高考物理混合气体的状态方程和典型题型

1

T

混合气体的状态方程和典型题型

高中物理中常常涉及到气体混合、打气、抽气、漏气、气体分装等问题，对这类问题，大多数老师和 资料采用的是等效法——先将分离的不同部分气体看作是同一温度和压强的气体，用一定质量的理想气体 状态方程处理后，再一部分一部分的当做质量不变的理想气体分别处理。这种思路一方面是比较绕，另一 方面是实际并不存在这样的中间过程，对于大部分同学而言，这种方法不大容易掌握。

其实，上述困境是老师教学过程中刻意回避或不熟悉混合气体的状态方程的结果，如果直接把混合气体的状态方程告知学生，不仅没有增加教学的难度，反而使得这一类混合气体的题目的处理变得简洁明了， 一个方程，一步，就可以搞定，何乐而不为？

一、混合气体的状态方程 1、克拉珀龙方程

将物质的量包含进理想气体状态方程，就是克拉珀龙方程：

pV nRT 或

pV nR

T

表达式中，n 为理想气体的物质的量，R 为普适气体常量。 所谓一定质量的理想气体，即物质的量 n 保持不变，所以有

p 1V 1

T 1

p 2V 2

nR ，这就是高中物理教材T 2

呈现的一定质量的理想气体状态方程。

对 pV

nRT 中的四个参量两两控制，则可得到理想气体的五个实验定律：

①玻意耳定律：一定质量，一定温度，pV =C ； ②查理定律：一定质量，一定体积，p /T =C ；

③盖-吕萨克定律：一定质量，一定压强，V /T =C ； ④阿伏伽德罗定律：等温等压气体混合，V ∝n ； ⑤道尔顿分压定律：等温等容气体混合，p i ∝n i 。

（混合气体的压强，等于各种气体单独产生压强的代数和，且各种气体单独产生的压强与该气体的物 质的量成正比。 p 1V n 1RT ， p 2V n 2 RT ， p 1V p 2V n 1RT n 2 RT ， ( p 1 p 2 )V

(n 1 n 2 )RT ）

2、混合气体状态方程

将两种不同状态的气体混合在一起，对每一种气体，有

p 1V 1

n R ，

p 2V 2 n R ，

两式左右相加，得

1

T 2

n R n R p 1V 1 p 2V 2 1 2

1 2 其中，等式的左边可以改写为

n 1R n 2 R (n 1 n 2 )R nR ，

即混合后的气体的物质的量乘以普适气体常量。对混合后的理想气体，有

pV

nR T

联立可得：

p 1V 1

p 2V 2

pV

T 1

T 2

T

此即混合气体的状态方程。上述推导可以自然推广到三种、四种甚至更多种混合气体的情况；反过来， 若将混合气体分散成不同的部分，方程就变成

T 2

T

pV

p 1V 1 p 2V 2 ...

T T 1 T 2 如果混合前是几部分，混合后又分为另外的几部分，很容易证明

p 1V 1

p 2V 2 ...

p 3V 3

p 4V 4

...

T 1

T 2 T 3 T 4

如果混合前后温度不变，还可以将上式简化为

p 1V 1 p 2V 2 ... p 3V 3 p 4V 4 ...

二、高中物理中常见混合气体题型

1、气体混合或打气

【例 1】如图所示，喷洒农药用的某种喷雾器，其药液桶的总容积为 14 L ，装入药液后，封闭在药液上方的空气体积为 2 L ，气压为 1 atm .打气筒活塞每次可以打进气压为 1 atm 、体积为 0.2 L 的空气.(不考虑环境温度的变化)

(1) 要使药液上方的气体压强增大到 5 atm ，应打气多少次?

(2) 如果药液上方的气体压强达到 5 atm 时停止打气，并开始向外喷药，那么

当喷雾器不能再向外喷药时，筒内剩下的药液还有多少升?

[解析] (1)这个过程实际上是外部打进气体与喷雾器原有气体的混合，且混合后气体的总体积仍然是 2L ， 设应打气 n 次，则有

np 0V p 0V 0 pV 0

其中 p 0=1 atm ，V=0.2 L ，V 0=2 L ，p=5 atm ，解得 n=40(次).

(2)不能向外喷药时，是喷雾器内的气压降低到等于外界大气压时，这个过程中，没有漏气，因此有

pV 0 p 0V

解得 V ′=10 L ，剩下的药液 V ′′=14 L-10 L=4 L .

