二面角的教学设计
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案一、教案概述本教案是为了帮助学生理解和掌握二面角的概念和相关知识而设计的观摩课。
通过学生观摩老师的示范讲解和互动活动，旨在提高学生对二面角的认识和理解，培养其解题和推理能力。
二、教学目标1.理解二面角的定义和性质。
2.掌握计算二面角的方法和技巧。
3.运用二面角的概念解决相关问题。
4.培养学生的分析和推理能力。
三、教学重点与难点重点•二面角的概念和性质。
•计算二面角的方法和技巧。
难点•运用二面角概念解决相关问题。
四、教学方法和策略方法•示范讲解：通过演示和实例讲解二面角的定义和计算方法。
•互动活动：设计与二面角相关的问题和练习，让学生参与讨论和解题。
策略•激发兴趣：通过引入生活中的实际例子，激发学生对二面角的兴趣。
•合作学习：鼓励学生互相合作，共同解决问题，提高学习效果。
五、教学内容和步骤步骤一：导入（10分钟）1.向学生介绍二面角的概念，并给出生活中的实际例子，如角球弧度、钟表上两个指针之间的夹角等。
2.引导学生思考，了解二面角在几何图形中的应用和重要性。
步骤二：讲解（20分钟）1.通过示意图和几何图形，讲解二面角的定义和性质。
–二面角的定义：位于不同平面上的两条相交线所夹的角称为二面角。
–二面角的性质：平行于相交线的两个平面所夹的角等于二面角。
2.讲解计算二面角的方法和技巧。
–同一平面上的二面角可以通过角度差求解。
–不同平面上的二面角可以通过平面投影求解。
步骤三：练习与讨论（30分钟）1.设计与二面角相关的问题和练习，要求学生运用所学知识进行解答。
2.鼓励学生彼此讨论，共同解决问题，并引导他们用逻辑推理和几何分析来解决复杂问题。
步骤四：总结与拓展（10分钟）1.总结二面角的重要概念和计算方法。
2.引导学生思考，探究二面角在其他几何学概念中的应用，如平面角、立体角等。
六、教学评价1.观察学生在互动活动中的表现，包括参与程度、解题思路和答题准确性等。
2.提供及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误和改进学习方法。
教学设计4：3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量教学目标1．知识与技能掌握二面角的有关概念．能够求二面角的大小．2．过程与方法通过二面角的平面角的空间模型，培养空间想象能力．3．情感态度与价值观建立学习空间向量的自信心、培养学习数学的兴趣．教学重点：能够找出二面角的平面角，求二面角的大小；利用二面角的面的法向量求二面角的大小．教学难点：在适当位置找出二面角的一个平面角以及判定二面角的大小与法向量夹角之间的大小关系．新知学习1．二面角平面角的作法(1)定义法由二面角平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点．求解用到的解三角形知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．二面角的求法(1)几何法：其步骤为：①作(找)出二面角的平面角；②写出(或证明)作(找)平面角的过程；③计算：利用解三角形知识求解．(2)向量法方法一：分别在二面角α—l—β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用〈n1，n2〉度量这个二面角的大小．cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|，n1，n2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上．方法二：通过法向量求解设m1⊥α，m2⊥β，〈m1，m2〉与该二面角相等或互补．此方法的运用适宜于：①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于待定．②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．③具体求解过程中，先求m1与m2所成的锐角θ，cosθ＝|m1·m2| |m1||m2|.若二面角为锐角，则为θ.若二面角为钝角，则为π－θ.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的所组成的两个半平面图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.棱为l两个面分别为α，β的二面角，记作α－l－β.如图所示，A∈α，B∈β，二面角也可记作A－l－B，也可记作A－OO′－B.二面角的平面角如上图所示，在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB ⊥l，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角．说明：这个平面角与点O在l上的位置无关，因为，在l上异于O的一点O′，O′A′⊥l，O′B′⊥l，则∠AOB与∠A′O′B′都是平面角，它们的对应边平行且方向相同，因此∠AOB＝∠A′O′B′，这两个角都是二面角的平面角．二面角θ的范围为θ∈[0，π]．直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面． 典例精析例1 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，CD ＝217cm ， 求这个二面角的度数.解 设〈AC →，BD →〉＝x . 由已知CA ⊥AB ，AB ⊥BD ，得AC →·AB →＝BD →·AB →＝0，〈CA →，BD →〉＝180°－x ， 因此|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos(180°－x ). 代入已知线段的长度，得(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos x )， 即cos x ＝36＋16＋64－6896＝4896＝12，得x ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.例2 已知：二面角α—l —β的大小为θ (0≤θ≤ π2 )，在α内有△ABC ，它在β内的射影为△A ′BC ，它们的面积分别为S ，S ′， 则有S `=S cos θ.证明：不妨假设△ABC 的边BC 在l 上（如图），作BC 边上的高AD ，AD 在β内的射影为A`D.