高中数学数形结合习题
高中数学：不等式中的数形结合
高中数学：不等式中的数形结合数形结合思想方法的应用不可忽视。
下面举例说明。
1. 数形对照，相互渗透例1. 使不等式有解的实数a的取值范围（）A. B.C. D.分析：表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。
由图1可得其和最小值为1，故选D。
图1例2. 已知，欲使不等式恒成立，求实数c的取值范围。
分析：欲使恒成立，即恒成立，故。
于是问题转化为求知，当直线图2故。
2. 由数想形，直观显现例3. 解不等式。
分析：设，，由得：因为2为半径，在x轴上方的半圆，表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得，图3故原不等式的解集是（2，4]例4. 求使不等式成立的x的取值范围。
解：，因为的图象与函数图象关于y 轴对称，的图象是一条过点（0，1）的直线由图4可得图4例5. 已知且，都有实根，求的取值范围。
解：依题意得即（*）则满足（*）的点（a，b）在图5所示的阴影区域内。
图5设，则所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。
所以故3. 由数构形，抽象变形象例6. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.解：设，因为当时，所以上是增函数因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以为奇函数又所以又是奇函数，所以故根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是图6故选D。
由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识的注意数形结合思想方法的渗透。
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高中数学 必修二 习题：第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--第七章 复数复习提升
2022版人教A版高中数学必修第二册--本章复习提升易混易错练易错点1忽视复数相等的条件致错1.()已知(2+i)y=x+y i,x,y∈R,且y≠0,则|x+i|= ()yA.√2B.√3C.2D.√52.()已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+n i,则m+ni= ()m-niA.iB.1C.-iD.-13.(2021山东临沂一中高二下月考,)已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x与y的值.易错点2对复数的几何意义考虑不全面致错4.()在复平面内,已知复数z对应的向量为OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为()A.1+√3iB.−1+√3iC.-1-√3iD.−1±√3i5.()已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则在复平面内,复数z对应的点的集合构成的图形是()A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆易错点3对复数范围内方程的问题考虑不全面致错6.()已知方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.7.()关于x的方程x2+(2a-i)x-a i+1=0有实根,求实数a的值.8.()在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.易错点4混淆复数运算与实数运算致错9.()复数i2+i3+i41-i= ()A.-12−12i B.−12+12iC.12−12i D.12+12i10.()满足z+5z是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.思想方法练一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用1.()已知复数z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),求θ为何值时,|z+1-i|取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值.2.()关于复数z 的方程z 2-(a +i )z -(i+2)=0(a ∈R).(1)若此方程有实数解,求a 的值;(2)用反证法证明:对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根. 3.()已知关于x 的一元二次方程x 2+2kx -3k =0(k ∈R)的虚根为x 1,x 2.(1)求k 的取值范围,并用k 表示该方程的根; (2)若3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i|,求k 的值.二、数形结合思想在解决复数问题中的应用 4.()在复平面内,复数z 1,z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则复数z 1-z 2= ( )A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的5.()在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是()复数分别是3+i,-1+3i,则CDA.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i6.(2021上海闵行七宝中学高二上期末,)已知复数z1=2-2i,若|z|=1,z,z1在复平面⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是.内对应的点分别为Z,Z1,则向量|ZZ1三、转化与化归思想在解决复数问题中的应用7.()已知复数z=1+(1-t)i,若复数z2在复平面内对应的点在第二象限,求实数t的取值范围.8.()设z是虚数,ω=z+1是实数,且-1<ω<2.z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设μ=1-z,求证:μ是纯虚数;1+z(3)求ω-μ2的最小值.答案全解全析 易混易错练1.D 因为x ∈R,y ∈R 且y ≠0,(2+i )y =x +y i ,所以2y =x ,所以|xy +i|=|2+i|=√5,故选D.2.A 因为m +i=1+n i ,所以m =n =1, 则m+ni m -ni=1+i 1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=i .故选A.3.解析 根据已知条件可设y =b i (b ∈R,b ≠0),代入(2x -1)+i=y -(3-y )i ,整理得(2x -1)+i=-b +(b -3)i ,根据复数相等的充要条件,可得{2x -1=-b ,1=b -3,解得 {x =-32,b =4,所以x =-32,y =4i .易错警示复数相等的充要条件是复数向实数转化的桥梁,所以要注意得到的必须是两个实数等式组成的方程组.4.D 设复数z 在复平面内对应的点的坐标为Z (a ,b ). 