江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--算法初步

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江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编不等式苏教版

不等式1、（常州市2013届高三期末）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．答案：56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、（连云港市2013届高三期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ▲ .答案：125[1,)(,9]33--3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 则目标函数23z x y =+的最大值为 ▲答案：264、（南通市2013届高三期末）已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ．答案：－2．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 答案：－36、（苏州市2013届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是．答案：7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7．则t= ．答案：28、（扬州市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．答案：39、（镇江市2013届高三期末）已知x ，y 为正数，则22x yx y x y+++的最大值为 ▲ ．答案：3210、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 答案：37(,]6-∞ 11、（苏州市2013届高三期末已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是．答案：。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编平面向量苏教版

平面向量1、（常州市2013届高三期末）已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ．答案：2、（连云港市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ . 答案：4+22; 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ▲ ．答案：04、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，若AB =1，AC =3，||||AB AC BC +=，则||BA BC BC ⋅= ▲ ．答案：12． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是 ▲ .76、（苏州市2013届高三期末）已知向量a ，b ，满足1a =，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为．127、（无锡市2013届高三期末）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是8、（扬州市2013届高三期末）已知向量()()k b a ,1,1,2-==，若b a ⊥，则k 等于 ▲ ．AB MNECF第14题图答案：29、（镇江市2013届高三期末）已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实数x = ▲ ．答案：09、（镇江市2013届高三期末）在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ▲ ．答案：－1210、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值；(2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. ………………………………14分 11、（泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b +的值（2）若a b ⊥，求θ （3）20πθ=，求证：a b解：（1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分）｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin ((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z ……………………………………..........9分（3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·s in ［(10－λ) θ］=cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b (14)分12、（无锡市2013届高三期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n =+·m 。

13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编1：集合

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编1：集合一、填空题1 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若集合{}1,0,1A =-,{}|cos(),B y y x x A ==π∈,则A B = ____.【答案】{1,1}-;2 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）若集合}11|{≤≤-=x x M ,2{|20}N x x x =-≤,则M∩N=____.【答案】[0,1]3 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(_____.【答案】{2,3}4 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知集合{}1,1,2,4A =-,{}1,0,2B =-,则A B = _____________.【答案】{}1,2-5 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）集合A ={1,2,3},B ={2,4,6},则A B =_________.【答案】{2};6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）设集合{}1,A a =,{}B a =,若B A ⊆,则实数a 的值为______.【答案】07 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）设全集U=R,集合A={}{}2|20,|1x x x B x x -<=>,则集U A B = ð___________. 【答案】{}|01x x <≤8 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知全集U =R,集合{}10A x x =+>,则U A =ð________.【答案】答案:(,1]-∞-.考查集合运算.注意集合的规范表示法,重视集合的交并补的运算.9 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知集合{}1,2,3A =,{}1,2,5B =,则A B ⋂=___________【答案】{}2,110．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知集合(]2 1A =-，,[)1 2B =-，,则A B =U ______.【答案】(2 2)-，11．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记函数f (x )=3－x 的定义域为A ,函数g (x )=lg(x -1)的定义域为B ,则A ∩B =________.【答案】(1,3]12．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知集合A={2a,3},B={2,3}.若A B={1,2,3},则实数a 的值为____.【答案】013．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}1,2,3,5B =,则()U A B = ð______.【答案】{}2,4,614．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）设全集U R =,集合{}|13A x x =-≤≤,{}|1B x x =>,则U A B = ð______.【答案】[1,1]-15．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥,则()A B =R I ð____.【答案】(]03，16．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若集合}2,1{-=m A ,且}2{=B A ,则实数m 的值为________.【答案】417．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知集合{}2,1,0,1-=U ,{}1,1-=A , 则U A ð= .【答案】{}0,218．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知集合M ={1 ,2,3, 4,5},N ={2,4,6,8,10},则M ∩N =______.【答案】{}4,2;。

