离散系统的时域及变换域分析
第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
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零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
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零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
离散系统的时域分析_OK
pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其 中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对 应的.
离散时间系统的时域特性分析
数字信号处理实验报告学生姓名：孙奇学生学号：10934212学生班级：10093412所属专业：通信工程实验日期：2012-11-6实验一：离散时间系统的时域特性分析实验目的线性时不变离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述冲激响应序列可以刻画其时域特性。
本实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应系统的线性和时不特性的理解。
基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统离散时间系统最重要的最常用的是“线性时不变系统实验内容程序一clf;n=0:100;x=cos(20*pi*n/256)+cos(200*pi*n/256);subplot(3,1,1);stem(n,x); %输入信号的图形xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输入信号');den1=[1]; %对应系统一的差分方程系数num1=[0.5 0.27 0.77];den2=[1 -0.53 0.46]; %对应系统二的差分方程系数num2=[0.45 0.5 0.45];y1=filter(num1,den1,x);subplot(3,1,2);stem(n,y1); %系统一输出信号的图形y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,3);stem(n,y2); %系统二输出信号的图形3程序二n=40; %取冲击响应的前40个样本num1=[0.5 0.27 0.77]; %对应系统一的差分方程系数den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45]; %对应系统二的差分方程系数den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,n); %系统一的冲击响应subplot(2,1,1);stem(y1);y2=impz(num2,den2,n); %系统二的冲击响应subplot(2,1,2);stem(y2);判断是否为线性程序三（1）n=0:40;a=2; %任取两个系数b=3;x1=cos(2*pi*0.3*n);x2=cos(2*pi*0.5*n);x=a*x1+b*x2;num=[0.45 0.5 0.45]; %对应系统二的差分方程系数den=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num,den,x1); %计算出y1（n）y2=filter(num,den,x2); %计算出y2（n）y=filter(num,den,x); %计算出y（n）subplot(2,1,1);stem(n,y);ylabel('信号幅度');yt=a*y1+b*y2; %计算出yt（n）=a y1（n）+b y2（n）subplot(2,1,2);stem(n,yt);ylabel('信号幅度');从图中可知，上下两个图完全一样，可知系统二符合叠加原理，即系统二是线性系统。
离散时间信号的时域分析实验报告
离散时间信号的时域分析实验报告实验报告：离散时间信号的时域分析一、实验目的本实验旨在通过MATLAB软件，对离散时间信号进行时域分析，包括信号的显示、基本运算（如加法、减法、乘法、反转等）、以及频域变换（如傅里叶变换）等，以加深对离散时间信号处理的基本概念和原理的理解。
