第三章理想光学系统
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应用光学第3章 理想光学系统
nytgU nytgU (10)
此式即为理想光学系统 的拉赫不变量公式。
3.5 理想光学系统的放大率
一、垂轴放大率
1.定义：共轭面像高与物高之比
y
y
2.表达式：
根据牛顿公式,得以焦点为原点的放大率公式
y f x (1)
y x f
根据高斯公式,得以主点为原点的放大率公式
fl (2)
f l
根据两焦距的关系，可得 nl (3)
nl
结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放 大率公式一致。
④当系统处于同一种介质中时
l (4)
l
结论：垂轴放大率随物体位置不同而不同，在不同 共轭面上，垂轴放大率不同；在同一共轭面上， 放大率是一个常数。
二、轴向放大率
1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小 距离之比。 dl dx dl dx
三、由已知共轭面和共轭点确定一切物点的像点 a.已知两对共轭面的位置和垂轴放大率
b.已知一对共轭面的位置和垂轴放大率以及两对共轭 点的位置
3.2理想光学系统的基点和基面
1.物像方焦点、焦平面 2.物像方主点、主平面， 3.物象方焦距 4.单个折射球面的主平面 5.单个折射球面的焦距 6.单个球面反射镜的主平面和焦距
像距：以像方焦点F为原点,到像点的距离(F'A')为像 距,用x’表示。
牛顿公式：
用f和f ' 表示理想光学系统物、象方焦距，用
x和x'表示物体和像位置。
三角形ABF和三角形MHF相似，得：
y f
yx
三角形A’B’F’和三角形H’N’F’相似，得：
y x
y f xx ff
————此式即为牛顿公式。
第三章 理想光学模型
dl'
dl
fl'2 f'l2
ff'2n nl'l'22
当物像方介质折射率相同时
l '2 l2
2
当 0 时，表示物体移动方向和像移动方向相
同。
三.角放大率g 角放大率是轴上一对共 轭点上，轴上物点 A 发出 的一对共轭光线孔径角U ' 和 U 的正切比。 高斯形式：
tgU ' u '
tgU u
物方焦平面——过物方焦点 F 的垂轴平面； 像方焦平面——过像方焦点F '的垂轴平面。
主平面：有相同高度 ，在光轴的同一侧，并且 垂轴 放大率+1为的共轭平面。
物方主点H——物方主面和光轴的交点；
像方主点H '——像方主面和光轴的交点。
物、像方焦点F、F ′ ，物、像方主点H、H ′称 为理想光学系统的基点，物、像方焦平面和物、 像方主平面称为它们的基面。
F
J J'
F'
F'
J J'
F
H H'
H H'
f '> 0
f '< 0
特 殊 光 线 的 共 轭 出 射 光 线
辅助线的作法
下面列举了对任意入射光线 a 借助于利用基点、基面性 质的辅助光线 b ，作出光线 a 的共轭出射光线可能的四种方 法。
f '> 0
折射后的出射光线平行于光轴； （3）过物方节点J的入射光线，经过光学
系统后的出射光线必通过像方节点J'。
• 有时为了作图方便，可根据焦平面性质 作图：
• （1）入射光线可认为是由轴外无限远物 点发出的平行光束（斜光束）中的一条。
《应用光学》第3章 理想像和理想光学系统
n' n n'n
l' l
上式两边同乘以l l'，得
r n'l nl' n'n ll' r
13
上式左边为0，对主点来说，将l'＝n'l / n代入右边得
n'n n' l 2 0 rn
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面
的两个主点H、H'与球面顶点重合。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远
•n1'= n2= 1.5163; •求: lF, lF', lH, lH', f, f'
采用计算机编程（MATLAB 程序）
22
• 已知条件
• r1=10;r2=-50;d1=5;h1=10;n1=1; • 同理可得：
• n1'=1.5163;n2=n1';
• r2=-10;r2=50;d1=5;h1=10;n1=1;
