线性代数实践8章(向量空间)
向量空间与线性方程组
向量空间与线性方程组线性代数是现代数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
其中，向量空间和线性方程组是线性代数中的基本概念和工具。
本文将介绍向量空间和线性方程组的相关内容，以帮助读者更好地理解和应用线性代数中的这两个重要概念。
一、向量空间向量空间是线性代数中研究向量及其运算的一种结构。
一个向量空间由非空集合V和定义在其上的两种运算——向量的加法和标量与向量的乘法所组成。
满足一定条件的集合和运算规则被称为向量空间。
向量空间具有以下性质：1. 向量的封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，它们的线性组合仍然在该向量空间中，即u+v∈V。
2. 标量乘法封闭性：对于向量空间中任意一个标量k和任意一个向量u，标量与向量的乘积仍然在向量空间中，即ku∈V。
3. 加法交换律：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，u+v=v+u。
4. 加法结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
5. 存在零向量：向量空间V中存在一个零向量0，使得对于向量空间中的任意向量u，u+0=u。
6. 存在负向量：对于向量空间V中的任意向量u，存在一个负向量-u，使得u+(-u)=0。
二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
对于向量空间中的向量和标量，线性方程组可以用以下形式来表示：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ表示系数，bᵢ表示常数，xₙ表示未知数，方程组共有m个方程，n个未知数。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解集，或者判断无解或无穷解。
解线性方程组的常用方法包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等。
三、向量空间与线性方程组的关系线性方程组的解集合构成了向量空间中的一个子空间。
具体地说，对于线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b是n维向量，x表示未知数向量，b表示常数向量。
线性代数的向量空间理论
线性代数的向量空间理论线性代数是数学中的一门重要学科，其中的向量空间理论是其核心内容之一。
向量空间理论主要研究数学对象之间的线性关系，通过定义和研究向量空间的性质和运算规则，揭示了各种数学结构和现象背后的共性和规律。
本文将通过介绍向量空间的定义、基本性质和相关定理，来阐述线性代数的向量空间理论。
一、向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的性质。
具体而言，一个向量空间必须满足以下几个条件：1. 封闭性：对于集合中的任意两个元素，其和仍然属于该集合。
即对于向量x和y，x+y也是向量空间中的元素。
2. 结合律：向量空间中的加法满足结合律。
即对于任意的向量x、y 和z，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 零向量：向量空间中存在一个特殊的元素0，称为零向量，满足对于任意的向量x，x+0=x。
4. 负向量：对于向量空间中的任意元素x，存在一个负元素-x，满足x+(-x)=0。
5. 数乘运算：向量空间中的元素可以与标量相乘。
即对于向量x和标量a，存在一个元素ax，满足数乘运算的分配律和结合律。
通过这些定义和运算规则，我们可以建立起一个向量空间的抽象数学模型，便于对其进行研究和应用。
二、向量空间的基本性质在向量空间的理论中，还有一些基本性质是我们需要了解的。
1. 维度：向量空间的维度是指向量空间的基的个数。
一个向量空间的基是指一个线性无关的向量组，可以通过它们的线性组合来表示向量空间中的任意向量。
一个向量空间的维度等于其基的个数。
2. 线性无关性：如果一个向量组中的向量之间没有线性关系，即不能通过它们的线性组合来表示零向量，那么称这个向量组是线性无关的。
一个向量空间的基一定是线性无关的向量组。
3. 基变换矩阵：对于一个向量空间的两个不同的基，它们之间存在一个线性变换关系，并可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵称为基变换矩阵。
4. 子空间：一个向量空间的子集，如果本身也是一个向量空间，则称为原向量空间的子空间。
线性代数中的向量空间与子空间
线性代数中的向量空间与子空间线性代数是现代数学的基础学科之一，它研究的是向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是由一组向量和与标量乘法以及向量加法相容的运算所构成的数学结构。
而子空间则是向量空间的一个重要的概念，它指的是一个向量空间中的一个子集，同时也是一个向量空间。
1. 向量空间的定义向量空间是由一组向量和两种运算所构成的数学结构。
具体地说，向量空间必须满足以下几个条件：- 向量空间中的任意两个向量的和仍然属于该向量空间。
- 向量空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该向量空间。
- 向量空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
2. 子空间的定义与性质子空间是一个向量空间中的一个子集，并且也是一个向量空间。
具体地说，子空间必须满足以下几个条件：- 子空间中的任意两个向量的和仍然属于该子空间。
- 子空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该子空间。
