4正弦交流电的分析
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电路分析基础第4章 相量法(2h)
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾
41.9
相 接
30
Re
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第4章 正弦稳态电路分析
4.3 基尔霍夫定律的相量形式和基本
元件伏安关系的相量形式
一. 电阻 i(t)
+
uR(t) R -
•
I
+
•
UR
R
-
相量模型
已知 i(t) 2I cos(wt y i )
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2
(
wt
Ψ
) dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
cos2 ( wt Ψ ) 1 cos2(wt Ψ )
2
I 0.707Im Im 2I
i(t) Im cos(wt Ψ ) 2I cos(wt Ψ )
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u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U1 630o V U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.19 j3 2 j3.46
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2 (t) 9.64 2cos(314 t 41.9o ) V
dt
C 相量形式：
•
U Uy u
•
IC
wCUy u
π 2
1 相量关系：
第4章 正弦交流电
i = I m sin(ωt + ϕ i )
u、 i
0
t
3
正弦交流电路分析中仍然使用参考方向, 正弦交流电路分析中仍然使用参考方向,当实际方向 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。 与参考方向一致时，正弦量大于零；反之小于零。
i
u
R
i
实际方向和参考方向一致
t
实际方向和参考方向相反
用小写字母表 示交流瞬时值
ωt
22
3.相量表示法 3.相量表示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上 的投影值来表示。 投影值来表示。 来表示
u = U m sin (ω t + ϕ )
Um
ωϕ
ϕ
矢量长度 =
ωt
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
在t = 0时刻，矢量以角速度ω按逆时针方向旋转
19
复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。 复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。 面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 画法更为简捷，当有多个相量相加减时会显得很方便。 +j A1+ A2 A1+ A2 A2 A1 O +1 O A1 +1 A2
= r (cos ϕ + j sin ϕ )
复数的指数形式 复数的指数形式： 指数形式： 复数的极坐标形式 复数的极坐标形式： 极坐标形式：
A = re
jϕ
A = r∠ϕ
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。 A*表示A的共轭复数，则有 表示A的共轭复数， A=a+jb +jb A*=a-jb
正弦交流电的产生和特点
正弦交流电的产生和特点正弦交流电的产生基于电磁感应定律，即当一个闭合线圈的导体在磁场中旋转时，将产生感应电动势。
在发电机中，一个磁体（或磁铁）和一个旋转的线圈组成了一个转子，转子通过机械转动将磁场线与线圈交织在一起，从而产生了感应电动势。
通过与电源相连的导线将这个感应电动势引入外部电路，就得到了正弦交流电。
1.周期性变化：正弦交流电的变化是周期性的，电流或电压信号的大小和方向随时间呈正弦形状变化。
这种周期性变化使得正弦交流电适用于一系列周期性的应用，如音频和视频信号等。
2.频率和周期：正弦交流电的频率指的是正弦波的周期数量，单位为赫兹（Hz）。
在国际单位制（SI）中，1赫兹代表每秒1个周期。
电力系统中使用的标准频率是50Hz或60Hz。
3.幅值：正弦交流电的幅值是其峰值值。
对于电压，我们通常使用峰值值或峰-峰值来描述幅值。
峰值指的是正弦波的最大值，峰-峰值是波形的峰值和谷值之间的差值。
4.相位：正弦交流电的相位指的是信号相对于一个参考点的位置。
相位可以用角度或时间来表示。
相位角以度或弧度来度量，相位时间以秒或周期来度量。
5.频谱特征：正弦交流电的频谱特征是指它的频率成分。
频率谱显示信号在频率上的能量分布。
对于正弦交流电，频谱仅包含一个基波频率成分，即信号的主要频率。
6.相位差和相位关系：在电路中，两个或多个正弦交流电信号之间可能存在相位差。
相位差是指两个信号波形之间的时间或角度差。
相位差决定了信号的相对位置和交互作用。
7.可变频率和可变幅值：正弦交流电的频率和幅值可以被调节和控制。
这种可变性使得正弦交流电可以适应不同的应用需求，如电力传输、调制和调频等。
总结：正弦交流电是一种周期性变化的电流或电压信号，它的产生基于电磁感应定律和发电机原理。
