数形结合例题选集

数形结合一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：2222c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。

2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222++=+）（解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。

3、证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为2ba +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。

4、证明正（余）弦定理：解析：（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 21h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=∆的面积； 即sinCc sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinAa2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，；综上，得正弦定理：2R sinC csinB b sinA a ===。

（2）根据勾股定理22222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-；整理可得余弦定理：2acb c a cosB 222-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。

5、证明结论），（，20x sinx x x tan π∈>>解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在），（20x π∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，），（20x π∈。

当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当），（20x π∈时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x 1x R =⋅==θl ，即图中黑色弧线的长度表示x ，显而易见。

红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx ，），（20x π∈。

6、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。

左图中，222sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=，将B 点旋转至（1，0）处（右图所示）。

此时，222][sin ]1[cos AB ）（）（βαβα-+--=，因为线段AB 的长度没有发生变化，即22sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=，化简：βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。

当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。

如左图，11sin cos sin cos OBOA cos ⋅⋅=⋅=-），（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。

二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f（x ），当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，则a 的取值范围是答案：），（），（533151⋃ 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3时，222x -x f x -f 2x 2x f ）（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，（a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是 答案：（32，35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（，4<c<5，所以答案是（32，35）。

评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相关性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图时，虽说是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间时，务必考虑区间的开闭情况。

变式 已知函数f （x ）=||x-1|-1|，若关于x 的方程f （x ）=t （t ∈R ）恰有四个互不相等的实数根432143214321x x x x x x x x x x x x ⋅++<<<），则（、、、的取值范围是 答案：（3，4）解析：根据题意，如下图所示，）（，3343432121x 4x x x x x x x 0x x -⋅=⋅=⋅++=+=），（，21x x 4x 3233∈-。

例3 （14杨浦）定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗b a a ba b b a ，，。

已知函数f （x ）=（1+x log x42⊗），若函数g （x ）=f （x ）-k 恰有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A.（1，2]；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：B解析：⎪⎩⎪⎨⎧≤<>+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≥+=⊗+=4x 0x log 4x x41x41x log x log x 41x log x 41x log x 41x f 22222，，，，）（）（，如下图所示：令g （x ）=f （x ）-k=0，问题转化为函数y=f （x ）与函数y=k 有两个交点，则k ∈（1，2）。

评注：本题考查分段函数表达式求法，函数零点问题转化成两函数交点问题，数形结合很容易求解，可以作适当的延伸，比如，有一个零点，求k 的取值范围等。

例4 （14宝山）关于函数f （x ）=1x x -，给出下列四个命题：①当x>0时，y=f （x ）单调递减且无最值； ②方程f （x ）=kx+b （k ≠0）一定有解；③如果方程f （x ）=k 有解，则解的个数一定是偶数； ④y=f （x ）是偶函数且有最小值。

则其中真命题是 答案：②、④解析：含绝对值、分类讨论。

先画x>1和0<x<1的部分，然后根据偶函数的性质（关于y 轴对称）画出左半部分，函数图像如下图所示：①明显错误；③k=0时，解的个数为1；②、④正确。

评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进行分析筛选。

例5 （14奉贤）定义在），（∞+0上的函数f （x ）满足： ①当），3[1x ∈时，⎩⎨⎧<<-≤≤-=3x 2x 32x 11x x f ，，）（； ②f （3x ）=3f （x ）。

设关于x 的函数F （x ）=f （x ）-1的零点从小到大依次记为54321x x x x x 、、、、、 ……，则=++++54321x x x x x 答案：50解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，4321x x x x +++ =+5x 2+4+8+10+26=50评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了，答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。

2、与三角函数的综合运用：例1 （14十三校联考）已知f （x ）=asin2x+bcos2x （a 、b 为常数），若对于任意内的解为，在区间）（），则方程（）（都有][00x f 125f x f R x ππ=≥∈答案：x=32x 6ππ=或解析：根据“若对于任意）（）（都有125f x f R x π≥∈”可知，当x=125π时，函数图像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为π，因为函数的最值横坐标与相邻零点之间相差41个周期，即4π，所以在区间[0，π]内的解（即在区间[0，π]内的零点）为x=32x 6x 4125ππππ==±或，即。

评注：本题看似复杂，因为有字母a 、b ，但只要理解了“三角函数的最值横坐标与相邻零点急间相差41个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解了。

例2 （14闸北）设a>0且a ≠1，已知函数f （x ）=）（0x 2x sin22a x >-+π至少有5个零点，则a 的取值范围为 答案：（0，1）⋃（1，2）解析：就是求函数），（在与函数∞+∈-==0x a 2y x sin22y x π上的交点个数，分两种情况：（1）当0<a<1时，在），（∞+∈0x 两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以0<a<1时，满足至少有5个交点（2）当a>1时，如下图所示，在），（∞+∈0x 要至少5个交点，x a 2y -=函数在x=1处要大于0即2-a>0，a<2，满足至少有5个交点。

评注：这是一道典型的数形结合的题型，将零点问题转化成函数交点个数问题，注意理解题意、审清题意及数与形之间的转化。

例3 （14虹口）函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像所有交点的横坐标之和为答案：17解析：画出函数f （x ）=2sin x π与函数31x x g -=）（的图像，如下图所示：这俩图像都是关于点（1，0）对称，所以它们的交点也是关于点（1，0）对称，即一对对称交点的横坐标之和为2，总共有8对关于点（1，0）对称的点，再加上（1，0）点本身，即所有交点的横坐标之和为17。

评注：本题首先要熟悉函数的图像变换，精确画出函数图像，然后再研究交点的特性，在这道题中，交点关于点（1，0）对称的，在这个前提下，求横坐标之和就转化成简单的中点问题。

例4 已知函数y=f （x ），任取t ∈R ，定义集合：））（，（），点（t f t P x f y |{y A t ==，2PQ x f x Q ≤），（，（}，设中元素的最大和最小值分别表示集合和t t t A m M ，记，则：）（t t m M t h -=（1）若函数f （x ）=x ，则h （1）= （2）若函数f （x ）=sinx 2π，则h （t ）的最大值为 答案：（1）2；（2）2解析：定义的意思是函数y=f （x ）在以定点P （点P 在函数图像上）为圆心半径为2的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A（1）定点P （1，1），如下图所示，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以h （1）=2（2）对于f （x ）=sinx 2π，函数最大值与最小值之差2，如下图所示，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以h （t ）的最大值为2，此时t=2k ，k Z ∈。