- 子空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
子空间的几个重要性质包括：- 子空间的任意非空交集仍然是一个子空间。
- 子空间的维数不超过其所在的向量空间的维数。
- 子空间与原向量空间之间存在一一对应关系。
3. 子空间的示例在线性代数中，有许多常见的子空间存在，包括：- 零空间：由使得线性变换为零向量的所有向量组成。
- 列空间：由所有线性变换的列向量所张成的空间。
- 行空间：由所有线性变换的行向量所张成的空间。
- 切空间：由曲线或曲面上的切向量所张成的空间。
4. 向量空间与子空间的重要性向量空间和子空间在数学和应用中具有重要的地位。
它们不仅可以用来描述线性系统的性质，还可以应用于物理学、计算机科学等领域中。
通过对向量空间和子空间的研究，我们可以更好地理解线性变换和矩阵运算的本质，进而应用于解决实际问题。
5. 总结线性代数中的向量空间和子空间是重要的数学概念。
向量空间是一个由向量和两种运算构成的数学结构，而子空间则是一个向量空间的子集，同时也是一个向量空间。
线性代数中的向量空间理论
线性代数中的向量空间理论线性代数是数学中的一个重要分支，而向量空间理论是线性代数的核心内容之一。
向量空间理论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在物理学、计算机科学等其他学科中也扮演着重要的角色。
本文将介绍向量空间的基本概念、性质以及一些常见的应用。
一、向量空间的定义和性质向量空间是指由一组向量构成的集合，其中的向量满足一定的运算规则。
具体来说，向量空间需要满足以下几个性质：1. 加法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量，它们的和仍然属于该向量空间。
2. 数乘封闭性：对于向量空间中的任意一个向量和一个标量，它们的乘积仍然属于该向量空间。
3. 加法结合律和交换律：向量空间中的加法运算满足结合律和交换律。
4. 数乘结合律和分配律：向量空间中的数乘运算满足结合律和分配律。
5. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的向量，称为零向量，它满足对于任意向量v，v+0=v。
6. 负向量存在性：对于向量空间中的任意一个向量v，存在一个向量-w，使得v+(-w)=0。
这些性质为向量空间的定义提供了基础，同时也为我们在实际应用中进行向量运算提供了便利。
二、向量空间的例子向量空间的例子有很多，下面将介绍几个常见的向量空间。
1. 实数向量空间：实数集R上的所有n维向量构成的集合，记作R^n，是一个向量空间。
在实数向量空间中，向量的加法和数乘运算与我们熟悉的实数加法和乘法运算规则相同。
2. 复数向量空间：复数集C上的所有n维向量构成的集合，记作C^n，也是一个向量空间。
与实数向量空间类似，复数向量空间中的加法和数乘运算也遵循复数的加法和乘法规则。
3. 函数空间：由所有满足一定条件的函数构成的集合也可以看作是一个向量空间。
例如，所有定义在区间[a, b]上的可积函数构成的集合就是一个函数空间。
这些例子不仅帮助我们理解向量空间的概念，而且在实际问题中有着广泛的应用。
三、向量空间的应用向量空间的理论在实际应用中有着广泛的应用。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
大学数学向量空间的基本性质与运算
大学数学向量空间的基本性质与运算向量空间是线性代数中的一个基本概念，它是一种由向量和一些基本运算构成的数学结构。
在大学数学中，研究向量空间的基本性质与运算是非常重要的，本文将介绍向量空间的定义、基本性质和运算法则。
一、向量空间的定义向量空间是一个非空集合V，其中包含了两个运算，即向量的加法和数乘运算。
具体而言，对于V中的任意两个向量u、v和任意标量a，满足以下条件：1. 加法运算：对于V中的任意两个向量u和v，定义u+v为V中的一个向量，称为向量u和v的和。
2. 数乘运算：对于V中的任意一个向量u和任意一个标量a，定义au为V中的一个向量，称为向量u的标量倍。
同时，向量空间需要满足以下性质：1. 封闭性：对于V中的任意两个向量u和v，u+v仍然属于V；对于任意向量u和任意标量a，au仍然属于V。
2. 结合律：对于V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)；对于任意向量u和任意两个标量a和b，(a+b)u=au+bu。
3. 交换律：对于V中的任意两个向量u和v，u+v=v+u。
4. 零向量：存在一个特殊的向量0，对于V中的任意向量u，有u+0=u。
5. 相反向量：对于V中的任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
以上就是向量空间的基本定义和性质，根据这些性质，我们可以进行向量空间的运算和推导。
二、向量空间的运算在向量空间中，我们可以进行向量的加法和数乘运算。
具体而言，对于V中的任意向量u和v，以及任意标量a和b，有以下运算法则：1. 加法运算：u+v=v+u。
即向量的加法满足交换律。
2. 数乘运算：(a+b)u=au+bu。
即对于两个标量的和，与向量的数乘先后顺序不影响结果。
3. 数乘结合律：a(bu)=(ab)u。
即标量的乘法满足结合律。
4. 数乘单位元：1u=u。
即1乘以任意向量等于该向量本身。
5. 数乘零元：0u=0。
即0乘以任意向量等于零向量。
通过这些运算法则，我们可以进行向量的运算以及证明向量空间的性质。
线性代数实践8章(向量空间)
1
5
3
v1 1 ,
v2 4 ,
v3
1
,
2
7
0
• 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线 性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三