正弦交流电具有频率、幅值、相位、频谱特征、相位差和可变频率和幅值等特点。
正弦交流电在电力系统、通信、电器和电子设备等领域广泛应用。
正弦交流电电路稳态分析
(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
《电工技术基础与仿真(Multisim 10)》项目4单相正弦交流电路分析
p
ui
Im
sin tU m
sin(t
2
)
U m I m cos t sin t
UI sin 2t
在电感元件的交流电路中，没有任何能量消耗，只 有电源与电感元件之间的能量交换，其能量交换的 规模用无功功率Q来衡量，它的大小等于瞬时功率 的幅值。
QL UI I 2 X L
4.2.3 纯电容电路
将开关K1闭合，K2和K3断开，分别按给定的频 率值调节信号源的频率，每次在信号发生器中设 置好频率后，打开仿真开关，双击万用表符号， 得到测量数据，
任务3 相量法分析正弦交流电路
4.3.1 RLC串联电路 1．RLC串联电路电压电流关系 (1)瞬时关系 由于电路是串联的，所以流过R、L、C三元
件的电流完全相同
1 Z1
1 Z2
（2）复阻抗并联的分流关系
I1
U Z1
I
Z Z1
I
Z2 Z1 Z2
U
I2
I Z1 Z1 Z2
I I1 I2 Z1 Z2
a）
I
U
Z
b)
4.3.3 功率因数的提高
1．提高功率因数的意义 功率因数愈大，所损耗的功率也就愈小，
输电效率也就愈高。 负载的功率因数 愈高，发电机可提供的有
1．电压与电流的关系 线性电容元件在图所示的关联方向的条件下
iC
C duc dt
i +
u
C
_
i C duc dt
C dUm sin t
dt
U mC cost
U
mC
s
in(t
2
)
据此，可得出电容元件电压与电流关系的结论：
第4章 正弦交流电路
——元件上电压和电流的关系；元件的功率
4.4.2电阻、电感、电容串联电路
1.RLC串联电路 2. RL串联电路
4.4.3电阻、电感、电容并联电路
课后小计：
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械 （龙门铣床、龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机 的等效电路如图4.12所示。电路中的f1侧为定子侧，f2侧为转子侧，r1、r2 和X1、X2分别为定子侧和转子侧的等效电阻和电感。从电路中可见，交流 异步电动机属于电感性负载，而且不是简单的电阻与电感相串联的负载。 因此分析电动机时就要按照它的等效电路模型，利用交流电路计算的方法 进行分析计算。
二、新授：4.2正弦量的相量表示
4.2.1复数
4.2.2复数的运算
4.2.3相量
1.相量法的定义 2. 正弦量的相量表示 3.例题分析
4.2.3电路基本定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律的相量形式
2.基尔霍夫电压定律的相量形式
课后小计：
4．2正弦量的相量表示
4．2．1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫1虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
复数与复平面上的有向线段（矢 量）对应，复数的加减与表示复数 的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应 的复数相加减来计算。
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大 写字母上打“●”表示。
4正弦交流电路
−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
正弦交流电基本知识
2）最大值。交流电在一个周期内数值最大值就是最大值，也称振幅或峰值。通常用大 写字母加下标m表示，如Em 、Um、Im分表表示交流电动势、交流电压和交流电流最大 值。
3）有效值。根据电流的热效应规定的。让交流电和直流电分别通过相同阻值的电阻， 如果在相同时间内，两个电阻产生的热量相等，就把该直流电的值叫做该交流电的有 效值。用大写字母表示，如E、U、I分别表示交流电动势、交流电压、交流电流的有 效值。
只有同频率的正弦交流电才可以比较相位关系。 习惯上规定相位差用绝对值用小于的角来表示。
9
正弦交流电基本知识
3.正弦交流电的三要素 正弦交流电包含三个要素：最大值（或有效值）、周期（或频率、角频率）
和初相位。 最大值和有效值的关系
周期和频率的关系
角频率、周期和频率的关系
10
正弦交流电基本知识
4
正弦交流电基本知识
2.正弦交流电的表达式
图4-4 正弦交流电的波形图 正弦交流电的解析式
e Em sin(t 0 )
5
正弦交流电基本知识
瞬时值、最大值和有效值 1）瞬时值。正弦交流电随时间按正弦规律变化，每一时刻所对应的值都不同的，每一 时刻的值称为该时刻的瞬时值。通常用小写字母表示，如e、u、i分别表示交流电动势、交 流电压、交流电流的瞬时值。
6
正弦交流电基本知识
周期、频率和角频率 1）周期。交流电变换一个周期所需要的时间称为周期，用T表示，单位为秒。 2）频率。交流电在单位时间内重复变化的次数，用f表示，单位为赫兹。 3）角频率。交流电单位时间内变化的电角度称为角频率，用ω表示，单位为弧度/秒
7
正弦交流电基本知识
相位、初相位和相位差 1）相位。t时刻正弦交流电所对应的电角度ψ=（ωt+ψ0 )称为相位。它决定交流电每一瞬 时的大小。用弧度或度表示。