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15导数

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15：导数一、填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记定义在R 上的函数y =f (x )的导函数为f′(x ).如果存在x 0∈[a ,b ],使得f (b )-f (a )=f′(x 0)(b -a )成立,则称x 0为函数f (x )在区间[a ,b ]上的“中值点”.那么函数f (x )=x 3-3x 在区间[-2,2]上“中值点”的个数为________. 【答案】22 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线x ye =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_____.【答案】3 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_____________【答案】(0,0)4 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C :32(,,y ax bx d a b d =++为常数上,若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行,则32a b d ++=______.【答案】75 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数xmx x f -=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m ____.【答案】e 3-6 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的值为_____.【答案】127 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线,则切线斜率为_____.【答案】1e8 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________.【答案】答案:1e 2y x =-. 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.(1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=.在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中,令x =0,则得(1)e f '=. 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别.二、解答题9 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数f (x )=12m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R.(1)当m =0时,求函数f (x )的单调增区间;(2)当m >0时,若曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.【答案】解(1)由题意知,f (x )=-2x +3+ln x ,所以f′(x )=-2+1x =－2x ＋1x(x >0)由f′(x )>0得x ∈(0,12) .所以函数f (x )的单调增区间为(0,12)(2)由f′(x )=mx -m -2+1x,得f′(1)=-1,所以曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 的方程为y =-x +2 由题意得,关于x 的方程f (x )=-x +2有且只有一个解, 即关于x 的方程12m (x -1)2-x +1+ln x =0有且只有一个解.令g (x )=12m (x -1)2-x +1+ln x (x >0).则g′(x )=m (x -1)-1+1x =mx 2－(m ＋1)x ＋1x =(x －1)(mx －1)x(x >0)①当0<m <1时,由g′(x )>0得0<x <1或x >1m ,由g′(x )<0得1<x <1m,所以函数g (x )在(0,1)为增函数,在(1,1m )上为减函数,在(1m,+∞)上为增函数.又g (1)=0,且当x →∞时,g (x )→∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故0<m <1不合题意②当m =1时,g′(x )≥0,g (x )在(0,+∞)上为增函数,且g (1)=0,故m =1符合题意. ③当m >1时,由g′(x )>0得0<x <1m 或x >1,由g′(x )<0得1m<x <1,所以函数g (x )在(0,1m ) 为增函数,在(1m,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.又g (1)=0,且当x →0时,g (x )→-∞,此时曲线y =g (x )与x 轴有两个交点. 故m >1不合题意. 综上,实数m 的值为m =110．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1,求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若()0f x >恒成立,求a 的取值范围.【答案】解:(1)若a =1, 则()1ln f x x x x =--.当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>,所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==-- (2)由于()ln f x x x a x =--,(0,)x ∈+∞.(ⅰ)当0a ≤时,则2()ln f x x ax x =--,2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =,得00x =>(负根舍去), 且当0(0,)x x ∈时,'()0f x <;当0(,)x x ∈+∞时,'()0f x >,所以()f x 在上单调减,在)+∞上单调增 (ⅱ)当0a >时,①当x a ≥时, 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =,得1x =x a =<舍),若a ≤,即1a ≥, 则'()0f x ≥,所以()f x 在(,)a +∞上单调增;若a >,即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时,'()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,'()0f x >,所以()f x 在区间上是单调减,在)+∞上单调增 ②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =,得2210x ax -+-=,记28a ∆=-,若280a ∆=-≤,即0a <≤, 则'()0f x ≤,故()f x 在(0,)a 上单调减;若280a ∆=->,即a >则由'()0f x =得3x =4x =且340x x a <<<,当3(0,)x x ∈时,'()0f x <;当34(,)x x x ∈时,'()0f x >;当4(,)x x ∈+∞ 时,'()0f x >,所以()f x在区间上是单调减,在上单调增;在)+∞上单调减综上所述,当1a <时,()f x 单调递减区间是 ,()f x 单调递增区间是)+∞;当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ,()f x 单调的递增区间是(,)a +∞;当a >, ()f x 单调递减区间是)和)a ,()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞(3)函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞. 