江苏省盐城中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析.doc
江苏省盐城中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题（含解析）1.已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2] 【解析】 【分析】根据交集定义求解． 【详解】由题意{|12}AB x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．2.设,R a b ∈，i 为虚数单位，若()25a bi i i +=-，则ab 的值为__________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据复数乘法法则计算()a bi i +，利用复数相等即可求解. 【详解】()25a bi i b ai i +=-+=-，5,2a b ∴=-=-，10ab ∴=，故答案为：10【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于容易题. 3.如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a ==，第二次循环：20,34S a ==<，结束循环，输出20.S = 考点：循环结构流程图4.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______. 【答案】710【解析】 【分析】先求出基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率．【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为2510n C ==，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行”的______条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”) 【答案】充分不必要【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质，即可得到结论．【详解】若“2a =”则直线2210x y ++=和直线3310x y +-=平行，即充分性成立， 若0a =，直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行为210y +=和直线310x y +-=不平行，若0a ≠，若直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行，则312a a +=， 即(1)6a a +=，解得2a =或3a =-，经检验3a =-或2a =均满足，即必要性不成立， 故“2a =”是直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．6.若样本1a ，2 a ，3 a 的方差是2，则样本123a +，223a +，323a +的标准差是_________.【答案】【解析】 【分析】由123,,a a a 的方差，求得123a +，223a +，323a +的方差，由此求得所求的标准差. 【详解】由于123,,a a a 的方差为2，则123a +，223a +，323a +的方差为2228⨯=，对应=故答案为：【点睛】本小题主要考查方差与标准差的计算，属于基础题. 7.底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 m 2.【答案】【解析】试题分析：由条件得斜高为（m ）．从而全面积2312+32=33423S =⨯⨯m 2）． 考点：正三棱锥的全面积8.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数,当[2,4]x ∈时43()log 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________.【答案】12【解析】由题意知，1117())(4)()2222f f f f =-=-=（，又7[2,4]2∈，所以4171()()log 2222f f ===，故填12. 9.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且252m a a a +=.则m =_________.【答案】8 【解析】 【分析】 首先根据3S ，9S ，6S 成等差数列得到3612q q +=，再利用等比数列的性质化简252m a a a +=，即可得到答案.【详解】由题知：936=2S S S +. 当1q =时，显然不成立.当1q ≠时，936111=(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q--+----，整理得：9362(1)11q q q -=-+-，即3612q q +=.4362511128(1)222m a a a q a q a q q a q a a +=+=+=⋅==故8m =.故答案为：8【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.10.若双曲线2222x y a b－＝1(a >0，b >0)与直线y 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 【答案】(1,2] 【解析】因为双曲线的渐近线为y ＝±bax ，要使直线y x 与双曲线无交点，则直线y x 应在两渐近线之间，所以有b ab ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2.11.设R m ∈，直线1:0l x my +=与直线2:240l mx y m ---=交于点()00,P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_______.【答案】12⎡-+⎣【解析】 【分析】首先根据已知条件得到直线1l 恒过定点(0,0)O ，直线2l 恒过定点(2,4)A -，且12l l ⊥，根据交点()00,P x y 得到点P 在以OA 为直径的圆22(1)(2)5x y -++=上.将220002x y x ++转化为220022000(1)12x y x y x ++=++-，设d =，则d 表示点00(,)P x y 到点(1,0)B -的距离.再利用点与圆的位置关系即可得到答案.【详解】由题知：直线1:0l x my +=恒过定点(0,0)O .直线2:240l mx y m ---=化简为：(2)(4)0m x y --+=，直线恒过点(2,4)A -. 当0m =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率20k =，则12l l ⊥. 当0m ≠时，11k m=-，2=k m ，121k k ，则12l l ⊥.综上：直线1l 恒过定点(0,0)O ，直线2l 恒过定点(2,4)A -，且12l l ⊥. 因为直线1l 与直线2l 交于点00(,)P x y ，所以点P 在以OA 为直径的圆22(1)(2)5x y -++=上.因为220022000(1)12x y x y x ++=++-，设2200(1)d x y =++，则d 表示点00(,)P x y 到点(1,0)B -的距离. 因为(1,0)B -到圆心(1,2)-的距离为22(11)(02)225--++=>， 所以225225d -≤≤+，即212410112410d -≤-≤+. 则220002x y x ++的取值范围是[12410,12410]-+. 故答案为：[12410,12410]-+【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上一点距离的最值，同时考查了直线恒过定点问题，考查了学生转化问题的能力，属于难题.12.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =， P 为线段BC 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ，设CP x =，CPD △面积为()f x .则()f x 的最大值为____________.【答案】22【解析】 【分析】用余弦定理求得cos DCP ∠，再求得sin DCP ∠，写出()f x ，可得最大值．【详解】由题意6PD PB x ==-，224(6)123238cos 44x x x x DCP x x x+----∠===， 所以2223884864sin 1cos 1()x x x DCP DCP x --+-∠=-∠=-=， 所以22184864()28(3)82x x f x x x x-+-=⨯⨯=--+，所以3x =时，max ()822f x ==． 故答案为：22．【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题． 13.已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =,若点P 是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.【答案】13 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t ,4AB AC AP ABAC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号 PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.14.从点1(0,0)p 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点()10,1Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上：述过程得到一系列点：11PQ 22P Q ………n n P Q .则n k k kP Q =∑__________.【答案】11n e e e ---【解析】 【分析】设出1k P -的坐标，求出1k Q -，得出在1k Q -处的切线点斜式方程，令0y =得到k x 与1k x -的关系，求出k k P Q 的表达式，利用等比数列的前n 项和公式求出和. 【详解】设11(,0)k k P x --，依题意得111(,)k x k k Q x e ---，由曲线xy e =，则x y e '=， 所以在1k Q -处的切线的方程为111()k k x x k y ee x x ----=-，令0y =，得11(2)k k x x k n -=-≤≤， 由于110,1k k x x x -=-=-，得(1)k x k =--， 所以1kx k k k P Q e e -+==，故112111111n nn n k k ke e e P Q e e ee e -----+---=++++==--∑. 故答案为：11ne e e ---.【点睛】本题考查导数的几何意义、等比数列的通项和前n 项和，考查计算求解能力，属于中档题.二、解答题（共90分）15.已知向量()1,cos 3m x x ωω=-+，()(),cos n f x x ω=，其中0>ω，m n ⊥，又函数()f x 的图象任意两相邻对称轴间距为32π. （1）求ω的值:（2）设a 是第一象限角，且3232226f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 4cos(2)παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值. 【答案】（1）13ω=（213214【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到1()sin 262f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据函数的周期即可得到ω的值.（2）根据3232226f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得到5cos 13α=，12sin 13α=，再化简sin 4cos(2)παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+即可得到答案.详解】（1）由题意得0m n ⋅=，所以2()cos (cos 3)cos 3cos f x x x x x x x ωωωωωω=⋅=1cos 23sin 21sin 2262x x x ωωπω+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的图象任意两相邻对称轴间距为32π. 所以函数()f x 的最小正周期为3π，又0>ω，所以13ω=. （2）由（1）知21()sin 362f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，所以3231sin 2232262f πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1123sin cos 22226παα⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭.解得5cos 13α=，因为α是第一象限角，故12sin 13α=，所以222sin sin (sin cos )442cos(2)cos 2(cos sin )ππααααπαααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+--- 21322(cos sin )14αα==--.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了函数()sin y A ωx φ=+的周期和三角函数的诱导公式，属于中档题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ． 因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形， 所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点， 所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ， 所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥， 因为//MD BC ，MD BC =， 所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥， 因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ， 所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.17.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且离心率1e 2=．（1）求椭圆方程；（2）若直线()l y kx m 0k =+≠：与椭圆交于不同的两点M N ，，且线段MN 的垂直平分线过定点1G 08⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）55k k >< 【解析】 试题分析：（1）由椭圆的离心率可得2243b a =，根据椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭可得221914a b +=，求得24a =，23b =后可得椭圆的方程．（2）将直线方程代入椭圆方程后整理可得()2223484120k xmkx m +++-=，由0∆>得2243m k <+．由根与系数的关系求得弦MN的中点2243A ,3434mkm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，由此可得直线AG 的斜率AG k ，根据·1AGk k =-可得2348k m k +=-，由此可得22234438k k k ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，解得551010k k ><-，即为所求范围． 试题解析： （1）椭圆的离心率1e 2=， 2213144b a ∴=-=，即2243b a =；① 又椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴221914a b+=，②由①②得24a =，23b =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2223484120k xmkx m +++-=，直线与椭圆交于不同的两点，()()2222644344120m k k m ∴∆=-+->，整理得2243m k <+ (1)设()()1122,,,M x y N x y ，弦MN 的中点A ()00,x y ，则21212228412,3434mk m x x x x k k-+=-=++， ∴024,34mk x k=-+ ∴20022433434mk my kx m m k k=+=-+=++， ∴点A 的坐标为2243,3434mkm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， ∴直线AG 的斜率为22232434413234348AGmm k k mk mk k k +==-----+， 又直线AG 和直线MN 垂直， ∴224·13234mk mk k=----， ∴2348k m k+=-，将上式代入（1）式，可得22234438k k k ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，整理得2120k >， 解得55k k ><-或． ∴实数k 的取值范围为55,,1010∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．点睛：圆锥曲线中求最值（范围）问题的方法根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．求解时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．18.某杂肉观赏区改造建筑用地平面示意图如图所示、经规划调研确定，杂肉观赏区改造规划建筑用地区域是半径为R的圆，该圆面的内接四边形ABCD 是原杂肉观赏区建筑用地，测量可知边界 4AB AD ==千米， 6BC =千米， 2CD =千米.（1）请计算原杂肉观赏区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；（2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高杂肉观赏区观赏的时长，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得杂肉观赏区改造的新建筑用地APCD 的周长最大，并求最大值.【答案】（1）3（平方千米）； 2213R =.（2）作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P ，最大周长为647+. 【解析】（1）由180ABC ADC ∠+∠=︒，利用余弦定理可求得cos ABC ∠，从而得ABC ∠，ADC ∠，由此可计算三角形面积，相加后得四边形面积，利用余弦定理求出AC ，再由正弦定理可得外接圆半径；（2）设AP x =，CP y =，由余弦定理得出,x y 满足的等式，由基本不等式求得x y +的最大值即得四边形周长的最大值．【详解】解：（1）180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠，1cos 2ABC ∴∠=(0,)ABC π∠∈，60ABC ∴∠=︒，120ADC =∠︒S四边形1146sin 6024sin12022ABCD ⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒==2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，AC ∴=由正弦定理得：2sin AC R B ===，3R =（千米）. （2）设AP x =，CP y =.由余弦定理得：222222cos 6028AC x y xy x y xy =+-︒=+-=22()3283282x y x y xy +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，x y ∴+≤x y =时取“=” ∴周长66l x y =++≤+∴作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P，最大周长为6+【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理应用，解题关键是利用圆内接四边形对角互补，余弦值是相反数，从而由余弦定理可求得此角，19.给定数列{}n a ，记该数列前i 项12,,,i a a a ⋯中的最大项为i A ，该数列后n i -项1i a +，2i a +， …..，n a 中的最小项为,i i i i B d A B =-，(1,2,3...1)i n =-.（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的1d ，2d ，3d ；（2）n S 是数列{}n a 的前n 项和，若对任意n N +∈，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>①设23(1)n n b a λ=+-，判断数列{}n b 是否为等比数列；②若数列{}n a 对应的i d 满足：1i i d d +>对任意的正整数1,2,2i n =⋯-恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）12d =，23d =，36d =；（2）①当13λ≠时，数列{}n b 是等比数列，当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列；②1,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据i A ，i B 的定义可求相应的1d ，2d ，3d . （2）根据题设的递推关系可得123n n a a λ-=+，从而得到1n n b b λ-=，根据1b 是否为零点可判断数列{}n b 是否为等比数列，而根据1i i d d +>以及i A ，i B 的定义可得数列{}n a 的前1n -项单调递增，故可得λ的取值范围.【详解】解：（1）13A =，11B =，12d =；24A =，21B =，23d =； 37A =，31B =，36d =.（2）①当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =； 当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦. 因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--，所以当13λ≠时，13103(1)b λλ-=≠-，故0n b ≠， 所以数列{}n b 满足1(2)nn b n b λ-=≥， 即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，13103(1)b λλ-==-，故0n b =，数列{}n b 不是等比数列. ②由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--.又{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，{}{}112123max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，由于{}{}1223min ,,,min ,,,i i n i i n a a a a a a ++++⋅⋅⋅≤，所以由1i i d d +>，可得，{}{}12121max ,,,max ,,,i i a a a a a a +<.所以{}1211max ,,,i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立，即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠. 因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-， 所以()12121213131212(1)3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=⋅+-=⋅---.当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>，此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去； 当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>. 综上所述，λ的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查数列新定义背景下数列通项的求法、数列单调性的讨论，注意判断数列为等比数列，需根据其定义来判断，对于与{}n a 、其前n 项和n S 有关的递推关系，我们常常利用1n n n a S S -=-将前者转化为与n a 有关的递推关系. 20.已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈.（1）若()y f x =在(1, (1))f 处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值： （2）求证：当2a <-时，() y f x =在()0,∞+上有两个极值点： （3）设()1()x g x f x xe=，若()g x 在[]1,e 单调递减，求实数a 的取值范围.（其中 2.71828...e =为自然对数的底数）【答案】（1）3a =-；2b =.（2）见解析（3）1,[2,)e a e +⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，先求得导函数，将横坐标带入结合切线方程的斜率即可求得a 的值，进而可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得b 的值.