根据题意可画出图形,如图所示,∵|z |=2,且OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正方向的夹角为120°,∴a =-1,b =±√3, 即点Z 的坐标为(-1,√3)或(-1,-√3).∴z =-1+√3i 或z =−1−√3i . 易错警示利用复数与向量的对应关系解题时,注意向量的位置、夹角等的思考与讨论. 5.A 由题意可知(|z |-3)(|z |+1)=0,即|z |=3或|z |=-1,∵|z |≥0,∴|z |=3,故复数z 对应的点的集合构成的图形是以原点为圆心,3为半径的圆.6.解析 将x =i 代入原方程得i 2+k i-i=0,由此可得k =1-i ,设x 0是方程的另一个根,则由根与系数的关系可得x 0i=-i ,从而得x 0=-1. 易错警示实系数一元二次方程中的虚根是成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.7.解析 设方程x 2+(2a -i )x -a i+1=0的实根为x 0,则有x 02+2ax 0+1-(a +x 0)i=0,由复数相等的充要条件可知{x 02+2ax 0+1=0,-(a +x 0)=0,解得a =±1. 8.解析 因为x ∈C, 所以设x =a +b i (a ,b ∈R),代入方程得(a +b i )2-5√a 2+b 2+6=0, 即a 2-b 2-5√a 2+b 2+6+2ab i=0,所以{a 2-b 2-5√a 2+b 2+6=0,2ab =0,解得{a =0,b =±1或{b =0,a =±2或{b =0,a =±3,所以原方程有6个解,分别为i ,-i ,2,-2,3,-3. 9.C 因为i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1, 所以i 2+i 3+i 41-i=-i 1-i=-i (1+i )2=12−12i .10.解析 存在.理由如下:设虚数z =x +y i (x ,y ∈R,且y ≠0), 则z +3=x +3+y i ,z +5z =x +yi +5x+yi=x +5xx 2+y2+(y -5y x 2+y 2)i .由题意得{y -5yx 2+y2=0,x +3=-y ,y ≠0,∴{x 2+y 2=5,x +y =-3,解得{x =-1,y =-2或{x =-2,y =-1.∴存在虚数z =-1-2i 或z =-2-i 满足题意. 易错警示在复数的运算中,注意与实数运算的区别.如在进行除法运算时,注意在分母实数化过程中,(a +b i )(a -b i )=a 2+b 2(a ,b ∈R).思想方法练1.解析 |z +1-i|=|cos θ+1+i (sin θ-1)| =√(cosθ+1)2+(sinθ-1)2 =√2(cosθ-sinθ)+3 =√2√2cos (θ+π4)+3. 将模的最值问题转化为关于θ的三角函数的最值问题,根据三角函数的有关性质求解.因为0≤θ<2π,所以θ+π4∈[π4,9π4),所以当θ=7π4时,|z +1-i|取得最大值,最大值为√2+1, 当θ=3π4时,|z +1-i|取得最小值,最小值为√2-1. 2.解析 (1)设z =x 0∈R,代入方程得x 02-(a +i )x 0-(i+2)=0, 即(x 02-ax 0-2)+(-x 0-1)i=0, ∴{x 02-ax 0-2=0,-x 0-1=0,利用复数相等的充要条件,列方程组求解. 解得{x 0=-1,a =1,∴a =1.(2)证明:假设存在实数a ,使得原方程有纯虚根z =b i (b ∈R 且b ≠0), 则有(b i )2-(a +i )·b i-(i+2)=0, 即(-b 2+b -2)+(-ab -1)i=0,∴{-b 2+b -2=0,-ab -1=0⇒{b 2-b +2=0,①ab +1=0,②利用复数相等的充要条件,列方程组求解.∵方程①中Δ=-7<0,∴不存在实数b 使方程①成立, ∴方程组无实数解,∴假设不成立, ∴对任意的实数a ,原方程不可能有纯虚根.3.解析 (1)因为一元二次方程 x 2+2kx -3k =0有两个虚根, 所以Δ=4k 2+12k <0,解得-3<k <0. 由求根公式可得,该方程的两根为-2k±2√-k 2-3ki2=−k ±√-k 2-3k i .(2)因为x 1,x 2互为共轭复数,所以|x 1|=|x 2|, 因为3|x 1|=2|x 2|+|3i1+i |,所以|x 1|=|3i1+i|=3√22,所以k 2+(-k 2-3k )=92,解得k =-32.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,结合求根公式和题设中的等式,即可求解. 思想方法复数问题中的最值问题一般要用到函数思想,通常找到一个参数或变量,根据复数与实数之间的联系建立函数关系,利用函数的最值进行求解;复数问题中的求值问题,可以利用复数的有关性质,通过方程(组)或一元二次方程相关知识进行求解,这体现了方程思想.4.B 由题图,知z 1=-2-i ,z 2=i ,所以z 1-z 2=-2-2i ,故选B. 观察题图可知A (-2,-1),B (0,1),从而得出对应的复数z 1,z 2.5.D 如图,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 由图中平行四边形的性质,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,再求解. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+i ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+3i , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3+i )-(-1+3i )=4-2i .6.答案 2√2+1解析 由于|z |=1,故复数z 所对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,易知z 1所对应的点的坐标为Z 1(2,-2),则由图可知,|ZZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值可以看成点(2,-2)与点(0,0)之间的距离再加1,最大值为2√2+1.根据复数及模的几何意义,画出图形,观察图形得出最大距离即可.思想方法复数的几何意义、复数的模以及复数加、减法的几何意义都是数形结合思想的体现.比如在复平面内,|z|表示复数z对应的点与坐标原点间的距离,|z-(a+b i)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与点(a,b)间的距离,从而可以利用数形结合思想,将抽象问题形象化,复杂问题简单化.7.解析z2=[1+(1-t)i]2=1-(1-t)2+2(1-t)i=(2t-t2)+(2-2t)i,所以复数z2在复平面内对应的点为(2t-t2,2-2t),由其在第二象限,得{2t-t 2<0,2-2t>0,解得t<0.故实数t的取值范围是(-∞,0).将复数z2在复平面内对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组,进而求出t的取值范围.8.解析设z=a+b i(a,b∈R,且b≠0).(1)由题得ω=a+b i+1a+bi =(a+aa2+b2)+(b-ba2+b2)i.