江苏省2015届高三数学一校四题卷 启东中学
江苏2015届高三数学一校四题卷启东大江中学
启东市大江中学（一校四题）1.函数)11lg()(22+--++=x x x x x f 的值域为解析：函数的定义域为()+∞,0，1122+--++x x x x =22)230()21(-++x —22)230()21(-+-x 表示)0,(x 到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21的距离减去)0,(x 到⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21的距离，从而得到1122+--++x x x x )1,0(∈，所以范围为()0,∞-2.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,其中，，35==C B 且满足.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 求（1）)cos(C B -的值；（2）的外心为ABC O ∆，若n m +=，求n m +的值。
解：（1）由.12cos sin 2sin 22sin 2=+-A A A A 得21c o s-=A )20(π，∈A 32π=∴A .在ABC ∆中，由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+= ∴7=a在ABC ∆中，由正弦定理得：C c B b A a sin sin sin ==，1433sin ,1435sin ==C B 1413cos ,1411cos ==∴C B 4947sin sin cos cos )cos(=+=-C B C B C B 。
-（2）建立直角坐标系得0,0(），B A由n m +=得.911,32-=-=n m 917-=+∴n m 3.设椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>x 轴的直线被椭圆截得的弦长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）点P 是椭圆E 上横坐标大于2的动点，点,B C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，试判断点P 在何位置时PBC ∆的面积S 最小，并证明你的判断.ab ==故所求椭圆方程为221126x y +=. （II ）设000(,)(2P x y x <≤，(0,),(0,)B m C n .不妨设m n >，则直线PB 的方程为00:PB y ml y m x x --=即000()0y m x x y x m --+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，01,2x =>，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，同理，2000(2)20x n y n x -+-=，∴,m n 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个根，∴00002,22y x m n mn x x --+==--，则22200020448()(2)x y x m n x +--=-， ∵00(,)P x y 是椭圆上的点，∴22006(1)12x y =-，∴2200202824()(2)x x m n x -+-=-. 则214S =⋅222222000000002220002824412(2)8(2)2(2)2(2)x xx x x x x x x x x -+-+-+⋅=⋅=⋅---， 令02(01))x t t -=<≤，则02x t =+，令222(8)(2)()2t t f t t++=， 化简，得2211616()262f t t t t t =++++，则32331632(2)(16)()2t tf t t t t t +-'=+--=，令()0f t '=，得t =，而1)<∴函数()f t在1)]上单调递减，当1)t =时，()f t 取到最小值， 此时0x =，即点P 的横坐标为0x =时，PBC ∆的面积S 最小.4.假设有穷数列{}n a 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{}n a 的排序数列，例如：数列132a a a <<，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{}n a 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}n a 为单调数列。
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析
江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文注 意 事 项1．本试卷包含填空题〔第1题～第14题，共14题〕、解答题〔第15题～第20题，共6题〕，总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，假设A ⊆B ，如此实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0〞是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，如此实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，如此实数a =▲． 5．△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，如此△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，如此=++321x x x ▲ ．7． 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，假设关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，如此实数k 的取值范围是 ▲ .8．平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，如此ABC ∆的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，如此xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，如此有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所 成的角为α，β，γ，如此cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点， 12,F F 是椭圆的两个焦点，假设12∆PF F 的内切圆的半径为32，如此此椭圆的离心率为 ▲ ．12．假设函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，如此实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，如此实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，假设0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，如此实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分为为14分〕定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．〔1〕求a ，b 的值；〔2〕假设对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．〔本小题总分为为14分〕函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．〔1〕求点B A ,的坐标以与OB OA ⋅的值；〔2〕设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求的值．1F 2F yxP17．