（2）令()()F x f x '=，再求得()F x '，由导函数与函数单调性关系可得()F x 的单调区间.由2a <-可得()F x 的最小值符号，再由()0aF e->及零点存在定理可判断()F x 在()1,+∞有一个零点1x ；表示出()aF e，并构造函数()12aG a ea -=++，由()G a '的符号可得()G a 的单调递减区间，根据零点存在定理可知()F x 在()0,1有一个零点2x ，从而证明出结论. （3）由题意可得()g x 的表达式，构造函数1()1ln h x x a x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，并求得()h x '，再构造函数()ln 1x x x ϕ=-+，并由()x ϕ'的符号可判断()x ϕ的单调情况，从而由()x ϕ的最值判断出()h x '的符号，即可得()h x 的单调情况.对a 分类讨论，从而由()g x '的符号得符合题意的a 的取值范围.【详解】（1）函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈. 则1()ln x f x x a x+'=++， 由条件知()121f a '=+=-，所以3a =-，()13f a ==-，所以切点坐标为()1,3-.把()1,3-代入0x y b ++=， 解得2b =.（2）证明：令1()()ln x F x f x x a x+'==++， 则22111()x F x x x x-'=-=，所以()F x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 因为2a <-，所以min [()](1)20F x F a ==+<.又()1ln 10a aaaae F e e a e e----+=++=+>，所以()F x 在()1,+∞有一个零点1x . 又()1ln 12a aaa a e F e e a e a e-+=++=++，令()12(2)aG a ea a -=++<-，则()20a G a e -'=-<，所以()G a 在(),2-∞-单调递减，故2()(2)30G a G e >-=->， 即()0aF e>，所以()F x 在()0,1有一个零点2x.于是可知：当()20,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()21,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，()y f x =在()0,∞+上有两个极值点（在2x 处取得极大值，在1x 处取得极小值）. （3）()11()1ln 1ln xx g x x x ax x a e xe x -⎛⎫=++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭， 令1()1ln h x x a x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()222ln 1ln 1x x x x h x x x x +-+=-+='， 令()ln 1x x x ϕ=-+，当[1,e]x ∈时，1()10x xϕ'=-≥， ()x ϕ单调递增，()(1)0x ϕϕ≥>，所以()0h x '>，()h x 在[1,]e 单调递增，于是可得1(),e h x a a e +⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦， ①若0a ≥，则()0h x ≥，1()1ln xg x x a e x -⎡⎤⎛⎫=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为()g x 在[1,]e 单调递减， 所以22111()ln 1ln xx g x x x a e x x x -⎡+⎤⎛⎫'=-+-+-⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2221ln 10xx x x ax x x e-++-++=≤，令()22()1ln 1x x xx axx μ=-++-++，当[1,e]x ∈时，1()(12)ln (21)0x x x a x xμ'=-+--+<， 故()x μ单调递减，所以max [()](1)20x a μμ==-+≤，解得2a ≤， ②若1e a e+≤-，则()0h x ≤， 1()1ln x g x x a e x -⎡⎤⎛⎫=-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在[]1,e 单调递减，所以()2221ln 1()0xx x x axx g x x e+++--'=≤，当1e a e+≤-，[1,e]x ∈时， ()2222111111ln ax x x x x x x x x e ⎛⎫-++≥+++>++≥++ ⎪⎝⎭，所以()221ln 10x x x ax x +++--<，即()0g x '<，满足题设.③若10e a e+-<<，则存在唯一确定的0(1,)x e ∈，使得()00g x =. 当()10,x x e ∈时，()10g x >，即存在01,[1,]x x e ∈，01x x <， 但()()01g x g x <，这与()g x 在[1,]e 单调递减矛盾，不合题意. 综上所述，1,[2,)e a e +⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由切线方程求参数，利用导函数分析函数的极值情况，构造函数法分析函数的单调性与最值情况，分类讨论思想的综合应用，是高考的热点和难点，属于难题.数学附加题（选修4-2：矩阵与变换）21.在平面直角坐标系xOy 中，先对曲线C 作矩阵cos sin (002)sin cos A θθπθθ-⎡⎤=<<⎢⎥⎣⎦所对应的变换，再将所得曲线作矩阵01(01)102B k -⎡⎤⎢⎥=<<⎢⎥⎣⎦所对的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为01102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求k ，θ的值. 【答案】,21.2k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】根据变换与矩阵的关系，可得01102BA -⎡⎤⎢⎢⎣=⎥⎥⎦，根据矩阵乘法，建立,k θ的方程组，求解即可. 【详解】依题意，0110cos sin 10sin cos 02BA k θθθθ-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.从而cos 0,sin 1,1,2cos 0.ksin k θθθθ=⎧⎪-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩因为02θπ<<.所以,21.2k πθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】本题考查变换与矩阵的关系、矩阵的乘法，考查计算求解能力，属于基础题. （选修 4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分） 22.在平而直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求MBA 面积的最大值. 【答案】（1）26cos 8sin 210ρρθρθ-++=（2）9+【解析】 【分析】（1）先消去参数化参数方程为普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化直角坐标方程为极坐标方程，注意化简；（2）设M 点坐标为()32cos ,42sin θθ+-+，求出M 到直线AB 的距离，利用三角函数丢盔弃甲求得最大值．即得面积最大值．【详解】解：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=.cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得22(cos 3)(sin 4)4ρθρθ-++=，化简，圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. （2）直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，AB =， 点()32cos ,42sin M θθ+-+到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM面积的最大值为9+【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查圆参数方程的应用．属于中档题．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.设()()()()20121111,N nnn x a a x a x a x n *+=+-+-⋯+-∈.已知11023nii a==-∑（1）求n 的值； （2）求1nkk ka=∑的值.【答案】（1）10n =（2）110nkk ka==-∑【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令0,1x x ==分别可得01n a a a +++，0a ，根据11023nii a==-∑即可求解；（2）对2012(1)(1)(1)(1)n nn x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-两边求导后，令0x =,10n =即可求解.【详解】（1）令1x =得，02na =；令0x =得，0121n a a a a +++⋅⋅⋅+=所以12121023nn a a a ++⋅⋅⋅+=-=-，则10n =.（2）对2012(1)(1)(1)(1)nnn x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-两边求导得1112(1)2(1)(1)n n n n x a a x na x --+=----⋅⋅⋅--令0x =，10n =得110nkk ka==-∑【点睛】本题主要考查了二项式定理及其应用，赋值法是解题的关键，求导数在此类问题中也经常出现，注意使用，属于中档题.24.如图，一颗棋子从三棱柱的一个项点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为n P .（1）求1P ，2P 的值：（2）求证：211411ni in P n =>-+∑.【答案】（1）123p =，259p =.（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据题意可知在上底面点A 处，移了1次可落在,,B C D 的任意一点，可得1p ；分类讨论当第一次落在,C B 或落在D 处的概率，即可得2p .（2）根据移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为n p ，可知落在下底面顶点的概率为1n p -，进而可得1n p +与n p 的递推公式，利用构造数列法可得n P 的通项公式；利用数学归纳法，即可证明211411ni in P n =>-+∑成立.【详解】（1）从三棱柱的一个项点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，棋子在上底面点A 处，移了1次可落在,,B C D 的任意一点， 所以123p =，若移2次，则,C B 再移到上底面的概率为2233⨯，D 移到上底面的概率为12133⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，所以222125133339p ⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. （2）证明：因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为n p ，故落在下底面顶点的概率为1n p -.于是移了1n +次后棋子落在上底面顶点的概率为()1211113333n n n n p p p p +=+-=+. 从而1111232n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，其首项为16，公比为13. 所以1111263n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭.即111223n np =+⨯.用数学归纳法证明： ①当1n =时，左式1325413==⨯-，右式12=，因为3152>，所以不等式成立. 当2n =时，左式11782555414139=+=⨯-⨯-，右式43=，因为784553>，所以不等式成立. ②假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即121411ki i k p k =>-+∑. 则1n k =+时，左式221111111131114141113241223k kk i i k k k k P p k k ++=++=+>+=+--+++⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭∑. 要证21213(1)1322k k k k k k ++++≥+++，只要证12213(1)3221k k k k k k +++≥-+++. 只要证12123313232k k k k k k ++++≥+++. 只要证1221331k k k +≤++.只要证123262k k k +≥++. 因为2k ≥，所以()1222233(12)3124632622(23)1262k k k k C k k k k k k k +=+≥++=+=+++-+>++， 所以21213(1)1322k k k k k k ++++≥+++.即1n k =+时，不等式也成立. 由①②可知，不等式211411ni i n p n =>-+∑对任意的*n ∈N 都成立. 不等式得证.【点睛】本题考查了概率的求法，数列递推公式及通项公式的综合应用，数学归纳法证明不等式的应用，综合性强，属于难题.。