由()0f x >,得ln xx a x->. * (ⅰ)当(0,1)x ∈时,0x a -≥,ln 0xx<,不等式*恒成立,所以R a ∈; (ⅱ)当1x =时,10a -≥,ln 0xx=,所以1a ≠; (ⅲ)当1x >时,不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立. 令ln ()xh x x x=-,则221ln ()x x h x x -+'=. 因为1x >,所以()0h x '>,从而()1h x >. 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <,所以1a ≤. 令ln ()xg x x x=+,则221ln ()x x g x x +-'=.再令2()1ln e x x x =+-,则1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立,()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞11．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1).(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数,求实数a 的最小值;(2)若212,[e,e ]x x ∃∈,使f (x 1)≤2()f x a '+成立,求实数a 的取值范围.【答案】解:(1)因f (x )在(1,)+∞上为减函数,故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立所以当(1,)x ∈+∞时,max ()0f x '≤. 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-, 故当11ln 2x =,即2e x =时,max 1()4f x a '=-.所以10,4a -≤于是14a ≥,故a 的最小值为14(2)命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时,有()min max ()f x f x a '≤+”由(1),当2[e,e ]x ∈时,max 1()4f x a '=-,∴()max 14f x a '+=.问题等价于:“当2[e,e ]x ∈时,有min 1()4f x ≤”01当14a ≥时,由(1),()f x 在2[e,e ]上为减函数,则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤,故21124e a ≥-2当14a <时,由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数, 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f '',即1[,]4a a --.(i )若0a -≥,即0a ≤,()0f x '≥在2[e,e ]恒成立,故()f x 在2[e,e ]上为增函数, 于是,min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥,不合(ii )若0a -<,即104a <<,由()f x '的单调性和值域知,∃唯一20(e,e )x ∈,使0()0f x '=,且满足:当0(e,)x x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;当20(,e )x x ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; 所以,min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤,20(e,e )x ∈. 所以,2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=,与104a <<矛盾,不合综上,得21124ea ≥- 本题主要考查函数与导数的知识,考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力. 第(2)可另解为:命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于 “21[e,e ]x ∃∈,使()1max ()f x f x a '+≤”.由(1),当2[e,e ]x ∈时,max 1()4f x a '=-,于是()max 14f x a '+=.故21[e,e ]x ∃∈,使11111()ln 4x f x ax x =-≤,即21[e,e ]x ∃∈,使1111ln 4a x x -≥.所以当2[e,e ]x ∈时,()min11ln 4a x x -≥.记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈,则222224(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=⋅. 因2[e,e ]x ∈,故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈,于是2()0,[e,e ]g x x '<∀∈恒成立. 所以,11()ln 4g x x x =-在2[e,e ]上为减函数,所以,min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-.所以,21124ea -≥.12．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数3211()33f x x mx x m =--+,其中m ∈R.(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有12|()()|4f x f x ''-≤,求实数m 的取值范围; (3)求函数()f x 的零点个数.【答案】解:(1) f ´(x )=x 2-2mx -1,由f ´(x )≥0,得x ≤m -m 2+1,或x ≥ m +m 2+1;故函数()f x 的单调增区间为(-∞,m -m 2+1),(m +m 2+1,+∞),减区间(m -m 2+1, m +m 2+1)(2) “对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有|f '(x 1)-f '(x 2)|≤4”等价于“函数y =f ´(x ),x ∈[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”.对于f ´(x )=x 2-2mx -1,对称轴x =m .①当m <-1时, f ´(x )的最大值为f ´(1),最小值为f ´(-1),由 f ´(1)-f ´(-1)≤4,即-4m ≤4,解得m ≥1,舍去;②当-1≤m ≤1时, f ´(x )的最大值为f ´(1)或f ´(-1),最小值为f ´(m ),由 ⎩⎨⎧f ´(1)-f ´(m )≤4f ´(-1)-f ´(m )≤4,即⎩⎨⎧m 2-2m -3≤0m 2+2m -3≤0,解得-1≤m ≤1; ③当m >1时, f ´(x )的最大值为f ´(-1),最小值为f ´(1),由 f ´(-1)-f ´(1)≤4,即4m ≤4,解得m ≤1,舍去;综上,实数m 的取值范围是[-1,1](3)由f ´(x )=0,得x 2-2mx -1=0,因为△=4m 2+4>0,所以y =f (x )既有极大值也有极小值.设f ´(x 0)=0,即x 02-2mx 0-1=0,则f (x 0)=13x 03-mx 02-x 0+13m =-13mx 02-23x 0+13m =-23x 0(m 2+1)所以极大值f (m -m 2+1)=-23(m -m 2+1)(m 2+1)>0,极小值f (m +m 2+1)=-23(m +m 2+1)(m 2+1)<0,故函数f (x )有三个零点13．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知a 为正的常数,函数2()ln f x ax x x =-+.(1)若2a =,求函数()f x 的单调增区间; (2)设()()f x g x x=,求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.