∵ω是实数,b≠0,∴b-ba2+b2=0,∴a2+b2=1,即|z|=1.∴ω=2a,又-1<ω<2,∴-12<a<1,∴z的实部的取值范围为(-12,1).设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.(2)证明:μ=1-z1+z =1-a-bi1+a+bi=1-a2-b2-2bi(1+a)2+b2=-ba+1i.∵a∈(-12,1),b≠0,∴μ为纯虚数.(3)ω-μ2=2a+b2(a+1)2=2a+1-a2(a+1)2=2a−a-1a+1=2a−1+2a+1=2[(a+1)+1a+1]-3,∵a∈(-12,1),∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2√(a+1)·1a+1-3=4-3=1,当且仅当a+1=1a+1,即a=0(a=-2舍去)时,ω-μ2取得最小值,且最小值为1.思想方法寻求联系,实现转化,是转化与化归思想在复数中应用的关键,如把复数z设成z=a+b i(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r,θ∈R)的形式,从而将问题转化成关于实数a,b或r,θ的问题,实现复数问题实数化;把复数利用点或者向量表示,从而将复数问题几何化等等.。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
高中数学第五章-习题课
习题课 复 数明目标、知重点1．巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． 跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10. ∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i. 2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 由z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝______.答案 2解析 设1＋a i2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝a 2， 因为a ≠b ，ab ≠0， ⎩⎨⎧a ＝－12＋32i ，b ＝－12－32i 或⎩⎨⎧b ＝－12＋32i ，a ＝－12－32i ，因此a ＋b ＝－1.11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
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1. 若对任意x ∈R ，不等式x ax≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）CA ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥2．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) [5,1212ππ]3．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 （ ）A（A ）1()f x x =（B ）()||f x x = （C ）()2xf x = （D ）2()f x x =4. 若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( )2-=k 或(-1,1]4. k x y +=表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。
如图可知，[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。
5．若关于x 的方程245x x m -+=有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为________。
15m <<题型解析例1．方程sin2x=sinx 在区间（0，2π）解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：解方程f （x ）=g （x ）的问题归结为两个函数y=f （x ） 与y=g （x ）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。
解:如图 在同一坐标系内，作出y=sin2x ，x ∈(0,2π)；g=sinx ，x ∈(0,2π)的图有三个交点，故方程sin2x=sinx 在(0,2π)内有三个解。
一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想。
练习 设f(x)是定义在R 上以2为周期的函数,对于K ∈Z 用k Z 表示区间(2k-1,2k+1),已知x ∈0Z 时,有f(x)=2x 。
(1) 求f(x)在k Z 上的解析式。
(2) 对于自然数K,求集合K M ={a|使方程f(x)=ax 在k Z 上有两个不相等的实根}。
解(1)如右图 从图形可以看出f(x)=2(2)x k -。
(2)如下图 由f(x)=ax,x ∈k Z ,得2(2)x k -即2x -(4k+a)x+42k =0,考察函数f(x)= 2x -(4k+a)x+42k ，x ∈(2k-1,2k+1)的图象位置,依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与x 轴有两个不同交点。
则有△ ＞f(2k-1) ＞0f(2k+1)≥ 2k-1＜(4k+a)/2＜从中解得:0<a ≤1/(2k+1),(k ∈N) 故K M ={a|0<a ≤1/((2k+1),(k ∈N))。
例 2 已知三点(12)(15)(243)(0)A m B m C m m m ++++>，，，，，，问m 为何值时，d AB BC =+最小，并求最小值．分析：根据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时，d AB BC =+最小．解：依题意知，当三点共线时d AB BC =+最小，此时AB BC k k =，， ∵52311AB m m k m m ---==+-，4354221BC m k m m m +-==-+--， ∴342mm m-=-，解得34m =-（舍去）或1m =， ∴1m =，此时三个点分别为(13)(25)(37)A B C ，，，，，，∴22(73)(31)25d AB BC AC =+==-+-=．练习．已知点(35)M ，，在y 轴和直线y x =上分别找一点P 和N ，使得MNP △的周长最小．分析：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则1MP M P =，2MN M N =，所以MNP △的周长等于12M P PN M N ++，当且仅当12M M P ，，三点共线时取最小值，所以点P N ，应为直线12M M 和y 轴与直线y x =的交点．解：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则点12M M ，的坐标分别为(35)(53)-，，，，由两点式得533553y x -+=-+， 整理得4170x y +-=，即为直线12M M 的方程， 易得它和y 轴和直线y x =的交点坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．