21.3 实际问题与一元二次方程 (第3课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程(教案)
4.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课将结合具体实例，让学生在实际问题中感受一元二次方程的应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生运用数学知识分析实际问题的能力，提高他们从实际问题中抽象出一元二次方程模型的能力；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用一元二次方程计算不规则图形的面积，演示其基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对一元二次方程解决实际问题的兴趣还是相当高的。他们在分组讨论和实验操作环节表现出了很高的积极性和主动性。然而，通过这个过程，我也发现了一些问题。
首先，部分学生在从实际问题中抽象出一元二次方程的过程中存在困难。他们很难把握问题的核心，从而无法准确地列出方程。这说明我们在今后的教学中，需要加强对学生问题分析能力的培养，让他们学会如何从复杂的问题中抓住关键信息。
4.培养学生严谨的数学思维，加强对结果的检验。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的求解方法和步骤，以及如何从实际问题中抽象出一元二次方程这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题，如面积计算、成本分析等。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程3教案新版新人教版
实际问题与一元二次方程教学设计课标要求能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。
教材及学情分析探究3的问题中，已知封面及正中央矩形的长宽比都是9:7，由此可以推出上、下、左、右边衬之比也为9:7。
问题中的方程的两个根都是正数，但他们并不是问题的的解。
必须根据他们的值得大小，来确定哪个更合乎实际。
这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否是实际的过程。
九年级的学生在以前学习了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题，有一定的基础，在此基础上，进一步培养学生学习分析问题、找出等量关系来解决实际问题的能力。
课时教学目标1、探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.并能根据实际问题的意义检验结果的合理性.2、经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.3、通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.重点列一元二次方程解决实际应用问题难点寻找问题中的等量关系提炼课题如何找出题干中包含等量关系的语句，并将其转化为等量关系教法学法指导启发式讨论法练习法教具教学过程分析问题，建立模型探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是21(27－9a)∶21(21－7a)＝9(3－a)∶7(3－a)＝9∶7．设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x) cm．要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程(27－18x)(21－14x)＝43×27×21．整理，得16x2－48x＋9＝0解方程，得x＝6334，即x1≈2.8，x2≈0.2．淡化解方程，重点突出列方程弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握面积问题的解题技巧,将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决所以，9x1＝25.2 cm（不合题意，舍去9x21、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边解法一：设道路的宽为x，我们利用“图形纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的小结这节课你学到了什么？面积问题怎样建立数学模型？板书设计 21.3 实际问题与一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：1、审:2、设 :3、列4、解 :5、验：检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去6、答:作业设计绩优学案P21 必做题：1—7 选做题：8教学反思。
实际问题与一元二次方程教学设计(3)
课题：21.3实际问题与一元二次方程（3）科目：数学教学对象：九年级学生课时：一个课时一、教学内容分析生活中不少实际问题的解决都要用到方程的知识，在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，所以本节课对学生来说并不陌生。
本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的实际问题：面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型解决几何图形问题。
通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，问题的解更多要考虑问题的实际意义，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础,因此，它具有承上启下的作用。
二、教学目标一、知识技能1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
二、过程与方法1、通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识；2、经历将实际问题抽象数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
三、情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
三、学习者特征分析我教两个班，一共有121人，有一班女生居多，成绩是全校最好的班，纪律较好；另一班纪律较差，成绩也较差，男生居多。
总体来看大部分学生愿意动脑筋，对数学课还比较喜欢，学习热情也较高，课堂气氛比较活跃，但有极少部分学生较懒，学习习惯差，不愿思考问题。
四、教学策略选择与设计采用自主学习，合作探究交流的方式。
五、教学重点及难点重点：据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题。
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。
边衬的宽度为xcm，据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可知正中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程。
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程 握手问题和互赠礼物问题 教案
人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程握手问题和互赠礼物问题教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.3节“实际问题与一元二次方程——握手问题和互赠礼物问题”主要通过具体的生活情境，让学生学会运用一元二次方程解决实际问题。
本节内容紧密联系学生的生活，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的数学基础，对一元二次方程有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会对将实际问题转化为数学问题感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们运用一元二次方程解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过解决握手问题和互赠礼物问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，求解一元二次方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法，引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，设计教学活动和板书。
2.学生准备：预习相关知识，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生介绍握手问题的背景，引发学生的兴趣。
例如：“在一场聚会中，所有人都与其他人握手一次，请问总共发生了多少次握手？”2.呈现（10分钟）教师引导学生分析握手问题，将其转化为数学问题。
设共有n人参加聚会，每个人都要与其他人握手一次，求总共发生的握手次数。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用一元二次方程解决握手问题。
设共有x人参加聚会，则握手次数为x(x-1)/2。
学生分组讨论，求解x的值。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十一章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 第3课时
依题意，得(15－2×5x)(10－2×4x)＝15×10×(1－13 )，整理，
得 8x2－22x＋5＝0，解得 x1＝52 ，x2＝14 .当 x＝52 时，10－2×4x＝－10＜0，
不合题意，舍去；当 x＝1 时，10－2×4x＝8＞0，符合题意，∴x＝1 ，
4
4
∴5x
＝5 4
，4x ＝1.
