第三讲 动态计量模型

如果扰动项序列ut表现为：
cov( ut , ut s ) 0
s 0 , t 1 2 , , T
(3.1.3)
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即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互
独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关 性（serial correlation）。由于通常假设随机扰动项都服 从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以 表示为：
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内容框架
一
序列相关理论(检验及纠正) 二 非平稳时间序列建模 三 协整与误差修正
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一
序列相关理论
如果线性回归方程的扰动项ut 满足古典回归假设，使 用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。 但是如果扰动项ut 不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰动 项ut 关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归方 程的估计结果不再具有上述的良好性质。
估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。
① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
② 使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显
著性水平的检验不再可信 ；
③ 如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有
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偏的且不一致。
(二)
序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但
et X t 1et 1 p et p vt
(3.1.9)
这是对原始回归因子Xt 和直到p阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。
F统计量是对式（3.1.9）所有滞后残差联合显著性的一
种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T乘以回归方程（3.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计 量服从渐进的
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(一)
序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt ut
(3.1.1)
随机误差项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
cov( ut , ut s ) 0
s 0 , t 1 , 2 , , T
(3.1.2)
β { 0 , 1 ,..., k }， 若残差序列存在p阶序列相关，
，
yt f ( x t , β ) ut
ut 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
归方程，以p = 1为例，
(3.1.21)
(3.1.22)
也可用类似方法转换成误差项 t为白噪声序列的非线性回
ut 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(3.1.11)
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其中：ut 是无条件误差项，它是回归方程（3.1.10）的 误差项，参数0，1,
2,

,
k是回归模型的系数。式
2 ,
（3.1.11）是误差项ut的 p阶自回归模型，参数 1,
(3.1.20)
通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性， 扰动项 t为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘
法，可以估计出回归方程的未知参数 0 , 1 , 1 , 2 , 3。
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我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性
形式为f (xt , ) 的非线性模型， x {1, x , x ,..., x } t 1t 2t kt
首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型
的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。 例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要 由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续 性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情 况下，要把显著的变量引入到解释变量中。
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的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。
,
p是p阶自回归模型的系数， t是相应的扰动项，
并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变
量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值 之差。 下面将讨论如何利用AR(p) 模型修正扰动项的序列 相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知
参数。
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1．修正一阶序列相关
最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)
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2 . 相关图和Q -统计量
我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自
相关和偏自相关系数，以及Ljung-Box Q - 统计量
来检验序列相关。Q - 统计量的表达式为：
QLB T T 2
j 1
p
rj2 Tj
(3.1.7)
其中：rj是残差序列的 j 阶自相关系数，T是观测值的
个数，p是设定的滞后阶数 。
第三讲 动态计量模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在
前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的
估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，
第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。
这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是 运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加 权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。
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(三)
扰动项存在序列相关的
线性回归方程的估计与修正
线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型 估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。 通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相
关的结构，定义如下：
yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt ut (3.1.10)
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2．修正高阶序列相关
通常如果残差序列存在p阶序列相关，误差形式可以
由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与
一阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终 得到一个扰动项为白噪声序列，参数为非线性的回归方 程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方 程的参数。
例如：仍讨论一元线性回归模型，并且残差序列具
2 分布。 ( p)
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在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设
定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水 平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设 定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。
在软件中的操作方法：
选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行BreushGodfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最 高阶数。
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反之，如果，在某一滞后阶数p，Q - 统计量超过设 定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序 列存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来 估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q- 统计量有效 的重要因素。
在EViews软件中的操作方法：
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics 。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函 数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果 残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关
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D.W .
(ut ut 1 ) 2 ˆ ˆ
t 2
T
ut2 ˆ
t 1
T
ˆ 2(1 )
如果序列不相关，D.W.值在2附近。 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。
正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50
个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情
(3.1.16)
y yt yt 1 , x xt xt 1 ，代入式（3.1.16）中有
yt* 0 (1 ) 1 xt* t
(3.1.17)
如果已知 的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。如
果 的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同时 得到 ， 0， 1的估计量。
(3.1.14)
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然而，由式（3.1.12）可得
ut 1 yt 1 0 1 xt 1
再把式（3.1.15）代入式（3.1.14）中，并整理
(3.1.15)
yt yt 1 0 (1 ) 1 ( xt xt 1 ) t
令
* t * t
yt 1 yt 1 f ( xt , β ) 1 f ( xt 1 , β ) t
使用Gauss-Newton算法来估计参数。
(3.1.23)
模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且
具有一阶序列相关的情形，即p = 1的情形：
y t 0 1 xt u t
ut ut 1 t
把式（3.1.13）带入式（3.1.12）中得到
(3.1.12) (3.1.13)
yt 0 1 xt ut 1 t
LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相
关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶
自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。
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1）估计回归方程，并求出残差et
ˆ ˆ ˆ ˆ et yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt (3.1.8)
2) 检验统计量可以基于如下回归得到
有3阶序列相关的情形，即p = 3的情形：
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y t 0 1 xt u t
ut 1 ut 1 2 ut 2 3 ut 3 t
程中去，得到如下表达式：
(3.1.18) (3.1.19)