〔本小题总分为为14分〕如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点． (1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，假设EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．〔本小题总分为为16分〕为了保护环境，开展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进展技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理本钱y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，假设该项目不获利，国家将给予补偿．〔1〕当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，如此国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？〔2〕该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低？19．〔本小题总分为为16分〕设A ，B 分别为椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，假设直线AP 与椭圆相交于异于A 的点，证明：△MBP 为钝角三角形．20．〔本小题总分为为16分〕函数x a x x f ln 21)(2+=．〔1〕假设1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； 〔2〕假设1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；〔3〕假设1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三寒假作业测试答案 数学〔Ⅰ〕试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如此a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈R ，x2＋2x ＋m>0〞是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，如此圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如下列图，结合图象 可以看出，假设f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；AC AB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如下列图，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，如此0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，如此x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，如此x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1 二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分16. 解：〔1〕∵,21)36cos(16736350≤+≤-∴≤+≤∴≤≤ππππππx x x --------3分当,336πππ=+x 即0=x 时，)(x f 取得最大值1，当即4=x 时，)(x f 取得最小值.2-因此，所求的坐标为).2,4(),1,0(-B A --------------------------------------------------5分如此;2).2,4(),1,0(-=⋅∴-==OB OA OB OA ----------------------------------------7分〔2〕∵点).2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，如此,552cos ,55sin ,2=-==ββπα-------------------------------------------------10分如此,54552)55(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ.531)552(21cos 22cos 22=-⨯=-=ββ---------------------------------------------12分.1027)5453(22)24sin()22sin(=+=-=-∴βπβα--------------------------------------14分18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，如此S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分 当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理本钱为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理本钱最低.----------16分20. 解：〔1〕)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>'在),1(+∞上递增，)(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分〔2〕01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分word- 11 - / 11 〔3〕证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分 ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方--------------16分。
江苏省启东中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．命题:p x ∀∈R ，方程310x x ++=的否定是 ▲ ．2．已知椭圆22110064y x +=上一点P 到一个焦点的距离为8，则点P 到另一焦点的距离 是 ▲ ．3．命题“若α为锐角，则sin 0α>”的否命题是 ▲ ．4．设双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程 为 ▲ ．5．以点(1,2)为圆心，且与直线43150x y +-=相切的圆方程是 ▲ ．6．已知12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积为 ▲ ．7．若圆锥曲线22151y x k k +=--的焦距为k = ▲ ． 8．与圆22(3)9x y ++=外切且与圆22(3)1x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为 ▲ ．9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点12,F F 在y ，过1F 的直线交椭圆于,A B ，且2ABF ∆ 的周长为16，则椭圆C 的方程为 ▲ ．10．将一个半径为R 的蓝球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆．若阳光与地面成60角，则椭圆的离心率为 ▲ ．11．若直线1ax by +=与圆221x y +=相切，则实数ab 的最大值与最小值之差为 ▲ ．12．已知命题4:11p x --≤，命题22:q x x a a -<-，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知22:4O x y +=的两条弦,AB CD 互相垂直，且交于点M ，则A B C D +的最小值为 ▲ ．14．已知直线3y kx =+与曲线222cos 2(1sin )(1)0x y x y αα+-++-=有且只有一个公共点，则实数k 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分)已知命题:[0,1],e x p x a ∀∈≥；命题:q x ∃∈R ，使得240x x a ++=；若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围．