数形结合思想在中学数学教学中的应用
学习中心编号：____348______________学习中心名称：_丽江市技工学校______西南大学网络与继续教育学院毕业论文数形结合思想在中学数学教学中的应用学生姓名 __黄子平______学号 _1523480663003类型网络教育专业 _数学与应用数学（数学教育）层次 __专升本______指导教师 _ 黄刚______日期 _2017年3月25日_目录摘要 (1)一、数形结合得作用与地位 (1)二、结合中学生的特点，因材施教 (2)（一）中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段 (2)（二）数形结合数形能培养学生哪些方面的能力 (5)（三）中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力 (6)三、运用数形结合思想，提高学生分析问题、解决问题的能力 (8)四、统观数形结合的思想方法 (9)结束语 (10)参考文献 (10)数形结合思想在中学数学教学中的应用摘要数形结合是中学数学中最重要的思想之一，它是连接数学中具体问题与抽象问题之间的纽带，它既充分体现了学生的解题思维能力，又为后续的深入的高层次的学习打下基础。
本文主要介绍了数形结合方法在中学数学教学中中渗透的原因和作用，数形结合的方法与思想在中学教学中的重要性，以及如何应用数形结合方法解决学习与生活中遇到的问题。
关键词：数形结合；数学教学；实例应用一、数形结合得作用与地位对于广大学生而言，数形结合思想再熟悉不过。
如何将抽象转化为具体，如何让原本复杂的内容变得浅显直观，这是数学研究中的重要内容，也是数形结合思想优势的体现。
因此，数形结合方法成为了中学数学中最常用的方法。
中学数学的内容极易区分，一部分为代数知识，另一部分则为几何知识。
如何把这两个部分找到一个合适的连接点，结合起来，就是数形结合中最为关键的部分。
在中学数学的教学中，教会学生解题，学会运用所学的数学知识在考试中取得高分，是教学目标的一部分；同时引导学生积极思考，培养学生发散性思维以及创造性思维，也是新型教学目标的体现。
采用数形结合方法来解决问题，既可以开拓解题思路，帮助学生充分开发大脑智力，养成形象思维的习惯，也能够在日常解题及考试中找到简便方法，节约时间，可谓是一举两得。
二、结合中学生的特点，因材施教（一）中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段由于生理和心理的特点，中学生的思维还处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，因而基本上，他们的思维仍然有感性经验相关联。
“数形结合”就是把抽象的“数”转化为具体的“形”，通过解决具体的“形”而达到解决抽象的“数”，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们接受。
因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习。
对中学生来说，数形结合思想的形成一般要经历四个阶段。
由于数形结合的思想以知识为载体，但数学知识是逐步深化的，这就导致了在知识的不同发展阶段对数形结合思想的不同层次的要求，因此在考虑实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行。
第一阶段渗透孕育起期。
由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等内容为载体，以数轴为结合点。
在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系。
并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用。
如：设点A在数轴上的数为-3，点B在数轴上，且点B到点A的距离是 5, 则点B所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比较抽象，若借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，则问题就容易解决了。
第二阶段体会领悟期。
这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集。
由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的办法。
另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比较难，但借助以学过的代AB （图1） 数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度。
具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题。
例1、如图1，已知090AOB ∠=, AOC ∠为锐角, ON 平分AOC ∠, OM 平分COB ∠ ，求MON ∠的度数。
解： ON AOC ∠平分 12AON AOC ∴∠=∠ OM BOC ∠平分 12BOM BOC ∴∠=∠ MON MOA AON ∴∠=∠+∠01902BOM AOC =-∠+∠ 0119022BOC AOC =-∠+∠0190()2BOC AOC =-∠-∠ 01902AOB =-∠045= 通过几何知识的学习，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直观表达抽象的数也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算” 进而解决问题。
这种领悟可以使学生对知识的理解达到更深刻的程度，同时也体会到数形结合思想在几何中也有广阔的应用背景。
第三阶段形成尝试期。
以平面几何知识为载体。
由于知识深化“数” 与“形”之间的因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考。
