讲高考复习不等式的综合应用
专题学习--不等式与方程的综合应用
专题学习：不等式与方程的综合应用北京十二中王明文【写在前面】不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.【知识铺垫】1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.【思想方法】方程模型与不等式模型的构建、互相转换.【例题精讲】一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4，求x的取值范围.变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2<m<4”、“y的值为正数”等从方程出发到不等式的关键词.注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y ？ 变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y >0？变式练习2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解⎩⎨⎧<>00y x ，求m 的取值范围. 变式练习3：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足条件 0<x+y <1,求m 的取值范围.变式练习4：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，且2<m <4，求x-y 的取值范围. 变式练习5：已知关于x,y的方程组：有非负整数解，求正整数m 的值.思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解.例题3：如果⎩⎨⎧==21y x 是关于y x 、的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax b x a x 的解集． 变式练习1：已知x 、y 满足()22210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围．变式练习2：若单项式133m x y --与52n m n x y +能合并成一项，求关于x 的不等式n n x m 220<-<的整数解.思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解. 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等.例题4：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1，求a •b 的值．变式练习1：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩和⎩⎨⎧<-<-ax b b a x 536732解集相同，求(a+1)(b -1)的值.变式练习2：若关于x 的不等式组有两个整数解，求b 的取值范围.相关练习3：若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-132)3(21＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值. 思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组. 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在系数位置.例题5：已知2mx+3>0的解集是x <3,求m 的值.变式练习1：已知a,b 为常数，若ax+b >0的解集是13x <,求不等式bx-a <0的解集. 变式练习2：关于x 的不等式()22a b x a b ->-的解是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集.思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一步求解两一个不等式.注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.二、构建方程与不等式模型解决实际问题例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.例题7：某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.例题8：为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？分析：先建立不定方程组：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，则有x y z x y ++=+=⎧⎨⎩12319，把x 当成已知数，可解得y x z x =-=-⎧⎨⎩19327. 再建立一元一次不等式组：由题意，x y z x y z ≥≥≥000、、，且、、均为整数，所以x x x ≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪01930270，解得312613≤≤x ， 最后，获得满足题意的整数解：于是x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）.思路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答.注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到等.【巩固练习】1、x 取什么值时，4)1(2++-=x y 的值是正数？负数？非负数？2、当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有：（1）正数解；（2）不大于2的解.3、若方程组3133x y k x y +=++=⎧⎨⎩的解为x y 、，且24<<-k x y ，则的取值范围是（） A. 012<-<x y B. 01<-<x y C. -<-<-31x y D. -<-<11x y 4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212.（1）求这个方程组的解；（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.5、已知：()121,23121-=+=x y x y ，如果1321-≤y y ，且1y 不小于2y ,求正整数x 的值． 6、已知方程组⎩⎨⎧+=---=+my x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数.（1）求m 的取值范围；（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；（3）在m 的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1.7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？8、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.（1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2） 若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？【思维拓展】1、 如果关于x 的不等式（2a －b ）x +a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．2、求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解.3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值.。
基本不等式的综合应用
基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
不等式的综合应用
标准形式
$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，其中 $a neq 0$。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断不 等式的解集情况。
配方法
将不等式左边配成完全平方形式，再利用平方根的性 质求解。
构建目标函数