16． (本小题满分14分)已知集合{}|22A x a x a =-+≤≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．17． (本小题满分14分)已知实数,x y 满足22(2)(1)1x y -+-=． ⑴求1y k x+=的最大值； ⑵若0x y m ++≥恒成立，求实数m 的范围．18． (本小题满分16分)已知点(4,4)P ，圆22:()5(3)C x m y m -+=<与椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>有一个公共点(3,1)，1F 是椭圆的左焦点，直线1PF 与圆C 相切．⑴求实数m 的值；⑵求椭圆的方程．19． (本小题满分16分)已知圆22:24120C x y x y +---=和点(3,0)A ，直线l 过点A 与圆交于,P Q 两点．⑴若以PQ 为直径的圆的面积最大，求直线l 的方程； ⑵若以PQ 为直径的圆过原点，求直线l 的方程．20． (本小题满分16分)如图,已知椭圆1:E 22221(0)y x a b a b+=>>的左右顶点分别为,A A ',圆2222:E x y a +=,过椭圆的左顶点A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于B 、C ． ⑴证明：22BA BA bk k a'⋅=-； ⑵若11k =时,B 恰好为线段AC 的中点,且3a =，试求椭圆的方程； ⑶设D 为圆2E 上不同于A 的一点,直线AD 的斜率为2k ,当2221k a k b =时,试问直线BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由．。
江苏2015届高三数学一校四题卷通州中学
一校四题（通州中学）1．如果直线ax －by ＋5＝0（a ＞0，b ＞0）和函数f (x )＝11x m ++（m ＞0，m ≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在22185(1)()24x a y b -++++=的内部或圆上，那么2ab a b+的取值范围是________________．35[,]792．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ． （1）试用α表示11H AA ∆的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．解：（1）设1AH 为x ,∴4sin tan x x x αα++=， 4sin sin cos 1x ααα=++，()112218sin cos 2tan sin cos 1AA H x S ααααα=⋅=++,(0,)2πα∈， （2）令sin cos t αα=+∈， 只需考虑11AA H S 取到最大值的情况，即为()()22418411t S t t -==-++，当t =, 即︒=45α时, 11AA H S达到最大此时八角形所覆盖面积的最大值为64-322 ．3．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的两倍，点1)2A 在椭圆上.不过原点的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，设直线OA 、l 、OB 的斜率分别为1k 、k 、2k ，且1k 、k 、2k 恰好构成等比数列，记△ABC 的面积为S ．（1）求椭圆C 的方程.（2）试判断22OA OB +是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ （3）求S 的最大值．解：（1）由题意可知2a b =且223114a b +=21b ⇒=，所以椭圆的方程为2214x y += （2）设直线l 的方程为y kx m =+，1122(,)(,)A x y B x y 、由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩⇒ 222(14)8440k x kmx m +++-=12221228144414km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩且2216(14)0k m ∆=+-> 12k k k 、、恰好构成等比数列.2121212y y k k k x x ∴===1212()()kx m kx m x x ++ 即()222222221484444m k k mk k m m +-=++--⇒22240k m m -+= 214k ∴=⇒12k =±此时216(2)0m ∆=->，即(m ∈ 12212222x x m x x m +=±⎧∴⎨⋅=-⎩ 2222221122OA OB x y x y +=+++=()2212324x x ++=()2121232254x x x x ⎡⎤+-+=⎣⎦ 所以22OA OB +是定值为5.（3）1212S AB d x =⋅=-1=当且仅当21m =即1m =±时，S 的最大值为1. 4．设a R ∈，函数21()(1)x f x x e a x -=--．（1）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值；（2）设函数1()()(1)xg x f x a x e -=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．）解：（1）当1a =时，21()(1)xf x x e x -=--，则211(2)()x x x x e f x e ----'=，令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为31()042h '=-<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上单调递减.又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减,当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（2）由题可知21()()x g x x a e -=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <，所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)x f x x x e a -'=--，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得： 1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得 11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立 (1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈； (2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x xx e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数， 所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+；(3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x e e λ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+；综上所述，21ee λ=+。
