第二章 腔模理论

关。这是共焦腔的主要特征。
x2 L
y
2
u00 (x, y) C00e
基模振幅最 大值的1/e处
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
数值例：L=1m ,λ=10.6μm,
共焦腔的CO2激光器 ω0s≈1.84mm
L=30cm , λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器
ω0s≈0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。
R(1) 0n
(c,1)
mn 1 16 N 2 Rom1 c,1 Ron1 c,1 2
结论: (1)某阶高阶横模的衍射损耗δmn最终只取决 于菲涅耳数N！而与腔的具体几何尺寸无关！ (2) 所有模式的损耗都随菲涅耳数的增加而减小。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
见图2.5.5
平面镜腔 几何 大 衍射 (3) 共焦腔 几何 0 衍射
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
镜面上场位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相 位面。
①由自在现模umn(x, y) 的辐角决定。
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
0s
2
x)
H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
由于 umn (x,为y实) 函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦
腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面
由
0s
L 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑
尺寸并无影响.
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
0s
2
x)H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
当m、n取不同时为零的一系列整数时,
由上式可得出镜面上各高阶横模的振幅分
布
因为 H1( ) 2 H0 ( ) 1 故
P0
2
d
0
Ce
2r2 s2
rdr
0
1 2
C
s
2
P1
P1
2
d
0
s 0
Ce
2r2 s2
rdr
1 2
Cs2
11
e 2
P0 86.466%
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
m n
c
a2k L
2
a2
L
2
N
m n
i
4Ne
kLmn1
2
R(1) 0m
(c,1)
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
一 镜面上场分布—厄米－高斯近似
1、厄米－高斯近似：当C=2 N 1 或模场分
布集中在镜面中心附近 ( x , y << a )时，角向 长椭球函数化为厄米－高斯函数。
Fm X S0m c,
X c
Cm
Hm X
X2
e2
Fn Y S0n c,
(4)菲涅耳数相同时， 损耗随横模阶次的 增加而迅速增加。 (对横模的选择有 利！)
N
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
三、单程相移和谐振频率
1、TEMmn模在腔内一次单 程渡越的总相移
mn
k L
m
n
1
2
几何相移 附加相移
相移特点
(1) 与腔的菲涅耳数无关！
(2) 附加相移随横模阶次不同而不同！ (3) 不同横模的相移相差π/2的整数倍！
u10
C10
22
0s
x exp(
x2 y2
L
)
C1'0 x
exp(
x2 y2
0s
)
当x 0时u10 0，出现一条暗线
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(x,
y)
CmnH
m
(2
0s
x)H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H2 ( ) 4 2 2 H0 ( ) 1 故
u20
厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着x、y的增大而单
调下降的特征决定着场分布的外形轮廓。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
④高阶模的光斑尺寸与基模的关系
ms
2m
10
s
ns 2n 10s
光斑半径的平方定义为 光场分布坐标均方差值 的四倍！
可见,阶次越高,光斑半径越大,光强分布越偏离中心.
图(3-5) Fm ( X ) X及Fn (Y ) Y 的变化曲线及相应的光强分布
C11
4
2 0s
故
xy exp(
x2 y2
2 0s
)
C1'1xy
exp(
x2 y2
2 0s
)
当 x 0 时 u11 0
y 0 时 u11 0
在 x、y方向各出现一条暗线
TEM11
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(x,
y)
CmnH
m
(2
0s
x)H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
可以看出，TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米 多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定场的节线，
m阶厄米多项式的零点: 因Hm(X)=0有m个根，故 m 阶厄米多项式有m个零点。厄米多项式的零点决定 了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
基模TEM 0 0光斑半径：0s
L
基模光束的能量集中在光斑有效截面圆内.上式表明，共焦
腔基模在镜面上的光斑半径与镜的横向尺寸无关，只与腔长有
注意：不同于平行平面腔！平行平面腔镜面上不同相。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
求基模高斯光束在光斑尺寸范围内的光功率占总 功率的百分数。
解: 由场的振幅分布函数
x2 y2
E( x, y) Ce L
r2
Ces2
光强为： I( x, y) Ce2r2 s2
由 e x2 dx 得
0
2
u02
C02[4
2y2
2 0s
2] exp(
x2 y2
L
)
C0' 2 (4
y2
2 0s
)
exp(
x2 y2
2 0s
)
y 0s
2
时
u02 0
y方向出现两条暗线
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(
x,
y)
Cmn
Hm
(2
0s
x)
H
n
(2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H1( ) 2
2
u11
C20[4
2x2
2 0s
2] exp(
x2 y2
L
)
C2' 0 (4x2
2 0s
)
exp(
x2 y2
2 0s
)
x 0s
2
时
u20 0
x方向出现两条暗线
TEM20
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
umn
(
x,
y)
Cmn H m
(2
0s
x)
H
n
(
2
0s
x2 L
y
2
y)e
因为 H2 ( ) 4 2 2 H0 ( ) 1 故
Y c
Cn
Y 2
Hn Y e 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
vmn
x, y
CmnH m
c a
x H n c aye Nhomakorabea2
c a
2
x
2
y
2
常系数
CmnH m
2 L
x
H
n
2 L
y
e
x2
L
y2
H0 X 1 H1X 2X H2 X 4X 2 2