最优控制1-2

x at 1
常数a可依据横截条件确定。由(1-45)式，得，
(1 x ) x 1 x 2 1 x 2 0
L [c (t ) x (t )] L 0 x
c (t ) 1, L x x 1 x 2
化简后得
x 1
0
(1-35)

tˆf ( t f ) L[ x ˆ (t ) tˆf
(t ), x (t ) (t ),t ]dt
由极值的必要条件
J ( x)
0
0
推知
L L ˆf ), x ˆf ), t ˆf ] 0 (1-36) (t ) ]dt (t f ) L[ x ˆ (t ˆ (t t0 [ (t ) x x
x(t ) x ˆ (t ) (t )
(1-33)
是包含极值轨线 x ˆ (t ) 在内的一束邻近曲线，其对应的终端为
[t f , x (t f )] 。
因终端时刻tf是变动的，也就是 说，每一条轨线都有其各自的终端时 刻tf， 故而必须定义一与x(tf)相应的终 端时刻集合:
t f tˆf (t f )
2015/12/1
L d L 0 由欧拉方程知 x dt x d x 0 2 dt 1 x x c 2 1 x
稍加整理，得
x c 1 c
2
a
于是
x at b
(1-46)
式中a和b均为任意常数。
13
2015/12/1
因t=0时，x=1，故得b=1，于是
取极值的必要条件，是轨线x (t ) 满足下列方程:
L d L 0 x dt x
欧拉方程 横截条件
(1-44)
且当t tˆf 时有
[c (t ) x (t )]
c (t )
其中
x (t )
L L0 x
(1-45)
应有连续的二阶导数，L至少应两次连续可微，
上面我们讨论了 起点固定而终点变动 时求极值轨线 的问 题，当终点固定而起点变动 或起点和终点都变动 时，可用类 似的方法进行研究。
11
2015/12/1
例 1-2 求从平面上一点x(0) 1 至直线 x(t f ) c(t f ) 2 t f 取
最短距离的轨线。 （导弹拦截问题简化情况）
tˆf t0
8
2015/12/1
由于 (t ) 的任意性，以及 (t f ) 的任意性，必有
L d L 0 x dt x
(1-41) (1-42)
L [ c ( t ) x ( t )] L 0 x t tˆf
9
2015/12/1
3
2015/12/1
方程(1-32) 和(1-1) 形式上 是相同的。 差别在于:(1-32)式中的 tf 不是固定的，而是变动的。 这从图 1-3 可以看得很清楚， 对于不同的轨线 x(t) ，其终 态 x(tf) 和与之相应的时刻 tf 通常是互异的。
4
2015/12/1
设x ˆ (t f )] ,而 ˆ (t ) 是所求的极值轨线，其对应的终端为[tˆf , x
寻找一条连续可微的极值轨线，它由给定的点 (t0 ， x0) 到给定的曲线x(tf)=c(tf)上的点[tf , c(tf)]，使性能泛函
J ( x ) t L[ x (t ), x (t ),t ]dt
0
tf
(1-32)
达到极值，其中tf是一待定的量，x(t)有连续的二阶导数，L 是两次连续可微函数。
tˆf t0
L[ x ˆ (tˆf ), x ˆ (tˆf ), tˆf ] L d L ]dt (t f ){[ c (tˆf ) x ˆ (tˆf )] (t )[ x dt x x (1-40) L[ x ˆ (tˆf ), x ˆ (tˆf ), tˆf ]} 0
解 已知弧线元长度
ds ( dt ) 2 ( dx) 2 1 x 2 dt
故由图1-4可见，本例是求
J ( x ) t f 1 x 2 dt
0
t
取极小值的轨线x (t ) 。
2 L 1 x 其中，
L 0 x
12
L x x 1 x 2
§1-2 变动端点的变分问题
1
2015/12/1
轨线的始端或终端是变动的
绪论中所讲的拦截问题，便是一个终端变动的变分问 题。 分析一下拦截器运动的轨线，可知其在发射时刻 t0 的状态是已知的，而为使拦截器达到拦截的目的，其终态 必须在目标行进的轨道上与导弹 M 相遇。
2
2015/12/1
问题1-2
为负倒数，因而它们互相垂直。由此可得结论：直线c外一 点到该直线的最短距离，是由该点到直线c的垂线。
15
2015/12/1
下面研究n维空间中变动端点的变分问题。