3）有效值。根据电流的热效应规定的。让交流电和直流电分别通过相同阻值的电阻， 如果在相同时间内，两个电阻产生的热量相等，就把该直流电的值叫做该交流电的有 效值。用大写字母表示，如E、U、I分别表示交流电动势、交流电压、交流电流的有 效值。
只有同频率的正弦交流电才可以比较相位关系。 习惯上规定相位差用绝对值用小于的角来表示。
9
正弦交流电基本知识
3.正弦交流电的三要素 正弦交流电包含三个要素：最大值（或有效值）、周期（或频率、角频率）
和初相位。 最大值和有效值的关系
周期和频率的关系
角频率、周期和频率的关系
10
正弦交流电基本知识
4
正弦交流电基本知识
2.正弦交流电的表达式
图4-4 正弦交流电的波形图 正弦交流电的解析式
e Em sin(t 0 )
5
正弦交流电基本知识
瞬时值、最大值和有效值 1）瞬时值。正弦交流电随时间按正弦规律变化，每一时刻所对应的值都不同的，每一 时刻的值称为该时刻的瞬时值。通常用小写字母表示，如e、u、i分别表示交流电动势、交 流电压、交流电流的瞬时值。
6
正弦交流电基本知识
周期、频率和角频率 1）周期。交流电变换一个周期所需要的时间称为周期，用T表示，单位为秒。 2）频率。交流电在单位时间内重复变化的次数，用f表示，单位为赫兹。 3）角频率。交流电单位时间内变化的电角度称为角频率，用ω表示，单位为弧度/秒
7
正弦交流电基本知识
相位、初相位和相位差 1）相位。t时刻正弦交流电所对应的电角度ψ=（ωt+ψ0 )称为相位。它决定交流电每一瞬 时的大小。用弧度或度表示。
第4讲正弦交流电的基本概念、相量表示法
P 1
T pdt 1
T
UI(1 cos 2 ωt)dt
UI
T0
T0
P UI I 2R U 2 p R
+
+
单位：瓦（W）
O
P
ωt
通常测量的或铭牌标注的功率均指有功功率
作业
P49 练习题2.2.1、 P87 练习题3.1.1。
u Ri RI m sin ωt Um sin ωt
⑴电压与电流同频率、同相 ψu ψi 0
⑵最大值、有效值伏安关系： Um U R
Im I
⑶波形关系
ui u
⑷相量关系
i
U U0 I I0 O
ωt
UI
U I
R
欧姆定律的相量表示式： U RI
则 Um 220 2e V j30
U 220 e V j30
⒉ 相量图
相量图：按照各个正弦量的大小和相位关系画出的
若干个相量的图形。
例：U 22030V I 560 A
只有同频率的正弦量才能
I
U
画在同一相量图上，可不画坐
60
标轴。
30
⒊ 旋转因子“j” 当 90时，则
ui
i
i
_
_
+
Ｏ
-
+
+
t
_
u
-
R
u
-
R
正半周
负半周
图中虚线箭头代表电流的实际方向； 代表电压的实际方向（极性）。
正弦量：正弦电压和电流等物理量统称为正弦量。
正弦量的特征表现在：
变化的快慢 大小 初始值
第4章 正弦交流电路
b
同频正弦量的乘除法运算与复数运算相同，而 且在线性电路当中，运算后的频率是不会改变的。
§4.3 电阻、电感、电容元件的交流电路
一、电阻元件的交流电路
iR 2I Rsin( t i ) uR R 2I Rsin( t i )
2U Rsin( t u )
时域下的电阻模型
由于直流电在电阻上做功大小为 I2RT ,于是根据定义有：
I RT i Rdt R Im 2 sin 2 tdt
2 2 0 0
T
T
即： I 2 RT RIm 2
T
0
1 cos 2t RTIm 2 dt 2 2
得
Im I 0.707 Im 2
结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.707倍。同理， 正弦电压的有效值为：
U 1 U 1 u1 U 2 U 2 u 2
b
U b U b ub
k 1
则对应于 u1 (t ) u2 (t ) ub (t ) uk (t )
有
U1 U 2 U b U k
k 1
b
同理设 i1 (t ) 2 I 1 sin( t i 1 ) i 2 (t ) 2 I 2 sin( t i 2 ) i b (t ) 2 I b sin( t ib )
复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角θ的关系为：
a1 a cos
其中
a2 a sin
a2 arctg a1
a
2 a1
2 a2
1.复数的表示形式:
根据上式关系式及欧拉公式
+j a2 O
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A makes angle φ with B: A与B之间 成φ夹角 这个正弦时间函数可用如下的矢量形 式表示。通过在笛卡尔坐标系的右侧 MON（如图1所示）区域内，取恰当 的比例画出矢量Vm，以便于代表该量 的幅值Vm，并与横坐标形成φ角（逆 时针方向为正，顺时针方向为负）。
New Words & Expressions:
恒定角速度
角频率 瞬时值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Instantaneous values of v, as projections of the vector on the vertical axis NN’, can also be obtained by holding the vector Vm stationary and rotating the axis N’N clockwise at the angular velocity ω, starting at time t=0. Now the rotating axis N’N is called the time axis.