二、实验原理离散时间信号是在时间轴上离散分布的信号，其数学表示为离散时间函数。
与连续时间信号不同，离散时间信号只能在特定的时间点取值。
离散时间信号的时域分析是研究信号的基本属性，包括幅度、时间、频率等。
通过时域分析，我们可以对信号进行各种基本运算和变换，以提取有用的信息。
三、实验步骤1.信号生成：首先，我们使用MATLAB生成两组简单的离散时间信号，一组为正弦波，另一组为方波。
我们将这些信号存储在数组中，以便后续分析和显示。
2.信号显示：利用MATLAB的绘图功能，将生成的信号在时域中显示出来。
这样，我们可以直观地观察信号的基本属性，包括幅度和时间关系。
3.基本运算：对生成的信号进行基本运算，包括加法、减法、乘法、反转等。
将这些运算的结果存储在新的数组中，并绘制出运算后的信号波形。
4.傅里叶变换：使用MATLAB的FFT（快速傅里叶变换）函数，将信号从时域变换到频域。
我们可以得到信号的频谱，进而分析信号的频率属性。
5.结果分析：对上述步骤得到的结果进行分析，包括比较基本运算前后的信号波形变化，以及傅里叶变换前后的频谱差异等。
四、实验结果1.信号显示：通过绘制图形，我们观察到正弦波和方波在时域中的波形特点。
正弦波呈现周期性的波形，方波则呈现明显的阶跃特性。
2.基本运算：通过对比基本运算前后的信号波形图，我们可以观察到信号经过加法、减法、乘法、反转等运算后，其波形发生相应的变化。
例如，两个信号相加后，其幅度和时间与原信号不同。
反转信号则使得波形在时间轴上反向。
3.傅里叶变换：通过FFT变换，我们将时域中的正弦波和方波转换到频域。
正弦波的频谱显示其频率为单一的直流分量，方波的频谱则显示其主要频率分量是直流分量和若干奇数倍的谐波分量。
(信息与通信)第七章离散时间系统的时域分析2
稳定性分析的应用
稳定性分析在离散时间系统中的应用非常广 泛。例如，在数字信号处理中，稳定性分析 可以帮助我们判断数字滤波器的性能和稳定 性；在控制系统分析中，稳定性分析是判断 系统能否正常工作的关键；在图像处理中， 稳定性分析可以帮助我们判断图像处理算法 的性能和稳定性。
此外，稳定性分析还可以应用于其他领域， 如金融、交通等。在这些领域中，稳定性分 析可以帮助我们理解和预测系统的行为，从
数字电视、数字广播、卫星通 信、移动通信等。
计算机控制系统
计算机控制的生产线、机器人 、智能家居等。
科学计算
数值计算、模拟仿真等。
02
离散时间系统的时域分析方法
差分法
01
差分法是通过离散时间信号的差分运算来分析系统的
特性。
02
差分方程是描述离散时间系统动态行为的基本工具，
通过求解差分方程可以得到系统的输出响应。
离散时间系统的仿真工具与技术
数学软件仿真
使用数学软件（如MATLAB、Simulink等）进行离散时间系统的建 模和仿真，可以进行系统性能分析和优化。
硬件描述语言仿真
使用硬件描述语言（如Verilog、VHDL等）进行离散时间系统的建 模和仿真，可以模拟硬件实现并进行验证。
模拟器仿真
使用模拟器（如QEMU、ModelSim等）进行离散时间系统的仿真， 可以模拟实际硬件运行环境，进行系统测试和验证。
对比分析
将离散时间系统的性能与其他同类系统进行对比， 以评估其优劣。
性能优化策略
01
算法优化
改进或优化离散时间系统的算法， 以提高其性能。
并行处理
利用并行处理技术，提高离散时间 系统的处理速度和效率。
03
离散时间系统的时域分析
称为混叠。 常称作折叠频率。 2
信号频率
fa nfs fm
fa fs / 2
假频
Fδ(jω)
抽样频率
ω Ω-ωm ωm Ω
例如：当抽样率为5kHz对3kHz的余弦信号 抽样，然后用截止频率为2.5kHz的低通滤波 器进行滤波，输出的频谱只包含2kHz的频率， 这是原信号中所没有的。
对一个低通滤波器的冲激响应进行抽样，抽 样后低频通带将在整个频率轴上周期的重复出现， 这种现象称为“伪门”。在设计数字滤波器时要 适当选择抽样率，使得伪门在干扰频率之外。
H(jω)
ω 0 数字滤波器的伪门
例1：对于频率为150Hz的正弦时间序列，分别以4ms 和8ms采样结果会如何？
100HZ 25HZ
在实际工作中应用抽样定理时，还应考虑下 面两个实际问题：
1、在理论上讲，按照奈奎斯特抽样率抽样， 通过理想低通滤波器以后，就可以恢复原信 号。但理想低通滤波器在物理上是不可实现 的，实际滤波器都存在一个过渡带，为了保 证在滤波器过渡带的频率范围内信号的频谱 为零，必须选择高于2fm的抽样率。
u (n) 0, n 0
...