这个阶段的教学可分为两个层次进行：①理解迁移。
深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形” 的特征。
如勾股定理，代数的特征是一个数的平方等于两个数的平方和。
几何的特征是这三个数是某直角三角形的三边。
解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形——求线段长——解方程”产生关联，找出解题途径。
例2、 如图2，点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ,4=PD ,求PB 的长。
A B CD E F M N（图2） A BC DEF （图3）P 分析 求线段的长度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线。
解：过P 作EF //BC 交DC AB 、与F D 、,过 P 作MN //AB 交AD 与BC M 、与N ,并设x BN =,y CN =,h PN =，则2222222345x y y h ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩ 即2222718y x y h ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得2218y h +=即218PB =PB ∴=②提炼方法。
作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的办法。
进而理解这些办法的实质。
比如在一些问题的解决中,都用到从面积的角度去思考探索证明途径。
这一技巧其实质就是利用公式(方程的思想)为问题的解决铺平道路。
例3、 如图3，在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和。
解： 过P 作AB PD ⊥于D ,作AC PE ⊥于E ,过B 作AC BF ⊥于F ,连接AP ,S S S APC APB ABC ∆∆∆+=，即PE AC PD AB BF AC ⋅+⋅=⋅212121 5AB AC == BF BP PE ∴=+222AB AF BF =+,222()BC BF CA AF =+-∴AF=75∴BF=245，即PD PE+=245第四阶段应用发展期。
这个阶段主要以方程、函数和知识为载体,以解决问题为主要教学方式，突出数形结合思想在解题中的指导作用。
指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系，展现由“数”思“形”,由“形”定“数”的思维过程。
综上所述，在数学教学中应经常引导学生用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。
这对培养学生分析问题、解决问题的能力及用互相联系、互相转化的辩证唯物主义观点分析事物是大有裨益的。
（二）数形结合数形能培养学生哪些方面的能力中学阶段，数形结合中的“形”是数轴、函数图像、几何图形等。
“数”是指代数、三角形等。
数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的准确性，培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？下面我将结合实际来谈谈。
1、数形结合，培养解题思维的独创性思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚，摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢，善于把头脑中已有的知识信息重新组织，产生具有进步意义的新设想和新发现。
利用形的直观性,探寻到具有创新意识的简捷妙法，可避开繁琐运算，简捷解题，提高解题速度，达到培养思维的独创性之目的。
2、形结合，培养解题思维的准确性正确是指解题结果完全符合预期的设想。
在解题过程中，准确是解题的关键。
数形结合，可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性。
3、数形结合，培养解题思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯通，多角度、全方位思考问题、解决问题的程度。
思维越广解决处理的方法越多。
利用数形结合，用大树知识解决几何问题或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式。
数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化，开辟解题新途径。
4、数形结合,培养解题思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识。
数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性。
（三）中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力在中学阶段数形结合思想具体体现在用代数方法解决几何问题或几何方法解决代数问题。
代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的发展。
现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的。
因此，我们必须重视数形结合的教学。
1、加强学生对数形结合概念的理解代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习，才逐渐沟通与深化的。
所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法。
2、坐标系的建立为数形结合开拓了思路数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃。
