单项式乘多项式法则的再认识因式分解(一)

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9.5单项式乘多项式法则的再认识-----因式分解

才艺展示
1、把下列多项式分解因式、 (1)x(a+b)-y(a+b) = (a+b)(x-y) (2)3(x-y)2-x+y
=3(x-y)2-(x-y) = (x-y)[3(x-y)-1] = (x-y)(3x-3y-1)
2-(b-a)3 (3)2(a-b)
=2(a-b)2+(a-b)3 = (a-b)2 (2+a-b)
例1:因式分解 8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3 因式分解因式分解
解原式=解原式=- (8x2n+2yn+2-12xn+1y2n+3 ) =-4xn+1yn+2(2xn+1-3yn+1)
注意：当多项式第一项的系数是负数时，注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“ 号先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正在提出“ 号时多项式的各项都要变号！号时，数。在提出“-”号时，多项式的各项都要变号！
是, 右边是几个整式积的几个整式积的形式不是,右边是多项式不是, 左边不是多项式不是,
1 (5)x-1=x(1) x
(4)8a2b3c=2a2·2b3·2c
1 不是整式 x
把多项式ab+ac+ad分解成a(b+c+d)的形式，其中a是各项的公因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法
§9.5单项式乘多项式法则的再认识-----因式分解
请计算：请计算 375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 你是如何想的？你是如何想的？问题1：问题：为什么375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 × ＋为什么 × ＋ × 可以写成375×（2.8＋4.9＋2.3）？依）？依可以写成 × ＋＋）？据是什么？据是什么？逆用乘法分配律逆用乘法分配律

单项式乘多项式法则的再认识——“因式分解(一)”教学设计

教学内容：
（）３在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展
苏教版七年级下册第九章第５节第一课时“ 单项式
乘多项式法则的再认识—— 因式分解（）。一 ”
教材分析：
过程，坚持启发式教学，鼓励学生充分地动脑、口、动动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原
缺少的知识部分。２．教学目标
（）２人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数
学；不同的人在数学上得到不同的发展。（）３建立在建构主义学习理论基础上。
教学过程及设计意图：
一认知目标： ①理解因式分解的概念和意义。②认识
革、面提高高中思想政治教学水平和质量的需要。全关键词：思想政治；学水平；教研究
则。
１．的地位和作用。教材
６设计理念。．（）１教学是多边互动过程，不仅重结果，更重过程；教学的重心是人而不是学科。
本节课是 “ 单项式乘多项式法则的再认识 ” 第一课时，与整式乘法是互逆的过程。其知识基础是建立在学生已经掌握整式乘法运算，并且以小学知识里已经涉及相关分解因式之上的。其重要作用在之后的分式运算、化简和一元二次方程中皆有体现，是数与式运算中不可
【教法研究】
单项式乘多项式法则的再认识
— —
“ 因式分解（ ” 一）教学设计
张义兵
（江苏省南京市六合区横梁初级中学，江苏
透彻的讲解。
南京
２１１）１５５

(完整版)乘法公式和因式分解知识点

乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。

m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。

3、因式分解的方法：（1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．（4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。

我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。

精品 2014年八年级数学上册整式乘除与因式分解03 单项式乘多项式多项式乘多项式(1)

2
2
14. ( x 2)( x 3) 2( x 6)( x 5) 3( x 2 7 x 13) ，其中 x= 3
1 2
15.若 ( x 2 ax b)(2 x 2 3 x 1) 的积中， x 3 的系数为 5， x 2 的系数为-6，求 a，b．
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D.a+b+2c+(a-c)+(b-c) ） C. 3a 2 b3 2a 3 b 2 36a 2 b 2 ) C.a-b ) C.t -4t+5 ) C.m=-4，n=1 ) C.p=-q ) D.a=2，b=-1，c=2 D．无法确定 D.m=-4，n=-1
2
3. ( ab 2 a 2 b 6ab) (6ab) 的结果为（ A. 36a 2 b 2
19.对任意有理数 x、y 定义运算如下: xy ax by cxy ,这里 a、b、c 是给定的数,等式右边是通常数的加法及乘法运算,如当 a=1,b=2,c=3 时,l△3=1×l+2×3+3×1×3=16,现已知所定义的新运算满足条件,1△2=3，2△3=4,并且有一个不为零的数 d 使得对任意有理数 x△d=x,求 a、b、c、d 的值．
2 2 3
。。。。。
(5) 8m( m 3m 4) m ( m 3)
2 2
(6) ( 2a b) ( ab a b a )
2 2 2 2 3
10.当 t=1 时，代数式 t 3 2 t [2 t 2 3t (2 t 2)] 的值为 11.若 2 x y 0 ，则代数式 4 x 3 2 xy ( x y ) y 3 的值为

