第2章 刚体运动与复合运动
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工程力学(运动学与动力学)14点的复合运动
绝对运动的分析方法
绝对运动
描述一个物体相对于绝对空间的运动， 是物体在固定参考系中的位置和速度。
VS
分析方法
通过绝对坐标系和相对坐标系之间的关系 ，分析物体的绝对运动。
复合运动的合成定理
合成定理
将相对运动和牵连运动结合起来，描述一个 物体在复合运动中的位置和速度。
应用范围
适用于分析复杂机械系统中的运动关系，如 机床、机器人等。
要点二
弹性体在振动时发生的形变
例如，振动的弦或振动的梁，在振动过程中发生的形变可 以通过动力学方程进行描述。这种形变是由于弹性体内部 分子之间的相互作用以及外力作用共同作用的结果。
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平面内两个旋转运动的复合
例如，搅拌机的搅拌叶片，既围绕中心轴做旋转运动 ，同时又围绕自身的轴线做旋转运动。这种复合运动 可以通过引入角速度和角加速度的概念进行描述。
空间内复合运动的实例分析
空间内旋转与直线运动的 复合
例如，直升机的螺旋桨，在围绕自身轴线旋 转的同时，直升机机体沿着垂直方向做直线 运动。这种运动可以通过三维坐标系进行描 述，并运用相应的运动学和动力学公式进行 分析。
空间运动
物体在三维空间中的运动，其轨迹位 于三维空间中。
定轴转动与定平台转动
定轴转动
物体绕固定轴线的转动，轴线位置固定不变。
定平台转动
物体绕固定平面上某点的转动，平面位置固定不变。
刚体运动与弹性体运动
刚体运动
物体在运动过程中形状和大小保持不 变。
弹性体运动
物体在运动过程中发生弹性形变，恢 复原状后继续运动。
工程力学（运动学与动力学 14点的复合运动
目录
• 复合运动的概述 • 复合运动的分类 • 复合运动的运动学分析 • 复合动力学的分析方法 • 复合运动的实例分析
第三讲 定点转动、基点法
进动角 ψ = ∠x0ON 章动角 θ = ∠z0Oz 自转角 θ = ∠NOx
ϕz
ψ
z0
θ
y
刚体的定点转动可以 拆分成三个相对定轴转动 的复合。它可以用三个转 动参数描述。图示的欧拉
角 (ψ , θ , ϕ ) 就是一种定点
转动的定位参数。
x0
x
O
ϕ
y0
ψ
N
θ
2-2 动系单位基矢量的时间导数定理
定理：对任意动系的单位基矢量
解：圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的母
线OA即是该定点运动的瞬时转动轴。
由定点转动刚体的速度分布公式， C点的速度：
e3 z
C
ωOxyz
r
O1
x
vC h
ω
e1 A
O
e2 y
vC = ω × rOC
vC = 48e2 ω = −ωe1 rOC = 16 / 5e1 +12 / 5e3
ω = −20e1 (rad/s)
z
C
r
h
x d vC
A
O
Oxyz定轴转动，其角 速度 ωOxyz ， 根据定义
e&i = ωOxyz × ei , i = 1, 2,3
ω = vC d = 48 /(3× 4 / 5) = 20
∴ ω = −20e1 (rad/s)
ω
z0 z
y
e3
ωOxyz
x0 A0 e1 x A
O e2
y0 y
动系相对定系的角速度: ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3
定义：刚体上固连坐标系的角 速度定义为刚体的角速度。
工程力学-刚体的复合运动
§3.4 刚体的复合运动
（平面运动的分解）
现在用复合运动的方法来研究平面图形的运动。 平面图形的运动分解成平动和转动
EXAMPLE
y
y′
x′
O′
x
车轮的平面运动可以分解成两个运动：随动系 O′x′y′ 的平动---牵连运动；绕动系 O′x′y′ 的转动----相对运动。
GENERAL IDEA:
求：轮 IV 角速度 ω4 。
解：建立动系 Oxy 与曲柄固结
ωe = ω 0 ωr1 = ω 0
ω r4 = ω r4 ⋅ ω r2 = R3 ⋅ R1 ω r1 ω r3 ω r1 R4 R2
ωr4
=
R3 R1 R4 R2
ω0
ω4
= ωr4
−ωe
=
R3 R4
R1 R2
− 1ω 0
b
=
R1 + R2 R3 R1
R2 R4
平面图形的运动分解成转动和转动，绕平行轴转动的合成
1.用转动坐标系将平面运动分解为两个绕平行轴的转动
若平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固 定点O的距离始终保持不变，则点A在定系中的轨迹是以点O为 圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，
引入一与O、A两点连线固连的动系。动系相对定系绕O轴作定
3. 转动偶的概念
(1) 刚体作绕两平行轴转动的合成，若 ωe = Const. , ωr = Const., ,
ωr = −ωe 则合成运动 ωa =0，即两个转动合成一个平动，
此平动称为转动偶。
(2) 在下图中，I轮固定，II轮与I轮用皮带传动，曲柄角速度， ω = Const. 研究II轮的运动
（平面运动的分解）
现在用复合运动的方法来研究平面图形的运动。 平面图形的运动分解成平动和转动
EXAMPLE
y
y′
x′
O′
x
车轮的平面运动可以分解成两个运动：随动系 O′x′y′ 的平动---牵连运动；绕动系 O′x′y′ 的转动----相对运动。
