2019_2020学年高中数学课时作业8椭圆的简单几何性质新人教A版选修2_1

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课时作业8 椭圆的简单几何性质
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆
y
2
21

＋x29＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9

解析：因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，
所以a2＝25，b2＝9.
答案：D
2．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±m－n) B．(±m－n，0)
C．(0，±n－m) D．(±n－m，0)

解析：化为标准方程是x2－n＋y2－m＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝－m－－n＝n－m
答案：C

3．与椭圆x29＋y24＝1有相同离心率的椭圆方程是( )

A.y29＋x24＝1 B.x236＋y225＝1
C.y236＋x225＝1 D.x236＋y211＝1
解析：方法一 分别算出已知椭圆及各选项中椭圆的离心率，进而作出判断，此处略．
方法二 椭圆y29＋x24＝1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两椭圆的形状、大
小完全一样，只是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同．
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答案：A
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )

A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y23＝1 D.x24＋y2＝1
解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca＝12⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此其方程是x24＋y23＝1.故选C.
答案：C
5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是( )
A.32 B.22
C.13 D.12
解析：∵AP→＝2PB→，∴AP→＝2|PB→|.
又∵PO∥BF，∴|PA||AB|＝|AO||AF|＝23，

即aa＋c＝23，∴e＝ca＝12.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)

6．椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，则m＝________.

解析：当焦点在x轴上时，4－m2＝12⇒m＝3；当焦点在y轴上时，m－4m＝12⇒m＝163.
综上，m＝3或m＝163.
答案：3或163
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过P(－5,4)，则椭圆的方
程为____________．
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解析：∵e＝ca＝55，
∴c2a2＝a2－b2a2＝15，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为x2a2＋5y24a2＝1(a>0)，

∵椭圆过点P(－5,4)，∴25a2＋5×164a2＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为x245＋y236＝1.
答案：x245＋y236＝1
8．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，
B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C
的离心率等于________．

解析：不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得Ac，b2a，Bc，－b2a，

由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D0，－b22a，所以AD→＝－c，－3b22a，F1B→＝2c，－b2a，又
AD⊥F1B，所以AD→·F1B→＝－2c2＋3b42a2＝0，即3b4＝4a2c2，又b2＝a2－c2，所以可得3(a2－c
2
)＝

2ac，两边同时除以a2，得3e2＋2e－3＝0，
解得e＝33或e＝－3，又e∈(0,1)，

故椭圆C的离心率为33.
答案：33
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求椭圆x2100＋y236＝1的长轴长、短轴长和顶点坐标．

解析：根据椭圆的标准方程x2100＋y236＝1，得焦点在x轴上，且a＝10，b＝6，c＝100－36
＝8.因此长轴长2a＝20，短轴长2b＝12，顶点坐标为A1(－10,0)，A2(10,0)，B1(0，－6)，
B
2
(0,6)．

10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
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(1)长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；
(2)过点(3,0)，离心率e＝63.

解析：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知






2a＋2b＝18，
2c＝6，
a2＝b2＋c
2
，

解得a＝5，b＝4.
因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.

(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意，得a＝3，
因为e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由题意，得b＝3，因
为e＝63，所以a2－b2a＝63，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.

|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈12，1，则实数m的取值范围是( )
A.0，34 B.43，＋∞
C.0，34∪43，＋∞ D.34，1∪1，43
解析：在椭圆x2＋my2＝1中，当0

所以e2＝c2a2＝1m－11m＝1－m，
又12所以14<1－m<1，
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解得0当m>1时，a2＝1，b2＝1m，c2＝1－1m，e2＝c2a2＝1－1m1＝1－1m，
又12解得m>43，
综上可知实数m的取值范围是0，34∪43，＋∞.
答案：C

12．设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点
A
的坐标是________．

解析：设A(m，n)，

由F1A→＝5F2B→，得Bm＋625，n5.

又A，B均在椭圆上，所以有 m23＋n2＝1，m＋62523＋n52＝1，
解得 m＝0，n＝1或 m＝0，n＝－1，
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)

13．求经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．

解析：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得
1
12

＋46＝k1或412＋16＝k2，解得k1＝34，k2＝12，故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，

即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.

14．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，
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求椭圆的离心率e的取值范围．
解析：设点M的坐标是(x0，y0)，

则 x20a2＋y2b2＝1，x20＋y20＝c2.消去y0，得x20＝a2c2－b2c2.

因为0≤x20≤a2，所以 a2c2－b2c2≥0 ①，a2c2－b2c2≤a2 ②.
由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，所以a2≤2c2，所以e2＝c2a2≥12.
又0由②得c2－b2≤c2，此式恒成立．
综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是22，1.