Hence :(Eq.2) The r.m.s. (effective) values of e.m.f. and voltage are
New Words & Expressions:
peak values 峰值
In dealing with periodic voltages and currents, their r.m.s. (effective) value are usually meant, and the adjective “r.m.s.” or “effective” is simply implied.
New Words & Expressions:
sinusoidal alternating electricity 正弦交流电 effective values 有效值
r.m.s. values = root mean square values 均方根值 square平方
This calls for knowledge of what is known as the root mean square (or effective) current defined as (Eq.1)
D.C. circuit=direct current circuit 直流电路
It can be represented in vector form as follows. Using a righthand set of Cartesian coordinates MON (Fig.1), we draw the vetor Vm to some convenient scale such that it represents the peak value Vm and makes the angle φ with the horizontal axis OM (positive values of φ are laid off counter-clockwise, and negative, clockwise).
在一复数平面内，取MM’和NN’分别为实数轴和虚数轴，矢 量Vm可用一复数来表示，该复数的绝对值（即模）等于 Vm，其相位角等于φ。此复数称为某一已知正弦量的复数 峰值。 New Words & Expressions:
real quantity
实量
imaginary quantity 虚量
absolute value 绝对值
瞬时值v（即矢量在纵坐标N’N上 的投影）也能通过以下方法得到： 即令矢量Vm不动，将轴N’N以角 速度ω从t=0开始顺时针旋转，此 时旋转的轴N’N称为时间轴。
In each case, there is a single-valued relationship between the instantaneous value of v and the vector Vm. Hence Vm may be termed the vector of the sinusoidal time function v. Likewise, there are vectors of voltages, e.m.f.s, currents, magnetic fluxes,etc. 两种情况下，瞬时值v和矢量Vm之间都存在单值关系。因 此，Vm便可称为正弦时间函数v的矢量。同理，还有电压 矢量、电势矢量、电流矢量、磁通矢量等。 New Words & Expressions:
现在假设从t=0开始，矢量Vm绕着 原点O以等于角频率ω的恒定角速 度逆时针旋转。则t时刻矢量与横 坐标轴OM形成ωt+φ的夹角。它 在纵轴NN’上的投影便表示在已选 用的比例尺下的瞬时值v。 New Words & Expressions:
constant angular velocity
angular frequency instantaneous value
clockwise 顺时针方向
counter-clockwise 逆时针方向
Now we imagine that, starting at t=0, the vector Vm begins to rotate about the origin O counter-clockwise at a constant angular velocity equal to the angular frequency ω. At time t, the vector makes the angle ωt+φ with the axis OM. Its projection onto the vertical axis NN’ represents the instantaneous value of v to the scale chose.
New Words & Expressions:
steady direct current 恒稳直流电
Let us establish the relationship between the r.m.s. and peak values of a sinusoidal current, I and Im
New Words & Expressions:
sinusoidal time function正弦时间函数 complex number 复数 vector 矢量 magnetic flux磁通 sinusoidal quantity 正弦量
A.C. circuit=alternating current circuit 交流电路
complex plane 复平面
modulus 模
complex number 复数
Unit4 Analysis of Sinusoidal Alternating Electricity
——正弦交流电的分析
R.M.S. (Effective) Values of Current and Voltage——电压和电流的有效值
The force between two current-carrying conductors is proportional to the square of the current in the conductors. The heat due to a current in a resistance over a period is also proportional to the square of that current. 两载流导体之间的作用力与导体中的电流的平方成正比 。某段时间内电流通过一个电阻所产生的热量也正比于 电流的平方。
在涉及交流电压和电流时，通常指的值就是其 均方根（有效）值，同时将限定词“均方根（ 有效）”几个字略去，并不明指。
Representation of Sinusoidal Time Functions by Vectors and Complex Number正弦时间函数的矢量和复数表示法
A.C. circuit analysis can be greatly simplified if the sinusoidal quantities involved are represented by vectors or complex numbers. Let there be a sinusoidal time function (current, voltage, magnetic flux and the like): 如果所涉及的正弦量用矢量和复数表示，便可大大地简化交流电 路的分析。 设一正弦时间函数（电流、电压、磁通等）
The heat developed by a current i in a resistance r in time dt is (Eq.)
这便引出通常所说的均方根（或有效值）电流的 概念，其定义如下：(Eq.1) 在dt时间里电流i通过电阻r产生的热量为(Eq.)
It follows that the r.m.s. (effective) value of an alternating current is numerically equal to the magnitude of the steady direct current that would produce the same heating effect in the same resistance and over the same period of time. 句型It follows that …译为“由此得出…”。宾 语从句里面含有一个定语从句。 由此可得出，交流电的均方根（或有效）值等于 在相同电阻、相同时间内产生相同热量的恒稳直 流电的大小。