【最新】人教版九年级数学上册导学案第21章：一元二次方程(课时作业2)

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人教版九年级数学上册第21章一元二次方程导学案设计 21.2 一元二次方程的解法

1.按要求解下列方程
(1) (用直接开平方法) (2) (用配方法)
(3)x(x-2)=2-x(用因式分解法) (4) (用公式法)
2.运用适当的方法解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
(5)(6)
类型二：根的判别式的应用
1.已知关于x的方程 +(2m+1)x+ =0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
学习内容
一元二次方程的解法专练
主备
使用者
审核
课型
时间
学习目标
1.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
教学重点
选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
教学难点
理解四种解法的区别和联系。
学法导航
自主学习，小组交流，教师点拨
学习内容及学习流程
方法指导
类型一：一元二次方程的解法
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
2.已知关于x的方程 +mx+m−3=0.
(1)若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
提示：理解四种解法的区别和联系。
提示：根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。

人教版九年级数学上册(RJ)第21章一元二次方程导学案一元二次方程的根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练（1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单(公开课导学案)及作业设计

人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单及作业设计【学习目标】对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 【课前学习任务】复习《一元二次方程》一章相关知识点.【课上学习任务】学习任务一：例 1：已知关于 x 的方程是一元二次方程，则m 的值为 .学习任务二：例 2：关于 x 的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）若方程的一个实数根为-1，求 m 的值及方程的另一个实数根.学习任务三：例 3：关于 x 的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．学习任务四：例 4：随着经济建设的发展，某省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业. 据统计，2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的5/3倍；到2022 底，全省5G基站的数量将达到17.34万座.（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座?（2）按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面三道课后作业：1.若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0 有一根为0，则m= .2. 已知关于x的一元二次方程 x2-6x+2k-1=0 有两个相等的实数根，求k的值及方程的根.3. 用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.【参考答案】1. m=-1；2. k=5；x1=x2=3；3. 能围成一个面积为75cm2的矩形，长15cm，宽5cm.不能围成一个面积为101cm2的矩形，因为方程 x2-20x+101=0 无实根.。

最新人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.根据题意，得x(0.5-x)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题：情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标：(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点：重点：用配方法解一元二次方程.难点：配方的方法.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.(4)探究提纲：①解方程x2+6x+4=0.移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；配方：两边都加9，使得左边配成x2+2b x+b2的形式，得x2+6x+9=；变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导：根据具体情况指导学生配方.(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.4.强化：(1)配方的依据和步骤.(2)试一试：对下列各式进行配方：1.自学指导：(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲：①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0；(2)4x2-12x－7=0;解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72，x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时，原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题：(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标：(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用求根公式解一元二次方程.难点：计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲：②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ≥0时，一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x－3=2x－4；x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)公式的推导，判别式定义解读；(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导：(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲：①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0；2x2-22x+1=0；5x2-3x=x+1；x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.4.强化：(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac＞0C. b2-4ac＜0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)A. 5，，6B. 5，6，C. 5，-6，D. 5，-6，-4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程：二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)2.学习目标：(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：可先解答②，再解答①.(4)自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：(1)用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为x2+p x+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题，并点评.1.自学指导：(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.(4)自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导：(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；配方法适用于哪种形式的方程？(m x+n)2=p；公式法适用于哪种形式的方程？a x2+b x+c=0(a≠0)；因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点？③解一元二次方程的基本思想是什么？④选择适当的方法解下列方程：。

九年级数学上册 21.1 一元二次方程精品导学案2 新人教版

一元二次方程学习目标：1、知识和技能：了解一元二次方程根的概念；根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。

2、过程和方法：经历探究方程的解的过程，增进对方程的解的认识，发展估算的意识与能力。

3、情感、态度、价值观：培养学生积极参与活动的意识。

学习重点：判定一个数是否是方程的根；学习难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

导学方法：课时：导学过程一、课前预习：阅读课本P25——28的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

二、课堂导学：1、导入通过上节课的学习，我们认识了一元二次方程，并感受到一元二次方程在解决实际问题时的重要性，列出方程时，怎样求出方程中的未知数的值呢？2、出示任务自主学习阅读课本P27—28的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