根据正射影的性质，知 A`D=AD cos θ.S`= 12BC ×A`D= 12BC ×Ad cos θ= S cos θ.例3 已知ABCD 为直角梯形，∠DAB =∠ABC =90°， SA 垂直平面ABCD ，SA =AB =BC =1，AD = 12， 求平面SAB 与SCD 的夹角的正切（如图）.解：令BC⃗⃗⃗⃗⃗ =i ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ， AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系[O ;i ,j ,k ]，则i ,j ,k 为单位正交基底，于是可得i=（1,0,0）,j =（0,1,0）,k =（0,0,1） SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，0，-1)，SC ⃗⃗⃗⃗ =(1，1，-1). 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z )，则 n ·SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0. 换用坐标表示，得 (x ,y ,z )·(12，0，-1)=0， (x ,y ,z )·(1，1，-1)=0. 即12x -z =0x +y -z=0把z 作为已知数，解此方程组，得x =2z ，y =-z . cos<i ,n >= i·n|i |·|n| =√22+12+(−1)2√02+12+02=√6设平面SAB 与SCD 的夹角为θ，由图形可知θ=<i ，n>为锐角，即tan θ=√22. 课堂检测 一、选择题1．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α【答案】 D【解析】因为a·b ＝0，所以a ⊥b ，故选D.2．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 所成的角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°【答案】 B【解析】∠DP A 为二面角平面角，而在Rt △P AD 内，∠APD ＝45°.故选B.3．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为( )A.33B.63C.13D.23【答案】 B【解析】以A 为坐标原点建系，由法向量法，可得cos θ＝63. 二、填空题4．正方体AC 1中平面ABCD 与平面A 1BCD 1的夹角为________．【答案】 45°【解析】∠A 1BA 为平面角．5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，E 为BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 的夹角为________． 【答案】 π6【解析】以AC 中点为空间坐标系原点建系，平面ABC 的法向量n 1＝(0,0,1)，由OA →＝(0，－1,0)，AE →＝(3，1,1)．n 2＝(－1,0，3) ∴cos 〈n 1，n 2〉＝32， ∴〈n 1，n 2〉＝π6.三、解答题6. 如图：ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A —VB —C 的大小．解 取VB 的中点为E ，连接AE ，CE . ∵VA ＝AB ＝BC ＝VC ， ∴AE ⊥VB . ∴CE ⊥VB .∴∠AEC 是二面角A —VB —C 的平面角． 设AB ＝a ，连接AC ，在△AEC 中，AE ＝EC ＝32a ，AC ＝2a ，由余弦定理可知： cos ∠AEC ＝(32a )2＋(32a )2－(2a )22×32a ×32a ＝－13，∴所求二面角A —VB —C 的大小为π－arccos 13.7. 如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面ABCD 为边长是1的正方形，P A ＝1，求平面PCD 与平面P AB 夹角的大小．解 如图建立空间直角坐标系．平面P AB 的法向量AD →＝(0,1,0)，DC →＝(1,0,0)， PD →＝(0,1，－1)．设平面PCD 法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0n ·PD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y －z ＝0.令z ＝1，∴n ＝(0,1,1)，∴cos 〈n ，AD →〉＝12＝22，∴〈n ，AD →〉＝45°.即平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 归纳小结1．用向量法求二面角，在正确建立直角坐标系的前题下，求二面角二个面的法向量是关键，正确列出方程组求解；并且要正确判断所求角是二面角的平面角还是其补角．2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要是锐角或直角．3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．。
二面角教学设计
二面角教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角的平面角。
（2）掌握二面角平面角的一般求法，能运用定义法、三垂线法等求二面角的大小。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（2）经历二面角概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）二面角的概念及二面角平面角的定义。
（2）二面角平面角的求法。
2、教学难点（1）二面角平面角的寻找和确定。
（2）灵活运用不同的方法求二面角的大小。
三、教学方法讲授法、启发式教学法、探究式教学法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课（1）通过展示实际生活中的例子，如打开的书本、半开的门等，引导学生观察这些物体中两个平面所形成的角。
（2）提出问题：如何度量两个平面所形成的角呢？从而引出本节课的主题——二面角。