• 焦距是以相应的主点为原点来确定正负的，如果 由主点到相应焦点的方向与规定光线的正方向相同 为正，反之为负。在图3-1中，f<0 , f '>0. 以后将会 知道 f '>0为正系统，f '<0 为负系统。在图3-1中物 像方平行于光轴的光线高度均为 h，其共轭光线与 光轴的夹角为u和u'，则有：
学系统的物方焦点。显然，根据光路可逆原理，
物方焦点 F 经系统以后必成像于像方无限远的轴 上点。或者说，物方焦点与像方无限远的轴上点 是一对共轭点。
7
过物方焦点 F 的垂轴平面称为物方焦平面。显然，
第三章理想光学系统
引入理想光学系统的意义： 1、提供了方便的研究方法和工具； 2、指明了实际系统的设计方向和目标； 3、提供了衡量实际系统成像质量的标准。
3
二、理想光学系统的基本性质（共线理论）
理想光学系统 —— 物经这种光学系统所成的像是完善的。
基
本 性 质
物空间 点 直线 平面
像空间 点 直线 平面
R M S
光 学 系 统
重要性质：射向物方主面上某点的 光线，必从像方主面等高点出射。 H H′
f’
节点J、J’，节平面（略）
8
三、焦距
物方焦距 f ： 定 物方主点H到物方焦点F的距离；
F
-f
H
H’
f’
F’
像方焦距 f′： 义 像方主点H′到像方焦点F′的距离。
特别注意：1、系统有两个焦距： f 、f′； 2、注意两个焦距的起点和终点； 3、折射系统两个焦距的符号相反； 4、两个焦距的绝对值不一定相等。 理想系统的一对焦点、一对主点确定后，焦距也就随之确定， 并且该理想系统的模型也完全确定了，进一步可方便地建立理 想光学系统理论的两个重要基本方法——图解法和解析法。
H H′ F′
F
A′
H
F
H′
F′
A′
12
练习：作图求像
A
H′ F H F′
A
H F H′ F′
A′
A′
F
A′
A
A A′
F′ H H′ F
H
H′
F′
A
F H
H
H′ F′
A′
A′ H′ F′
A
F
A
F
H
H′ F′
A′
13
工程光学第三章知识点
理想光学系统第三章 理想光学系统第一节 理想光学系统的共线理论● 理想光学系统：在任意大的空间内、以任意宽的光束都能成完善像的光学系统 ● 理想光学系统理论又称“高斯光学”，理想光学系统所成的完善像又称“高斯像” ●描述理想光学系统必须满足的物像关系的理论称为“共线理论”共线理论（1）物空间的每一点对应像空间的相应一点，且只对应一点（点对应点）（2）物空间的每一条直线对应像空间的相应直线，且只对应一条直线（直线对应直线） （3）物空间的每一平面对应像空间的相应平面，且只对应一个平面（平面对应平面）● 这种对应关系称为“共轭”，相应的点构成一对共轭点，直线构成一对共轭直线，平面构成一对共轭平面● 推论：物空间某点位于一条直线上，则像空间中该点的共轭点必定也位于这条直线的共轭直线上（点在线上对应点在线上）● 共轴球面系统用结构参数（r 、d 、n ）描述系统 ● 理想光学系统用“基点”和“基面”来描述系统 ● 基点基面就是理想光学系统的特征参数第二节 无限远轴上物点与其对应像点F ’---像方焦点● 设有一理想光学系统● 有一条平行于光轴的光线A1E1入射到这个系统● 在像空间必有一条直线与之共轭，即PkF’，交光轴于F’点●在物空间中平行于光轴入射的光线都将汇聚在F’点上，F’点称为“像方焦点”共轴球面系统焦点、焦平面、主平面示意图焦点、焦平面、主平面示意图● 过F’点作垂直于光轴的平面，称为“像方焦平面” ● 像方焦平面与物方无限远处垂直于光轴的物平面共轭● 物方的任何平行光线若不与光轴平行，表示无限远处的轴外点，将汇聚在像方焦平面上的一点2，无限远的轴上像点和它所对应的物方共轭点F ——物方焦点● 像方平行于光轴的光线，表示像方光轴上的无限远点● 在物方光轴上必定有一点F 与之共轭，F 点称为物方焦点，过F 点的垂轴平面称为物方焦平面 ● 物方焦点F 与像方焦点F’不是一对共轭点3，垂轴放大率β=+1的一对共轭面——主平面● 在光学系统中存在着垂轴放大率β=+1的一对共轭平面，这一对共轭面称为“主平面”即物方主平面和像方主平面● 共轭垂轴平面QH 和Q’H’满足β=+1（因为高度h 相等） ● QH 为物方主平面，Q’ H’为像方主平面 ● H 为物方主点，H’为像方主点 ● 物方主平面QH 与像方主平面Q’H’共轭 ● 物方主点H 与像方主点H’共轭● 对于理想光学系统，不论其实际结构如何，只要知道了主点和焦点的位置，其特性就完全被决定了 4，光学系统焦距● 像方焦距：像方主点H ’到像方焦点F ’的距离f ’ ● 物方焦距：物方主点H 到物方焦点F 的距离f●焦距均以各自的主点为原点，与光线传播方向一致为正，相反为负 光学系统的焦距计算式tan tan h f U h f U '='=焦距包含了光学系统主点和焦点的相对位置，是描述光学系统性质的重要参数 像方焦距f ’>0的光组称为正光组，f ’<0的光组称为负光组无限远轴外物点的共轭像点焦点、焦平面、主平面示意图当光学系统的物方与像方处于同一介质中时，物方焦距与像方焦距数值相等，符号相反f = -f ’单折射球面的主平面和焦点共轴球面系统的成像性质可以用一对主平面和两焦点表示，为此目的，先研究单个折射球面的主平面和焦点位置。
第三章 理想光学系统
f、f’之间的关系： 但若系统所在的物像介质空间不一致，例如：一方位 于水中，一方位于空气中，则有n≠n’， 故有：f’≠−f 。
此外，焦距不仅与介质有关也与反射面的个数有关。 若设系统中有K个反射面，则：
f' K 1 n ' 1 f n
当n n '时，有：f ' (1)
k 1
符号法则 依然适用！
3.3.2 解析法求像（重点）
如图所示：我们首先利用作 图求出像的大致形状和位置。
2）牛顿形式的放大倍率公式：
3.3.2 解析法求像（重点）
2、高斯公式
1）高斯形式的物像位置关系式：
其物像位置的确定是以主点为原点来加以描述的。 式中，l为物距；l '为像距；
3.3.2 解析法求像（重点）
若光学系统所在物像空间位于同一介质中（n=n’)，则主点与节 点重合（即：H、H’与J、J’重合）。
3.3 理想光学系统的物像关系
3.3.1 图解法求像（重点） 3.3.2 解析法求像（重点） 3.3.3 多个光组组成的理想光学系统的成像 3.3.4 光学系统的光焦度、折射度和光束的 汇聚度
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主点 与主平面、焦距、节点
问题：
F与F’是不是一对共 轭点？为什么？
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主 点与主平面、焦距、节点
三、 主点及主面 1、作图说明
例如有一光学系统，这是光轴，现有一 条平行于光轴的光射入，高度为h，根 据共线成像理论，它一定有一个唯一的 共轭光线，该共轭光线与光轴相交于一 点，就是F '（像方焦点）。现将这一对 共轭光线延长，交于一点Q′ ，过Q′作垂 直于光轴的平面，交光轴上于一点H '， 则称该点为像方主点，该平面为像方主 面。
第三章理想光学模型(5)
n' n n' n l' l f ' f n ' 和 n 称为光束的会聚度，以符号 和 表示。 ' l ln' n 和 称为光学系统的光焦度，以符号Φ表示。
f
f
则上面公式可写为
n' n f' f
'
上式表示一对共轭点的光束会聚度之差等于光学 系统的光焦度。
U1
U2
U1
U2
a)实像
b)虚物
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U2
U1
U2
U1
a)实物
b)虚像
由以上讨论可以看出，对于在主面相同高度
两光束的会聚(或发散)程度，从两光束孔径
角 U 或 U 的大小来判断是直观和方便的。
ntgU ntgU h
一、光组在空气中
令光组在空气中则 n n 1 ，令此时光组在 空气中的光焦度为 。
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
此时，出射光线偏向光轴，光束经过光学系 统以后是会聚的。
若 0，则tgU tgU 0
有U U
U U 0
U
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
0 的光学系统称为正光焦度系统或会聚系统，