什么是方程的解？你能从表格中发现方程的解吗？什么是一元二次方程的根？该方程只有一个根吗？对于排球邀请赛问题来说，答案是什么？由此你有什么思考?3、合作探究《导学》难点探究和展题设计.三、展示与反馈：检查自学情况，解决学生疑问。

四、学习小结：1、一元二次方程根的概念；2、会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根．五、达标检测1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3、若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值课后作业：习题21.1《导学》板书设计：21.1一元二次方程（2）1、一元二次方程根的概念；2、会判断一个数是否是一元二次方程的根；教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

【人教版】九年级上册数学导学案(含答案) 21.1 一元二次方程2

21.1 一元二次方程学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

其中为一元二次方程的是：【我学会了】2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）（2）【巩固练习】教材第27页练习2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）±1 ±2；（2）±2，±4（2）把方程 2（x-1）2+2x=16 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使是一元二次方程，则k=_______.3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。

人教版九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4.3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__1＋52，x2＝__1－52__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝1 2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝1 3；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟) 1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2.2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.解：(1)x＝±2；(2)x1＝－12，x2＝52；(3)x1＝－72，x2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－x＋__14__＝(x－__12__)2；(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.(2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32，x2＝－52－32.(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt △ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x 2－14x ＋24＝0， (x －7)2＝25， x －7＝±5， ∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0； (3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2； (3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174；(4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14.3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0；(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0， ② ∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0. 解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52.2．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0； (3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72；(3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2； (3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1＝43，x 2＝－2；(3)x 1＝12，x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0； (3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0； (5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0，x 2＝－1； (2)x 1＝0，x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1； (4)x 1＝112，x 2＝－112；(5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx2＝π(x＋5)2.解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．2.4一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程x1x2x1＋x2x1x2 x2－5x＋6＝2 3 5 6x2＋3x－10＝02 －5 －3 －10 问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律.答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.自学2：完成下表：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 22x 2－3x －2＝0 2－12－13x 2－4x ＋1＝01问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a __，x 2＝__－b －b 2－4ac2a__．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54，x1x2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1；(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8；(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．。

人教版九年级数学同步学案：第21章一元二次方程 (2)