2、新课讲授（1）二面角的概念①结合实例，给出二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②让学生观察二面角的图形，理解二面角的构成要素，并通过举例加深对二面角概念的理解。
（2）二面角的表示方法①用三个字母表示，如二面角\（A l B\），其中\（A\）、＼（B\）分别为两个半平面上的点，＼（l\）为棱。
②用一个数字表示，如二面角\（＼alpha\）。
③用两个平行四边形的相对顶点表示，如二面角\（M N\）。
（3）二面角的平面角①提出问题：如何度量二面角的大小呢？引导学生思考。
②给出二面角平面角的定义：在二面角\（＼alpha l ＼beta\）的棱\（l\）上任取一点\（O\），以点\（O\）为垂足，在半平面\（＼alpha\）和\（＼beta\）内分别作垂直于棱\（l\）的射线\（OA\）和\（OB\），则\（＼angle AOB\）叫做二面角\（＼alpha l ＼beta\）的平面角。
二面角的教学设计
二面角及其度量的教学设计一、指导思想与理论依据1、培养他们大胆猜测的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。
基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构的，他们要用自己现存的知识去过滤和解释新的信息.2、给学生提供活动的时空，让主体主动构建自己的认知结构，充分表达了学生的主体地位和教师的主导作用。
学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，充分感受到成功与失败的情感体验，深刻地领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的重要作用。
同时又培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神.二、教材分析二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。
二面角的概念开展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个聚集点。
搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
三、学情分析学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异面直线所成的角、线面所成的角，有了一定的根底。
但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，对学生来说二面角的大小又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。
三、教学目标知识与技能：〔1〕使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
〔2〕进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
〔2〕通过对图形的观察、分析、比拟和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1)培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神.(2)通过知识间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
四、教学重难点重点：二面角及其二面角平面角的概念的形成难点：求二面角大小的方法五、教学过程1、自主学习阅读教材二面角及其度量这一节，做出二面角的实物〔以组为单位，或者做实物，或者在电脑中做出实物图形〕，比照平面角理解二面角的概念，思考以下几个问题〔1〕二面角及二面角的平面角如何定义〔2〕比照角的定义理解二面角及其平面角〔3〕二面角如何度量，拿出你觉得可行的方法与大家交流2、课内合作探究根据自主预习的结果与同学们分享预习成果和对问题的思考和理解，从而得出〔1〕二面角的概念及其记法概念：记法：画法：D C βαB A 〔2〕二面角的平面角〔3〕如何度量二面角的大小？合作探究度量二面角的方法 3、典型例题例1、如图，在一个二面角的棱上有两个点A,B ，线段AC,BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4cm ，AC=6cm ，BD=8cm ，CD=172cm ，求这个二面角的度数。
高二数学：课例二面角的教学设计与评述(示范文本)
( 数 学 教 案 ) 学 校：_________________________
年 级：_________________________
教 师：_________________________
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高二数学：课例二面角的教学设计与评述(示范文本)
Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities. 教学文本 | DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案
第 2 页 高二数学：课例二面角的教学设计与评述(示范文本)
教学目标： 知识目标：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。 技能目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生探究能力及数学应用能力，并能解决有关简单的二面角问题。 情感目标：激发学生学习数学的热情。 教学方法： 探导式 教学过程：
教材简介:数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科，本教学设计资料适用于高中高二数学科目，学习本教材的学生可以提高自身技能，本文档是按照教材进行修订编写，可以放心的进行教材使用。 教学文本 | DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案