【答案】14．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b >0,函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+,记()()F x f x '=(()f x '是函数()f x 的导函数),且当x =1时,()F x 取得极小值2. (1)求函数()F x 的单调增区间;(2)证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥.【答案】【解】(1)由题()11111()()2(1)002F x f x ax a ax x b ab b bx bx'==⋅+⋅-+=+>>，，.于是()211()F'x a b x =-,若0a <,则()0F'x <,与()F x 有极小值矛盾,所以0a >.令()0F'x =,并考虑到0x >,知仅当x =时,()F x 取得极小值.所以11(1)2a b=⎪+=⎩，，解得1a b ==故1()(0)F x x x x =+>,由()0F x '>,得1x >,所以()F x 的单调增区间为(1)+∞，.(2)因为0x >,所以记[][]()()11()()()()()nnnnnnng x F x F x F x F x x x xx =-=-=+-+11223312311111C C C C n n n n n n n n n x x x x x x x x -----=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 因为11C C 2C (121)r n r n r r n n n n r x x r n x x---⋅+⋅=-L ≥，，，, 所以12312()2(C C C C )2(22)n n n n n n g x -+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-≥,故[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数,且不恒为0,记()()()n n f x g x n x=∈*N .若对定义域内的每一个x ,总有()0n g x <,则称()f x 为“n 阶负函数”;若对定义域内的每一个x ,总有[]()0n g x '≥, 则称()f x 为“n 阶不减函数”([]()n g x '为函数()n g x 的导函数).(1)若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数a 的取值范围;(2)对任给的“2阶不减函数”()f x ,如果存在常数c ,使得()f x c <恒成立,试判断()f x 是否为“2阶负函数”?并说明理由.【答案】解:(1)依题意,142()1()1f x ag x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增,故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立,得212a x ≤,因为0x >,所以0a ≤而当0a ≤时,1421()10a g x x x =--<显然在(0 )+∞，恒成立,所以0a ≤(2)①先证()0f x ≤:若不存在正实数0x ,使得20()0g x >,则2()0g x ≤恒成立假设存在正实数0x ,使得20()0g x >,则有0()0f x >,由题意,当0x >时,2()0g x '≥,可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增, 当0x x >时,0220()()f x f x x x >恒成立,即2020()()f x f x x x >⋅恒成立,故必存在10x x >,使得201120()()f x f x x m x >⋅>(其中m 为任意常数), 这与()f x c <恒成立(即()f x 有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当0x >时,2()0g x ≤,即()0f x ≤; ②再证()0f x =无解:假设存在正实数2x ,使得2()0f x =, 则对于任意320x x >>,有322232()()0f x f x x x >=,即有3()0f x >, 这与①矛盾,故假设不成立,所以()0f x =无解,综上得()0f x <,即2()0g x <,故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”16．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数a ,b ,c R ∈,函数32()f x ax bx cx =++满足(1)0f =,设()f x 的导函数为()f x ',满足(0)(1)0f f ''>.(1)求ca的取值范围; (2)设a 为常数,且0a >,已知函数()f x 的两个极值点为1x ,2x ,11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,求证:直线AB 的斜率2,96a a k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.【答案】17．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称; (2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【答案】解:(1)()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33,()x f ∴为奇函数设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23,()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ,∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->,∴2221x x =又21x x ≠,∴21x x -=, 又()f x 为奇函数,∴点B A ,关于原点对称(2)由(1)知()()1111,,,y x B y x A --, ∴b ax x y k AB -==2111, 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113, 直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB k k axb ax b ⋅=--⋅-=-,令021≥=ax t ,即方程014322=++-b bt t 有非负实根,∴302≥⇒≥∆b ,又212103b t t +=> , ∴0034>⇒>b b.综上3≥b 【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查推理论证能力.18．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.【答案】19．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）记函数()()*1,nn f x a x a R n =⋅-∈∈N的导函数为()n f x ',已知()3212f '=. (Ⅰ)求a 的值.(Ⅱ)设函数2()()ln n n g x f x n x =-,试问:是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点?若存在,请求出所有n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若实数0x 和m (0m >,且1m ≠)满足:()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'=',试比较0x 与m 的大小,并加以证明.第二部分(加试部分)【答案】解:(Ⅰ)'23()3f x ax =,由()3212f '=得1a =(Ⅱ)2()ln 1nn g x x n x =--,2'1()()n n nn n x n g x n xx x--=⋅-=, ∵0x >,令'()0n g x =得x =,当x >时,'()0n g x >,()n g x 是增函数;当0x <<时,'()0n g x <,()n g x 是减函数.