江苏省盐城中学2020届高三下学期阶段检测数学试题 Word版含解析
盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可． 【详解】因复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )，即5z =5+10i ， 所以z =1+2i ,实部为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。
本题属于基础题。
3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=，乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：345．【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题．5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________. 【答案】30. 【解析】 【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A =个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A =个，故一共有30个． 故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==，因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a．【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=，则(2)f ϕ的值为___________． 【答案】12【解析】 【分析】由函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=可得()16f π=±，结合0ϕπ≤<解得6π=ϕ，代入(2)f ϕ中计算即可得到答案. 【详解】由题意，()16f π=±，sin(2)16πϕ⨯+=±，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，故51(2)sin5sin62f πϕϕ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10.已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，也为等比数列，则q =____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由{}n a 为等比数列可得222112nn q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解. 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列. 所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----. 222112n n q q S q=++-+--,则{}2n S +也为等比数列.所以2201q+=-，即2q .故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n 项和的公式，属于中档题. 11.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】63- 【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,3E -，()2,1AF ∴=-，(3,3AE =--， 因此，()()(231363AE AF ⋅=-⨯-+⨯-=. 故答案为：63【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线:50l kx y k -+=与圆22:100C x y x +-=交于点,A B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是__________．【答案】5(,5]2【解析】 【分析】将直线l 与圆C 联立方程组消去y 可得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=，利用根与系数关系可得225(1)21A B M x x k x k +-==-+，再根据直线l 与圆C 相交，利用判别式求出2k 的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围． 【详解】由2250,100,kx y k x y x -+=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=， 所以2210(1)1A B k x x k -+=-+， 所以222225(1)5[(1)2]1052111A B M x x k k x k k k +-+-==-=-=-+++， 因为直线l 与圆C 交于点A ，B 两点，所以22222100(1)4(1)253001000-k k k k ∆=-⨯+⨯=-+>，所以213k <，令21k t +=，4[1,)3t ∈，所以105M x t =-，其在4[1,)3t ∈上单调递减，所以552M x <≤． 故答案为：5(,5]2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题． 13.已知ABC ∆1，AC =431tan tan A B+=，则tan A 的值为________.【答案】)1-【解析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出()sin cos 3b A Ac -=，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出2sin sin cos A A A -的值，并利用弦化切的思想可求出tan A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，则b =434cos 3cos 4cos sin 3sin cos 1tan tan sin sin sin sin A B A B A BA B A B A B++=+==， 4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B ∴+=，()()sin sin cos sin 3sin cos cos sin 3sin 3sin A B A B A B A B A B C ∴-=+=+=，由边角互化思想得()sincos 3b A Ac -=，()sin cos 3b A Ac -∴=，ABC ∆的面积为)11sin sin cos sin 22ABC S bc A A A A∆==⨯-()22sin sin cos 1A AA =-=，2sin sin cos A A A ∴-=即222222222222sin sin cos 1sin sin cos tan tan cos cos sin cos 2sin cos tan 1cos cosA A AA A A AA A A A A A A A A A---===+++，整理得))21tan 2tan 10A A ++=，解得)tan 1A =-.故答案为：)1-.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________．【答案】()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围.【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩.当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-.作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45． （Ⅰ）若c ＝2a ，求sin sin BC的值； （Ⅱ）若C －B ＝4π，求sin A 的值． 【答案】（1）10（2）50【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以22242522()cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以10b c =.又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin 10B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =， 所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin 5C =sin sin 10B C =. （2）因cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=.又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=. 因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-， 所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2()44422522550A B B B πππ=-=-=--⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）(0,5] 【解析】 分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式即可求得x 的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 整理得25000x x -≤，解得0500x ≤≤， 又0x >，∴0500x <≤，∴最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元. 则由题意，知当0500x <≤时，恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得10001250x a x≤++在0500x <≤时恒成立. 1000100024250250x x x x+≥⋅=， 当且仅当1000250x x=，即500x =时等号成立， ∴5a ≤，又0a >，∴05a <≤，∴a 的取值范围是(0,5].【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1265S S =，求k 的值； （3）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求21k k 的值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）6k =；（3）3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由1265S S =，可得出25FM NF =，利用共线向量的坐标运算以及点M 、N 在椭圆C 上，列方程组求出点N 的坐标，然后利用斜率公式可求出k 的值；（3）可得出直线l 的方程为()1y k x =-，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出21k k 的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，229141a b ∴+=，12c a =，解得2a =，b =22143x y +=； （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，1265S S =，12162152AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，整理可得12365y y =，即1225y y =，25FM NF ∴=. 