n -1 0 1 2 3
(n) u(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
3.矩形序列 R N (n )
1, R N (n) 0,
0 n N 1 其他n
RN (n) u(n) u(n N )
第五章 离散时间系统 的时域分析
§5.1 离散信号与抽样定理
一、离散信号及其表示
1、离散时间信号是指只在一系列离散的时刻 tk (k = 0,1,2,…)时，信号才有确定值，在其它时 刻，未定义; 2、离散时间信号是离散时间变量 tk 的函数; 3、抽样间隔可以是均匀的，也可以非均匀。
离散系统的时域分析法
第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
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实验1 离散系统的时域及变换域分析一、实验目的：1.加深对离散系统的差分方程、单位抽样响应和卷积分析方法的理解。
2.加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。
二、实验原理： 1.时域 离散系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(输入信号分解为冲激信号，∑∞-∞=-=m m n m x n x )()()(δ系统单位抽样序列h （n ），则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()(当00≠a N k a k ,...2,1,0==时，h(n)是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。
2.变换域离散系统的时域方程为∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(其变换域分析方法如下：X(z)H(z)Y(z) )()()()()(=⇔-=*=∑∞-∞=m m n h m x n h n x n y 系统函数为 N N MM z a z a a z b z b b z X z Y z H ----++++++==......)()()(110110分解因式∏∏∑∑=-=-=-=---==Nk kMm m Nk kk Mm mm z dz c Kza zb z H 1111)1()1()( ，其中 m c 和 k d 称为零、极点。
在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统函数的零、极点分布图。
使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。
另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
三 、实验内容 1.时域（1.）编制程序求解下列系统的单位抽样响应，并绘出其图形。
)1()()2(125.0)1(75.0)(--=-+-+n x n x n y n y n y解 用MATLAB 计算程序如下： N=15; n=0:N-1; b=[1,-1];a=[1,0.75,0.125]; x=[n==0];y=filter(b,a,x); subplot(3,2,1); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');(2.)给定因果稳定线性时不变系统的差分方程∑∑==-=-Mm m Nk nm n x b k n y a)()(对下列输入序列()x n ，求输出序列()y n 。
30()()x n R n =解：MATLAB 计算程序如下：N=80; n=0:N-1; b=1;a=[1,-1,0.9];x=[(n>0&(n<30))]; y=filter(b,a,x); subplot(3,2,3); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');例1 求下列直接型系统函数的零、极点，并将它转换成二阶节形式num=[1 -0.1 -0.3 -0.3 -0.2];den=[1 0.1 0.2 0.2 0.5];[z,p,k]=tf2zp(num,den);disp('零点');disp(z);disp('极点');disp(p);disp('增益系数');disp(k);sos=zp2sos(z,p,k);disp('二阶节');disp(real(sos));zplane(num,den)输入到“num”和“den”的分别为分子和分母多项式的系数。
计算求得零、极点增益系数和二阶节的系数：零点0.9615-0.5730-0.1443 + 0.5850i-0.1443 - 0.5850i极点0.5276 + 0.6997i 0.5276 - 0.6997i -0.5776 + 0.5635i -0.5776 - 0.5635i 增益系数 1 二阶节1.0000 -0.3885 -0.5509 1.0000 1.1552 0.6511 1.0000 0.2885 0.3630 1.0000 -1.0552 0.7679系统函数的二阶节形式为：极点图如右图。
例2 差分方程)3(02.0)2(36.0)1(44.0)(8.0 )3(6.0)2(45.0)1(7.0)(-+-+--=-----+n x n x n x n x n y n y n y n y 所对应的系统的频率响应。
解：差分方程所对应的系统函数为3213216.045.07.0102.036.044.08.0)(--------+++-=zz z z z z z H 用MATLAB 计算的程序如下：k=256;num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));grid title('实部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度') subplot(2,2,2);plot(w/pi,imag(h));gridtitle('虚部')xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')练习1.求系统54321543212336.09537.08801.14947.28107.110528.0797.01295.01295.00797.00528.0)(-----------+-+-+++++=z z z z z z z z z z z H 的零、极点和幅度频率响应和相位响应。
要求：绘出零、极点分布图，幅度频率响应和相位响应曲线。
解：用MATLAB 计算的程序如下：num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528]; den=[1 -1.8107 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); disp('零点');disp(z);disp('极点');disp(p);零点-1.5870 + 1.4470i-1.5870 - 1.4470i0.8657 + 1.57795i0.8657 - 1.5779i-0.0669极点0.2788 + 0.8973i0.2788 - 0.8973i0.3811 + 0.6274i0.3811 - 0.6274i0.4910k=256;num=[0.0528 0.0797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528];den=[1 -1.8107 2.4947 -1.8801 0.9537 -0.2336]; w=0:pi/k:pi;h=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1);plot(w/pi,real(h));gridtitle('幅度谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值')subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(h));gridtitle('相位谱')xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')四、实验结果分析1、系统函数的零、极点分别关于实轴和原点对称分布2、对于稳定的因果系统，H（z）的全部极点应落在单位圆内，所以描述的系统是稳定的因果系统3、通过Matlab，可以直观的看出系统函数的幅度和相位谱的变化，为系统分析提供了有效便捷的方法五、实验心得1、通过这次实验，学会了更好地使用Matlab仿真软件，对于一些复杂的频率响应有更直观的分析。
2、通过零极点的分布，可以直观的看出来是否为稳定因果系统，比起分析零极点的值，更为便捷。
3、编程的过程中，需要静下心，认真思考，不得马虎。