∴当x =时,()n g x 有极小值,也是最小值,ln 1n g n n n =--,当0x →时,()n g x →+∞; 当x →+∞时(可取23,,x e e e=体验),()n g x →+∞.当3n ≥时,(1ln )10n g n n =--<,函数()n g x 有两个零点; 当2n =时,2ln 210n g =-+<,函数()n g x 有两个零点; 当1n =时,0n g =,函数()n g x 有且只有一个零点, 综上所述,存在1n =使得函数()n g x 有且只有一个零点 (Ⅲ)'1()n nf x n x-=⋅,∵()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'=',∴10101(1)1n n nn nx m n x m -+-=+-, 得10(1)(1)(1)n nn m x n m +-=+-, 则10(1)(1)(1)n n m m n nx m n m +-++--=+-,当1m >时,(1)(1)0n n m +->,设1()(1)(1)n h x x x n n x +=-++-≥, 则'()(1)1(1)(1)0n nh x n x n n x =-+++=-+-≤(当且仅当1x =时取等号),∴()h x 在[)1,+∞上是减函数,又∵1m >,∴()(1)0h m h <=,∴00x m -<,∴0x m <当01m <<时,(1)(1)0n n m +-<,设1()(1)(01)n h x x x n n x +=-++-<≤, 则'()(1)1(1)(1)0n nh x n x n n x =-+++=-+-≥(当且仅当1x =时取等号),∴()h x 在(]0,1上是增函数,又∵01m <<,∴()(1)0h m h <=,∴00x m ->,∴0x m >. 综上所述,当1m >时0x m < ,当01m <<时0x m >20．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知函数f (x )=(m -3)x 3+ 9x .(1)若函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m 的取值范围; (2)若函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为4,求m 的值.【答案】【解】(1)因为f '(0)=9 > 0,所以f (x )在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数由f '(x )=3(m -3)x 2+ 9≥0在区间(-∞,+∞)上恒成立,所以m ≥3.故m 的取值范围是[3,∞)(2)当m ≥3时,f (x )在[1,2]上是增函数,所以[f (x )] max =f (2)=8(m -3)+18=4, 解得m =54<3,不合题意,舍去当m <3时,f '(x )=3(m -3) x 2+ 9=0,得x =.所以f (x )的单调区间为:(-∞-，单调减,(单调增,)+∞单调减.①当2,即934m <≤时,([12]⊆，,所以 f (x )在区间[1,2]上单调增,[f (x )] max =f (2)=8(m -3)+18=4,m =54,不满足题设要求.②当12<<,即0<m <94时,[f (x )] max 04f ==≠舍去.1,即m ≤0时,则[12]⎤⊆+∞⎥⎦，,所以f (x )在区间[1,2]上单调减,[f (x )] max =f(1)=m + 6=4,m =-2.综上所述:m =-221．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=12x 2+1nx. (Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈.【答案】22．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.【答案】⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+,只需要2210ax x +-≤,即22111112()24a x x x -=--≤,所以18a -≤⑵因为1()21f x ax x'=--.所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--.令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦,则(2)0g =.212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=- 若0a =,则2()2xg x x-'=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>;当(2,)x ∈∞+时,()0g x '<, 所以()(2)0g x g =≥,12,c c 在直线l 同侧,不合题意;若0a ≠,12(2)()4()a x x a g x x-+'=-,若18a =-,2(1)2()0x g x x-'=≥,()g x 是单调增函数,当(2,)x ∈∞+时,()(2)0g x g >=;当(0,2)x ∈时,()(2)0g x g <=,符合题意;若18a <-,当1(,2)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g >=, 当(2,)x ∈+∞时,()0g x '>,()(2)0g x g >=,不合题意; 若108a -<<,当1(2,)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g <=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=,不合题意; 若0a >,当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=, 当(2.)x ∈+∞时,()0g x '<,()(2)0g x g <=,不合题意. 故只有18a =-符合题意23．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数b ax x x f n n ++-=3)((*N n ∈,R b a ∈,).⑴若1==b a ,求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值;⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ,都有1)()(2313≤-x f x f ,求a 的取值范围; ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21,求b a ,的值.【答案】解(1) ()1333++-=x x x f ()332'3+-=∴x x f∴在()1,0内, ()0'3>x f ,在()2,1()0'3<x f∴在()1,0内, ()1333++-=x x x f 为增函数,在()2,1内()1333++-=x x x f 为减函数 ∴函数()1333++-=x x x f 的最大值为()313=f ,最小值为()123-=f 4分 (2)∵对任意21,x x 有()()1||2313≤-x f x f ,∴()()1|11|33≤--f f 从而有1|26|≤-a ∴2161≤≤a 又()a x x f 332'3+-=∴()x f 3在[][]1,,,1a a --内为减函数,()x f 3在[]a a ,-内为增函数,只需()()1||33≤--a f a f ,则14≤a a∴a 的取值范围是316161≤≤a (3)由()21||4≤x f 知()211214≤≤-f ①()211214≤-≤-f ②, ①加②得2321≤≤b 又∵()210214≤≤-f ∴2121≤≤-b ∴21=b将21=b 代入①②得00≤≤a ∴0=a24．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数22()1x f x x x =-+,对一切正整数n ,数列{}n a 定义如下:112a =, 且1()n n a f a +=,前n 项和为n S . (1)求函数()f x 的单调区间,并求值域; (2)证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===; (3)对一切正整数n ,证明:○1 1n n a a +<;○21n S <.