定理 1-4 设 n 维状态向量 x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )]T
的轨线自一固定点 x(t0 ) [ x1 (t0 ), x2 (t0 ),..., xn (t0 )]T 到达给定 的曲面 x(t f ) c(t f ) 上某一点c(t ) [c1 (t f ), c2 (t f ),..., cn (t f )]T ， 则性能泛函
ˆf t
6
2015/12/1
对上式中被积函数的第二项进行分部积分
ˆf t ˆf L L d L t ( t ) d t ( t ) ( t ) dt t0 t0 t0 x x d tx ˆf t
注意(t0 ) 0 ，则(1-36)式便化为
与固定端点的区别
L d L L ˆ ]dt (t f ) t0 (t )[ x dt x t tˆ x f (t f ) L[ x ˆ (tˆf ), x ˆ (tˆf ), tˆf ] 0
tˆf
(1-37)
注意: (tˆf ) 和 (t f ) 不是相互独立的，它们受条件 x(t ) |t t f c(t f ) 的约束，即
T
(1-50)
(t ), t ] 是一数量函数， 其中 x (t ) 应有连续的二阶导数；L[ x (t ), x c (t ) 则应有连续的一阶导数。 它至少应两次连续可微；而
定理1-4的叙述和证明过程，与定理1-3的叙述和证明过 程极其相似。
172015/12/1而来自则应有连续的一阶导数。
2015/12/1
10
方程(1-44) 是我们以前讲过的欧拉方程； 方程(1-45) 则是极值轨线x ˆ (t ) 的终态所应满足的条件。 因极值轨线 x ˆ (t ) 和曲线 x(t f ) c(t f ) 总是相割而非相切， 所以人们给方程 (1-45) 取了一个形象化的名称，叫做 “横截 条件” 。
(1-34)
2015/12/1
5
把关系式(1-33)和(1-34)代入(1-32)式,得
J ( x) t f
0
tˆ ( t f ) tˆ
L[ x ˆ (t ) (t ), x (t ) (t ),t ]dt
t f L[ x ˆ (t ) (t ), x (t ) (t ),t ]dt
(t f ) x ˆ (tˆf ) (tˆf ) (t f )c (tˆf )
即
(tˆf ) (t f )[ c (tˆf ) x ˆ (tˆf )]
(1-39)
将关系式(1-39)代入(1-37)式，就得到
L[ x ˆ (tˆf ), x ˆ (tˆf ), tˆf ] L d L ]dt (t f )[ c (tˆf ) x ˆ (tˆf )] (t )[ x dt x x (t f ) L[ x ˆ (tˆf ), x ˆ (tˆf ), tˆf ] 0
x ˆ[tˆf (t f )] [tˆf (t f )] c[tˆf (t f )]
(1-38)
7
2015/12/1
ˆf (t f )] [t ˆf (t f )] c[t ˆf (t f )] x ˆ[t
将(1-38)式对求导，并令 0 ，得
于是a=1，最终得极值轨线
x t 1
(1-47)
14
2015/12/1
结论： 1)在 tx 平面上， (1-46)式是直线方程。如在平面上任选 两点，即可求出任意常数a， b的值，而直线方程也就随之 确定。可见连接平面上任意两点的最短线是直线。
1 ， 而 直 线 2) 由 (l-47) 式 知 极 值 轨 线 的 斜 率 是x 1 ，可见直线 c (t f ) 2 t f 的斜率则是c x(t ) 和c(t f ) 的斜率互
J ( x ) t f L[ x (t ), x (t ), t ]dt
0
t
(1-48)
取极值的必要条件， 是轨线x(t ) 满足下列向量微分方程：
L d L 0 x dt x
欧拉方程
(1-49)
2015/12/1
16
横截条件
且当 t tˆ f 时有
L [c L0 (t ) x (t )] x
定理1-3
设 轨 线 从 x (t ) 自 一 给 定 的 点(t0 , x0 ) 到 达 给 定 曲 线
x (t f ) c (t f ) 上某一点[t f , c(t f )] ，则使性能泛函
J ( x ) t f L[ x (t ), x (t ), t ]dt
0
t
(1-43)