21.1一元二次方程21.1.1一元二次方程「引入课」一元二次方程的引入视频助学学习视频【一元二次方程的引入】．「概念课」一元二次方程的定义学习目标理解并掌握一元二次方程的定义视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【一元二次方程的定义】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程？你能举出一个例子吗？（00:00-03:35）1. 形如2318x x +=的，等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程．2. 请举一个视频中未出现的一元二次方程的例子________________________________．3.21102x x-+=是一元二次方程吗？________，原因是________________________．引导问题2 判断一元二次方程有哪些注意事项？（03:35-05:15） 4. 判断一元二次方程时，首先要进行________． 5.()224x x x +=-是一元二次方程吗？________，原因是________________________．6. ○120ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程的条件是________，二次项的系数不能为________．○2()2336m x x -+=是关于x 的一元二次方程的条件是________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________学习目标☐ 理解一元二次方程的一般形式 ☐ 学会将一元二次方程整理成一般形式视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【方程的一般形式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的一般式？（00:00-04:11）1. ________________就是一元二次方程的________．其中二次项是________，一次项是________，常数项是________．2. 二次项系数5a =，一次项系数2b =-，常数项1c =-的一元二次方程是________________________． 3.25902x +=的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．引导问题2 如何将一个一元二次方程整理成一般形式？（04:11-07:21）4. 整理方法与解一元一次方程类似，包含去分母、去括号、移项、合并同类项等，结果中等号左边要按x 的________（填写“升幂”或“降幂”）排列○1将2532x x -=-化为一般式，得________________________． ○2将()2243x x x x -=-化为一般式，得________________________． ○3将211322x x x +---=化为一般式，得________________________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________学习目标学会应用一元二次方程的解视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【一元二次方程的解】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的解？（00:00-03:08）1. 使一元二次方程左右两边相等的________的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的________．2. 一元二次方程的解既有可能是________，也有可能是________，它们统称方程的________．3. 括号中的哪些数是方程20x x -=的解？（1-；0；1；2）________．它们叫做方程的________．引导问题2 一元二次方程的根有哪些应用？（03:08-04:39） 4. 关于x 的方程240x mx -+=的一个根是2，m 的值是多少？第一步：把根带入原方程．第二步：解新方程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________21.2解一元二次方程21.2.1配方法「概念课」直接开平方法学习目标理解并掌握用直接开平方法解一元二次方程视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【直接开平方法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何解简单的一元二次方程？（00:00-03:17）1. ○1已知225x =，则x =________； ○2已知()219x +=，则x =？2. 在解一元二次方程的过程中，无论哪种方法都会用到________的转化思想，降低了________的次数，也就降低了解方程的难度．引导问题2 什么是直接开平方法？（03:17-04:39）3. 一般地，运用________的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法．4. 具体方法是将方程整理成()2ax b c +=的形式．○1()2ax b +=正数，则方程________________________．○2()20ax b +=，则方程________________________． ○3()2ax b +=负数，则方程________________________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」配完全平方学习目标能够运用完全平方公式配完全平方视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【配完全平方】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何配完全平方式？（00:00-04:22）1. 我们曾经学过的完全平方公式：________________，它有另一种写法：()2222x bx b x b ±+=±，表示x 的二次项系数为________的完全平方式，b 表示________．配完全平方式（简称：________）主要是根据这个式子进行的． 2. 将横线中填入数字使式子变成完全平方式．○122x x ++________()2______x =；○228x x ++________()2______x =；○326x x -+________()2______x =．引导问题2 配完全平方式有什么规律？（04:22-07:41）3. 在未知数的二次项系数为1时，配方所需的常数项是________________________，写在完全平方括号里的数是________________________．二次项系数不为1时要先将二次项________，再按上面的步骤配方． 4. 将横线中填入数字使式子变成完全平方式．○12x x -+________()2______x =；○228x x ++________()2______x =；○326x x -+________()2______x =．