a a =--)23(11,∴2a 2-5a+2=0. ∴a=2或21(舍去). 答案：B 6.若1)11(lim 21=---→xb x a x ,则常数a,b 的值为( ) A.-2,-4 B.2,-4 C.-2,4 D.2,4解析：2121211lim 1)1(lim )11(lim x b a ax x b x a x b x a x x x --+=--+=---→→→,当x=1时,ax+a-b=0,b=2a,代入,得121lim 1)1(lim121=-=+-=--→→ax a x x a x x ,则a=-2,b=-4,故选A. 答案：A7.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,,0,)(x a x x e x f x 在点x=0处连续,则a 的值为( )A.-1B.0C.1D.2解析：1lim )(lim 0==--→→xx x e x f ,a a x x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0,f(0)=a,要使f(x)在点x=0处连续,需)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→, ∴a=1.答案：C8.若(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ,(2x 3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则nn nn n b a b a 432lim+-∞→的值为( )A.32-B.21- C.21 D.31解析：令x=1,得各项系数之和为a n =6n,(2x 3+5)n的展开式中各项二项式系数之和为b n =2n,∴31)31(43)31(21lim 2463226lim 432lim =⨯+⨯-=⨯+⨯⨯-=+-∞→∞→∞→n nn n n nnn n n n n n b a b a .9.记首项为1,公比为q(0＜|q|＜1)的无穷等比数列{a n }的各项的和为S,S n 表示该数列的前n 项和,且q aS S n n =-∞→)(lim ,则实数a 的取值范围为( )A.)3,43[B.)3,43( C.{343|<≤a a ,且a ≠1} D.{343|≤≤a a ,且a ≠1} 解析：由题意,得qS -=11, 于是q qaq a q q a q q aS S n n n n n n =--=---=----=-∞→∞→∞→1111lim )111(lim )(lim ,解得43)21(122+-=+-=q q q a . 又0＜|q|＜1,则实数a 的取值范围为{343|<≤a a ,且a ≠1},故选C. 答案：C10.已知p 和q 是两个不相等的正整数,且q ≥2,则1)11(1)11(lim -+-+∞→qp n nn 等于( )A.0B.1C.qp D.11--q p解析：11111111lim1)11(1)11(lim 22102210-++++-++++=-+-+∞→∞→q qqq q q p ppp p p n q p n nC n C n C C n C n C n C C n n q p n C n C C n C n C n C C q q qq q p PP p p p n =+++++++=--∞→12112321111lim . 答案：C二、填空题11.已知数列的通项a n =-5n+2,其前n 项和为S n ,则=∞→2lim n S nn ___________________________.解析：∵a n =-5n+2,∴252nn S n +-=.∴25lim2-=∞→n S n n .答案：25-12.若a ＞0,则=+∞→xxx a a 1lim___________________________. 解析：当a ＞1时,原式=1;当0＜a ＜1时,原式=0;当a=1时,原式=21. 答案：0,1或21 13.已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,1,0,cos )(2x x x x a x f 在点x=0处连续,则a=_________________.解析：因为⎩⎨⎧<-≥=0,1,0,cos )(2x x x x a x f 在点x=0处连续,所以1)0()(lim )(lim 00-====-+→→a f x f x f x x . 答案：-114.有以下四个命题： ①xx f 1)(=在［0,1］上连续； ②若f(x)是(a,b)内的连续函数,则f(x)在(a,b)内有最大值和最小值； ③4cos 2sin 2lim2=→xxx π；④若⎩⎨⎧<+≥=,0,1,0,)(x x x x x f 则0)(lim 0=→x f x .其中正确命题的序号是________________.(请把你认为正确命题的序号都填上)解析：①在x=0处无定义；②根据定义,知②错误；③计算后，知③成立；④)(lim )(lim 0x f x f x x -+→→≠,所以错误. 答案：③三、解答题15.已知数列{a n }满足：a 1=1且)(2111221n n n n n n a a a a a a ++∙=+++++,a n 单调递增, 求nnn na S ∞→lim.解：由)(2111221n n n n n n a a a a a a ++=+++++，有(a n+1+a n -1)2=4a n ·a n+1. ∵a n+1＞a n ≥a 1=1, ∴a n+1+a n -1＞0.∴1121++=-+n n n n a a a a ,即1)(21=-+n n a a ,从而11=-+n n a a ,故}{n a 是以1为首项,公差为1的等差数列n a n =.∴a n =n 2,)12)(1(6121222++=+++=n n n n S n . ∴316)12)(1(lim lim3=++=∞→∞→n n n n na S n nn n . 16.已知a x cx x x =+++-→22lim22,且函数c x b a y ++-=2ln 在［1,e ］上存在反函数,求b 的取值范围.解：∵a x cx x x =+++-→22lim22, ∴x=-2为x 2+cx+2=0的根,解得c=3.又1)1(lim 223lim222-=+=+++-→-→x x x x x x , ∴a=-1.∴3ln 2++=x b x y ,22ln 2ln 2x bx x x b x x y -=-='. ∵3ln 2++=xb x y 在［1,e ］上存在反函数,∴y ′≥0或y ′≤0在［1,e ］上恒成立. ∵x 2＞0,∴2xlnx-b ≥0或2xlnx-b ≤0在［1,e ］上恒成立,即b ≥2xlnx 或b ≤2xlnx 在［1,e ］上恒成立.∵g(x)=2xlnx 在［1,e ］上为增函数,∴x=1时,g(x)取最小值0,x=e 时,g(x)取最大值2e, ∴b ≥2e 或b ≤0,即b 的取值范围是(-∞,0］∪［2e,+∞). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=+0,,0,1,0,)(1x b a x x b e x f x ax (a,b 为常数),试讨论a,b 为何值时,f(x)在x=0处连续.解：b a b a x f x x x -=-=+→→++)(lim )(lim 1,b b e x f ax x x +=+=--→→1)(lim )(lim 0,则⎩⎨⎧=+=-,11,1b b a∴a=1,b=0.【例2】设⎩⎨⎧<+≥-=,1,1,1,2)(x x x x x f ⎩⎨⎧<-≥=,1,1,1,)(3x x x x x g 讨论复合函数f ［g(x)］的连续性. 解：当x ≥1时,g(x)=x 3≥1, ∴f ［g(x)］=f(x 3)=2-x 3;当0＜x ＜1时,g(x)=1-x,0＜1-x ＜1, ∴f ［g(x)］=f(1-x)=1-x+1=2-x; 当x ≤0时,g(x)=1-x,1-x ≥1,∴f ［g(x)］=f(1-x)=2-(1-x)=1+x.∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+<<-≥-=.0,1,10,2,1,2)]([3x x x x x x x g f1)2(lim )]([lim 311=-=++→→x x g f x x , 1)2(lim )]([lim 11=-=--→→x x g f x x . 又f ［g(1)］=1,∴f ［g(x)］在x=1处连续.∵2)2(lim )]([lim 0=-=++→→x x g f x x , 1)1(lim )]([lim 00=+=--→→x x g f x x , ∴)]([lim )]([lim 0x g f x g f x x -+→→≠, 即)]([lim 0x g f x →不存在.∴f ［g(x)］在x=0处不连续.∴f ［g(x)］在(-∞,0),(0,+∞)上连续,在x=0处不连续.。