江苏省启东中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试题(无答案)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1.若集合{}{}|13,|24A x x B x x =-<<=<<，则集合_____________A B =.2.已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数=m .3.函数0y =定义域 .(区间表示) 4.若2)1(x x f =-，则)1(f =____________.5.若集合}{3,2,1=A ,{}4,3,1=B ,则B A 的真子集个数为 .6.函数)1()(x x x f -=的单调增区间为 .7.给定映射:(,)(2,2),f x y x y x y →+- 则映射f 下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为 .8.若函数1)1(21)(2+-=x x f 的定义域和值域都是[]b ,1,则b 的值为___________. 9.若集合{}0442=++=x kx x A 中只有一个元素，则实数k 的值为 . 10.函数x x f 211)(--=的最大值是________．11.若函数3412++=ax ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .12.函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数,且它为单调增函数,若0)1()1(2>-+-a f a f ,则a 的取值范围是 .13.函数)(x f 是偶函数，当[]2,0∈x 时，1)(-=x x f ，则不等式0)(>x f 在[]2,2-上的 解集为 . (用区间表示)14.对于实数a 和b ,定义运算*:22()*()a ab a b a b b ab a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围 .二、解答题（本大题6小题，共90分。
江苏省启东中学高三上学期第一次月考——数学(理)数学(理)
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ．2．若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ．3．已知的终边在第一象限，则“”是“”的 条件．4.已知的定义域是，则的定义域为 ．5.已知角终边上一点的坐标是，则 ．6.已知曲线及点，则过点可向曲线引切线，其切线共有 条.7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ．8.设函数．若，则 ．9.函数|cos |sin cos |sin |)(x x x x x f ⋅+⋅=的值域为 ．10.已知函数在内是减函数，则实数的范围是 ．11.已知偶函数在单调递减，则满足的实数的取值范围是 ．12.已知锐角满足，则的最大值是 ．13.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 ．14.定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是 .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）已知集合}0)]4()][1([|{},1121|{<+-+-=++-==a x a x x B x x y x A .分别根据下列条件，求实数的取值范围.（1）； （2）16.（本小题满分14分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）若存在，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 成立，求实数的取值范围.18.（本小题满分15分）设函数1cos 3sin )(++=x x x f .（1）求函数在的最大值与最小值；（2）若实数使得对任意恒成立，求的值.19.（本小题满分16分）已知某种型号的电脑每台降价成（1成为10%），售出的数量就增加成（为常数，且）.（1）若某商场现定价为每台元，售出台，试建立降价后的营业额与每台降价成所成的函数关系式.并问当，营业额增加1.25%时，每台降价多少？（2）为使营业额增加，当时，求应满足的条件.20.（本小题满分16分）设函数)()(R a a ax e x f x ∈+-=，其图像与轴交于两点，且.（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点在函数的图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.参考答案15.（本小题满分14分）（1）；（2）16.（本小题满分14分）或.17.（本小题满分15分）（1）；（2）.。
2015-2016年江苏省南通市启东市高三上学期数学期末试卷与解析
2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=．2．（5分）某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有名．3．（5分）如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．4．（5分）函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．6．（5分）若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为．8．（5分）若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于 ．9．（5分）设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n ∈N +），则（•）= ．10．（5分）已知直线l ：x ﹣2y +m=0上存在点M 满足与两点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率k MA 与k MB 之积为﹣1，则实数m 的取值范围是 ． 11．（5分）某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm 3，设该圆柱纸筒的底面半径为r ，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r 的值为 cm ．12．（5分）已知等比数列{a n }，首项a 1=2，公比q=3，a p +a p +1+…+a k =2178（k ＞p ，p ，k ∈N +），则p +k= ． 13．（5分）设函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣2x +b 有两个零点，则参数b 的取值范围是 ．14．（5分）对任意实数x ＞1，y ＞，不等式p ≤+恒成立，则实数p的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知函数f （x ）=2cos 2x +sin2x ．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）在△ABC 中，若C 为锐角，f （A +B ）=0，AC=2，BC=3，求AB 的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是边BC 上异于C 的一点，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）如果点E 是B 1C 1的中点，求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x 轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM 和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？19．（16分）已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为（2）若S n+1该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．25．（10分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．（10分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．（5分）某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．（5分）如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．（5分）函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，1）．