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」配方法学习目标理解并掌握用配方法解一元二次方程视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【配方法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何用配方法解一元二次方程？ 1. 解方程2280x x +-=．第一步：移项．将方程中原有的常数项移到等号右边．得：第二步：系数化一．将________项系数化一．得：第三步：配方．运用配方法将等号左边变成()2x b +的形式．得：第四步：开方．运用平方根的定义求出方程的根．得：2. 运用上面的步骤解方程2420250x x ++=．移项．系数化一．配方．开方．3. 根据配方后等号右边的情况判断根的个数．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________21.2.2公式法「概念课」推导求根公式学习目标理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【推导求根公式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的求根公式？（00:00-01:35）1. 将方程化为一般形式________________()0a ≠，将a ，b ，c 代入式子x =________________得到方程的根，这个式子就叫做一元二次方程的求根公式．引导问题2 如何推导一元二次方程的求根公式？（01:35-07:33） 2. 求根公式是由一元二次方程的一般式经过________法得到的． 3. 给()200ax bx c a ++=≠配方：第一步：移项．得：2ax bx +=________．第二步：系数化一．得：2x +________=________．第三步：配方．得：当240b ac -≥时第四步：开方．得：4. 把方程22530x x +-=中适当的系数代入求根公式，得1x =________，2x =________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」根的判别式学习目标会使用根的判别式判断方程根的情况视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【根的判别式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是根的判别式？（00:00-01:21）1. 求根公式x =________________中，根号下面的式子________，叫做根的判别式，用希腊字母________表示．引导问题2 如何用根的判别式判断根的情况？（01:21-04:33） 2.∆的值与方程根的情况有什么关系？3. 方程271000x x -+=的根的情况是________________________．引导问题3 根的判别式有哪些应用？（04:33-06:36）4. 关于x 的一元二次方程()26100kx x k -+=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．由题意得∆=________=________0>，解得________．k 的取值范围是________． 5. 方程中的a 与c 异号，根的情况为________________________．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「概念课」公式法学习目标理解并掌握用公式法解一元二次方程视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【公式法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何用公式法解一元二次方程？（00:00-04:29） 1. 用公式法解方程：22410x x --=．第一步：确定a ，b ，c 的值．得a =________，b =________，c =________．第二步：代入判别式．得24b ac ∆=-=________=________，∆________0．第三步：代入求根公式．若0∆≥，代入求根公式求得实数根；若0∆<，方程没有实数根．得：引导问题2 什么样的一元二次方程适合用公式法求解？（04:29-05:36）2. ○1无法进行因式分解的方程． ○2二次项系数不为________，配方时较麻烦的方程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」判断方程解的情况能力目标判断含参方程解的情况拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【判断方程解的情况】讲题． 1.k 为任意实数，判断关于x 的方程的解的情况：()22220x k x k -++=．2.m 为任意实数，判断关于x 的方程22130222m x mx m -+++=的解的情况．3. 若5200k +<，判断关于x 的一元二次方程240x x k +-=的解的情况．4.k 为任意实数，判断关于x 的方程()()231210kx k x k --+-=的解的情况．检查梳理看视频【判断方程解的情况】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略1.计算判别式∆2.和0比大小攻略 1.计算判别式∆ 2.和0比大小攻略 1.计算判别式∆ 2.和0比大小攻略1.计算判别式∆2.和0比大小能力目标会用判别式求参数的取值范围拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【根据解的情况求参数】讲题． 1. 已知关于x 的一元二次方程220x x a +-=有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．2. 已知关于x 的一元二次方程220x x a +-=有两个相等的实数根，求a的取值范围．3. 已知关于x 的一元二次方程220x x a +-=无实数根，求a 的取值范围．4. 已知关于x 的一元二次方程()224130x m x m m -+++=有实数根，求m 的取值范围．5. 关于x 的方程21110x x k k⎛⎫+++= ⎪⎝⎭有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．检查梳理看视频【根据解的情况求参数】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.分析解的情况2.得到判别式与0的大小3.解方程/不等式求参数攻略 1.分析解的情况 2.得到判别式与0的大小3.解方程/不等式求参数能力目标☐ 会用判别式求参数值 ☐ 会分类讨论二次项系数拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【分类讨论解的情况】讲题． 1. 如果关于x 的方程()()21210m x m x +-++=有两个实数根，求m 的取值范围．2. 已知关于x 的方程()()22310kx k x k ++++=，则k 取何值时：○1方程有两个不等的实数根？○2方程有两个实数根？○3方程没有实数根？○4方程有实数根？检查梳理看视频【分类讨论解的情况】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略讨论二次项系数是否为0攻略 1.讨论二次项系数是否为02.