环形面积
圆的面积与环形
第3讲圆和环形的面积圆的面积＝半径×半径×圆周率（S＝πr2）圆环的面积＝外圆面积－小圆面积S＝π（R2 －r2）一、圆的面积长方形的面积＝长×宽平行四边形的面积＝底×高三角形的面积＝底×高÷2 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2小结：圆所占面积的大小叫做圆的面积。
2、转化提示：圆与以前我们学过的图形不太一样，分割的方法也不太一样。
［1］转化成平行四边形的情况（我们是沿着半径分割的）（1）将圆平均分成8份（2）将圆平均分成16份小结：把圆等分的份数越多，圆周曲线就越接近直线，闭上眼睛想一想，如果继续分割下去，把圆平均分成无数等份，展开后，圆周曲线会怎样？（成为线段）找关系：这个平行四边形的底相当于圆的周长的一半，即c2，平行四边形的高相当于圆的半径，圆的面积＝2×π×r÷2×r ＝πr2［2］拼成长方形这个长方形的长相当于圆的周长的一半，即c2，宽相当于圆的半径，圆的面积＝2×π×r÷2×r ＝πr2（三）利用公式解决问题。
1、知道半径、直径、周长的情况下，如何计算。
圆形花坛的半径是10米，它的面积是多少平方米？圆形花坛的直径是20米，它的面积是多少平方米？圆形花坛的周长是62.8米，它的面积是多少平方米？2、变化的题目：周长：面积：3、在周长都是6.28m的情况下，正方形、长方形和圆面积的比较。
4、圆与正方形的关系（1）圆的半径等于正方形的边长结论：圆的面积是正方形面积的π倍。
练习：知道正方形的面积是5平方米，圆的面积是平方米。
（2）圆的直径等于正方形的边长圆的面积是：πr2 正方形的面积是：2r ×2r＝4r2结论：圆的面积是正方形面积的π/4倍。
圆的面积与正方形面积的比是：157：200二、圆环的面积环形面积＝外圆面积－内圆面积S＝πR2－πr2 ＝π（R2－r2）2、应用，解决问题。
环形面积练习题及答案
环形面积练习题及答案环形面积练习题及答案在数学中，我们经常会遇到各种各样的几何题目，其中一个常见的题型就是关于环形面积的计算。
环形面积的计算是一个涉及到圆的知识的问题，而圆作为几何学中的基本图形，具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍一些环形面积的练习题，并提供相应的答案，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
题目一：一个环形的内半径为5cm，外半径为8cm，求其面积。
解答一：环形的面积可以通过内圆的面积和外圆的面积之差来计算。
内圆的面积可以通过公式πr^2来计算，其中r为内圆的半径。
外圆的面积同样可以通过公式πR^2来计算，其中R为外圆的半径。
所以，环形的面积可以表示为πR^2 -πr^2。
将题目中给定的内半径和外半径代入公式，即可得到答案。
解答一的答案为：π(8^2 - 5^2) = π(64 - 25) = 39π cm^2题目二：一个环形的面积为100π cm^2，内半径为r，外半径为R，求r和R的关系。
解答二：根据题目中给定的面积公式，我们可以得到一个等式，即πR^2 - πr^2 = 100π。
我们可以将等式两边都除以π，得到R^2 - r^2 = 100。
这是一个关于r和R的二次方程，我们可以将其因式分解为(R + r)(R - r) = 100。
由于R和r都是正数，所以R + r > R - r。
又因为100是一个正数，所以(R + r)和(R - r)必定同为正数或者同为负数。
根据这一点，我们可以列举出R + r和R - r的可能取值，然后求解对应的r和R的关系。
解答二的答案为：当R + r = 100，R - r = 1时，解得r = 49，R = 51；当R + r = 50，R - r = 2时，解得r = 24，R = 26；当R + r = 25，R - r = 4时，解得r = 10.5，R = 14.5。
题目三：一个环形的面积为200π cm^2，内半径为r，外半径为R，求r和R的关系。
数学教案环形的面积
数学教案——环形的面积教学目标：1. 理解环形的面积概念，掌握环形面积的计算公式。
2. 能够运用环形面积公式解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：1. 环形面积的概念。
2. 环形面积的计算公式。
教学难点：1. 理解并应用环形面积公式。
2. 解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆形面积的概念和计算方法。
2. 提问：如果我们有一个圆，再在这个圆内部画一个较小的圆，这两个圆之间的部分是什么形状？它的面积如何计算？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍环形的面积概念：环形是两个不相交的圆，它们之间的部分称为环形。
2. 讲解环形面积的计算公式：环形面积= 外圆面积内圆面积。
3. 举例讲解如何应用公式计算环形面积。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固环形面积的计算方法。