个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判
断三个向量的线性相关性，可用行列式。
• dr2=rank([v,w2])-rank(v) % w2引起秩的增量
• 运行结果为dr1=1, dr2=0。说明w1不是v1,v2,v3的线性组 合，而w2是，w2将位于v1,v2,v3所张成的R3子空间内。
8.3 向量的内积和正交性
• 在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为 [x,y]x1y1x2y2x3y3。m维情况可以写成
[U0,ip]rref(A)
1 0 1 0
得到 ip=1,2,4
0
1
0
0
其三个枢轴列对应的就是 U 0 0 0 0 1
三个线性无关的列向量。
0
0
0
0
0 0 0 0
三个向量的空间位置演示程序
• 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系， ATLAST手册还提供了一个演示程序 viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u， 同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面， 画在同一张立体图上。例如：
• 秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积 存在（r3）的意义，因此，它是更高度的 抽象。
8.2 向量空间和基向量
• 若r个向量是线性无关的，则它们的线性组 合的全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不 是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线 性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。
线性代数笔记11——向量空间
线性代数笔记11——向量空间 向量空间⼜称线性空间，是线性代数的中⼼内容和基本概念之⼀。
在解析⼏何⾥引⼊向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进⼀步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。
线性组合 线性组合（liner combinations）这个概念曾经被多次提到，如果v1,v2…v n是n维向量，即v i∈R n，那么t1v1 + t2v2 + … + t n v n就是v1,v2…v n的线性组合，t i∈R。
从定义可以看出，线性组合仅包括乘法和加法，只有同阶向量才涉及到线性组合。
如果有两个⼆维向量： 下⾯是可能存在的线性组合： 最后⼀个组合最终得到零向量，零向量也是⼀个线性组合。
此外，按照惯例，单个向量⽤列向量表⽰。
单个向量同样存在线性组合。
下⾯是a可能存在的线性组合：向量空间 概念没什么好解释的，经常提到⼆维空间R2，三维空间R3，n维空间R n，这些就是向量空间。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么R2空间的所有向量都可以⽤a和b的线性组合得出；a和b的所有线性组合都在R2空间内。
这也意味着，向量空间对向量的所有线性组合封闭。
下⾯是⼀个不封闭的例⼦，如果定义R2的第⼀象限是向量a(1,1)的向量空间，那么a的所有线性组合应该全部在第⼀象限内，但是 –a却落在了其它象限，所以第⼀象限不对a封闭，也不是a的向量空间。
向量张成的空间 如果⼏个向量的线性组合在某⼀个向量空间中，并且该向量空间仅包括这⼏个向量的线性组合，那么这个向量空间就叫做这⼏个向量张成的空间。
简单地说，N个向量张成的空间就是N个向量的线性组合。
以R2空间为例，如果有两个指向不同⽅向的⾮零向量a和b，那么a,b张成的空间就是R2，⽤span(a, b) = R2表⽰。
如果是两个平⾏的向量，a’ = <1, 1>，b’ = <-1, -1>，那么它们⽆法张成R2，因为⽆论怎样线性组合，也不可能得到<1, -1>，实际上，a’b’ 张成的空间是⼀条直线： 同样，span(a)张成的空间也仅仅是a的伸缩，所以span(a)也是⼀条直线。
线性代数 向量空间
r 基， 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r维向量 维数， 空间． 空间． 的维数为r 记做dimV=r 若V的维数为r，记做dimV=r
称为0维向量 ）只含有零向量的向量空间V称为 说明 （1）只含有零向量的向量空间 称为 维向量 空间， 它没有基． 空间，即dimV=0,它没有基． 它没有基 看作向量组， （2）若把向量空间 V看作向量组，那么 V 的基 ） 就是向量组的极大无关组 极大无关组, 维数就是向量组的 就是向量组的极大无关组 V 的维数就是向量组的 秩. 例6 任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R n 的一个基,
所以向量组 a1 ，a2 ， ，am 的极大无关组就是 L 的一个基 ， L 向量组 a1 ，a2 ， ，am 的秩就是 L 的维数 . L
三定 3 若 量 a ， 2 ，， r 是 量 间 的 个 ， . 义： 向 组 1 a L a 向 空 V 一 基
那么 V 中任一向量 x 可唯一表示为 x = x1a1 + x2 a2 + L + xr ar，
3.5向 3.5向 量 空 间
又称线性空间） （Vector Space, 又称线性空间）
一、向量空间简介