利用解的情况得出判别式符21.2.3因式分解法「概念课」因式分解法学习目标理解并掌握用因式分解法解一元二次方程视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【因式分解法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是因式分解法？（00:00-02:51）1. 解一元二次方程时，先________，使方程化为两个一次式的乘积等于________的形式，再使这两个一次式分别等于________，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．并不是所有一元二次方程都能用因式分解法． 2. 用因式分解法解方程27 2.10x x -=．第一步：因式分解．将所有项移到等号左边，使等号右边得0．提出公因式________，得：第二步：让两个因式分别等于0．得：第三步：得出结果．得：3. 按上面的步骤解方程250x x +=．引导问题2 因式分解的方法有哪些？（02:51-07:34）4. 除了提公因式，还可以运用________方法和________、________公式进行因式分解．5. 用因式分解法解方程：○1216600x x -+=；○22213150x x --=．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」活用降次解方程能力目标会运用 “先特殊后一般”的方法解方程拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【活用降次解方程】讲题． 1. 解方程2560x x -+=．2. 解方程2510x x --=．3. 解方程()816x x -=-．4. 解方程()()2737x x x +=+．5. 解方程()5612x x x -=+．检查梳理看视频【活用降次解方程】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略先特殊，后一般 1.特殊方法直接开平方法因式分解法 2.一般方法配方法公式法「解题课」解含参方程能力目标☐ 学会用公式法解含参方程 ☐ 学会用因式分解法解含参方程拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【解含参方程】讲题． 1. 解关于x 的方程：2220x mx m --=．2. 解关于x 的方程：()22200x mx n m n --=>>．3. 解关于x 的方程：()2220x m x m +++=．4. 解关于x 的方程：()22210x m x m m +-+-=．攻略解含参方程 1.系数、常数项为单项式：公式法 2. 系数与常数项为多项式：因式分解法5. 解关于x 的方程：()()22202m x x m m ++-=≠-6. 解关于x 的方程：()()2212101kx kx k --+=≠±．检查梳理看视频【解含参方程】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」分类讨论解含参方程能力目标会分类讨论解关于x 的方程：20ax bx c ++=拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【分类讨论解含参方程】讲题． 1. 解关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．2. 解关于x 的方程()()2223150kk x k x ++--=．检查梳理看视频【分类讨论解含参方程】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.确定二次项系数是否为0 2.为0：解一元一次方程不为0：解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系「概念课」根与系数的关系学习目标理解并掌握韦达定理视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【根与系数的关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 根与系数的关系是什么？什么是韦达定理？（00:00-04:14）1. 如果1x ，2x 是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根，那么12x x +=________，12x x ⋅=________．这两个关系式称为一元二次方程的根与系数的关系，被人们称为韦达定理．引导问题2 如何推导韦达定理？（04:14-06:27）2.求根公式可得：1x =，2x =12x x +=+12x x +=________=________3.12x x ⋅=(1224b b x x a ---⋅==________________=________________12x x ⋅=________=________引导问题3 韦达定理有什么应用？（06:27-08:28） 4. 下列方程的解为1x ，2x ，求12x x +和12x x ⋅的值．（1）2201510240x x -+=；（2）2212283x x -+=．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________「解题课」利用韦达定理求值能力目标会运用韦达定理求值拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【利用韦达定理求值】讲题． 1. 已知方程2350x x --=的两个根为1x ，2x ，求下列式子的值：○12212x x +；○2()()124343x x --；○31211x x +；○42112x x x x +；○512x x -．检查梳理看视频【利用韦达定理求值】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略韦达定理 1.先变形把要求式子凑出12x x + 或12x x ⋅2.再整体代入「解题课」利用韦达定理求值进阶能力目标学会先降次，再使用韦达定理拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【利用韦达定理求值进阶】讲题． 1. 已知方程2350x x --=的两个根为1x ，2x ，求3312x x +的值．2. 已知1x ，2x 是方程230x x +-=的两个根，求3212419x x -+的值．检查梳理看视频【利用韦达定理求值进阶】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略变形把要求式子凑出12x x + 或12x x ⋅21.3.1实际问题与一元二次方程「概念课」递增递减问题学习目标能够用一元二次方程解决增长（降低）率问题视频助学请．先．思考．．引导问题．．．．，再看视频．．．．【递增递减问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 列方程解应用题的基本步骤是什么？（00:00-00:48）1. 列方程解应用题分为六步________、________、________、________、________、________．引导问题2 什么是递增递减问题？如何解决递增递减问题？（00:48-06:27）2. 递增递减问题通常是：在一段时间内，一个数量按________的速率增长或减小，已知变化前后的数量．