苏教版9.5因式分解1

荣辱榜9. 5 多项式的因式分解（1）班级姓名成绩自主学习一、创设情境1.试一试（1）.你能用简便方法计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3吗？（2）.你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的形式吗？请说明你的依据.2.做一做：多项式mc+中的每一项都含有一个相同的因式_________，我mbma+们称之为_________.3.试一试：下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试着找出来.（1）4x+4y；（2）8ax+12ay；（3）16a3bx+36a2b2y二、探究新知1、_________________________________，叫做这个多项式各项的公因式。

2、公因式的构成：①系数：；②字母：；③指数： .3、练一练：下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试着找出来.（1）a2b＋ab2；（2）3x2－6x3；（3）9abc－6a2b2＋12abc24、填空并说说你的方法：（1）a2b＋ab2=ab( ) （2）3x2－6x3=3x2( ) （3）9abc－6a2b2＋12abc2=3ab( )5、归纳：（1）.因式分解的定义：. （2）.因式分解与整式乘法的联系和区别：趁热打铁：下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？（1）6x2y3＝2x2y·3y；（2）ab＋ac＋d=a(b＋c)＋d（3）a2－1=(a＋1)(a－1) （4）(a＋1)(a－1) = a2－1（5）x2＋1=x(x＋1 x)例题讲解：例1：把（1）5x3－10x2分解因式；分析：1、多项式5x3－10x2各项的公因式是什么？2、你能把多项式5x3－10x2说你是如何得到另一个因式的？归纳：叫做提公因式法．把12ab2c－6ab分解因式变式练习1：把6a3b－9a2b2c+3a2b分解因式变式练习2：把－2m3＋8m2－12m因式分解练习：－8a2b2＋4a2b－2ab变式练习3：把3a(x+y)-2b(x+y)分解因式练习：（1）x(a-b)+y(b-a) （2）6(m-n)3-12(n-m)2变式练习4：把m(5ax+a y－1)+m(ay+1－3ax)因式分解拓展应用：（1）.计算 39×37-13×81；（2）20042+2004能被2005整除吗?三、通过本节课的学习，你有哪些收获？9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)反馈练习：1. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．22244)2(y xy x y x ++=+ B.3)1(4222+-=+-x y x C. )1)(13(1232-+=--x x x x D.mc mb ma c b a m ++=++)(2.多项式－5mx 3+25mx 2－10mx 各项的公因式是A.5mx 2B.－5mx 3C. mxD.－5mx 3. 20082009)8()8(-+-能被下列数整除的是（）A ．3B ．5C ．7D ．94．把下列各式因式分解：（1）20a －15ab ；（2）m m m 216423-+-（3）10(a －b )2－5(b －a )3 （4）2m (m －7)－(7－m )(m －3)5.已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值.你对本节课还有哪些问题和要求：。

单项式乘多项式的再认识-因式分解

找出下列多项式各项的公因式并填写下表
多项式公因式
4x+4y -8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
4 -4a 4a2b
给就上面的填表过程，你能归纳出找一个多项式的公因式的方法吗？
总结
找一个多项式的公因式的方法一般分三个步骤：一看系数：当多项式的各项系数多是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。二看字母：公因式的字母应取多项式中各项都含有的相同字母三看指数：相同字母的指数取次数最低的。
你能把多项式ab+ac+ad写成积的形式吗？请说明你的理由根据乘法分配律 ab+ac+ad=a（b+c+d）
换一种看法，就是把单项式乘多项式的法则 a(b+c+d)=ab+ac+ad 反过来，就得到 ab+ac+ad=a（b+c+d）
观察多项式ab+ac+ad的每一项，
你有什么发现吗？
a是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式。例如a就是多项式ab+ac+ad各项的公因式
=-52.5
小
（2）如何找公因式？
结
（1）公因式与分解因式的概念；
（3）因式分解与整式乘法的区别和联系；（4）如何确定提出公因式后的另一个因式；（5）用提取公因式分解因式的一般步骤。
再见
9abc-6a2b2+12ab2c
填空并说说你的方法：（1）a2b+ab2=ab（ a+b ）（2）3x2-6x3=3x（ X-2x2 ）（3）9abc-6a2b2+12abc2=3ab(3c-2ab+4c ) 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。