4
整理得，8x2+204x-319=0,解得 x 51 3239 .
4
∴x1= 51 4 3239 , x2= 51 4 3239 (不合题意，舍去). ∴x= 51 3239 ≈1.5.
4
答：镜框的宽度约为1.5cm.
随堂训练
基础巩固
1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗
R·九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
新课导入
导入课题
要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为21cm，正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩 色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽， 左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小 数点后一位）？
答：每个横彩条的宽度为 5 cm，每个竖彩条的宽度为 1 cm 4
课堂小结
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及 数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主 要有三角形、四边形等，涉及到三角形的三边关系、三角形全 等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。
Thank you!
2 D．(100－x)(50－x)＝4704
综合应用
4．如图，要设计一个长为15 cm，宽为10 cm的矩形图案，其中 有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5∶4，若使所有彩条 所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩 条的宽度？
21-3 实际问题与一元二次方程 课件(共25张PPT)
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
人教版九年级数学21.3实际问题与一元二次方程(教案)
今天我们在课堂上探讨了实际问题与一元二次方程的联系，通过引导学生从生活实例中发现数学问题，我希望能够帮助他们认识到数学的实用性和趣味性。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
首先，学生们在建立实意识到，在今后的教学中，需要更多地关注学生对数学模型的构建能力，通过设置更多贴近生活的案例，帮助他们理解数学概念。
（1）直线型运动问题中的方程；
（2）面积问题中的方程；
（3）百分比问题中的方程；
（4）利润与成本问题中的方程。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够结合具体情境，发现问题的数学本质，建立一元二次方程模型，提高数学应用意识。
2.培养学生的逻辑思维能力和推理能力，通过分析实际问题，抽象出数学关系，掌握一元二次方程的求解方法，培养严谨的数学思维。
在小组讨论环节，学生们分享了自己的观点和成果，但我认为他们在表达和沟通方面还有待提高。为了锻炼学生的表达能力和团队合作精神，我打算在课后组织一些类似的活动，让他们有更多机会展示自己，增强自信心。
最后，通过今天的课程，我也意识到自己在教学过程中的不足。在今后的教学中，我将努力提高自己的教学水平，关注学生的需求，不断调整教学策略，以期达到更好的教学效果。
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、互动交流等形式，让学生在探讨实际问题与一元二次方程的关系过程中，学会倾听、表达和协作，提高沟通能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的教学重点包括：
（1）掌握实际问题与一元二次方程的关系，能根据实际情境建立方程模型；
（2）熟练运用一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、公式法等；
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。
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1
21.3 实际问题与一元二次方程
一、内容和内容解析
1．内容
列一元二次方程解决有关“面积问题”．
2．内容解析
本节课以“面积问题”为载体，进一步深入学习建立一元二次方程模型分析和解决实际
问题．重点是分析实际问题中的数量关系，利用几何图形的面积建立一元二次方程的数学模
型．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程．
(2)进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问
题的过程，提高数学应用意识．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：借助几何图形面积之间的关系，分析出已知条件的关系，从而
选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量关系，列出正确的方程来解决实际问题．
达成目标(2)的标志是：在用一元二次方程解决“面积问题”的过程中，对用方程解决
实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)，以及需注意的事项继续进行总结和深化，体会
一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．