GENERAL IDEA:
求：轮 IV 角速度 ω4 。
解：建立动系 Oxy 与曲柄固结
ωe = ω 0 ωr1 = ω 0
ω r4 = ω r4 ⋅ ω r2 = R3 ⋅ R1 ω r1 ω r3 ω r1 R4 R2
ωr4
=
R3 R1 R4 R2
ω0
ω4
= ωr4
−ωe
=
R3 R4
R1 R2
− 1ω 0
b
=
R1 + R2 R3 R1
R2 R4
平面图形的运动分解成转动和转动，绕平行轴转动的合成
1.用转动坐标系将平面运动分解为两个绕平行轴的转动
若平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固 定点O的距离始终保持不变，则点A在定系中的轨迹是以点O为 圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，
引入一与O、A两点连线固连的动系。动系相对定系绕O轴作定
3. 转动偶的概念
(1) 刚体作绕两平行轴转动的合成，若 ωe = Const. , ωr = Const., ,
ωr = −ωe 则合成运动 ωa =0，即两个转动合成一个平动，
此平动称为转动偶。
(2) 在下图中，I轮固定，II轮与I轮用皮带传动，曲柄角速度， ω = Const. 研究II轮的运动
刚体的复合运动
将动系固结在曲柄3上 轮1、轮2与轮3的相对运动？ 与轮3的相对运动？
ωij — 第i个刚体相对与第j个刚体的角速度
由齿轮啮合的无滑动条件得： r0ω 03 = r1ω13 = r2ω 23 由 r0 = r2 得：
ω 23 = ω 03 = −ω30
根据角速度合成公式得：
ω30
动轮 2 定轮 0 惰轮 1
R1 + R2 vE = ( R2 + R3 ) ω0 R2 R3 R1 vE − vB ω4 = =( − 1)ω 0 （ R4 R4 R2
）
vE
轮4的瞬心C的位置？ 的瞬心C的位置？
BC =
ω4
I
vB
vB
ω 0
vA
D AII
III
O
E
B
IV
C 返回
角加速度合成 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
ω = ωe + ωr
d (ω + ω ) = dωe + ( dωr + ω × ω ) ε= e r r dt dt dt e
ε = εe + εr + ωe × ωr
两种特殊情况 1.相对运动和牵连运动都是常角速度的定轴 转动，并且两个转动轴相交
ε = ωe × ωr
2.绕平行轴转动的合成 绕平行轴转动的合成：相对运动和牵连运 绕平行轴转动的合成 动都是定轴转动，并且两个转动轴平行 ε = εe ± εr
齿轮系统
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
一个机构有三个齿轮互相啮合，并用一曲柄 相连，轮子中心在同一直线上。 已知：定轮0与动轮2的半径相等，曲柄的绝 已知 对角速度ω30 求：动轮2的绝对角速度ω20。
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
第二章 动量、角动量守恒-2
β
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
刚体的复合运动
mgh
1 2
m
v
2 C
1 1 2 2
mR 2
vC R
2
3 4
mv
2 C
vC
4 gh 3
解法二 请同学们自学 (P46)
4
3.3 刚体的复合运动
M
dL
dt
Mdt dL
L
M r
M
r
mg 不旋转的陀螺
mg
旋转的陀螺 进动！
L
dL
L
俯视图
5
ri Fi 在质心系：
d mrdC t
L
M = J
i
mi ri 0
注意： 实验室中质心 系 一般为非惯性系
ω mvC m ivi 0
零动量参照系 P44
2
d
惯性系中
质心系中
ri Fi
ri
Fi
d
t
mi a C
L i
(2.19)
d
L
dt
i
惯性力矩
其中
ri mi aC
d ri Fi d t
L
i
mi ri aC 0 Cf:重力矩 cf : P 44 3.25
对于 刚体
二、 柯尼 希定 理
M = J α cf : P 38 3.12 : M = Jα
质心系中过质心的某定轴
E
121mmivvi22
1 2mi m v
vC
vi
v
2
1m
12mi v2
vC2
12mivi2
2 iC
iC i
2
质i i点组 轨道动能
质点组 内动能
3
例3.5 质量为m半径为R的圆柱体，沿斜面向下无滑动滚
刚体力学的基本性质与运动分析
刚体力学的基本性质与运动分析刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。
它假设物体是刚性的，即不会发生形变。
在刚体力学中，有一些基本性质和运动分析方法，本文将对这些内容进行探讨。
一、刚体的基本性质刚体是指在力的作用下不会发生形变的物体。
它的基本性质有三个：质点性、形状不变性和刚性。
质点性是指刚体可以看作一个质点，即物体的大小和形状对其运动没有影响。
这意味着刚体的运动可以通过描述质心的运动来表示。
形状不变性是指刚体在运动过程中，其形状保持不变。
无论刚体如何运动，其各个部分之间的距离和角度都保持不变。
刚性是指刚体内部各个点之间的相对位置保持不变。
这意味着刚体的任意两点之间的距离和角度在运动过程中保持不变。
二、刚体的运动分析方法在刚体力学中，有几种常用的运动分析方法，包括平动、转动和复合运动。