初中数学因式分解(一)

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取．原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1；（3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4．【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9；（4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=；（6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3．【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式；（2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4；（4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+；（5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式．因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3）（6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式；（2）()a a a 22-34+2-5=原式；（3）()()a x x 22=+4-1原式；（4）原式()()p p q =2-1-2-1；（5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二提取公因式法模块一因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1；（5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1；（6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+；（3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三公式法。

初中数学教材目录(苏教版)

七年级上第一章我们与数学同行1.1生活数学1.2活动思考第二章有理数2.1 比0小的数2.2 数轴2.3 绝对值与相反数2。

4 有理数的加法与减法2.5 有理数的乘法与除法2.6 有理数的乘方2.7 有理数的混合运算第三章第三章用字母表示数3.1 字母表示数3。

2 代数式3。

3 代数式的值3.4 合并同类项3。

5 去括号第四章一元一次方程4。

1 从问题到方程4。

2 解一元一次方程4.3 用方程解决问题第五章走进图形世界5。

1 丰富的图形世界5.2 图形的变化5。

3 展开与折叠5。

4 从三个方向看第六章平面图形的认识(一）6。

1 线段射线直线6.2 角6.3 余角补角对顶角6。

4 平行6。

5 垂直七年级下第七章平面图形的认识（二）7。

1 探索直线平行的条件7.2 探索平行线的性质7。

3 图形的平移7。

4 认识三角形7。

5 三角形的内角和第八章幂的运算8.1 同底数幂的乘法8.2 幂的乘方与积的乘方8。

3 同底数幂的除法第九章从面积到乘法公式9.1 单项式乘单项式9。

2 单项式乘多项式9。

3 多项式乘多项式9。

4 乘法公式9。

5 单项式乘多项式法则的再认识-----—因式分解(一)9。

6 乘法公式的再认识——--—-因式分解(二）第十章二元一次方程10。

1 二元一次方程10。

2 二元一次方程组10.3 解二元一次方程组10。

4 用方程组解决问题第十一章图形的全等11.1 全等图形11。

2 全等三角形11.3 探索三角形全等的条件第十二章数据在我们身边12。

1 普查与抽样调查12.2 统计图的选用12。

3 频数分布表和频数分布图第十三章感受概率13。

1 确定与不确定13。

2 可能性八年级上第一章轴对称图形1。

1 轴对称与轴对称图形1.2 轴对称的性质1.3 设计轴对称图案1。

4 线段、角的轴对称性1。

5 等腰三角形的轴对称性1.6 等腰梯形的轴对称性第二章勾股定理与平方根2。

1 勾股定理2。

2 神秘的数组2.3 平方根2。

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9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）
徐州市新沂四中乔方儒
一、教学目标
1、理解因式分解的概念。

2、掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法。

3、培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。

4、培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。

5、培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯。

6、体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点。

二、教学重点和难点
学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式。

学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题。

三、教具、学具
硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示。

四、教学过程
（一）设置情境
情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？
说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围。

（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）
思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？
（2）你是怎样想到这种简拼方法的?请解释你的做法。

情境2：求999＋9992的值
说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高。

情境3：观察分析
把单项式乘多项式的乘法法则
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积。

思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
（二）认识公因式
1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）。

2、观察分析
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。

分析并猜想
确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑。

（1）如何确定公因式的数字系数？
（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？
说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误。

练习：写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2
（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab
概念 2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization factoring）。

说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握。

这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解。

练习（课本）P88练一练第1题
1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；
（2）a2－1=（a＋1）（a－1）
（3）（a＋1）（a－1）=a2－1
2、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？
说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区。

分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形。

（三）例题讨论
例1：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结。

（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点。

设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性。

例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因。

（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）
（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2
解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项。

（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式。

（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法。

说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰。

本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中。

例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）
解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）
说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可。

练习：1、课本P88 练一练2
2、课本P88 练一练3
3、课本P88 练一练4
4、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？
a
五、小结
通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？
（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试。

（4）你还有什么新的认识与体会？
六、作业
必做 1、课本P89页，习题9.5第1题
2、课本P89页，习题9.5第2题
3、课本P89页，习题9.5第3题
选做 4、已知a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值。

5、已知m、n为自然数，且m（m－n）－n（n－m）=7，
求m、n的值。