【答案】解:(1)定义域∈x R,()()()()()22222221211212+-+-=+---+-='x xxx x xx x x x x x f ,()200<<⇒>'x x f ,()200><⇒<'x x x f 或函数()f x 的单调增区间为()2,0,单调减区间为()()∞+∞-，和20, (法一)()00=f ,4(2)3f =,当x →∞时, ()211111f x x x =→⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,(,0]x ∈-∞时,()f x 为减函数,()[0,1)f x ∈;当[0,)x ∈+∞时, 4()[0,]3f x ∈;函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0(法二)当0=x 时,()00=f ,当0≠x 时,()22114113311()124f x x x x ==≤⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭,且()0f x >,4(2)3f =,∴函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 (法三)判别式法(略)(2)设{}{}(),(())A x f x x B x f f x x ====,设0x A ∈,则000(())()f f x f x x ==,则0x B ∈,A B ∴⊆当0x ≥时, 2222(1)011()1x x x x x x x x f x x -≥⇔≤⇔≤⇔-+-+≤恒成立.当且仅当0,1x =时,().f x x =令()t f x =,当且仅当1x =时,() 1.t f x ==当0x <时,由(1)(())()0f f x f t =>, ∴当0x <时,(())f f x x =无解当01x <≠时, (())()()f f x f t t f x x =<=<, ∴当01x <≠时,(())f f x x =在无解综上,除0,1x =外,方程(())f f x x =无解, .A B ∴=∴{}{}()(())x f x x x f f x x ===(3) ○1显然22122131()24n n n n n na a a a a a +==-+-+,又112a =,0n a ∴>,1211111211n n n n n nna a a a a a a +∴==≤=-+-+-,所以,1.n n a a +≤ 若n n a a =+1,则1=n a 矛盾.所以 n n a a <+1○2(法一)21222111111111111,1,1,1n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=∴=-+∴-=-+-+ 211111111111,11111111(1)1nn n n n n n a a a a a a a ------∴===---+-- 1111(2),1111n n na n a a --∴=-≥--11121111121111()1,111111111n n n n i ii i i n S a a a a a a a +=++-=+-+=-=-=-∴-----=∑∑1102n n a a +<<<111 1.1n n a S a++=-<-∴ (法二)2121122111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a -------==<-+-+-+11111(1)n n a a --=-1111111n n a a --=--1222111n n n a a a ---=-+-+12233111n n n n a a a a ----=--+-+1211111n n a a a a --==----+-1211n n a a a --=----, n S ∴=121n a a a +++<【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景,考查函数的图象与性质、导数的运算与应用;考查函数思想;考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明11112n n n a a ++≤-. 如令1n nb a =,可证明对任意正整数,m n 有,m n b b 互素.25．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程;(2) 求函数)(x f 单调区间;(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【答案】⑴因为函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ⑵由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 因为当0,1a a >≠时,总有()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++, 令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+26．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx,其中a>0,b>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P 为切点), 求a,b 的值;(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[,2a -],求: (1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】27．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b为常数,(1)若a b ≠,求证:函数f(x)存在极大值和极小值(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ,令点 A 11(,()x f x ),B22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-,求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度(3)若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立,求实数m,a,b 满足的条件2012~2013学年度第一学期期末考【答案】(1)[])2(3)()(/b a x b x x f +--=b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f (x )存在极大值和极小值(2)①若a =b ,f (x )不存在减区间②若a >b 时由(1)知x 1=b ,x 2=32ba +∴A (b ,0)B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b . 同理可得a -b =23(舍)综上a -b =23)(x f ∴的减区间为)32,(b a b +即(b ,b +1),,f (x)减区间为)21,(+-∞b ∴公共减区间为(b ,b +21)长度为21(3))()(/x mxf x f ≥[])2(3)())((2b a x b x x m b x a x +--⋅≥--∴ []{}0)()2()31()(2≥++-++--∴ab x b a b a m x m b x若31≠m ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负.31=∴m []03)2()(≤-+-∴ab x b a b x若a +2b =0,b a 2-=,b a =∴=0, 若02≠+b a 则 b x =1,ba abx 232+=⎩⎨⎧∴<++=0223b a ba abb①b =0 则a<0,②b ≠0123=+b a ab a =∴且b <0综上 31=∴m 0≤=b a。