求________率或________率．3. 最近几年智能手机的普及率稳步提高．小李他们家所在的区，两年前有8万人使用智能手机，今年有15.68万人使用，每年增长率不变，求每年的增长率是百分之多少？第一步：审题．看清题目已知和要求的量．第二步：设x ．设________为x ．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．4. 使用座机电话的人越来越少，小李家所在的区两年前有20万户人家有座机，今年只有18.05万户了，每年减少率不变，求每年的减少率是百分之多少？5. 递增递减问题可以总结出一个一般公式：现有量=________()21_______⨯±．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________学习目标能够用一元二次方程解决销售利润问题视频助学请．先．思考．．．．，再看视频．．．．【薄利多销问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．引导问题引导问题1什么是薄利多销问题？如何解决薄利多销问题？1.薄利多销问题通常是：一种商品按现在的价钱能卖一部分，但________销售能卖得更多．尽管单个商品利润少了一些，但________会提高．不过如果降价过多，________也会下降．2.一款耳机卖一副的利润是150元，现在每月销量60副．市场调查发现，每降价1元，平均每月可多卖出1.2副，厂商要求最多降价70元．问要让每月总利润达到10920元，需要降价多少？第一步：审题．总利润=________⨯________．调价后总利润=（原利润-________）⨯（________+多卖的）．第二步：设x．设________为x．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________学习目标能够用一元二次方程解决面积问题视频助学请．先．思考．．．．【图案面积问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．．．．．，再看视频．．引导问题引导问题1什么是图案面积问题？如何解决图案面积问题？1.图案面积问题通常是：一个长方形，求它的面积．由于种种原因，这个长方形不是完整的，会被各种间隔隔开，所以要先求出间隔的________，才能解决问题．2.智能手机的主页面上排列着很多应用软件．比如一款智能手机的主页面上最多可以放24个应用，每行4个，共6行．为了美观和实用，行与行之间，列与列之间和屏幕四个边缘，都要留出空当．空当的宽度都相等．如果屏幕长100毫米，宽60毫米，空当要设定成多宽才能把屏幕总面积的60%留给应用呢？第一步：审题．将间隔都放在一起，应用都放在一起．第二步：设x．设________为x．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：______________________________________________________________________满分必学「解题课」用韦达定理反求方程能力目标会用韦达定理构造方程拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【用韦达定理反求方程】讲题． 1. 已知一个一元二次方程的两个根为12x =-，25x =，写出一个满足要求的方程．2.已知一个一元二次方程的两个根为13x =，23x =写出一个满足要求的方程．检查梳理看视频【用韦达定理反求方程】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略已知解，反求方程 1.()()120a x x x x --= 2.1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩20ax bx c ++=攻略已知解，反求方程 1.()()120a x x x x --= 2.1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩20ax bx c ++=「解题课」用韦达定理求参数能力目标☐ 会利用韦达定理列方程 ☐ 会解含参方程组 ☐ 掌握降次法拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【用韦达定理求参数】讲题． 1. 已知关于x 的方程240x x a ++=有两个实数根1x 、2x ，且1227x x -=，求实数a 的值．2. 已知1x 、2x 是关于x 的方程()2243560x m x m ---=的两个实数根，且1232x x =-，求m 的值．3. 设k 为实数，关于x 的一元二次方程210x kx k +++=的两个实根分别为1x 、2x ，且2122x x k +=，求k 的值．检查梳理看视频【用韦达定理求参数】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」二次方程与代数式求值能力目标☐ 会根据已知解求参数☐ 会通过直接代入法、整体法或降次求值拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【二次方程与代数式求值】讲题． 1. 已知0是关于x 的二次方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求代数式22121m m m --+的值．2. 已知1x =是关于x 的一元二次方程2240x mx m -+=的根，求代数式()(22m m m m --+的值．3. 已知a 是方程2310x x -+=的一个解，求3258a a a --+的值．检查梳理看视频【二次方程与代数式求值】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.直接代入2.整体法3.降次能力目标会根据整数解求参数拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【二次方程的整数解】讲题． 1. 已知关于x 的方程()23130mx m x +++=有两个整数解，求整数m ．2. 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k ．检查梳理看视频【二次方程的整数解】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略整数解的老思路 1.先判断解是否带根号 2.求出方程的解 3.根据解为整数求参数攻略整数解的老思路 1.先判断解是否带根号 2.求出方程的解 3.根据解为整数求参数能力目标会根据公共解求参数拔高练习不看视频．．．．先试试．．．！．做完再看视频【二次方程的公共解】讲题． 1. 若两个关于x 的一元二次方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个公共的实数根，求a ．2. 已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=恰有一个公共的实数根，求a b c ++的值．检查梳理看视频【二次方程的公共解】，核对拔高练习标准．．．．．．．．答案．．并订正．．．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.设出公共解并代入方程 2.根据问题对方程组变形攻略 1.设出公共解并代入方程 2.根据问题对方程组变形。