代入坐标，可得()1212211525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点M 、N 在椭圆C 上，22222222722555143143x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+=∴⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线l的斜率85614k ==--； （3）直线l 的方程为()1y k x =-，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，2122843k x x k ∴+=+，212241243-⋅=+k x x k ， 又()()()()()()2212122111212121222122y y x k x x k x y k y x k x x x +-+-===---+122112122222x x x x x x x x +--=--+22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-----+---+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+====----⎛⎫-++---+ ⎪++++⎝⎭，因此，213k k =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()2ln 2x f x a x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2230x y --=；（2）见解析；（3）[)2ln 23,-+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的导数，计算出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可写出函数()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求出函数()y f x =的定义域和导数()2x ax a f x x -+'=，计算出二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-，分0∆≤和>0∆两种情况讨论，可得出函数()y f x =的单调区间；（3）由（2）得知4a >，且方程()0f x '=的两根分别为1x 、2x ，利用韦达定理得出1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，由参变量分离法得出()()1212f x f x x x λ+>+，结合韦达定理得出()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，利用导数求出关于a 的函数1ln 12y a a =--在()4,a ∈+∞上的值域，由此可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2ln 2x x f x x =-+，()112f =-，()11f x x x '=-+，()11f '=，所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=；（2）函数()y f x =定义域为()0,∞+，()2a x ax aa x x xf x '-+=-+=，二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥，此时，函数()y f x =单调递增区间为()0,∞+，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，由()20x a x x a f x '-+==，得02a x -=>或02a x =>.当02a x <<，或2a x +>时，()0f x '>，x <<()0f x '<， 此时，函数()y f x =单调递增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,22a a ⎛+⎪⎝⎭； （3）由（2）知，4a >，且1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()121212f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立， 又()()()()221211122211ln ln 22f x f x a x x x a x x x +=-++-+()()()221212121ln ln 2a x x a x x x x =+-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦()22211ln 2ln 22a a a a a a a a a =-+-=--.所以()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令()1ln 142y a a a =-->，则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在()4,+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[)2ln 23,-+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<，所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-. 所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 【选做题】21.已知a ，b ，c ，d ∈R，矩阵A ＝20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 的逆矩阵A －1＝11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程． 【答案】2x －5y ＋1＝0. 【解析】 【分析】 根据AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦解得A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，利用矩阵的线性变换，用,x y 表示,x y ''，将,x y ''代入y ＝2x ＋1并整理即可得到答案. 【详解】由题意得，AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝22a dac bd b --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2x x yy y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.22.在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【答案】（1）340x y -+=；（2 【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r .又圆心到直线AB=r ．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题． 【必做题】23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望.【答案】(1)38；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；（2）因为每人可被录用的概率为，所以，， ，；故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P所以，X 的数学期望为．点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单．24.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =；（22515【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2px ty =+，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2f k S =，利用导数求出函数()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.【详解】（1）设AB 方程为2p x ty =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，所以()21241AB y y t =-=+， 令1x =-，则2y t =-，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PF 的方程为2112t x y t -=+，由221124t x y t y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140t y y t ---=，所以324ty -=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB的距离为21d =，P 到直线AB的距离为22d =，所以四边形APBQ 的面积()5321221122S AB d d t t +=+==，令20t k =>，则()52241k S k +=，令()()5241k f k k +=，则()()()432132k k f k k+-'=.当203k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减， 当23k >时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5527，因此，四边形APBQ 的面积S 的最小值为9【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．（5分）已知集合A ＝（0，+∞），全集U ＝R ，则∁U A ＝ ． 2．（5分）设复数z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则z •z = ．3．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ．4．（5分）命题“∀θ∈R ，cos θ+sin θ＞1”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 5．（5分）运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．6．（5分）已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．8．（5分）若数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，则a 2a 1的值为 ．9．（5分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与四棱锥P ﹣ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2V 1= ．10．（5分）设函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与y 轴交点的纵坐标为√32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ．11．（5分）已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），AH →=14AB →+12AC →，则cos ∠BAC 的值为 ．12．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 ． 13．（5分）已知集合P ＝{（x ，y ）|x |x |+y |y |＝16}，集合Q ＝{（x ，y ）|kx +b 1≤y ≤kx +b 2}，若P ⊆Q ，则12√k 2+1的最小值为 ．14．（5分）若对任意实数x ∈（﹣∞，1]，都有|e xx 2−2ax+1|≤1成立，则实数a 的值为 ．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知△ABC 满足sin （B +π6）＝2cos B ． （1）若cos C =√63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈（0，π3），且cos （B ﹣A ）=45，求sin A ．16．（14分）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1∥平面PBD ，求PC 1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．17．（14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在⊙O 上，点P 、Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P 、⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）18．