平动是指刚体的各个部分在同一时间内以相同的速度和方向运动。
在平动中，刚体的质心和各个部分的速度和加速度都相同。
转动是指刚体绕某个轴线旋转。
在转动中，刚体的各个部分围绕轴线旋转，但质心保持静止。
复合运动是指刚体同时进行平动和转动。
在复合运动中，刚体的质心同时进行平动，而各个部分围绕质心旋转。
为了描述刚体的运动，我们可以使用刚体的运动学方程和动力学方程。
运动学方程描述了刚体的位置、速度和加速度之间的关系，而动力学方程描述了刚体的受力和运动之间的关系。
在运动分析中，我们还可以使用刚体的转动惯量和角动量来描述刚体的运动特性。
转动惯量是刚体对转动的惯性度量，它与刚体的质量和形状有关。
角动量是刚体的旋转运动的物理量，它与刚体的转动惯量和角速度有关。
三、刚体力学的应用刚体力学在工程和科学研究中有广泛的应用。
在工程中，刚体力学可以用于分析建筑物和桥梁的结构强度和稳定性。
它还可以用于设计机械装置和运动控制系统。
在科学研究中，刚体力学可以用于研究天体运动和分析地震运动。
它还可以用于研究分子和原子的运动和相互作用。
总之，刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。
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章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动 过程中， 过程中， 其上所有 点的运动 始终平行 于某一固 定平面。 定平面。
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 —定点运动 第 2章
第2 章
刚体运动与复合运动
2010年12月10日
目录 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的定义及其运动形式 第1节 刚体运动的向量-矩阵描述 第2节 刚体定点运动 第3节 刚体平面运动 第4节 点的复合运动 第5节 刚体复合运动
刚体的定义 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体是质点间距离始终保持不变 距离始终保持不变的质 距离始终保持不变 点系。 刚体是抽象的力学模型 力学模型。 力学模型 真实物体受力以后都会变形。 当物体的变形和运动尺度相比小的多 时，则可简化为刚体。
刚体的运动 — 平动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，其上 刚体运动过程中， 任一条直线始终保持与 其自身原位置平行。 其自身原位置平行。
刚体的运动 — 定轴转动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过 程中， 程中，刚体 或其延拓部 或其延拓部 分上有一直 线始终保持 不动。 不动。
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，刚体或 刚体运动过程中， 其延拓部分上某一点始终 保持不动。 保持不动。
刚体的运动 — 定点运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
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刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动 过程中， 过程中， 其上所有 点的运动 始终平行 于某一固 定平面。 定平面。
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 —定点运动 第 2章
第2 章
刚体运动与复合运动
2010年12月10日
目录 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的定义及其运动形式 第1节 刚体运动的向量-矩阵描述 第2节 刚体定点运动 第3节 刚体平面运动 第4节 点的复合运动 第5节 刚体复合运动
刚体的定义 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体是质点间距离始终保持不变 距离始终保持不变的质 距离始终保持不变 点系。 刚体是抽象的力学模型 力学模型。 力学模型 真实物体受力以后都会变形。 当物体的变形和运动尺度相比小的多 时，则可简化为刚体。
刚体的运动 — 平动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，其上 刚体运动过程中， 任一条直线始终保持与 其自身原位置平行。 其自身原位置平行。
刚体的运动 — 定轴转动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过 程中， 程中，刚体 或其延拓部 或其延拓部 分上有一直 线始终保持 不动。 不动。
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，刚体或 刚体运动过程中， 其延拓部分上某一点始终 保持不动。 保持不动。
刚体的运动 — 定点运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第 2章
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