2. 引导学生思考如何将环形面积的应用扩展到实际生活中。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调环形面积的概念和计算公式。
2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑问。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后练习题，巩固环形面积的计算方法。
2. 鼓励学生尝试解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、课堂小结和作业布置等环节，引导学生掌握环形面积的概念和计算方法。
在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
通过实际问题的解决，培养学生的空间想象力和数学思维能力。
六、案例分析（10分钟）1. 展示一个实际案例，如环形操场、环形道路等。
2. 引导学生分析案例中环形面积的应用，如计算环形操场的面积、计算环形道路的总面积等。
3. 让学生分组讨论，提出解题思路和计算方法。
七、拓展练习（10分钟）1. 给出一些与环形面积相关的实际问题，让学生独立解决。
2. 引导学生思考如何将环形面积的应用拓展到其他领域，如科学、工程、艺术等。
圆环的面积
=3.14×12
=37.68(cm2)
对比练习
6×6－3.14×(6÷2)2 =36－3.14×9 =36－28.26 =7.84
板书设计
圆环的面积
圆环面积=外圆面积—内圆面积 S=πR2—πr2 或 S=π（R2—r2）
教学反思 : 在今后的教学中能逐步改进，日趋完善，使自己不断走向成熟。 圆环面积是在
Nhomakorabea圆环面积=外圆面积—内圆面积
做一做：
（1）R=4cm r=2cm 3.14×(42－22)
（2）R=6cm r=3cm 3.14×(62－32) =3.14×27 =84.78(cm2)
(3)R=8cm r=4cm 3.14×(82－42) =3.14×48 =150.72(cm2)
(4)R=10cm r=8cm 3.14×(102－82) =3.14×36 =113.04(cm2)
圆的面积计算基础上进行教学的，圆的面积计算学生接受并不太困难，但圆环 却要把握住外圆和内圆这个形成圆环的本质问题。 弗赖登塔尔强调，学生在知识的学习过程中，应有亲身体验，获得“做出来” 的数学，而不是给以“现成的”数学。因此，我在认识圆环的设计中安排了经 历剪圆环的动手操作过程。 剪切的设计目的是使学生通过剪环形的过程知道环 形是怎样得到的，从而为下面求环形的面积作铺垫。在这个过程中学生们能自 主合作，探究新知，培养了动手操作能力及合作意识。由于学生体验了剪环形 的整个过程，所以在我提出怎样求环形的面积时，学生能很快说出“大圆的面 积—小圆的面积=环形的面积”。这个过程使我感到在学习关于几何图形的知 识，要让学生看一看，摸一摸，做一做。在实际操作中学到的知识比我们直接 传授给他们记得要更清楚、牢固。 环形的特征：必须是同心圆，其次，两个圆之间的距离处处相等。在此提出 了一个概念“环宽”，让学生在环形图中认识了“环宽”。在此我有效的利用 课件进行对比演示加深学生对环形特征的理解。非常的形象和直观，吸引了学 生的注意力，激发了学生学习的兴趣。 虽然，在这个环节耗费了比以往更多的教学时间，但作业反馈很好。没有特 别的错误问题出现。看来“做数学”确实能够增进学生对知识的理解和掌握。 例题的处理由于学生有了前面的操作感知，所以例题我采用自学的形式进行， 让学生尝试计算，分析验证，比较计算方法，归纳并优化计算公式。 练习环节，是应用公式解决问题的环节。为了让学生正确应用大半径、小半 径、 “环宽”，练习时除了设计基础的练习与判断题还设计了4道对比练习题， 使学生在练习中学会处理大半径、小半径、“环宽”的关系。
环形面积
●
3m 1m
喷水池和石子路的占地面积： 3.14×（1+3）2=3.14×16=50.24（m2） 喷水池的占地面积：
3.14×32=3.14×9=28.26（ m2 ）
石子路占地面积：
50.24-28.26=21.98（ m2 ）
答：石子路的占地面积是21.98平方米。
知识点归纳：
环形的面积=外圆的面积-内圆的面积
求图中涂色部分的面积（单位：cm）
课堂小结
1、环形的特点 2、环形面积的计算 3、组合图形面积的计算
（同心圆） （2）环宽相等。
判断：
（1）在一个大圆之内减去一个小圆就是圆环。（ ） ×
·
图1
·
图2
·
图3
（ √）
（2）一个圆环有无数条对称轴。
请找出下面圆环的内圆半径（r）或外圆半径（R）：
8厘米
3厘米
R=（ 4 ）厘米
R=（ 4 ）厘米
6厘米
8厘米
r=（ 2 ）厘米
r=（ 2 ）厘米
例1.某公园内有一座圆形喷水池，它的半径是3米。 现在要在喷水池周围铺上1米宽的石子路。石子路 的占地面积是多少平方米？
涵洞横截面的面积：
6.28+3.84=10.12（平方米）
答：这个涵洞横截面的面积是10.12平方米。
☞
思维飞跃