（16分）设椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P （x 0，y 0）在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B （A ，B 不重合）．设AF 1→=λF 1P →，BF 2→=μF 2P →，求λ+μ的最小值．19．（16分）定义：若无穷数列{a n }满足{a n +1﹣a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M （q ）数列”．设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M （q ）数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n +1＝2S n −12n +λ，请判断数列{b n }是否为“M （q ）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M （2）数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n＜40402019？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．20．（16分）若函数f （x ）＝e x ﹣ae ﹣x ﹣mx （m ∈R ）为奇函数，且x ＝x 0时f （x ）有极小值f（x 0）．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围；（3）若f （x 0）≥−2e 恒成立，求实数m 的取值范围．【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．（10分）已知圆C 经矩阵M =[a33−2]变换后得到圆C ′：x 2+y 2＝13，求实数a 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，直线ρcos θ+2ρsin θ＝m 被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a ，b ，c 满足1a +2b+3c=1，求a +2b +3c 的最小值．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1﹣CD ﹣B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．25．（10分）设∑ 2n i=1（1﹣2x ）i ＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n x 2n （n ∈N *），记S n ＝a 0+a 2+a 4+…+a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝﹣S 1∁n 1+S 2∁n 2﹣S 3∁n 3+…+（﹣1）n S n ∁n n ，求证：|T n |≥6n 3恒成立．2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．（5分）已知集合A ＝（0，+∞），全集U ＝R ，则∁U A ＝ （﹣∞，0] ． 【解答】解：∵A ＝（0，+∞），U ＝R ， ∴∁U A ＝（﹣∞，0]． 故答案为：（﹣∞，0]．2．（5分）设复数z ＝2+i ，其中i 为虚数单位，则z •z = 5 ． 【解答】解：∵z ＝2+i ，∴z ⋅z =|z|2=(√22+12)2=5． 故答案为：5．3．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为23．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n =C 32=3，甲被选中包含的基本事件个数m =C 11C 21=2，则甲被选中的概率为P =m n =23． 故答案为：23．4．（5分）命题“∀θ∈R ，cos θ+sin θ＞1”的否定是 真 命题．（填“真”或“假”） 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R ，cos θ0+sin θ0≤1为真命题， 故答案 为：真．5．（5分）运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 6 ．【解答】解：模拟程序的运行，可得 S ＝0，I ＝0满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝0，I ＝1 满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝1，I ＝2 满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝3，I ＝3 满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝6，I ＝4 满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝10，I ＝5 满足条件S ≤10，执行循环体，S ＝15，I ＝6 不满足条件S ≤10，退出循环，输出I 的值为6． 故答案为：6．6．（5分）已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 2 ． 【解答】解：∵样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110， ∴{xy =1107+8+9+x +y =9×5， 解得x ＝10，y ＝11或x ＝11，y ＝10， ∴此样本的方差为：S 2=15[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2． 故答案为：2．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 2√3 ． 【解答】解：∵抛物线y 2＝4x ＝2px ，∴p ＝2，准线方程为：x ＝﹣1，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3， 所以P （2，±2√2）则点P 到点O 的距离为：√22+(±2√2)2=2√3， 故答案为：2√3．8．（5分）若数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列，则a 2a 1的值为3 ．【解答】解：数列{a n }是公差不为0的等差数列，lna 1、lna 2、lna 5成等差数列， ∴2ln （a 1+d ）＝lna 1+ln （a 1+4d ），。
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷+答案解析
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是()A.B.C.D.2.已知随机事件A ，B 相互独立，且，则()A.B.C. D.3.已知向量，满足，，则()A.1B.C.2D.4.若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的和是3的倍数的概率为()A. B.C.D.5.已知为数列的前n 项和，则“”是“数列为单增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，，，，则的值是()A.B.C.D.7.已知球O 与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为()A.B.C. D.8.已知函数的零点为，存在零点，使，则不能是()A. B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知非零复数在复平面内对应的点分别为，O 为坐标原点，则A.当时，B.当时，C.若，则存在实数t，使得D.若，则10.定义平面斜坐标系xOy，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为11.已知直四棱柱，，底面ABCD是边长为1的菱形，且，点E，F，G分别为，，BC的中点，点H是线段上的动点含端点以为球心作半径为R的球，下列说法正确的是()A.直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为B.存在点H，使得平面EFGC.当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线D.在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省盐城中学高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. 若集合A ={x|1<x <3}，B ={0,1，2，3}，则A ∩B =_________．2. 已知i 为虚数单位，若a+bi1+i =2+i(a,b ∈R)，则ab = ______ ． 3. 运行如图所示的程序，输出的结果是________．4. 某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立．则该生只取得一门课程A 的概率为______ 5. 设函数f(x)=k−2x 1+k⋅2x，则k =−1是函数f(x)为奇函数的______条件(选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一)6. 若k 1,k 2,⋯,k 8的方差为3，则2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为________．7. 已知一个正四棱柱的底面边长为1，其侧面的对角线长为2，则这个正四棱柱的侧面积为 ．8. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且是以2为周期的函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，则f(7.5)=________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若2(a 1+a 2)=3a 1a 2，且4S 3，3S 4，2S 5成等差数列，则S 10的值为___________． 10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点与椭圆x 225+y 29=1的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______ ．11. 已知点P 在直线x +2y −l =0上，点Q 在直线x +2y +3=0，PQ 的中点为M(x 0,y 0)，且−1≤y 0−x 0≤7，则y 0x 0 的取值范围是______．12. 已知f(x)=6−12x +x 3,x ∈[−13,1]，则函数的最大值为______ ，最小值为______ ． 13. 若b ⃗ =(1,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则|a ⃗ |= ______ ． 14. 曲线y =e x +2x +1在点A(0,2)处的切线方程______ ． 二、解答题（本大题共10小题，共112.0分）15.已知向量a⃗=(1,cos2x),b⃗ =(sin2x,−√3)，函数．f(x)=a⃗⋅b⃗(I)若f(θ2+2π3)=65，求cos2θ的值；(II)若x∈[0,π2]，求函数f(x)的值域．16.如图，在三棱柱A1B1C1−ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：(1)A1E//平面GBC；(2)BG⊥平面ACH．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(1,32)，离心率为12，左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程．(2)当△F2AB的面积为12√27时，求l的方程．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=2π3，AB=√3，△ABC的面积为3√34．(1)求AC；(2)若BC⊥CD，∠D=π4，求AD．19.已知数列{a n}的前n项和S n，a1=t(t≠−1)，S n+2a n+1+n+1=0，且数列{a n+1}为等比数列．(1)求实数t的值；(2)设T n为数列{b n}的前n项和，b1=1，且T n+1n+1−T nn=1.若对任意的n∈N∗，使得不等式b1+1a1+1+b2+1 a2+1+⋯+b n+1a n+1≥ma n+1恒成立，求实数m的最大值．20. 已知函数f(x)=exx ．(1)求曲线y =f(x)在点P(2,e 22)处的切线方程； (2)证明：．21. 已知矩阵M =[ab cd ]，N =[10012]，且(MN)−1=[14002]，求矩阵M ．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2 (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值．23. 