定义1 维向量的集合，如果集合V非空， 定义1 设V为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法 加法及 两种运算封闭 封闭， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合V 向量空间． 集合V为向量空间． 说明 所谓封闭 ，是指在集合 V 中进行加法
Q
a = (0 , a2 , L , a n ) T ∈ V , b = (0 , b2 , L , bn ) T ∈ V , a + b = (0, a2 + b2 ,L , an + bn )T ∈ V ,
线性代数-向量空间
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 ⊂ V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n维向量所组成的向量空间， 显然V ⊂ Rn 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 α1,α2, ,αr ∈V，且满足
一般地，由向量组a1, a2 ,, am所生成的向量空 间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R}
例5 设向量组a1 ,,am与向量组b1 ,,bs等价， 记
V1 = {x = λ1a1 + λ2a2 + + λmam λ1 ,λ2 ,,λm ∈ R} V2 = {x = µ1b1 + µ2b2 + + µ sbs µ1 , µ2 ,µ s ∈ R}
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 α1 ,α 2 , ,α r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V = {x = λ1α1 + λ2α 2 + + λrα r λ1 , ,λr ∈ R}
例6 设矩阵 2 2 − 1
0
1
0
−2 3
1
0
1
1
−5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 −2
3
3
1
0
0
1
−1
2 3
1 0 0 2 4
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x, y xT y x1y1 x2 y2 L xm ym xi yi
i 1
• 这是一个标量。向量x与自己求内积：
m
xT x x1x1 x2 x2 L xm xm xi2
i 1
• 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向 量的长度（或模、或范数norm）。
• v1=[7;-4;-2;9]; v2=[-4;5;-1;-7]; % 输入参数
• v3=[9;4;4;-7]; w1=[-9;7;1;-4]; w2=[10;-2;8;-2];
• v=[v1,v2,v3];
% 将三个基向量组成矩阵
• dr1=rank([v,w1])-rank(v) % w1秩的增量
• 解：解题的程序为ag804： v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos((v1'*v2)/(norm(v1)*norm(v2))) theta13=acos((v1'*v3)/(norm(v1)*norm(v3))) theta23=acos((v3'*v2)/(norm(v3)*norm(v2)) )
内积的几何意义
• 在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它 们夹角的余弦，可以利用下图证明。
• 根据余弦定律， • 最后得到
cos uT v
uu
• 此结果可推广到高维空间，只是被抽象化了：
例8.4 基向量长度规一化和夹角
• 例8.4 求例8.3中的单位基向量v01,v02,v03，并 分别求它们之间的夹角。
v1
4 2
,
v2
5
,
1
v3
4
,
4
9
7
7
9
10
w1
7
,
1
w2
-2
8
4
-2
• 若w与v线性相关，其组合矩阵[v,w]的秩应该与v的秩相同， 反之，其秩应该加1。由此列出程序ag803：
• 秩的概念也概括了面积存在（r2）和体积 存在（r3）的意义，因此，它是更高度的 抽象。
8.2 向量空间和基向量
• 若r个向量是线性无关的，则它们的线性组 合的全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不 是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线 性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。
• 当rn时，给定的n个向量就是一组基。如 果rn，那就要在n个向量中选出r个线性无 关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向 量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵 简化为阶梯形式的方法。
• Ax0意味着这些解x的集合经过矩阵A变换后都映 射到像空间的零点，所以英文把此解所张成的空 间称为Null Space，直译为‘零空间’。我国的 通用译名为‘解空间’或‘基础解系’，我们觉 得用‘齐次解空间’较为准确。
齐次方程Ax=0解空间的例
• 例8.6 试求下列系数矩阵的齐次解空间：
0 0 1 1 1
A
5
5
7
3
7
3 3 0 6 0
• 解：输入A，并求出它的简化行阶梯形式，键入
[u0,ip]rref(A)，得到
1 1 0 2 0
U
0
0
0
1
1
1
0 0 0 0 0
ip[1,3]
齐次解空间的例（续）
• 其通解可以看成三个向量的线性组合