运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。
通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度。
数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终。
3、注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力不论用代数方法研究几何问题,还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想。
数形结合思想方法在数学解题教学中应用
数形结合的思想方法在数学解题教学中的应用摘要：数形结合作为重要的数学思想方法，在数学解题中起着举足轻重的作用。
本文介绍了数形结合的思想方法在函数、几何、方程与不等式、数列、集合等方面的应用，为进一步提高学生的解题能力抛砖引玉。
关键词：数形结合思想方法解题1、问题的提出数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。
解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。
如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。
2、数形结合解题教学中应注意的几个方面在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。
专题七 “数形结合”在初中数学中的运用
专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：S =．解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ，∴30bx c +=． ∴3c x b=-．31b x c=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12cx x a=-． ∴12121211bx x b a c x x x x c a++===--．∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析整理为即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(21)B -，，则y 的最小值为'AB例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：(1)0f ->，(3)0f >，()()02bf f k a-=-≤同时成立，由此即可解得10k-<≤或3k ≥．其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩ 解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++， ∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<，x∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--． 考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的x面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2）1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b -> 5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．2 6．已知函数y x =和y =x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC ∠=，则DC =，sin B =．8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是．9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AEB CDE⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．6，418．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。
例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用
课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。
在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。
下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。
第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。
【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。
【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。
b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。
因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。
第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。
【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
中学数学中的数形结合思想的应用