第 3 页 引入 师：同学们爬过山吗？ 生：爬过，爬过高山，爬过平坦的山，也爬过陡峭的山，很刺激。 师：怎样的山看上去陡峭？ 生：山坡与水平面愈垂直，这样的山愈陡峭。 师：怎样的山看上去“平坦”？ 生：山坡与水平面所成角愈小，这样的山就愈“平坦”。 师：山坡陡峭与否，跟山坡与水平面所成的角大小有关。 生：老师，山不是凹凸不平，弯曲的吗？它的坡面是不平的，那坡面与水平面所成的角，是怎么回事？ 师：现实的山确实是这样凹凸不平，弯曲的，大家对这位同学所提的问题，意见如何？ （学生议论纷纷，思索着。） 生：若从全局来看整个山坡面是凹凸不平，弯曲的，但从局部小范围去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，教学文本 | DOCUMENT TEMPLATE 高二数学教案
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》标题：高中数学教案《二面角》摘要：简要介绍教案的教学目标、重点难点、教学方法和预期的学习成果。
关键词：二面角；高中数学；空间几何；教案设计目录：教学目标教学内容学生背景分析教学重点与难点教学方法与手段教学过程设计6.1 导入新课6.2 讲解新知6.3 课堂练习6.4 互动讨论6.5 课堂总结作业布置教学评价教学反思附录：教学资源与参考资料正文：教学目标知识与技能：学生能够理解二面角的概念，掌握求解二面角的方法。
过程与方法：通过实例分析，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观：激发学生对空间几何的兴趣，提高学习数学的积极性。
教学内容二面角的定义二面角的分类二面角的求法二面角在实际问题中的应用学生背景分析描述学生在空间几何方面的学习基础和可能遇到的困难。
教学重点与难点重点：二面角的求解方法。
难点：发展学生的空间想象能力，理解二面角与平面角的关系。
教学方法与手段讲授法引导发现法合作学习多媒体辅助教学教学过程设计6.1 导入新课通过生活中的实例引出二面角的概念。
6.2 讲解新知详细讲解二面角的定义、分类和求解方法。
6.3 课堂练习学生完成几个关于二面角计算的练习题。
6.4 互动讨论小组讨论二面角在实际问题中的应用。
6.5 课堂总结总结二面角的知识点，强调求解二面角的步骤和技巧。
作业布置布置相关的习题，要求学生巩固和深化课堂所学。
教学评价描述如何评价学生的学习成果，包括课堂表现、作业完成情况等。
教学反思教师对教学过程的回顾，包括成功之处和需要改进的地方。
附录：教学资源与参考资料列出用于教学的资源和参考的资料。
正文示例（部分）：教学目标通过本教案的学习，学生应能够：理解二面角的概念和意义。
掌握二面角的分类和求解方法。
应用二面角的知识解决一些简单的空间几何问题。
教学内容本教案主要内容包括：二面角的定义：两条相交平面间所形成的角。
二面角的分类：锐角二面角、直角二面角、钝角二面角。
中职数学教案：二面角
中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.4.2 二面角教学目标知道二面角及其平面角的定义；能解决求二面角大小的简单问题；知道直二面角定义，知道两个相交平面所成角的概念重点对二面角及其平面角概念的理解及求法难点对二面角及其平面角概念的理解及求法教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？教学内容二、探索新知观察可知,显示屏的开合程度可以用角度来描述.平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.当二面角的棱为l，两个面分别为α、β时，二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C.如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB，射线OA、OB所成的最小正角称为这个二面角的平面角.可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.如图，平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角.三、典型例题例3 已知二面角α-l-β是锐角，其面α内一点A到棱l的距离为2，到面的距离为l，求这个二面角的大小.解如图所示，过点A作AB⊥l，垂足为B；再作AC⊥β，垂足为C,连接. 由题意可知AB=2，AC=1.因为AC⊥β，l⊆β，所以AC⊥l ,又因为AB⊥l,AB交AC于点A，所以l⊥平面ABC.又因为BC⊆平面ABC，所以l⊥BC，从而∠ABC是二面角α-l-β的一个平面角.因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以6ABCπ∠=.因此，二面角α-l-β的大小是6π.教学内容例4 求证:如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，O为垂足且与两半平面的交线分别为OA、OB，如图所示.那么∠AOB是二面角α-l-β的平面角.证明因为γ∩α=OA，γ∩α=OB，所以OA⊆γ，OB⊆γ.又因为l⊥γ，所以l⊥OA，l⊥OB. 因此，∠AOB是二面角α-l-β的一个平面角.例4中,垂直于棱l的平面,与二面角α-l-β的交线OA、OB 构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.探究与发现我们己经知道了两条直线所成的角和直线与平面所成的角的定义,那么,两个平面所成的角怎样定义呢？在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不大于2π，这个二面角称为两个相交平面所成的角.于是，两个相交平面所成角的范围是02π⎛⎤⎥⎝⎦，，这样的角有两个例5 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1C1D 与平面ABCD 所成的角的大小.证明因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均是正方形,所以AD ⊥A A1，AD⊥AB.又因为A A1与AB相交，所以AD⊥平面A A1B1B.因为AB1⊆平面AA1B1B，所以AD⊥AB1，从而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一个平面角.因为AB1是正方形AA1B1B的对角线,所以∠B1AB=.4π因此,平面AB1C1D与平面ABCD所成的角的大小是.4π四、练习巩固练习4.4.21. 己知二面角α-l-β，C∈α，D∈β，AC⊥AB，AD⊥AB，垂足均为A，则二面角α-AB-β的平面角是.2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，试找出二面角A1-BD-A与二面角A1-BD-C的一个平面角，并分析二者之间的大小关系.3.