【解答】解：令t=x﹣x2 ＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．6．（5分）若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．（5分）若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos （α+β）的值等于﹣．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．（5分）设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理，+=0，+=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．（5分）已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．（5分）某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．（5分）已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+…+a k+1==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9（243﹣1）=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．（5分）对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p 的最大值为8．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1， (4)分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD ⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…（2分）又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（5分）（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…（7分）∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…（10分）∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…（14分）17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x 轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．（16分）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM 和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；∴AC=2；BC⊥CD，BC⊥AD；∴BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD；∴BC⊥AC；∴，；∴=，（）；（2）=；令y′=0得，cosθ=；∵；∴；∴时，，1﹣2cosθ＜0，y′＜0，时，y′＞0；∴时，y有最小值，此时；∴当BM长为米时，才能使造价y最低．19．（16分）已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原命题等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极小值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原命题等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为（2）若S n+1该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2b n=0，n≥2，两式相减得b n+1∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p﹣1，∵，∴b k＞b n，∴2k＞2n+p﹣1，+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：【解答】证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M所以OP垂直平分AB又圆O中AB，CD交于M，由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°所以∠OAM=∠APM所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA所以=所以PM•OM=AM2，又DM•CM=AM•MB=AM2，所以PM•OM=DM•CM，所以，又∠CMP=∠ODM所以△CMP∽△OMD所以．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．【解答】解：由=，∴，解得：，M=，丨M丨=1×4﹣2×3=﹣2M﹣1=×=，M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【解答】解：∵≤=1，（当且仅当x﹣5=7﹣x，即x=6时，等号成立），∴≤2，故函数的最大值为2．25．（10分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，∴P（ξ=0）==，解得x=2，∴该文娱队的总人数为5人．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ01 2PEξ==．26．（10分）已知有穷数列{a n }共有m 项（m ≥3，m ∈N *），对于每个i （i=1，2，3，…，m ）均有a i ∈{1，2，3}，且首项a 1与末项a m 不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n }的个数为f （m ）． （1）写出f （3），f （4）的值；（2）写出f （m ）的表达式，并说明理由． 【解答】解：（1）f （3）=3×2×1=6， f （4）=3×2×2+3×2×1×1=18种， （2）f （m ）=2m +2•（﹣1）m ，（*）理由如下：当m=3时，f （3）=6，符合（*）式， ①假设当m=k 时，（*）成立，即f （k ）=2k +2•（﹣1）k ， 那么m=k +1时，因为a 1有3种取法，a 2有2种取法，…，a k 有2种取法，a k +1若仅与a k 不同，则有2种取法，一种与a 1数不同，符合要求，有f （k +1）个，一种与a 1数相同，不符合要求，当相当与k 项有穷数列的个数，有f （k ）个，则有3×2k =f （k +1）+f （k ），∴a k +1=﹣a k +3×2k =﹣2k ﹣2（﹣1）k +3×2k =2k +1+2（﹣1）k +1， 即n=k +1时，（*）也成立， 由①②可知，（*）成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
江苏省四市2015届高三第一次调研考试（一模）数学试题及答案
徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______. 7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____. 8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-³，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x pw w =->的图象分别向左、向右各平移4p个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则w 的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________. 13．已知函数22,0,()2,0x x f x x x x +ì-³ï=í<ïî，则不等式(())3f f x £的解集为______. 14．在△ABC 中，己知中，己知 3,45AC A =Ð=，点D 满足满足 2CD BD =，且，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分） 己知向量(1,(1,2sin 2sin ),(sin(),1)3a b p q q ==+，R q Î．(1)若a b ^，求tan q 的值：的值：(2)若//a b ，且(0,)2p qÎ，求q 的值．的值．16．（本小题满分14分）分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ^平面ABC ． (1)若AB ^BC ，CD ^PB ，求证：CP ^P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证：，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD . （1）若AC =4，求直线CD 的方程; （2）证明：D OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ). 18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 4 km.km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由. 19.(本小题满分16分) 在数列{}na中，已知12211,2,nn n a a aaa n N l *++==+=+Î，l 为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列，求数列 的前n 项和项和 n S ；（3）当0l ¹时，数列数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+Î(1)若(1)0f =，求函数，求函数 ()f x 的单调递减区间; (2)若关于x 的不等式()1f x ax £-恒成立，求整数恒成立，求整数 a 的最小值: (3)若 2a =-，正实数，正实数 12,x x 满足满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+³附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = A C AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分ÐABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知,a b R Î，矩阵1 3a A b -éù=êúëû所对应的变换A T 将直线将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。
江苏省南通市启东中学2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试卷 含解析
2015—2016学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷一、填空题（每题5分，共70分)1．若,则S50= ．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a= ．4．图1,2，3，4分别包含1，5,13和25个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形，则第n个图包含个互不重叠的单位正方形．5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36％，则平均每年应降低成本．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是．9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数（元)为．10．在数列｛a n｝中,，记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= ．11．《九章算术》“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．12．已知函数f（x）=log2(x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．13．等比数列{a n｝中，a1=1,a n=(n=3，4,…），则｛a n｝的前n项和为．14．若数列{a n},｛b n｝的通项公式分别是a n=(﹣1）n+2010•a，，且a n＜b n 对任意n∈N*恒成立,则常数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1,且有（1）求A、B、C的大小；（2）求△ABC的面积．16．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?17．某人年初向银行贷款10万元用于购房，(1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%,且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元?（2)如果他向工商银行贷款，年利率为4％,要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次,每年应还多少元?(其中：1.0410=1.4802）18．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到,记为；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f(n）是前一个结果f（n﹣1）的倍．（1)当从A口分别输入自然数2,3，4 时，从B口分别得到什么数？并求f(n）的表达式；（2）记S n为数列{f(n）}的前n项的和．当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的S n 的值．19．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n)，均在函数y=b x+r（b ＞0)且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值;（2）当b=2时,记b n=（n∈N*）,求数列{b n}的前n项和T n．20．记公差d≠0的等差数列｛a n}的前n项和为S n,已知a1=2+，S3=12+3．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n．（2）已知等比数列{b nk}，b n+=a n,n1=1,n2=3，求n k．（3）问数列{a n}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一(下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每题5分,共70分）1．若，则S50= ﹣25 ．【考点】数列的求和．【分析】根据SN表达式，采用分组法为宜，从第一项起每相邻两项的和为﹣1．进行计算．【解答】解:S50=（1﹣2)+(3﹣4）+…+（49﹣50）=（﹣1）+(﹣1)+…+（﹣1）=﹣25故答案为：﹣252．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的北偏西15°．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【解答】解：如图，∵AC=BC,由图可知，∠CAB=∠CBA=45°,利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°．故答案为：北偏西15°．3．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10,则a= ﹣4 ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．【解答】解:由互不相等的实数a，b，c成等差数列,可设a=b﹣d,c=b+d,由题设得，∵d≠0,∴b=2,d=6，∴a=b﹣d=﹣4,故答案为：﹣4．4．图1,2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含2n2﹣2n+1 个互不重叠的单位正方形．