江苏省13大市高三上学期期末数学试题分类汇编--不等式.pdf

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
不等式
1、（常州市2013届高三期末）已知实数同时满足，，，则的取值范围是 ▲ ．
答案：
2、（连云港市2013届高三期末）关于x的不等式x2(ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 ▲ .
答案：
3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设满足约束条件, 则目标函数的最大值为 ▲
答案：26
4、（南通市2013届高三期末）已知，若，且，则的最大值为 ▲ ．
答案：－2．
5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 ▲ .
答案：－3
6、（苏州市2013届高三期末）已知，则的解集是．
答案：
7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若-4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7．则t= ．
答案：2
8、（扬州市2013届高三期末）设满足约束条件，则的最大值是 ▲ ．
答案：3
9、（镇江市2013届高三期末）已知x，y为正数，则的最大值为 ▲ ．
答案：
10、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 ▲
答案：
11、（苏州市2013届高三期末已知实数，满足不等式，则的取值范围是．
答案：。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--矩阵与变换(选修4-2)

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编选修4-2矩阵与变换1、（常州市2013届高三期末）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32.2、（连云港市2013届高三期末）解：∵10a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1102⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴a =1,b =2. …………………5分 ∴M =1 12 0 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴M -1=10 211 2 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………10分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）B.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3, 求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………1分因为31=λ方程0)(=λf 的一根，所以1=x ……………………………………3分由04)1)(1(=---λλ,得12-=λ………………………………………… 5分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α,则⎩⎨⎧=--=--022022y x y x ,得y x -=……………8分令1,1-==y x 则,所以矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α…………10分4、（南通市2013届高三期末）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .答案：设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a x b y =+，………………4分又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b =．所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 6、（苏州市2013届高三期末）已知矩阵11x M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦　2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值. 答案：7、（泰州市2013届高三期末）已知变换T 把平面上的点(1,0),(0,2)分别变换成点(1,1)，(-2,2).(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程. 答案： 8、（无锡市2013届高三期末）已知，点A 在变换T ：2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o，得到点、B ．若点B 的坐标为（-3，4），求点A 的坐标．答案：解：（1）设矩阵M =[]abcd依题意得，[]''x y =[]ab cd []x y →{by ax x dycx y +=+=''，（1，0）变换为（1，1）得：a =1,c =1，(0,2) 变换为（－2,2) 得： b =－1,d =1所求矩阵M =[]1,11,1-……………………………………………………………………………5分(2)变换T 所对应关系{y x x yx y -=+=''解得⎩⎨⎧+=-=2''2''y x x x y y ………………………………………………7分代入x 2-y 2=1得:x ′y ′=1故x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线方程得xy =1 ………………………………10分9、（扬州市2013届高三期末）若矩阵A 有特征值13λ=,21λ=-,它们所对应的特征向量分别为110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ,求矩阵A .解.设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,由⎧⎨⎩111222λλ==Ae e Ae e …………………3分得⎧⎪⎨⎪⎩11330001111222a b c d a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即⎧⎪⎨⎪⎩302122a c a b c d ==+=-+=-，⎧⎪⎨⎪⎩3021a c b d ===-=-，所以3201-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A …………………10分10、（镇江市2013届高三期末）求曲线C :1xy =在矩阵A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的曲线C '的方程.解：设00(,)P x y 为曲线1xy =上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点00(,)P x y '''，则有00x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦0０，……4分即000000),),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩ ……6分所以000000),),x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩……8分又因为点P 在曲线1xy =上，所以001x y =，故有22002x y ''-= 即所得曲线方程222x y -=.…… 10分。

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【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编17：不等式选讲一、解答题 1 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为872 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x【答案】证明:由柯西不等式可得()()()())21812323111111x x x =++++-++≥++⎡⎤⎣⎦7分又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,3 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()f x =.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]4 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】5 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥,1z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为24116 ．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2≤(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,∴|a -1|≥3,解得a ≥4,或a ≤-27 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,的最大值.【答案】8 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =-的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =--(14)ab =-41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立9 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3．即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}10．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—5:不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且,求证:|()()|2(||1)f x f a a -<+.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +.11．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4-5:不等式选讲)设12,,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数, 且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1, 求证:12(1)(1)(1)2nn a a a ++⋅⋅⋅+≥.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.【答案】解:因为1a 是正数,所以11a +≥同理1(2,3,)j a j n +=≥,将上述不等式两边相乘,得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,所以12(1)(1)(1)n n a a a +++≥212．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】14．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9=≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编选修42矩阵与变换苏教版