中学数学中的数形结合思想的应用摘要：我将从以下几个典型例题来探讨数形结合思想在中学数学中的应用(函数思想)从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词：中学数学；数形结合；应用；思想方法1 数形结合思想在中学数学中的应用1.1 数形结合思想在集合中的应用1.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。
利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。
（选自《王后雄高考标准诠释》）解：我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。
用表示集合的元素，则有：即：参加竞赛总人数为人。
1.1.2 利用数轴解决集合的有关运算例2．已知集合，⑴若，求的范围。
⑵若，求的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当时集合A应该覆盖集合B，应有成立，即。
当时，，显然成立．故时的取值范围为：在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。
在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。
1.2 数形结合思想在解方程中的应用在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。
将数形结合应用到中学数学教学 提高学生综合能力
将数形结合应用到中学数学教学提高学生的综合能力摘要：数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
将数与形结合起来解决问题就形成了数形结合。
数形结合是一种数学思想方法，它可以将复杂难懂的数学问题变得简单易懂。
在数学教学中，尤其是中学数学教学中，数形结合是一种非常普遍且有效的数学教学方法，这样的教学方法可以提高学生分析解决数学问题的能力，从而提高学生的综合能力。
关键词：数与形；数形结合；中学数学一、数形结合思想的重要性中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
数形结合作为一种数学思想方法，它的应用大致可以分为两种情形：一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性；另一种是借助形的几何直观性来阐明数与数之间的某种关系。
也就是说，数形结合包括两个方面：第一个方面是“以数解形”，另一个方面是“以形助数”。
“以数解形”就是当有些图形过于简单、对图形进行直接的观察无法看出什么规律来时，这时就需要借助于数来为图形赋值，如边长、角度等。
我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数与形是事物的两个方面的属性。
数形结合，主要是指对数与形进行一一对应，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置结合起来，通过抽象思维与具体思维的结合，将复杂难懂的数学问题变得简单易懂，从而优化解题途径。
数形结合思想是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想可以解决以下问题：集合问题、函数问题、方程与不等式问题、三角函数问题、线性规划问题、数列问题、平面几何问题、立体几何问题等。
二、数形结合思想在中学数学教学中的作用1.数形结合思想可以激发学生学习数学的兴趣大多数的学生不喜欢学习数学的最主要的原因就是数学课程很单调而且有些数学问题非常复杂。
教师要想使学生喜欢学习数学、乐于解决数学问题，就必须要克服学生的这两点困难，而数形结合思想就是解决学生这两点抵触心理的最有效的方法。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：作为数学核心文解力的重要部分，直观的想象力的培养成为中学数学的主要教育目标。
直观的想象力是以思维能力为核心的思考问题的一种形态，在实际教学过程中结合数字和形状的思考可以用在建立数量关系、加深学生的理解、提高解决问题的效率性上。
将教学实习与学生生活联系起来，将技能内容整合起来，从洞悉解决问题的想法的角度出发，详细说明培养学生直观的想象力的战略。
关键词：数形结合；初中数学；教学方法探究数形结合是目前数学教育最有效的方法之一。
初中学生是在发展学习能力的时期，老师应该有意识地培养学生的学习能力，并为课堂教学采用数字和形状相结合的方法。
在数学教育中运用数字和形状的组合，可以使对数学概念的理解变得简单化，可以在学生面前提出数学公式的本质，使学生更容易理解和背诵，减轻学生的学习负担。
数学学习的困难。
在这一点上，教师主要在中学数学教育中运用数字和形状的组合进行分析。
本文针对如何在初中数学教学中运用数形结合思想，提出以下几个观点：一、以学生为中心，提高学生学习主动性在学生的课堂听课过程中，我们教师一定要以学生为中心设计课堂，要让学生在课堂的学习生活中感受到自己收到了关注，让学生在课堂上充分的感受到自己是课堂学习的主体，从而激发学生的学习兴趣，使学生在课堂上能够充分的发挥自己的学习积极性和学习主动性。
数形结合方式的教学在以学生为教学主体的课堂上能够更容易的开展，把学生当作课堂教学的主体能够很好地使学生在课堂上完成学习任务。
此教学方式能够很好地帮助学生解决问题，从而减少自己做题时对教师的依赖。
例如，在带领学生学习《圆的认识》这一章节的内容时，第一次授课所取得的效果并不是特别的明显，于是在课后我对自己的授课方式和课堂讲课内容进行了思考，在思考过后，我意识到，我不能够站在自己的角度去认为自己的讲课非常好，要站在学生的角度去看待问题，只有课堂能让学生满意，这才是最有效最高效的课堂。
针对这一观点，我对课堂的授课进行了改变，采取画图教学来给学生讲解圆的面积、周长，公式的死记硬背不能够使学生理解，而画图能够很好地帮助学生理解面积公式。
数形结合思想在初中数学教学中的作用
李金 芳１ 马 维政２
（ 会 宁 县 中川 中学 ；会 宁县 丁 沟 乡 荔峡 中学 ， 肃 会 宁 １ ２ 甘