【考点】归纳推理．【分析】根据图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，寻找其规律,可得第n个图包含1+4个互不重叠的单位正方形．【解答】解：设第n个图包含a n个互不重叠的单位正方形．∵图1,2,3，4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，∴a1=1，a2=5=1+4=1+4×1,a3=13=1+4+8=1+4×（1+2)，a4=25=1+4+8+12=1+4×(1+2+3）∴a n=1+4=1+4×=2n2﹣2n+1故答案为：2n2﹣2n+15．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为．【考点】直线的倾斜角．【分析】由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，且﹣≤tanθ≤,由此求出θ的围．【解答】解：由于直线xcosα+y+2=0的斜率为﹣，由于﹣1≤cosα≤1, ∴﹣≤﹣≤．设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，故﹣≤t anθ≤．∴θ∈．故答案为：．6．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好km，那么x的值为或2．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象,三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x 的方程即可求得x的值．【解答】解:如图，AB=x，BC=3，AC=,∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故答案为或2．7．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本20％．【考点】等比数列的通项公式．【分析】先设平均每年降低x,然后根据经过两年使成本降低36%,列出方程解之即可．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣36％解得x=20%或x=180％（舍去)．故平均每年降低20％．故答案为:20%．8．在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是锐角三角形．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质，可求出tanA和tanB,代入两角和的正切公式，结合诱导公式，可得tanC的值，进而判断出三个角的大小，进而判断出三角形的形状．【解答】解：设以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差为d则d= =2即tanA=2设以为第三项，9为第六项的等比数列的公比为q则q==3即tanB=3则tan(A+B）=﹣tanC==﹣1即tanC=1故A，B,C均为锐角故△ABC为锐角三角形故答案为:锐角三角形9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为．【考点】数列的应用;等比数列的前n项和．【分析】由题意知可取回的钱的总数a（1+p）7+a（1+p)6+…+a(1+p)，再由等比数列求和公式进行求解即可．【解答】解：第一年存的钱到期可以取：a（1+p）7，第二年存的钱到期可以取：a（1+p）6，…可取回的钱的总数:a（1+p）7+a(1+p）6+…+a（1+p）==．故答案为．10．在数列{a n｝中，,记T n=a1•a2•…•a n，则使成立的最小正整数n= 11 ．【考点】数列的求和．【分析】由T n=a1•a2•…•a n，根据同底数幂的乘法可知：T n=，根据等差数列的前n项和公式，,即可求得＞5，即可求得n的最小正整数．【解答】解：T n=a1•a2•…•a n，=•••…•，=，=，=∵，∴＞5,∴n2+n﹣110＞0，解得：n＞10或n＜﹣11，由n∈N＊，最小正整数为：11．故答案为：11．11．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知,解得，∴=．故答案为：．12．已知函数f(x）=log2（x+1），且a＞b＞c＞0，则的大小顺序是．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的图象及性质，数形结合，把看作与原点连接直线的斜率，即可得到答案．【解答】解:由题意，可将分别看作函数f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f(a)），（b，f（b）),（c，f（c)）与原点连线的斜率．结合图象可知当a＞b＞c＞0时，．故填：．13．等比数列{a n｝中，a1=1，a n=（n=3，4，…），则｛a n｝的前n 项和为n或﹣×（)n．【考点】数列递推式．【分析】由已知条件，先求出公比,再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：设公比为q，由a n=，∴2a n=+，∴2=+，解得q=1或q=﹣，当q=1时，a1=1，a n=1，S n=n,当q=﹣,a1=1，S n==﹣×（）n，故答案为：n或﹣×（）n，14．若数列｛a n},{b n｝的通项公式分别是a n=（﹣1)n+2010•a，，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】根据题中已知条件先求出数列｛a n｝，{b n｝的规律,然后令（a n）max＜(b n)min即可求出a的取值范围．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n+2010•a=(﹣1）n•a,∴数列｛a n}为﹣a，a，﹣a，a，﹣a，a,…，﹣a，a,…数列{b n｝的通项公式为=2+，∴数列｛b n｝为2+1，2﹣，2+，2﹣，…,2+，…要想使a n＜b n对任意n∈N＊恒成立，则(a n）max＜（b n)min，当a＞0时则有a＜2﹣,即a＜,当a＜0时，则有﹣a≤2，即a≥﹣2，则a的取值范围为﹣2≤a＜，故答案为2=（b﹣1）b2×(b+r)解可得r=﹣1，（2)当b=2时,a n=（b﹣1）b n﹣1=2n﹣1,bn=则T n=Tn=相减，得Tn=+=所以Tn=20．记公差d≠0的等差数列｛a n}的前n项和为S n，已知a1=2+，S3=12+3．(1)求数列｛a n}的通项公式a n及前n项和S n．（2）已知等比数列{b nk}，b n+=a n，n1=1,n2=3，求n k．（3)问数列{a n｝中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由．【考点】数列递推式．【分析】(1）在等差数列｛a n｝中，由已知求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；(2)由b n+=a n，得,结合数列{｝是等比数列即可求得;（3）假设存在三项a r，a s,a t成等比数列,则,即有，整理后分rt﹣s2≠0和rt﹣s2=0推得矛盾，可知不存在满足题意的三项a r，a s，a t．【解答】解：（1）在等差数列｛a n}中,∵a1=2+，S3=12+3，∴，得d=2,∴，；（2）∵b n+=a n,∴，∴，又数列｛｝的首项为，公比q=,∴，则，故; （3）假设存在三项a r，a s，a t成等比数列,则，即有,整理得：，若rt﹣s2≠0，则，∵r，s，t∈N＊，∴是有理数，与为无理数矛盾；若rt﹣s2=0，则2s﹣r﹣t=0,从而可得r=s=t，这样r＜s＜t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r,a s，a t．2016年10月28日。
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江苏省启东中学高三数学备课组供题
试题1：已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。
若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值。
解析：因为∠,tan∠ACB=,所以tan∠BDF=tan(∠CAF+∠
ACB)=.