对光束起会聚作用。射入系统的共轭出射光线偏向光轴； 的光学系统称为负光焦度系统或发散系统， 0 对光束起发散作用。射入系统的共轭出射光线偏离光轴； 的光学系统称为无光焦度系统，无光焦度 系统对光束不起会聚作用或发散作用。射入系统的共轭 0 出射光线与其入射光线平行。 当入射光线在系统上投射点的高度 h 一定时，光 焦度 的大小完全表征了通过系统的后光线的偏折程 度。 的绝对值越大，则系统使出射光线相对于入射 光线偏折得越厉害。
第三章 理想光学系统
f = h tgU
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
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y f' x y ' x' f
即：
x’
-y’ B’
xx' ff '
牛顿公式
y' x' f 进而： y f' x
x 物距，由F到A的距离； x’ 像距，由F’到A’的距离。
14
方法二：以 H，H’为原点
B y A
F -x -l -f
H
H’
f’ l’
F’ x’
H H′ F′
F
A′
H
F
H′
F′
A′
12
练习：作图求像
A
H′ F H F′
A
H F H′ F′
A′
A′
F
A′
A
A A′
F′ H H′ F
H
H′
F′
A
F H
H
H′ F′
A′
A′ H′ F′
A
F
A
F
H
H′ F′
A′
13
二、解析法求像
B 方法一：以 F，F’为原点 y A 由三角形相似，有：
F -x -l -f H H’ f’ l’ F’ A’
xl f 将 代入牛顿公式： xx' ff ' x ' l ' f '
得：
A’ -y’ B’
f' f 1 l' l
y' fl ' y f 'l
高斯公式
★
此时
l 物距，由H到A的距离； l’ 像距，由H′到A′的距离。
1 1 1 l' l f'
当 n’= n 时，f′=- f ，即有：
21
三、作图求像
A
H′ F H F′ H′ F′
A
H F
A′
A′
F
A′
A
A A′
F′ H H′ F
H
H′
F′
A
F H
H
H′ F′
A′
A′ H′ F′
A
F
A
F
H
H′ F′
A′
22
重要性质：射向物方主面上某点的 光线，必从像方主面等高点出射。 H H′
f’
节点J、J’，节平面（略）
8
三、焦距
物方焦距 f ： 定 物方主点H到物方焦点F的距离；
F
-f
H
H’
f’
F’
像方焦距 f′： 义 像方主点H′到像方焦点F′的距离。
特别注意：1、系统有两个焦距： f 、f′； 2、注意两个焦距的起点和终点； 3、折射系统两个焦距的符号相反； 4、两个焦距的绝对值不一定相等。 理想系统的一对焦点、一对主点确定后，焦距也就随之确定， 并且该理想系统的模型也完全确定了，进一步可方便地建立理 想光学系统理论的两个重要基本方法——图解法和解析法。
10
第三节
理想光学系统的物像关系
一、图解法求像 1、轴外点图解求像的方法:(三条法则)
⑴、射向物方主面某点的光线，从像方主面等高点出射。 ⑵、该轴外点发出的平行光轴的物方光线，其像方光线过像方焦点； ⑶、该轴外点发出的通过物方焦点的光线，其像方光线平行出射；
A
H F H′ F′
A
H′ F H
F′
A′ A′
5
第二节 理想光学系统的基点与基面
一、焦点F、F’，焦平面 1、基本概念和性质：
T E1 Sk Ek Ok
R
∞
h
-u
S1 O1
u’
∞ A’
F 前焦点，物方焦点
F’ 后焦点，像方焦点
物方无穷远轴上点A 共轭 F’ F 共轭 像方无穷远轴上点A’
过像方F’的垂轴平面称为像方焦面或后焦平面； 过物方 F 的垂轴平面称为物方焦面或前焦平面。 注意 这里F与F’不为共轭点
引入理想光学系统的意义： 1、提供了方便的研究方法和工具； 2、指明了实际系统的设计方向和目标； 3、提供了衡量实际系统成像质量的标准。
3
二、理想光学系统的基本性质（共线理论）
理想光学系统 —— 物经这种光学系统所成的像是完善的。
基
本 性 质
物空间 点 直线 平面
像空间 点 直线 平面
R M S
光 学 系 统
1
第三章
§3-1 §3-2
§3-3
理想光学系统
理想光学系统与共线成像理论 理想光学系统的基点与基面
理想光学系统的物像关系
§3-4
§3-5 §3-6
理想光学系统的放大率
理想光学系统的组合 透镜和薄透镜
2
第一节 理想光学系统与共线成像理论