根据问题的要求，构建合适的目标函数，使得目标函数的最优解对应不等式最值问题的解。
求解线性规划问题
利用线性规划方法求解转化后的线性规划问题，得到目标函数的最优解，从而得到不等式最值问 题的解。
线性规划在不等式证明中的应用
不等式证明的转化
将不等式证明问题转化为线性规划问题，通过构建合适的目标函数和约束条件，使得原不等式的证明转化为验证目标 函数的最优解是否满足特定条件。
通过绘制每个不等式的解集在坐标系中的表示区域，找出所有区域 的交集，即为不等式组的解集。
代数法
通过消元法或代入法将多元一次不等式组转化为一元一次不等式或 一元一次方程进行求解。
特殊值法
在特定情况下，可以通过代入特殊值来快速判断不等式组的解集。
实际应用举例
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理 分配资源使得多个目标同时得到 满足，可以通过建立多元一次不 等式组进行求解。
用不等号（<、>、≤、≥）连接两个数学表达式，表示它们 之间的大小关系。
不等式的表示方法
除了使用不等号，还可以使用区间表示法、数轴表示法等。
不等式基本性质
传递性
若a<b且b<c，则a<c；若a>b且b>c，则a>c。
(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。
高考数学：基本不等式在实际问题中的应用
试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。
不等式的综合应用
不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用，包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。
一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。
例如，在解决线性方程组时，我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。
设想有以下线性方程组：3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。
首先，将第一个等式左右两边都减去10得到：3x + 5y - 10 ≥ 0然后，将第二个等式左右两边都加上8得到：2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理，我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。
进一步分析这个不等式系统，我们可以求解出x和y的取值范围，从而得到方程组的解。
二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。
例如，在市场需求与供给的分析中，我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。
假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。
根据供需关系，我们可以得到以下不等式：D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析，我们可以确定市场均衡价格的范围，从而指导市场的调节和决策。
三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，在运动学问题中，不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。
考虑一个自由落体问题，物体从高度h自由落下，其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系：s = (1/2)gt^2 ≥ h其中，g表示重力加速度。
通过这个不等式关系，我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。
结论综上所述，不等式的应用范围广泛且多样化。
无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析，还是物理学中的运动描述，不等式都能够提供重要的辅助工具。
在实际问题中，我们可以运用不等式的性质和方法，解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。
通过不等式的综合应用，我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。
基本不等式的综合应用
作业布置： 课时作业（二十九）
最大值和最小值。此方法在应用中一定要注意满足 三个条件：一正---各项为正数；二定-----“和”或 “积”为定值；三相等------等号一定能取到。三条 件缺一不可。
题型二：利用基本不等式求代数式的最值
知识归纳：知分式求整式最值或知整式求分式最值 都是巧妙代换，保证式子定值，以便基本不等式应 用的成立。
复习回顾
1.基本不等式的内容是什么？
若a>0，b>0，则
ab≤ a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时取等号
2.基本不等式应用应注意什么？
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
题型一：利用基本不等式求最值
知识归纳：利用基本不等式，通过恒等变形，以及
配凑，造就“和”或“积”为定值，进而求得函数
题型三：利用均值不等式求参数的取值范围
知识归纳：利用基本不等式，构造关于某个变量的 不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围， 再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值。
题型四：利用基本不等式证明不等式
知识归纳：把数、式合理地分拆小结回顾：
不等式的综合应用ppt课件演示文稿
x 1 0 , {x ＝ B x 集合A＝ x 1
|| x－b|＜a}，若“a＝1”
是“A∩B≠∅”的充分条件， 则b的取值范围是________．
解析：由题意得：A：－1<x<1，B：b－a<x<a＋b，由 “a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件．则A：－1<x<1与B: b－1<x<1＋b交集不为空，所以－2＜b<2，检验知能使 A∩B≠∅. 题型二 函数中的不等式问题 【例2】 已知f(x)是定义域在(0，＋≦ )上的单调递增函 x 数，且满足f(6)＝1，f(x)－f(y) f ( ) (x＞0，y＞0)， y 分析：利用函数单调性，“脱去”f符号，并注意函数 定义域，把原问题转化为解不等式组．
1 f ( 解：由f(x＋3)－ ) ＜2f(6)及单调性， x
x( x 3) 6, 3 3 17 知f[x(x＋3)]－f(6)＜f(6)，得 x 0 x 6 . 2 x 3,
1 f ( 则不等式f(x＋3)＜ ) ＋2的解集是________． x
第四节 不等式的综合应用
基础达标
1. (必修5P94第4题改编)已知(ax－1)(x－1)＞0的解集是 {x|x＜1或x＞3}，则a的值为________． 解析： 由不等式解集是{x|x＜1或x＞3}，可知
1 ＝3，所 a
以a＝
2.
1 . 3
1 log a 5, z log a 21 log a 3, 2
x 2 x 3
2
1 2
3 x 1
2 }, B x log 1 (9 x ) log 1 (6 2 x) 3 3
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题型一
不等式在函数中的应用
思维提 利用函数图象的性质将不等式 示 问题转化为函数的性质问题
例1
[解] (1)∵m·n＜0，m＋n≤0，∴m、n一正一负． 不妨设m＞0，n＜0，则n≤－m＜0.取n＝－m＜0， ∵函数f(x)在(－∞，0)上为增函数， 则f(n)＝f(－m)；取n＜－m＜0，同理 f(n)＜f(－m)，∴f(n)≤f(－m)． 又函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数， ∴f(－m)＝－f(m)．∴f(n)＋f(m)≤0.
第六节 不等式的综合应用
1.掌握不等式的性质及其求解与证明方法．
最新考纲
2．运用不等式的性质、定理、不等式的求 解及不等式相结合命题，重 高考热点 点考查不等式的综合应用．
2．不等式在实际问题中的应用.
1.均值不等式在求最值中的应用 运用均值不等式求最值常见的题型有两类：
题型四 不等式在实际问题中的应用
弄清问题背景，建立合理的数学 思维提示 模拟型，运用不等式知识分析解
决问题，得出结论.