u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5];
viewsubspaces(u,v,w),grid on
三个向量的起点都是xyz0的原点。要看清其几 何意义，还是需要一定的空间想象力。
三个向量的空间关系
例8.3 w是否在v1,v2,v3的空间内
•设
7
4
9
行列式的几何意义
• 二维
(v1, v2)
D
det
u1 0
v1 v2
u1v2
(u1,0)
• 三维
det(A)=右图平行六 面体的体积
a2+a1,a3
张成的平面
a2 0 a1
a3
a1,a3
张成的平 面
二维向量行列式等于面积
• 任意二维向量的行列式等于两向量所张平 行四边形的面积，可证明如下：
正交基向量的生成
• 两向量x，y正交的条件是它们的内积为零。 给出向量求正交基常用施密特算法，ATLAST手册中
给出了相应的程序gschmidt。调用时键入 [Q,R]=gschmidt(v)，Q就是单位正交基向量e。 • MATLAB中不用施密特算法，而用更好的算法编成 了正交分解子程序qr.m，它将v分解为Q和R两个矩 阵的乘积。调用方法为：
x1 x2 2x4 1 2 0
x2
x2
1
0
0
x3 x4 x5 x2 0 x4 1 x5 1
x4
x4
0
1
0
x5 x5 0 0 1
[U0,ip]rref(A)
1 0 1 0
得到 ip=1,2,4
0
1
0
0
其三个枢轴列对应的就是 U 0 0 0 0 1
三个线性无关的列向量。
0
0
0
0
0 0 0 0
三个向量的空间位置演示程序
• 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系， ATLAST手册还提供了一个演示程序 viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u， 同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面， 画在同一张立体图上。例如：
SOACB
y
SOEDB SCDB S AEO S AEDC
SOEDB S AEDC
a1b2 a2b1
O
B(a2,b2) A(a1,b1) E
C D
x
n维向量的相关性
• 在进入三维以上的空间时，已经没有可与 面积、体积直接相当的概念可用了，所以 采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也 就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线 性相关的。
•
若u和v两个向量的各元素成比例关系，如
v
0.5
1
合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维 平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关
的。
2．三维空间中的向量
• 若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间 坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭 头来表示。用矩阵代数表示如下
二维向量张成的空间
• 平面上的任何一点[w1;w2]是不是一定能用u和v的线 性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数 [c1,c2]，使得
c1
2 4
c2
3 1
w1 w2
• c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张 成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。
1
5
3
v1 1 ,
v2 4 ,
v3
1
,
2
7
0
• 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线 性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三
个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判
断三个向量的线性相关性，可用行列式。
MATLAB中的子程序为N=null(A).
计算例题8.7
系数矩阵A如右，
4 1 6 2 2
求Ax0的通解。
A
1
2
0
1 2
解：程序ag807 先输入A，再键入
4 1 5
1
3
1
03 1 3
vnulbasis(A) %或
3 2
例8.2 求四个五维向量的子空间
• 这四个向量组成的矩 阵如右，对它进行行 阶梯简化。程序为：
4 5 4 1
0
3
0
1
A 2 1 2 0
5
4
5
3
1 4 1 1
A[4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1]
求单位正交基向量的例
例8.5 对于例8.4的数据，求其规范化正交基向量 e1,e2,…,en。
解：程序为
V[7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7]
[Q,R]qr(v)
% 或 [Q,R]gschmidt(v)
eQ(:,[1:3])
0.5715 0.3164 0.7473
三维空间向量的相关性
• 即看三向量并列所得矩阵的行列式
1 5 3
A v1 , v2 , v3 1 4 1 ,
2 7 0
• det(A)=0 相关 • det(A)≠0 不相关 • 行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行
四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面 体的体积。
• 得到：
e
[
e1
e2
e3
]