1、幸福小区要修建一个圆形花坛，周长 是25.12米，在花坛周围又修了一条1米 宽的环形小路。小路的面积是多少？
2、一个环形铁片，外半径是3米， 内半径是2米， 它的面积是多 少平方米？ 3、一个环形Байду номын сангаас片，外直径是6米， 内直径是4米， 它的面积是多 少平方米？ 4、一个环形铁片，外直径是6米， 环宽是1米， 它的面积是多少 平方米？
圆环的面积
在大圆中间挖去一个小圆，剩下的部分就形成了一个圆 环，组成圆环的是两个同心圆。
学习目标：
理解圆环的意义，掌握圆环的面积 计算方法，并能正确、熟练地计算圆环 的面积。
自学指导： 认真看课本第68页的例2，看图、看文字并 填空，重点看下面的两种计算方法。思考： 1、怎样利用内圆和外圆的面积求出环形的面
3、一个圆环，外圆直径8厘米，内圆半径3厘米，求圆环 面积。 4、环形的外圆周长为37.68分米，内圆周长为25.12分米， 求环形的面积。
1、 2、 3、 4、
标准答案 3.14×（10² －8² ）=113.04（cm² ） 50÷2=25（m） 10÷2=5（m） 3.14×（25² －5² ）=1884（m² ） 8÷2=4（cm） 3.14×（4² －3² ）=21.98（cm² ） 37.68÷3.14÷2=6（dm） 25.12÷3.14÷2=4（dm） 3.14×（6² －4² ）=62.8（dm² ）
1、右图中的大圆半径等于小圆的直径， 请求出阴影部分的面积。
2、请计算右图的面积。
3、大圆半径-（ 小圆半径+（
）=小圆半径 ）=大圆半径
（4分钟后，比谁能正确回答思考题并做对检测题！）
圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
=πR²-πr² =π（R² -r² ）
检测题
1、一个环形，外圆半径10厘米，内圆半径8厘米，求环 形面积。 2、一个圆形环岛的直径是50m， 中间是一个直径为10m的圆形 花坛，其他地方是草坪。草坪 的占地面积是多少？
积？
2、书上的两种方法有何联系，哪一种方法简 便？
（4分钟后，比谁能正确回答思考题并做对检测题！）
圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
数学教案环形的面积
数学教案——环形的面积教学目标：1. 让学生理解环形的概念，知道环形是由两个同心圆组成的图形。
2. 让学生掌握环形面积的计算方法，即用大圆面积减去小圆面积。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
教学重点：1. 环形面积的计算方法。
2. 运用环形面积解决实际问题。
教学难点：1. 理解环形面积的计算方法。
2. 将环形面积应用于实际问题。
教学准备：1. 课件或黑板。
2. 圆规、直尺、彩色粉笔。
3. 环形图形卡片。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的面积计算方法。
2. 展示环形图形，引导学生观察并思考环形的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解环形的概念，解释同心圆的特点。
2. 引导学生掌握环形面积的计算方法：用大圆面积减去小圆面积。
3. 举例说明，让学生理解环形面积的计算过程。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固环形面积的计算方法。
2. 教师挑选个别学生的作业进行点评，纠正错误，解答疑问。
四、应用拓展（10分钟）1. 出示实际问题，让学生运用环形面积计算方法解决问题。
2. 学生分组讨论，分享解题过程和答案。
3. 教师点评解答过程，强调关键步骤。
五、总结反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结环形面积的计算方法和应用。
2. 教师强调环形面积在实际生活中的重要性。
教学评价：1. 课后作业：布置有关环形面积的练习题，检验学生掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和动手操作能力。
3. 实际应用：评估学生在解决问题时运用环形面积的能力。
数学教案——环形的面积教学目标：1. 让学生理解环形的概念，知道环形是由两个同心圆组成的图形。
2. 让学生掌握环形面积的计算方法，即用大圆面积减去小圆面积。
3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
教学重点：1. 环形面积的计算方法。
2. 运用环形面积解决实际问题。
教学难点：1. 理解环形面积的计算方法。
圆形的周长和面积公式
圆的周长和面积公式1、（1）在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的接近长方形。
长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