选修4-2矩阵与变换1、（常州市2013届高三期末）B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32.2、（连云港市2013届高三期末）解：∵10a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1102⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴a =1,b =2. …………………5分 ∴M =1 12 0 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴M -1=10 211 2 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………10分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）B.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3, 求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………1分因为31=λ方程0)(=λf 的一根，所以1=x ……………………………………3分由04)1)(1(=---λλ,得12-=λ………………………………………… 5分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α,则⎩⎨⎧=--=--022022y x y x ,得y x -=……………8分令1,1-==y x 则,所以矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α…………10分4、（南通市2013届高三期末）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .答案：设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a x b y =+，………………4分又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，3b =．所以2003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，……………………………………………………………………6分所以110230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣A ．…………………………………………………………………10分 6、（苏州市2013届高三期末）已知矩阵11x M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦　2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值. 答案：7、（泰州市2013届高三期末）已知变换T 把平面上的点(1,0),(0,2)分别变换成点(1,1)，(-2,2).(1)试求变换T 对应的矩阵M ；(2)求曲线x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线的方程. 答案： 8、（无锡市2013届高三期末）已知，点A在变换T ：2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o，得到点、B ．若点B 的坐标为（-3，4），求点A 的坐标．答案：解：（1）设矩阵M =[]abcd依题意得，[]''x y =[]ab cd []x y →{by ax x dycx y +=+=''，（1，0）变换为（1，1）得：a =1,c =1，(0,2)变换为（－2,2) 得： b =－1,d =1 所求矩阵M =[]1,11,1-……………………………………………………………………………5分(2)变换T 所对应关系{y x x yx y -=+=''解得⎩⎨⎧+=-=2''2''y x x x y y ………………………………………………7分代入x 2-y 2=1得:x ′y ′=1故x 2-y 2=1在变换T 的作用下所得到的曲线方程得xy =1 ………………………………10分9、（扬州市2013届高三期末）若矩阵A 有特征值13λ=,21λ=-,它们所对应的特征向量分别为110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和212⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ,求矩阵A .解.设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,由⎧⎨⎩111222λλ==Ae e Ae e …………………3分得⎧⎪⎨⎪⎩11330001111222a b c d a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即⎧⎪⎨⎪⎩302122a c a b c d ==+=-+=-，⎧⎪⎨⎪⎩3021a c b d ===-=-，所以3201-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A …………………10分10、（镇江市2013届高三期末）求曲线C :1xy =在矩阵2222A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 对应的变换下得到的曲线C '的方程.解：设00(,)P x y 为曲线1xy =上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点00(,)P x y '''，则有00x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦0０，……4分即000000),),x x y y y x ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-⎪⎩ ……6分所以000000),),x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩……8分又因为点P 在曲线1xy =上，所以001x y =，故有22002x y ''-= 即所得曲线方程222x y -=.…… 10分。

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(第6题图)
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
算法初步
1、（常州市2013届高三期末）根据右图所示的算法，可知输出的结果
为 ▲ ．
答案：11

2、（连云港市2013届高三期末）右图是一个算法
流程图，若输入x的值为－4，则输出y的值为 ▲ .
答案：2

3、（南京市、盐城市2013
届高三期末）如图所示

是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 ▲
.
答案：3

4、（南通市2013届高三期末）已知实数x∈[1，9]，
执行如右图所示的流程图，
则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．

答案：38．

5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高
三期末）
如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，
则输出S的值是 ▲
答案：54

0102321PrintnSnWhileSSSnnEndWhilen ≤ ←
←0

←
←

4(第题)

开始
结束
Y
n←1
输入x

输出x
n←n+1
x←2x+1
n≤3
N

（第8题）
6、（苏州市2013届高三期末）右边一段伪代码中，()Intx表示不超
过x的最大整数，若输入6,4mn，则最终输出的结果
n

为．
答案：2

7、（泰州市2013届高三期末）
右图是一个算法流程图，
则输出p=

答案：65

8、（无锡市2013届高三期末）
右边的程序语句运行后，输出的S为
答案：17

9、（扬州市2013届高三期末）
如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以
填入的最大整数为 ▲ ．

答案：49

Read m，n
While ()mmIntnn

()mcmnIntn
mn
nc
End While
Print n