第五章：线弹性断裂力学2

应力在裂纹端部具有奇异性。而KJ也正是用以描 述这种奇异性的参数。 r/a << 1 KI yy | 0 KI yy ( 0) 2r 2r


2r r 0 K II 2r xy ( 0 ) r 0 K III 2r yz ( 0 ) r 0 应该指出应力强度因子的量纲[应力]×[长度]1/2或 [力] ×[长度]-3/2。在SI单位制中其单位为。 K I lim yy ( 0)
c
R lim S 0 S c
c
5.11.2 常位移的情形
图5.23 常位移情况
5.11.3 常载荷的情况
图5.24 常载荷情况
U ocd G lim lim lim S 0 S S 0 S S 0 S c c c
c c c
在常位移的情况下，整个弹性板所释放的应变能和裂纹扩展所消耗的 能量相等。对于常载荷情形, 外力做功正好分成了两半，一半用于供 给裂纹扩展所消耗的能量，另一半用于增加应变能。
代入柯洛索夫公式，有
xx yy 2[ ( z ) ( z )] yy xx
2i xy 2[( z z ) ' ( z ) ( z ) ( z )]
S S [ I ( z ) I ( z0 )] [ I (z ) I ( z0 )] z z0 z z0
lim lim

(5.63)
断裂韧性
位移场表达式
应力强度因子KJ是表征裂纹端应力场的唯一参量。 不同样品中的裂纹，几何参数及受载情况可以完 全不同。但只要其KJ相同，则裂纹端部的应力场 是完全相同的。进一步由式(5.57)可知，其位移场， 进而其应变能场也是相同的。因此KJ完全表征了 裂纹端部的物理状态（即端部各种物理场的情 况）。因此它必然是度量裂纹稳定程度可靠参数。 用实验的方法可以测出某些材料中裂纹开始失稳 扩展时临界的KJ值，称为材料的断裂韧性，用符 号KJc表示。它是表示材料抗脆断能力的一个全新 的材料参量。
1 0 ( z ) 0 ( z ) 2 ( z 2 a 2 )1/ 2
I (z ) I ( z0 ) J ( z0 ) S ( z0 z0 ) im ( z z0 ) 2 z z0
a
(5.72)
本章我们介绍了两种判据： 1. 能量判据，即Griffith判据(简称G判据)。认为当 能量释放率到达临界值，即 G GJc 时，裂纹开始 扩展。 2. 断裂韧性判据，即Irwin准则(简称K判据), 认为 当应力强度因子到达临界值时，即 K J K JC 时，裂 纹开始扩展。
对于I、II型裂纹相结合的情况，
( ( I) xx yy xxI)(II) yy (II) 2 ReZI iZII
xx yy
1 2 ReK I iK II 2
( ( I) xx yy xxI)(II) yy (II) 2 ReZI iZII

1


1 / 2

1 r
(cos

i sin ) 2 2
xx yy
1 2 ReK I iK II 2
根据柯洛索夫公式 xx yy 4 Re。综合上述两式可得： ' ( z)
KI iKII lim 2 2 '( z) lim 2 2 ( z a) '( z)
xx 2 Im Z II y Re Z 'II yy y Re Z 'II xy Re Z II y Im Z 'II B
( ( II xxII) yy ) 2 Im Z II ( z) 2 Re[iZII ( z)]
1 ReZ I iZ II ReK I iK II 2
KI iKII ZI iZII
2
对于III型裂纹，由(5.50), yz ReZ III 又由公式（5.53）
yz ReZ III
xz Im Z III yz Re Z III
2 GII K II / E'
2.
3.
II型裂纹
III型裂纹
1 2 GIII KIII E
5.11.7
1.
2.
裂纹应变能
Uc B 2 2 0a E'
I型裂纹：
II型裂纹：
B 2 2 Uc 0 a E'
3.
III型裂纹：
B 2 Uc (1 ) 0 a 2 E
xz sin o(r ) 2 2 r K III yz cos o(r 1 / 2 ) 2 2 r 2 K III r w sin o(r 1 / 2 ) 2 2 K III