一、引入理想光学系统的意义 几何光学设计研究的根本目的：得到满足多方面要求的完善像。 能有满足多方面要求并成完善像的实用系统吗？ 近轴光学系统？ 近轴条件能令实用系统满足要求吗？
yf tgU y' f ' tgU '
理想光学系统 的拉氏公式
对近轴区，有 结合
yfu y' f ' u '
nyu n' y' u '
f' n' f n
两焦距 的关系
若 n’=n, 则 f =-f ’，如空气中折射系统； 若包含 k 个反射面，则 f' n' (1) k 1 若 n’=-n, 则 f = f ’, 如反射球面。 f n
R’
共轭
M’ S’
推论：物方同心光束
像方同心光束；
直线上的点，其像点必在共轭直线上； 物点绕光轴旋转一角度，其像点必绕光轴转过同样角度。
4
三、理想光学系统理论与实际系统的光线线理论的对立统一
实际系统 实际系统 无限多个 实际系统
近轴条件 结构组合
理想系统 理想系统 一个理想系统
优化设计
两种理论并存于实际光学系统的设计研究中 理想光学系统理论——高斯光学
' k 1 k
F3’
高斯公式：利用主点间隔 d 牛顿公式：利用光学间隔△
l2 l d1,, lk 1 l dk
' 1 ' k
x2 x 1 ,, xk 1 x k
' 1 ' k
' ' ' ' yk yk y1 y2 1 2 k 横向放大率： y1 y1 y2 yk
第二章 总结
一、主要知识线索
三角、几何
过渡公式
折射定律
概念、符号规则
单折射球面 大L公式组
近轴条件
多球面系统 的光线追迹 小l公式组
物像位置公式 垂轴放大率
n’=-n
过渡公式
多球面系统求解像 物像位置公式 反射球面 垂轴放大率 求解像
二、其它重要知识：相关基本概念、符号规则、三个放大率、 常用公式记忆、公式应用条件、拓展应用。
9
四、两焦距的关系
由 y l tg( U) l'tg U' y
即 ( x f ) tgU ( x' f ' ) tgU '
B
-U
n
F H -f -l H’
n’
f’ F’ l’
U’
A
-x
y y' 并由 x f , x' f ' y' y
代入之得
x’
A’ -y’ B’
6
2、焦点、焦平面的推论
1、所有平行于光轴的物方光线，其像方 光线均(实或虚)交会于系统的像方焦点；
2、所有通过物方焦点的光线，其像方光 线均平行于光轴； 3、所有平行并与光轴成一定夹角的物方 光线，其像方光线均(实或虚)交会于系 统的像方焦面上某点； 4、所有通过物方焦面上某点的光线，其 像方光线均平行且与光轴成一定夹角。
A′
A A′
F′ H H′ F F
A
H
H′ F′
11
2、轴上点图解求像的方法:(两种方式) 方式一：(更简单)
H 过该轴上点做一垂轴线，选垂轴线 F A 上任一轴外点，用前面方法求像点， 该像点在光轴上的垂直投影点，即为轴上点的像。
A′ H′ F′
方式二：(辅助线法) 过轴上点做任意一条物方光线，像方光线与光轴的交点为像点。 该像方光线的求法有如下两法： A ⑴、过物方焦点作一条平行于物方 光线的辅助线，像方光线过辅助像 光线与像方焦面的交点; ⑵、由物方光线与物方焦平面的交点 A 作一条平行于光轴的辅助物光线， 像方光线应平行于辅助像光线。
F′
F
F′
F
7
二、主点H、H’，主平面 根据理想系统基本性质，可作光路图如下：
Q Q’ H’ Ok
h
Байду номын сангаас-u
F
H
O1
u’
F’
-f
显然： Q、Q′为一对垂轴放大率β=+1的一对共轭点；过Q、Q′的 两垂轴平面为β=+1的一对共轭面，称为物(像)方主面； 物方(像方)主面与光轴的交点称为物方(像方)主点(H、H’)。
光焦度的正或负，表示系统对光线有会聚或发散作用；
光焦度绝对值的大小，表示系统对光线会聚(发散)能力的大小。 眼镜的度数=屈光度数100
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比较
f’=500mm, n’=1, φ=2屈光度 f’=-200mm, n’=1, φ=-5屈光度
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五、轴向放大率、角度放大率及其与横向放大率的关系 1、轴向放大率——像与物沿轴移动量之比 由 xx’=f f’得 xdx’+x’dx=0