判断下列说法是否正确. (1)两个相交平面所成的角的取值范围是02π⎛⎤⎥⎝⎦，，而二面角的取值范围是[0,π]；(2)在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1A B 1是二面角 D 1-A A 1-B 1的平面角；(3)分别在二面角的两个面内取一条直线，使两条直线相交，则相交直线所成的角是二面角的平面角.4. 己知等腰ΔABC 的腰长为5cm ，底边长为8cm. 现沿着底边上的高AD 对折，折后42cm BC =，求二面角 B -AD -C 的大小.5.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,3AB =，BC =AA 1=1，求二面角B 1-CD -A 的大小.6. 我国水利建设具有悠久的历史,尤其中华人民共和国成立后,修建了许多水车,在防洪、用水、供电、灌溉等方面发挥了巨大作用.如图所示,某水库大坝高85m ,斜坡面与水平面成45°角,则斜坡面有多长？ 五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容板 书 设 计教后札记。
《二面角》教案
《二面角》教案云南玉溪工业财贸学校魏华新一、目的要求1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程：（一）、二面角1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。
（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。
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二面角及其度量的教学设计
一、指导思想与理论依据
1、培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。基于个人对经验的操作、
交流，通过反省来主动建构的，他们要用自己现存的知识去过滤和解释新的信息.
2、给学生提供活动的时空，让主体主动构建自己的认知结构，充分体现了学生的主体地位和教师的
主导作用。学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，充分感受到成功与失败的情感体验，深刻地
领悟到转化的数学思想在解决问题中所起的重要作用。同时又培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力
和乐于探索，大胆创新的科学精神.
二、教材分析
二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；
而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系
的一个汇集点。搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十
分重要的意义。
三、学情分析
学生学习了线与线、线与面、面与面的平行与垂直问题，形成了一定的认知结构，并且又学习了异
面直线所成的角、线面所成的角，有了一定的基础。但是二面角与其它知识不一样，学生理解有困难，
对学生来说二面角的大小又是一个很难的事，我们就要细分析、多引导，让学生自己去发现并解决。
三、教学目标
知识与技能：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一
步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力与方法：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培
养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
情感与态度：(1) 培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索，大胆创新的科学精神.
(2)通过知识间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
四、教学重难点
重点：二面角及其二面角平面角的概念的形成
难点：求二面角大小的方法
五、教学过程
1、自主学习
阅读教材二面角及其度量这一节，做出二面角的实物（以组为单位，或者做实物，或者在
电脑中做出实物图形），对比平面角理解二面角的概念，思考以下几个问题
（1）二面角及二面角的平面角如何定义
（2）对比角的定义理解二面角及其平面角
（3）二面角如何度量，拿出你觉得可行的方法与大家交流
2、课内合作探究
根据自主预习的结果与同学们分享预习成果和对问题的思考和理解，从而得出
（1）二面角的概念及其记法
概念：
记法：
画法：
D
C
B
A
（2）二面角的平面角
（3）如何度量二面角的大小？合作探究度量二面角的方法
3、典型例题
例1、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A,B，线段AC,BD分别
在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4cm，AC=6cm，
BD=8cm，CD=172cm，求这个二面角的度数。
教师板书，学生归纳
例2．已知：二面角α－l－β的度数为θ (0≤θ≤2 )，在α面内有△ABC，
它在β内的射影为△A’BC，它们的面积分别为S，S’，求证：S’=Scosθ.
学生展示，学生归纳
例3．已知ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=21，求平面SAB与SCD的夹角的正切。
学生合作完成，学生归纳：
4、巩固练习：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C-BD-C1的大小。
5、课堂小结：
6、布置作业
教学反思
现代认知学认为，揭示知识的形成过程，对学生学习新知识是十分必要的。同时通过 展现知识的发
生、发展过程，给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间，可以使学生在整个教学过程中始终处
于积极的思维状态，进而培养他们独立思考和大胆求索的精神，这样才能全面落实本节课的教学目标。