摘 要 ： 形 结 合 思 想 是 解 决 数 学 问题 的 一 种 重 要 思 想 数 方 法 。 数 形 结合 ” 想 就是 使 抽 象思 维 和 形 象 思 维 相 互作 用 ． “ 思 实现 数 量 关 系与 图形 性 质 的 相 互 转 化 ．将 抽 象的 数 学 关 系和 直观 的 图形 结合 起 来 解 决数 学 问题 为提 高 学 生的 数 学 知识 ． 真正 实现 素质 教 育 ， 数 学教 学 中作 者 注 重 “ 形 结 合 ” 想 在 数 思 的渗 透 。 学生 的数 学 能力 得 到很 大 的提 升 。 面 直 角 坐标 系 使 平 是 数 形 结 合 的桥 梁 ， 了 它 ， 方 面 ， 够 借 助 于 图形 可 以 将 有 一 能 许 多抽 象 的数 学概 念 和 数 量 关 系形 象化 、 单化 、 观 化 另 简 直 方 面． 能将 图形 问题 转 化 为 代数 问题 ， 以获 得 精 确 的结 论 。 关 键词 ： 形 结合 初 中数 学教 学 作 用 数
速 、 效 地解 决 问 题 奠 定 良好 的基 础 。 有 在 推 行 素 质 教育 的今 天 ， 发 学生 的创 新 思 维 ， 学 生 在 开 让 创 造 中学 会 学 习 ， 挥 学 生 的 主观 能动 性 成 为 重 中之 重 ． 以 发 所
过 学 习 数 学 知识 、 能 和方 法 ， 渐 形成 自己 的数 学 思 想 和 方 技 逐 法 ， 学 生 学 会用 数学 的 眼光 看 待 生 活 中 的 人 和 事物 ， 让 会用 数 学 的 知 识解 决 生 活 中 的实 际问 题 。 么 ， 为 最基 本 的 数学 思 那 作 想 之 一 的数 形 结 合 思 想在 新 课 程 中 又是 怎 样 体 现 的 呢？ 下 面我 们 结 合 中学 数 学 教学 的现 状 ．从 数 形 结合 思想 的 重 要 性 、 形 结合 相关 知识 点 的 体 现 、 何 实 现 数 形 结 合 三 方 数 如 面 阐 述 数形 结 合 思想 在初 中数 学教 学 中 的应 用 。 数 形 结合 思 想 的 重 要性 几何 本 身 缺 乏严 密性 ， 而代 数 本 身 却又 缺 乏 直 观性 。 只有 将 二 者有 机 地 结 合 起 来 ，互 相 取 长 补 短 ，才 能 突 破思 维 的 限 制 ． 快 数 学 的发 展 。 加 数 与形 是 数 学研 究 的 两大 基 本 对 象 。“ ”是 指 数 与 式 ， 数 “ ” 指 图形 与 图像 。数 形 结 合 的思 想 可 以 变抽 象思 维 为 形 形 是 象 思 维 ， 示数 学 本 质 的 东西 。 揭 直 角坐 标 系 的 建 立 可 以将 代 数 和 几 何 问 题 紧 密地 联 系 起 来 ． 许 多 实 际 问 题 的解 决 提 供 新 的 思 路 和 策 略 ． 问 题 的 为 对 解 决 产 生 事 半 功 倍 的 效 果 。 因而 数形 结 合 的 重 点 是 研 究 “ 以 形 助 数 ” 。 １ 形 结 合 思 想在 有 理 数 中 的应 用 ． 数 从 数 形 结 合 的 角 度 出发 。借 助 数 轴 处 理 好相 反数 和绝 对 值 的 意 义 ， 理 数 大小 的 比 较 ， 理 数 的分 类 ， 理 数 的 加 法 有 有 有 运 算 ， 等式 的解 集 在数 轴 上 的表 示 ， 等 。 实数 轴 上 ， 反 不 等 在 相 数 就 是 在 原 点 两 旁 到 原 点 距 离 相 等 的 两个 点 所 表 示 的数 ， 而
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用
“数形结合”思想在中学数学教学中的应用作者：黄迪来源：《中外企业家·下半月》 2015年第1期黄迪（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳 110034）摘要：数形结合思想现在越来越被广泛应用到很多领域与学科的学习，数形结合思想是数学学科的理解重点也是最主要用到的一个知识点。
数形结合的思想也是对学习数学整个学科的知识的掌握有着直接影响的思想内容，对高效率的提高数学学习有着积极的影响。
其中,数形结合思想其系统性以及直观形象的性质使之对于解决很多问题都有帮助，另外，数形结合思想对培养人们的分析、逻辑以及思维能力都有着非常明显的作用。
关键词：数形结合；中学教学；教学应用中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1000-8772-（2015）03-0159-01收稿日期：2014-12-17作者简介：黄迪（1994-），女，辽宁朝阳人，沈阳师范大学，数学与系统科学学院，本科在读。
研究方向：数学。
一、数学中数形结合思想的内涵数形结合思想也就是指一种思维，是指人们在利用数形结合的思想这样的思维应用到各个学科的总称。
其实按照内在联系的不同可以有很多数学思想，如化归思想、“分类讨论”思想，以及“由数到形” “由数想形”的思想，“数”与“形”的统一思想。
这些思想不仅被应用到中学数学以及高中整个数学学科教学当中，也被商场企业运用到了企业利润实际问题当中。
二、“数形结合思想”在中学数学中的重要性《新课标》指出：“应该使学生能够用所学的知识解决实际的问题的能力的提升，将理论与实践完好的结合的过程的实现”。
数学中的数形结合思想以及分析、逻辑、归纳等思想对于数学思维的能力的提高都是具有很大的帮助作用。
现在的高考对学生能力的考察不再是简单、无序的知识的考察，更加侧重对反向思维以及推理的考察。
三、数形结合思想在中学数学中的应用数形结合的思想，是充分利用其直观性，激发兴趣，寻找简洁巧妙的解题方法。
掌握数形结合的思想，将理论与实践完美结合会有更大的实际价值。
数形结合思想在中学数学中的应用
数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业*名：***同组人员：王帅帅指导教师：***数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。