1 / 2
yz
K III 2r
5.11 能量释放率及其与应力强度因子间的
关系
KI a KIC
a KIC /
σ a 2EΓ /
Griffith能量准则的表述: 裂纹每扩展单位面积，系 统提供的动力大于或等于裂纹扩展的阻力。
GR
G lim S 0 S c
ocf G lim lim lim Sc0 S l 0 Bl Sc0 S c c
5.11.4 更一般的情形
图5.25 一般情况
G Sc |一般 | | p
5.11.5
贝克纳尔公式
1 X i ui*dS 2 S
0
x a
定义复应力强度因子 K K I iKII
(5.67)
K K I iK II lim 2 2 ( z a) '( z)
x a
) 依(5.67)可直接由 ' ( z求得KI、KII而 不必再求裂纹端部的应力分量。
如果已知Westergaard应力函数，由公式（5.20）
xx ReZ1 ( z ) y ImZ1 ' ( z ) A yy ReZ1 ( z ) y ImZ1 ' ( z ) A xy y ReZ1 ' ( z )
( (I xxI) yy) 2 Re ZI ( z)
I(a) I( z0 ) J ( z0 ) S ( z0 z0 ) im (a z 0 ) 2 a z0


az a z0 1 0 ( 1) (Q iP) 2 2 2 2 2 a (1 ) z0 a z0 a
如图5.12，无限大板中有一长为2a的穿透裂纹。 在体内某点受集中力P、Q及力偶M作用。取裂纹 中点为坐标原点，力的作用点为 z0 x0 iy0 。 P、Q、M均为施于单位厚度上的力（下同）。设 总的力为P*、Q*、M*。则 P=P*/h, Q=Q*/h, M=M*/h。其中h为板厚。 ( z) ' ( z)
S ( z) 0 ( z) z z0 S ( z z 0 ) im S ( z) 0 ( z ) 2 z z0 ( z z0 ) Q iP M S , m 2 (1 ) 2 ( z ) z ' ( z ) ( z )
cos

2
O( r
1/ 2
)
K III 2
Re
1

O( r 1 / 2 )
K III lim Z III 2
| | 0
K J lim Z J 2
| | 0
K J lim Z J 2 ( z a)
z a
5.9 无限大裂纹体受集中力及集中力偶作用 时的K

( II) yy
K II 3 sin cos cos 2 2 2 2r
对于I、II型裂纹相结合的情况，
(I) (I) (II) (II) xx yy xx yy xx yy
KI K II 2cos 2sin 2 2 2 r 2 r
(a 2 t 2 )1 / 2 2 2 1/ 2 I ( z) dt ( z a ) z a tz 2 2 1/ 2 a (a t ) z J ( z) dt 2 1/ 2 2 1/ 2 a (t z ) (z a )
c
1 G lim lim S 0 S c S 0 2S c
c c
Sc
X i ui*dS
对于平面裂纹，设板厚为B，裂纹长为a
1 a G lim X i ui*dl 0 l 0 2a
5.11.6 G与K之间的关系
1. I型裂纹
GI KI2 E'
应力强度因子的计算
求应力强度因子的方法是各式各样的。可分为计算与实 验两大类。计算方法中又分为解析法及数值法。解析方 法中又有许多方法。这里我们仅介绍复变函数的方法。 如果某一裂纹问题已求得其 (z ) 、 (z ) 或Z(z)，则可求 其裂纹尖端的应力场。根据式(5.63)即可求得其KJ。 KJ与应力函数的直接关系？ 在一般的情况下KI、KII常同时存在。对于I型裂纹，
第五章：线弹性断裂力学2
5.8 应力强度因子与断裂韧性
本节主要讲述应力强度因子的概念与计算，断裂 韧性的概念以及测量。 应力强度因子KJ是表征裂纹端应力场的唯一参量。