即使得MNP △周长最小的点P 和N 的坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，．评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．例3.已知点()P a b ，在直线10mx y +-=上，且2221a b a +-+的最小值为2，求m 的值．解：∵222221(1)a b a a b +-+=-+，∴它是点()P a b ，和点(10)，之间的距离，它的最小值就是点(10)，到直线10mx y +-=的距离，由点到直线的距离公式可得2121m m -=+，平方得222122m m m -+=+， 整理得2(1)0m +=， ∴1m =-．评注：本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有出现，请同学们注意训练和总结．练习.求点(14)P -，到直线:(1)(2)50l m x m y m ++-+-=的距离d 的最大值．分析：对直线方程(1)(2)50m x m y m ++-+-=整理后，我们会发现它表示过定点(12)Q ，的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以d PQ ≤，当且仅当PQ l ⊥时取等号，即此时d 取得最大值PQ ．解：(1)(2)50m x m y m ++-+-=可化为25(1)0x y m x y +-+++=， 它表示过直线250x y +-=和10x y -+=交点的直线．解方程组25010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得两直线交点为(12)Q ，，即直线l 恒过定点(12)Q ，， 当PQ l ⊥时d 取最大值PQ ， ∵22(11)(42)22PQ =--+-=， ∴d 的最大值为22． 例4.已知，a 2<a-b ，求证：【分析与解】 读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解题的灵感. a 2<a-b ，即为b<a-a 2.要证b<，那么a 与k 如何取得联系呢？令.这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？二次函数g （a ）的图象的对称轴为上单调递增，又b<g （a ），【反思】 在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了.数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感.例5.已知实数a 、b ，满足a+b=1. 求证： （a-3）2+（b+4）2≥2.【思考与分析】 本题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式，由已知条件，我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解.证明： 不等式左端可视为点P （a ，b ）到点Q （3，-4）的距离的平方，而点P （a ，b ）可看作直线l ：x+y=1上的任意一点，于是问题转化为点P 在直线l 上什么位置时线段PQ 最短，当然是PQ ⊥l 时点Q 到l 的距离最短，所以如下图【反思】 本题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题.练习. 已知：a ，b ，c 为正实数。
求证2＜22a b +22b c +22c a +2(a+b+c)。
分析:联想到勾股定理a,b的矩形的对角线,因此,我们 c可以构造如图所示的图形。
以a+b+c为边构成正方形则而 AC＜AE+EF+FC＜AD+CD所以有2(a+b+c)。
注:观察、联想是构造图行,创新解题的关键。
注：有些题目若按常规的代数解法需要讨论,比较烦琐且易产生遗漏现象,我们这样构造利用图象分析,得出答案非常直观简洁。
例6 不等式ax(0,4],则a的取值范围是( )A.0a≤ B.4a< C.0a< D.0a>分析:分别作出y ax=与y=,从图象上很容易得到结论.解: 令y ax=,y=(04)x≤≤,∴y ax=是过原点且斜率为a的直线,y=(04)x≤≤是圆心在(2,0)半径为2的圆在x轴及x轴上方的部分,ax>的几何意义是半圆在(0,4]上恒处于直线的上方(如图), 可知0a<是,上述结论成立,∴a的取值范围是0a<.选C.综合自测1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）－3 2.设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式1[()]02f x x -<的解集是______________。
2.解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：当x ∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0 当x ∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0 又21111()()1241616x x x -=--≥->- ∴1[()]02f x x -<成立，则必有0＜x(x-21)＜1,解之得：4171-＜x ＜0 或 21＜x ＜4171+3.抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是（ ） 解析:1. 设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=,由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),4．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）65:已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(2)CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）答案:1. 由(2)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心为半径的圆周上(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC =,'AC =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=, 5[,]1212ππ6.直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ）47．关于x 的方程222(1)|1|0x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是________设21u x =-,化原式为：2||||u u k -=-，画出函数2||||y u u =-的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。