例4 某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6 时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生 活用水为每小时10吨，工业用水量W(吨)与时间t(小时，且规 定早上6时t＝0)的函数关系为W＝100.水塔的进水量分为10级， 第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就 增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打 开进水管．
[分析] 由椭圆的对称性可知，点B、C到x轴的距离相 等，即S△ABC＝2S△AOB，从而问题转化为求△AOB面积的最大 值，亦即点B到x轴距离的最大值．
[规律总结] 解析几何中常会出现某个量的范围或最值 的问题，这类问题的解法一般有两种：一是根据题目条件， 把欲求范围或最值的量表示为另一变量的函数，通过求函数 的值域或最值，从而得到这个量的范围或最值；二是设法建 立包含这个量的不等式，通过解不等式，求出这个量的范围 或最值．本例就是利用第一种方法求解的.
即Sn－2an的最大值为1.
题型三
不等式在解析几何中的应用
①将解析几何中的最值、取值范围等 思维提示 问题转化为不等式解决；
②函数的单调性，均值不等式.
例 3 已知椭圆1x62 ＋y2＝1，经过其左顶点 A 斜率为 k(k ＞0)的直线与椭圆交于点 B，直线 BO 交椭圆于 C 点，O 是 坐标原点．求△ABC 面积的最大值．
解：∵m·n＜0，m＋n≤0，∴m、n一正一负， 不妨设m＞0，n＜0，则n≤－m＜0， 取n＝－m＜0， ∵函数f(x)在(－∞，0)上为减函数， 则f(n)＝f(－m)，取n＜－m＜0， 同理f(n)＞f(－m)，∴f(n)≥f(－m) ， 又函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数， ∴f(－m)＝－f(m)，∴f(n)＋f(m)≥0.
(4)不等式在实际问题中的应用．在解有关不等式的实 际应用题时要注意：首先要过“阅读”关，即读懂题目，能 够概括出问题涉及到哪些内容；其次，过“理解”关，即准 确理解和把握各个量之间的关系，然后建立数学模型，再讨 论不等关系，最后得出问题结论．
1．不等式的应用过程中，要有数学思想的体 现，如化归转化思想、分类讨论等． 2．解应用题时应注意题意，抓住反映本质的 数学关系，从而构建数学模型． 3．用均值不等式求解某些函数最值时，一定注意使用 条件． 4．注意不等式知识与其他知识的有机结合，特别是在 灵活应用上下功夫，体会各种证明方法的优缺点及运用程序.
(1)已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值． 公式：a＋b≥2 ab，公式中条件是 a＞0，b＞0 ，当 且仅当 a＝b 时，“＝”成立． (2)已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值． 公式：ab≤(a＋2 b)2≤a2＋2 b2，上述公式中条件是 a＞0， b＞0 ，当且仅当 a＝b 时，“＝”成立．
(1)若进水量选择2级，试问：水塔中的剩余量何时开始 低于10吨？
(2)如何选择进水量，即能始终保证该厂的用水(水塔中 水不空)又不会使水溢出？
[分析] 先由题意列出进水量选择x级时水塔中水的剩 余量与时间t的函数关系，第(1)问将x＝2代入得出不等式，解 出t的范围即可；第(2)问实质上是不等式恒成立问题，分离 出参数，转化为求函数的最值问题．
2．不等式的应用 不等式的应用主要体现在如下几个方面： (1)运用不等式研究函数问题(单调性、最值等)； (2)运用不等式研究方程解的问题； (3)利用函数性质及方程理论研究不等式问题．诸如方 程的根的分布问题，解集之间的包含关系，函数的定义域及 值域、最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等 式的知识相关联．
[规律总结] 求解与抽象函数相关的不等式问题，必须 要去掉抽象的函数符号f，其关键是要抓住以下两点：一是抽 象函数的单调性，二是将不等式中的某些值化为函数在特殊 点的函数值．在判断单调性时，一般是采用单调性的定义进 行证明；在转化函数值时，一般采用特殊值法，并注意结合 函数的奇偶性.
备选例题 1 若将本例题设中的“增”改为“减”，(1) 的条件不变，请探究f(m)＋f(n)与0的关系．
题型二
不等式在数列中的应用
思维提示 把不等式作为一种工具应用于数列问题中
例 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－n2－1，其中 n∈N*.
(1)求 Sn－2an 的最大值； (2)记 bn＝a2nn，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
证明：①bn＋1＜bn＋14；②Tn＜18n(n－1)．
[解] (1)由Sn＝2n－n2－1知： a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n2－1－2n－1＋(n－1)2＋1 ＝2n－1－2n＋1.
综合得：an＝2n－1－2n＋1(n∈N*)． 设f(n)＝Sn－2an， 则f(n)＝－n2＋4n－3＝－(n－2)2＋1.
则f(n)的最大值为f(2)＝1，