人教版九年级上册数学导学案：第21章一元二次方程探究

第21章一元二次方程一、知识梳理1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．[注意] (1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式；(2)如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能丢掉等号；(3)在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.5.一元二次方程的主要应用类型：几何面积、增长率、商品销售等。

二、题型、技巧归纳考点一:一元二次方程及根的有关概念【主题训练1】若(a-3)2a7x－ +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为( )A.3B.-3C.±3D.无法确定【解答】归纳：考点二：一元二次方程的解法【训练2】解方程x2-2x-1=0.【解答】归纳：考点三：根的判别式及根与系数的关系【训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【解答】归纳：考点四：一元二次方程的应用【训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【解答】归纳：考点五几何图形型应用题【训练5】如图所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．例5图【解答】归纳：【典例精讲】例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？解：三、随堂检测1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )A.ax2+bx+c=0B. 12x2=0C.3x2+2y-12=0 D.x2+ 4x-5=02.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5 =0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是( )A.2 018B.2 008C.2 014D.2 0123.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.4.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根，B.有两个相等的实数根，C.没有实数根，D.有两个实数根5、若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .6.解方程:(x-3)2-9=0.7.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )A.x2+3=0B.x2+2x=0C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=08. 8.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解9.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为( )A.2B.3C.4D.810. 10.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是( )A.-2B.-3C.2D.311. 11.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.212.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是( )A.100 m2B.64 m2C.121 m2D.144 m213.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为（）.14.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?答案：1.选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.2. 【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.3. 答案:2 -3 -24. 选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.5. 答案: 36. 【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.7. 【解析】选C.8. 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.9. 【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x 2-6x+8=0,解得x 1=2,x 2=4.10. 【解析】选B. 11. 【解析】选B.12. 【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x 1=8,x 2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m 2.13. 【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x 1=1.9(不合题意,舍去),x 2=0.1=10%.答案:10%14.【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm 2,则提高工作量后每天完成1.2xm 2,根据题意,得150498150x1.2x－=20,解得x=22.经检验,x=22是原方程的根.答:该项绿化工作原计划每天完成22m 2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170,解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去). 2y-3=17.答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.。

新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案

师生备注
x2 1 2 x2 1 x2 1 ） -2x +1=0，•令 =y，则有 y2-2y+1=0，根据 x x x
2 上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1） + （x2-1） =0 中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0 的根
9月
日
1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
二次项系数、及常数项：⑴ 5x2-1=4x 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
是________．
⑵ 4x2=81
⑶
(3)．关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围
师生后记：
九年（
课型班级学习目标学习重难点 Nhomakorabea数学
新授九
）导学案
2 2
二、情境引入：导学流程
在检查预习的结果上，老师： “建立一元二次方程的数学模型？”
B．2，-3，18 B．p>0
C．2，-3，6
D．2，3，6
三、探究新知：
1、学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

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新人教版九年级数学上册第21章：一元二次方程课时作业2 班级组号学生姓名家长签名
（A ）一、基础夯实
1．下列方程①022=-x ②)1(2)1(32+=+x x ③02112=-+x x
④1222+=+x x x ⑤62=+y x ⑥2530()ax x a ++=是常数中，
是一元二次方程的有．（填序号） 2. 已知2230m m x x -+=（+2）是关于x 的一元二次方程，则m= ．
3. 方程)1(2)2(3+=-x x x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、
常数项分别为（）．
A.2,8,32--x x
B.2,8,32x x -
C.3，—8，—2
D.3, 8, 2
4. 已知x=1是方程02=-a x 的一个根，则1-a 的值为．
（B ）二、巩固提高
5. 根据题意列出方程，并将方程化为一般形式.
（1）某毕业班同学将自己的照片向班级的其他同学各赠送一张，全班
共赠送182张，问全班共有多少名同学？
（2）有n 支球队参加排球联赛，每队都与其他各队比赛一场，一共赛了
78场，共有多少只球队参加了联赛？
（3）一个直角三角形的三边长是三个连续整数，求斜边长.(设斜边长
为x.)
（C ）三、拓展创新
6.下面哪些数是方程022=--x x 的根？
完善区完善区
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
7.试写出方程02=-x x 的根：你能写出几个?
师生交流: 等级: 整洁_________正确_________ 日期：____月____日。