试题2：已知数列满足（1）当k=1时，求（2）当k=2时,证明:
解析：当k=1时，
.
(2)，所以
(n所以n, 又
试题3：已知椭圆的离心率e=，右准线L与x轴交于点p(4,0)，
过p作两直线分别与椭圆交于A,B(A在B右）与C，D（C在D右）,直线AB与CD交于Q点。
（1）求椭圆方程。
（2）点Q在定直线上。
解析：（1）（2）设直线PA:代入椭圆方程
，
所以
同理.
所以
所以直线BC：y-
即y=
①
同理直线AD ：y=
②
①②得x=1. 所以点Q 在定直线x=1上。
试题4：已知函数
.(1)
在定义域上单调性相反，求
的最
小值。
（2）当
时，求证：存在
，使
的三个不同的实数解
，且对任意
且
都有
解析：(1)因为22'
'22212(2)(),();(1)ax bx cx c x c f x g x x x x -+-+--==+当1
2
a =
时，2'
21
()x bx f x x
-+=
； ①当1b ≤时，2210x bx -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，
所以，0)('≥x f 对(0,)x ∈+∞恒成立，所以，()f x 在(0,)x ∈+∞上为增函数。
根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，
()g x 在),0(+∞上为减函数，所以'()0g x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立，
即：24(1)x c x ≤+，所以2
4(1)x
c x ≥+
因为2
2
41(1)(2)x x x ≤=+，当且仅当1x =时，24(1)x x +取最大值1. 所以1c ≥，此时||b c +的最小值是1，
②当1b >时，方程2210x bx -+=有两个不等的正实根22121,1,x b b x b b =-=- 当1(0,)x x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数； 当12(,)x x x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数 当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数
根据()f x 和()g x 在定义域上单调性相反得，
当1(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 为减函数； 当12(,)x x x ∈时，'()0g x >，()g x 为增函数 当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 为减函数
由此可得，22(2)0cx c x c -+--=的两个根也是1x ，2x ，且0c -<； 又224(2)40c c ∆=-->，即1c <，所以01c <<
由122(2)2c x x b c -+==，得2
1b c =-
因此，||b c +=21c c +-，因为(0,1)c ∈时，2
1c c +-为减函数，
故||b c +=2
1c c
+-2>，综上所述，||b c +的最小值是1
(2)因为2'
221
(),ax bx f x x
-+=
当0b >时，
0a >，且一元二次方程22210ax bx -+=的24(2)0b a ∆=->，
所以2
2210ax bx -+=
有两个不相等的实根12x x =
= 当1(0,)x x ∈时，()f x 为增函数；1()(,())f x f x ∈-∞
当12(,)x x x ∈时，()f x 为减函数；21()((),())f x f x f x ∈ 当2(,)x x ∈+∞时，()f x 为增函数；2()((),)f x f x ∈+∞
所以当21((),())m f x f x ∈时，()f x m =一定有3个不相等的实根1t ，2t ，3t 分别在1122(,)+x x x x -∞∞、(，)、(，
)内 不妨设i j t t <，因为(),()i j f t m f t m ==，所以()()i j f t f t = 即22ln 2ln 2i i i j j j t at bt t at bt +-=+- 即22ln ln ()2()i j i j i j t t a t t b t t -=--+- 即
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++- 所以
1
ln ()2i i j i j j
t a t t b t t t =-++- 所以221
[2()]ln i i j i j i j i j j t b a t t t t t t t t t --+=-++-]ln )(2[1tj t t t t t t t i j i j i j i -+--= ]ln 1)1(
2[1tj t t t t t t t i j i j
i
j i -+--= 令t tj t i =，则t t t tj t
t t t t i j
i j i ln 1
)
1(2ln 1
)1(2-+-=
-+- 由（1）知x x x x g ln 1
2
2)(-+-=
在),0(+∞上为减函数，又0)1(=g 所以当，10<<t 0
ln 1)
1(2>-+-t t t ，又,01<-j
i t t 所以,0)](2[2<+--+j i j i t t a b t t 即).(22
j i j
i t t a b t t +-<+。