三、教学问题诊断分析
通过前两节课的学习，学生已具备一定的建模思想，了解将实际问题转化为数学问题的
一般步骤，积累了一定的解题经验和方法．本课时中的实际问题与图形面积相关，通过合理
地设未知数，将长宽表示出来，从而根据面积之间的关系建立一元二次方程解决问题．
四、教学过程设计
1．从实际背景中抽象出一元二次方程模型
问题1 要设计一本书的封面，封面长27㎝，宽21㎝，正中央是一个
矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、
右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
2
师生活动：学生思考、交流、回答．小组交流后提问：
(1)四周边衬的面积怎么表示？
(2)中央矩形的长和宽受什么影响？根据已知条件，如何设未知数？面积怎样表示？
这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为x cm，则中央矩形的面积
可以表示为(27－2x)(21－2x)．
(3)题中的等量关系是什么？可以怎样列出方程？
据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可列方程为
27×21－(27－2x)(21－2x)＝41×27×21．
(4)还有其它方法列出方程吗？比较一下哪种方法更简洁？
据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可知正中央矩形的面积是封面面积的四
分之三，从而得方程(27－2x)(21－2x)＝43×27×21．
方法二更简洁，找出等价的等量关系，可以使问题更简洁．
(5)通过解决这一问题，你有什么收获？
不规则几何图形的面积，常常需要转化为规则几何图形的面积．解决问题时要适当选有
关的量设出未知数，再通过面积之间的等量关系建立方程．
设计意图：回顾列一元二次方程解决问题的方法，明确每一步的核心内容，为后面探究
三的解决铺设知识基础．
2．探究三的解决
问题2 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个
封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、
下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
师生活动：学生独立思考，回答．教师提出问题引导学生：
(1)本题和上一个问题在已知条件的描述上有什么区别？
3
上一个问题是上、下、左、右边衬都等宽，而这个问题是上、下边衬等宽，左、右边衬
等宽．
(2)条件中的上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上、下和左、右的边衬之间有什么关
系？
封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中间长方形的长宽之比也应是9∶7．设中间长方形
的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
21(27－9a)∶2
1
(27－7a)
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7．
(3)你如何合理地设未知数，根据等量关系列出方程？
设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中间长方形的长为
(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm．
根据等量关系中间长方形的面积是封面面积的四分之三，可列方程
(27－18x)(21－14x)＝43×27×21．
整理，得16x2－48x＋9＝0．
解方程，得x＝6334±．
(4)方程的哪个根符合实际意义？为什么？
因为上、下边衬的宽为9x，左、右边衬的宽为7x，根据题意，9x＜27，7x＜21，也就
是x<3，所以x应该取x＝
4
336
－
．
(5)有没有更简单的方法？
设中间矩形的长、宽分别为9x cm，7x cm．
列方程 9x·7x＝43×27×21，
解得x≈2.6．
进而得上、下边衬的宽度均为(27－9×2.6)×0.5＝1.8；
左、右边衬的宽度均为(21－9×2.6)×0.5＝1.4．
设计意图：探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，需要
根据实际意义作出取舍，这有利于培养学生的数学应用能力．
3．练习、巩固应用
4
教科书第22页练习9．
4．小结
问题3 回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问
题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？
师生活动：学生先思考、讨论，教师帮助总结．要强调：认真审题很重要，要采取适当
方法分析清楚问题中的各种数量及其相互关系，设出未知数，利用等量关系建立一元二次方
程．要注意合理设出未知数，这样可以使问题的解决更为简单；还要注意分析一元二次方程
的两个根是否符合实际问题的要求．
设计意图：归纳建立一元二次方程模型解决实际问题的基本过程和方法，形成整体认识，
进一步提高一元二次方程的应用能力．
5． 布置作业
教科书第25页复习题21第8题．
6． 目标检测设计
用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？能围成一个面积为101 cm
2
的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．
设计意图：检测学生利用几何图形的面积建立一元二次方程模型解决实际问题的能力．