（2）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长2、圆面积的计算方法：因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积=圆周长的一半×圆的半径。
即S圆=C÷2×r=πr×r=πr2圆的面积公式：S圆=πr2→r2=S圆÷π3、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
（R=r+环的宽度）S环=πR2-πr2或环形的面积公式：S环=π（R2-r2）（建议用这个公式）。
4、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
5、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
6、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即4 :π。
7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
8、常用各π值结果：π= 3.14；2π= 6.28；5π=15.79、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r2推导过程：S=S正-S圆=d2-πr2=2r×2r-πr2=4r2-πr2=r2×（4-π）=0.86r210、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r2推导过程：S=S圆-S正=πr2-2r2=r2×（π-2）=1.14r2（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）11、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
12、S扇=S圆×n/360°；S扇环=S环×n/360°13、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。
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解东一小 杨平生
观课点：
本节课学习，使学生认识环形， 理解、掌握环形面积的计算方法,并 能解决简单实际问题。
一、求下面圆的周长
r=3cm r=5m d=8dm d=7cm
二、求下面圆的面积
r=5cm
d=6dm
c=12.56m
从大圆内取出一个小的同心圆,剩下的图形叫做 环形.
o
两个圆的圆心在同一个点上。 （同心圆）
（2）在一个半径是4米的圆形花园 四周修一条宽1米的小路。小路的 面积是多少平方米？
（3）在一个直径是6米的圆形花园 四周修一条宽1米的小路。小路的面 积是多少平方米？
1.电动火车玩具有一圆 形跑道，这个跑道外圆 半径是40CM，内圆半 径是30CM，这个玩具 跑道的面积是多少平方 厘米？
2.一个圆环的内圆半 径是5厘米，环宽2厘 米，这个圆环面积是 多少平方厘米？
两个圆间的距离处处相等。
o
想一想，怎样求环形的面 积？要求环形的面积，需 要知道那些条件？
例2
这是一个环形光盘，内圆半径 是2cm，外圆半径是6cm。它 的面积是多少？ S环＝ S外－ S内
6cm
试一试:求环形面积
S外= πR2
=3.14×62
＝3.14×36
6cm 4cm
＝113.04（㎝2） S内= πr2 =3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（ ㎝2 ） S环＝S外-S内 =113.04－50.24
有一个运动场两头是半圆,中间是长方形.
求运动场的周长和面积. 如果加一道5米宽的跑道,跑道的面积是多少 平方米? 5米
50米 100米
5米
4.在一个周长是 31.4米的圆 形花坛边修一条宽1米的环形 小路，求小路的面积
3.求下图的面积和周 长（单位：ｃｍ）
r小=2cm
.r
大=4cm
求下面各环形的Βιβλιοθήκη 积。（单位：分米）14
1
一个环形，外圆周长是25.12厘米,内圆半 径是3厘米,求这个圆环的面积. 在一个圆形花坛周围修一条环形小路,花坛 直径10米,小路宽2米,这条小路占地多少平 方米? 一个环形铁片,外圆直径4分米,环宽1分米, 这个环形铁片的面积是多少平方分米?
S环形= π(R2－ r2) =3.14×(62_ 42) = 3.14×(36-16)
= 3.14×20 =62.8 （ ㎝2 ）
＝62.8（ ㎝2 ）
判断
圆环。
（1）在圆内剪去一个小圆就成为一个
（
×
）
（2）一个环形，外圆半径是4厘米，内
圆直径是2厘米，计算这个环形的
面积列式为：
3.14×42－3.14×22 （
×
）
5cm 5cm
4cm
求下面各环形的面积。（单位：分米）
6 3
4
6
1、一个圆环内直径是10厘米，外直径 是12厘米。这个圆环的面积是多少？
2、一个圆环，内圆半径是3厘米，环 宽2厘米。这个圆环的面积是多少？
3、一个圆环，外圆半径是6厘米，环 宽1厘米。这个圆环的面积是多少？
（1）一个直径20厘米的圆纸片， 在它的正中心剪掉一个半径6厘 米的圆，剩下部分面积是多少平 方厘米？