【例 2】如图，一底面积为 S 、内壁光滑的圆柱形容器竖直放置在水平地面上，开口向上，内有两个质量均为 m 的相同活塞 A 和 B ；在 A 与 B 之间、B 与容器底面之间分别封有一定量的同样的理想气体，平衡时体积均为 V 。已知容器内气体温度始终不变， 重力加速度大小为 g ，外界大气压强为 p 0。现假设活塞 B 发生缓慢漏气，致使 B 最终与容器底面接触。求活塞 A 移动的距离。

[解析]设 A 与 B 之间、B 与容器底面之间的气体压强分别为 p 1、p 2，在漏气前，

对 A ，有 p 1＝p 0＋mg

，

S

对 B ，有 p 2＝p 1＋mg ，

S

B 最终与容器底面接触后，设 AB 间的压强为 p ，气体体积为 V ′，则有 p ＝p 0＋mg

，

S

因为温度始终不变，对于混合气体，有

p 1V ＋p 2V ＝pV ′，

漏气前 A 距离底面的高度为 h ＝2V ，漏气后 A 距离底面的高度为 h ′＝V ′

，

S

联立可得

mgV p 0S ＋mg S

S

Δh ＝h ′－h

【例 3】如图所示蹦蹦球是一种儿童健身玩具，小明同学在 17 ℃的室内对蹦蹦球充气，已知两球的体积约为 2 L ，充气前的气压为 1 atm ，充气筒每次充入 0.2 L 的气体，忽略蹦蹦球体 积变化及充气过程中气体温度的变化，求：

(1) 充气多少次可以让气体压强增大至 3 atm ；

(2) 室外温度达到了－13 ℃，蹦蹦球拿到室外后，压强将变为多少。

解析：(1)设充气 n 次可以让气体压强增大至 3 atm ，据题知充气过程中气体发生等温变化，以蹦蹦球内原来的气体和所充的气体整体为研究对象，有

p 0V ＋np 0ΔV ＝p 2V ，

。

解得 n ＝20(次)。

(2)当温度变化，气体发生等容变化，有 p 2＝p 3，

T 2 T 3

可得 p ＝T 3

p ＝－13＋273×3 atm ≈2.7 atm 。

3

2

T 2

17＋273

2、抽气漏气或分装

【例 4】(2016·全国卷Ⅱ)一氧气瓶的容积为 0.08 m 3，开始时瓶中氧气的压强为 20 个大气压。某实验

室每天消耗 1 个大气压的氧气 0.36 m 3。当氧气瓶中的压强降低到 2 个大气压时，需重新充气。若氧气的温度保持不变，求这瓶氧气重新充气前可供该实验室使用多少天。

解析：设氧气开始时的压强为 p 1，体积为 V 1，后来氧气变成了两个部分，一部分剩在氧气瓶中，压强变为 p 2(2 个大气压)时，体积为 V 1，还有一部分就是 n 天消耗的氧气，其中每天消耗的氧气压强为 p 0、体积为ΔV ，则有

代入数据得 n ＝4(天)。

p 1V 1 p 2V 1 np 0V ，

【例 5】用容积为ΔV 的活塞式抽气机对容积为 V 0 的容器中的气体抽气，如图所示。设容器中原来的气体压强为 p 0，抽气过程中气体温度不变。求抽气机的活塞抽气n 次后，容器中剩余气体的压强 p n 为多少？

解析：当活塞下压时，阀门 a 关闭，b 打开，右侧抽气机气缸中ΔV 体积的气体排出。

对于第一次抽气，活塞上提，左边容器中气体均匀分散到左右两边容器中，气体 压强降为 p 1，有

p 0V 0＝p 1V 0＋p 1ΔV ，

解得 p 1＝ V 0

p 0

V 0＋ΔV

对于第二次抽气，活塞上提，左边容器中气体均匀分散到左右两边容器中，气体压强降为 p 2，有

p 1V 0＝p 2V 0＋p 2ΔV ，

V 0

解得 p 2＝ V 0＋ΔV 2p 0。

V 0

以此类推，第 n 次抽气后容器中气体压强降为 p n ＝ V 0＋ΔV n p 0。

【例 6】某容积为 20 L 的氧气瓶装有 30 atm 的氧气，现把氧气分装到容积为 5 L 的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为 5 atm ，若每个小钢瓶中原有氧气压强为 1 atm ，问能分装多少瓶？(设分装过程中无漏气，且温度不变)

解析：设最多能分装 n 个小钢瓶，并选取氧气瓶中的氧气和 n 个小钢瓶中的氧气整体为研究对象分装过程中温度不变，且有

分装前，氧气瓶中 p 1＝30 atm 、V 1＝20 L ，每个小钢瓶中 p 2＝1 atm ，V 2＝5 L ；分装到最后一瓶时，氧气瓶中 p 1′＝5 atm 、V 1＝20 L ，而每个小钢瓶中 p 2′＝5 atm ，V 2＝5 L ，则有

p 1V 1＋np 2V 2＝p 1′V 1＋np 2′V 2，

代入数据解得 n ＝25(瓶)。

针对训练：

h

1、圆柱形喷雾器高为 h ，内有高度为2

的水，上部封闭有压强为 p 0、温度为 T 0 的空气.将喷雾器移到室

内，一段时间后打开喷雾阀门 K ，恰好有水流出.已知水的密度为ρ，大气压强恒为 p 0，喷雾口与喷雾器等高.忽略喷雾管的体积，将空气看作理想气体.

(1) 求室内温度;

(2) 在室内用打气筒缓慢向喷雾器内充入空气，直到水完全流出，求充入的

空气与原有空气的质量比.

[解析] (1)设喷雾器的横截面积为 S ，室内温度为 T 1，气体体积为 V 0，压强

qgh 2p 0

1

0 h

为 p 1，由喷雾口与内部液面高度差为2，有 p 1=p 0+ρg

h

，V =S 2 h

，气体做等容变化，有2

解得 T 1= 1 +

T 0

p 0 = T 0 p + qg

h

2 T 1

(2)以充气结束后喷雾器内空气为研究对象，排完水后，压强为 p 2，体积为 V 2=Sh ，有 p 2=p 0+ρgh 。则打气前后，有

p 1V 1 p 0V p 2V 2 ，

其中 p 1V 1

n 1RT ， p 0V nRT ，则充入的空气与原有空气的质量比为

解得 m

2 p 0 3

gh

m

n m 1 n 1

m 1 2 p 0

gh

2、一太阳能空气集热器，底面及侧面为隔热材料，顶面为透明玻璃板，集热器容积为 V 0，开始时内部封闭气体的压强为 p 0。经过太阳曝晒，气体温度由 T 0＝300 K 升至 T 1＝350 K 。

(ⅰ)求此时气体的压强；

(ⅱ)保持 T 1＝350 K 不变，缓慢抽出部分气体使气体压强再变为 p 0，求集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值，判断在抽气过程中剩余气体是吸热还是放热，并简述原因。

[解析](ⅰ)设升温后气体的压强为 p 1，有

p 0＝

p 1 代入数据得 p 1＝7

p 0。

6

(ⅱ)抽气过程温度不变，有 T 0 T 1

p 1V 0 p 0V 0 p 2V 2

其中 p 1V 0

n 0 RT 1 ， p 0V 0 nRT 1 ，则集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值为

m n

m 0 n 0

解得

m

6 m 0

7

因为抽气过程中剩余气体温度不变，故内能不变，而剩余气体膨胀对外做功，所以根据热力学第一定 律可知，剩余气体要吸热。

3、如图 K34-7 所示，光滑导热活塞 C 将体积为 V 0 的导热容器分成 A 、B 两室，A 、B 中各封有一定质量的同种气体，A 室左侧连接有一 U 形气压计(U 形管内气体的体积忽略不计)，B 室右侧有一阀门 K ，可与外界大气相通，外界大气压强等于 76 cmHg ，气温恒定.当光滑导热活塞 C 静止时，A 、B 两室容积相等，气压计水银柱高度差为 38 cm .现将阀门 K 打开，当活塞 C 不再移动时，求:

(1) A 室的体积;

(2) B 室中从阀门 K 逸出的气体质量与原有质量的比值.

[解析] (1)阀门 K 闭合，A 室的体积为 V A =1

V 0，压强为 p A =(76+38) cmHg =114 cmHg ，阀门 K 打开，A

2

室的体积为 V'A ，压强为 p'A =76 cmHg ，有

p A V A =p'A V'A ，

解得V'A=0.75V0. (2)阀门 K 打开后，有

其中V B 0.5V0，V B 0.25V0，而p

B

V

B

p

V

B

p

V

p

B

V

B

n

RT ，p

V

nRT ，

B 室中从阀门 K 逸出的气体质量与原有质量之比为

m n

m 0 n 0

解得m 2

。m

3