设(3x −1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两项，求：(1)∑|n i=1a i |； (2)∑|n i=1ia i |；(3)求展开式中系数绝对值最大的项．24. 已知a ，b ，c ，d ∈(0,+∞)，求证ac +bd ≤√(a 2+b 2)(c 2+d 2)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1<x<3}，B={0,1，2，3}，则A∩B={2}．故答案为：{2}．2.答案：3=2+i，解析：解：∵a+bi1+i∴a+bi=(1+i)(2+i)=2+2i+i−1=1+3i，∴a=1，b=3，a⋅b=3．故答案为：3．化简复数的表达式，利用复数的相等，求出a，b即可求出a+bi．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的充要条件，高考常考题型．3.答案：3解析：【分析】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3，故最后输出3．故答案为3．4.答案：1125解析：解：某学生参加2门选修课的考试．假设该学生第一门、第二门课程取得A 的概率依次为45、35，且不同课程是否取得A 相互独立． ∴该生只取得一门课程A 的概率为： p =45×(1−35)+(1−45)×35=1125．故答案为：1125．利用相互独立事件概率乘法公式能求出该生只取得一门课程A 的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：充分不必要解析： 【分析】本题主要考查充要条件的应用，属于基础题． 【解答】解：由题意得，f (x )=−1−2x 1−2x,f (−x )=−1−2−x 1−2−x=−f (x )，充分性满足，f (x )+f (−x )=0，则k 不一定是−1，则k =−1是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件． 故答案为充分不必要．6.答案：12解析： 【分析】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．已知一组数据的方差，求在这一组上同时乘以2，再减去6的方差，根据在一组数据上都乘以一个数，则方差的变化是乘以一个数据的平方得到结果，在这组数据上减去6，方差不变． 【解答】解：∵k 1，k 2，…，k 8的方差为3，∴2k 1，2k 2，…，2k 8的方差是22×3=12， ∴2k 1−6，2k 2−6，…，2k 8−6的方差是12， 即2(k 1−3),2(k 2−3),⋯,2(k 8−3)的方差为12． 故答案为：12．。
江苏省盐城中学2020届高三下学期5月高考模拟考试数学试题 Word版含解析
2020年江苏省盐城中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是______. 【答案】1 【解析】 【分析】通过复数方程，两边同乘1-2i ，然后求出复数z 即可．【详解】因为复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i )， 即5z =5+10i ，所以z =1+2i ,实部为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数z 的实部，不能写成复数z 的结果。
本题属于基础题。
3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．【答案】8 【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S = 点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=，乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=．故答案为：345．【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题．5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________. 【答案】30. 【解析】 【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有122312C A =个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有233318C A =个，故一共有30个． 故答案为：30.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为45，且过点()3,1，则双曲线的焦距等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据题意得出1ba=，然后将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程，可求出a 、b 的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得1ba=，b a ∴=， 所以，双曲线的标准方程为22221x y a a-=，将点()3,1的坐标代入双曲线的标准方程得22911a a-=，得a b ==，因此，双曲线的焦距为248=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出a 、b 的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = 【答案】3:2 【解析】试题分析：设球的直径为2R ，则2212:(222):43:2.S S R R R R πππ=+⋅=考点：球的表面积8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a．【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象一条对称轴是直线6x π=，则(2)f ϕ的值为___________． 【答案】12【解析】 【分析】由函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+≤<图象的一条对称轴是直线6x π=可得()16f π=±，结合0ϕπ≤<解得6π=ϕ，代入(2)f ϕ中计算即可得到答案. 【详解】由题意，()16f π=±，sin(2)16πϕ⨯+=±，即,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，故51(2)sin5sin62f πϕϕ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10.已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，也为等比数列，则q =____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由{}n a 为等比数列可得222112nn q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解. 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列. 所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----. 222112n n q q S q=++-+--,则{}2n S +也为等比数列.所以2201q+=-，即2q .故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前n 项和的公式，属于中档题. 11.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】63- 【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,3E -，()2,1AF ∴=-，(3,3AE =--， 因此，()()(231363AE AF ⋅=-⨯-+⨯-=. 故答案为：63【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线:50l kx y k -+=与圆22:100C x y x +-=交于点,A B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是__________．【答案】5(,5]2【解析】 【分析】将直线l 与圆C 联立方程组消去y 可得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=，利用根与系数关系可得225(1)21A B M x x k x k +-==-+，再根据直线l 与圆C 相交，利用判别式求出2k 的范围，进而求出点M 的横坐标的取值范围． 【详解】由2250,100,kx y k x y x -+=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)10(1)250k x k x k ++-+=， 所以2210(1)1A B k x x k -+=-+， 所以222225(1)5[(1)2]1052111A B M x x k k x k k k +-+-==-=-=-+++， 因为直线l 与圆C 交于点A ，B 两点，所以22222100(1)4(1)253001000-k k k k ∆=-⨯+⨯=-+>，所以213k <，令21k t +=，4[1,)3t ∈，所以105M x t =-，其在4[1,)3t ∈上单调递减，所以552M x <≤． 故答案为：5(,5]2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题．13.已知ABC ∆1，AC =431tan tan A B+=，则tan A 的值为________.【答案】)1-【解析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出()sin cos 3b A Ac -=，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出2sin sin cos A A A -的值，并利用弦化切的思想可求出tan A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，则b =434cos 3cos 4cos sin 3sin cos 1tan tan sin sin sin sin A B A B A BA B A B A B++=+==， 4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B ∴+=，()()sin sin cos sin 3sin cos cos sin 3sin 3sin A B A B A B A B A B C ∴-=+=+=，由边角互化思想得()sincos 3b A Ac -=，()sin cos 3b A Ac -∴=，ABC ∆的面积为)11sin sin cos sin 22ABC S bc A A A A∆==⨯-()22sin sin cos 1A AA =-=，2sin sin cos A A A ∴-=即222222222222sin sin cos 1sin sin cos tan tan cos cos sin cos 2sin cos tan 1cos cosA A AA A A AA A A A A A A A A A---===+++，整理得))21tan 2tan 10A A ++=，解得)tan 1A =-.故答案为：)1-.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________．【答案】()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【分析】求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围.【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩.当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-.作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、解答题15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，可得知点O 为BD 的中点，利用中位线的性质得出//PB OE ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）证明出CD ⊥平面PAD ，可得出AE CD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想得出AE PD ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AE ⊥平面PCD .【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD .【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45． （Ⅰ）若c ＝2a ，求sin sin BC的值；（Ⅱ）若C －B ＝4π，求sin A 的值． 【答案】（1）10（2）50【解析】试题分析：（1）由余弦定理cos 45B =及2c a =得出b,c 关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在ABC ∆中，因为cos 45B =，所以222425a cb ac +-=.因为2c a =，所以22242522()cc b c c +-=⨯，即22920b c =，所以10b c =.又由正弦定理得sin sin B b C c =，所以sin sin 10B C =. 解法2：因为4cos ,(0,)5B B π=∈，所以3sin 5B ==. 因为2c a =，由正弦定理得sin 2sinC A =， 所以68sin 2sin()cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=. 又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin 5C =sin sin 10B C =. （2）因cos 45B =，所以27cos 22cos 125B B =-=. 又0B π<<，所以3sin 5B ==，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=. 因为4C B π-=，即4C B π=+，所以3()24A B C B ππ=-+=-，所以333724sin sin(2)sin cos 2cos sin 2(4442525A B B B πππ=-=-=-⨯=试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系．17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x ％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）(0,5] 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式即可求得x 的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 整理得25000x x -≤，解得0500x ≤≤， 又0x >，∴0500x <≤，∴最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为()1010001500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元. 则由题意，知当0500x <≤时，恒有31010(1000)1500500x x a x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得10001250x a x≤++在0500x <≤时恒成立. 1000100024250250x x x x+≥⋅=， 当且仅当1000250x x=，即500x =时等号成立， ∴5a ≤，又0a >，∴05a <≤，∴a 的取值范围是(0,5].【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为12，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1265S S =，求k 的值； （3）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，求21k k 的值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）13k =（3）3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，由1265S S =，可得出25FM NF =，利用共线向量的坐标运算以及点M 、N 在椭圆C 上，列方程组求出点N 的坐标，然后利用斜率公式可求出k 的值；（3）可得出直线l 的方程为()1y k x =-，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出21k k 的值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12，229141a b ∴+=，12c a =，解得2a =，b =22143x y +=； （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，1265S S =，12162152AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，整理可得12365y y =，即1225y y =，25FM NF ∴=. 代入坐标，可得()1212211525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又点M 、N 在椭圆C 上，22222222722555143143x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+=∴⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线l的斜率85614k ==--； （3）直线l 的方程为()1y k x =-，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，2122843k x x k ∴+=+，212241243-⋅=+k x x k ， 又()()()()()()2212122111212121222122y y x k x x k x y k y x k x x x +-+-===---+122112122222x x x x x x x x +--=--+22222222222222222222222241284612182233434343433464641282243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-----+---+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+====----⎛⎫-++---+ ⎪++++⎝⎭，因此，213k k =. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()2ln 2x f x a x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2230x y --=；（2）见解析；（3）[)2ln 23,-+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求出该函数的导数，计算出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可写出函数()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求出函数()y f x =的定义域和导数()2x ax af x x -+'=，计算出二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-，分0∆≤和>0∆两种情况讨论，可得出函数()y f x =的单调区间；（3）由（2）得知4a >，且方程()0f x '=的两根分别为1x 、2x ，利用韦达定理得出1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，由参变量分离法得出()()1212f x f x x x λ+>+，结合韦达定理得出()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，利用导数求出关于a 的函数1ln 12y a a =--在()4,a ∈+∞上的值域，由此可得出实数λ的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2ln 2x x f x x =-+，()112f =-，()11f x x x '=-+，()11f '=，所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=；（2）函数()y f x =定义域为()0,∞+，()2a x ax aa x x xf x '-+=-+=，二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =单调递增区间为()0,∞+，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，由()20x a x x a f x '-+==，得02a x -=>或02a x =>当0x <<，或x >()0f x '>，x <<()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为,22a a ⎛+⎪⎝⎭； （3）由（2）知，4a >，且1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()121212f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立， 又()()()()221211122211ln ln 22f x f x a x x x a x x x +=-++-+()()()221212121ln ln 2a x x a x x x x =+-+++()()2121212121ln 22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦()22211ln 2ln 22a a a a a a a a a =-+-=--.所以()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令()1ln 142y a a a =-->，则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在()4,+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[)2ln 23,-+∞.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20.已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n b A B =+. （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若212n nn a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列. 【答案】（1）2n n n b A B n =+=；（2）11,s =29,4s =372s =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列{}n a 的通项公式判断其增减性，从而确定n A ，n B 的表达式，进而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由212n nn a -=计算11322n nn na a ++--=，2n ≥时，数列单调递减，所以当4n ≥时，32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=，讨论0,d >0d <，0d =三种情况，分别证明数列{}n a 为等差数列即可.【详解】（1）由21n a n =-得{}n a 是递增数列， 所以21,n n A a n ==-11n B a ==， 所以2n n n b A B n =+=. （2）由212n n n a -=得111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=， 当1n =，10n n a a +->，即12a a <； 当2n ≥，10n n a a +-<，即2341a a a a >>>. 又11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<， 所以11,b =25,4b =354b =，当4n ≥时，32142n n n b -=+，所以11,=S 29,4=S 372S =， 当4n ≥时，令13213(1)42422n n n n n k n b kn bb ---++=+=+-， 则2,k =3b =，即13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-.所以344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-. 综上所述，11,=S 29,4=S 372S =，当4n ≥时，19323842n n n n S +=+-. （3）设数列{}n b 的公差为d ，则111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=， 由题意11,n n n n A A B B ++≥≤，①0,d >1n n A A +>，对任意*n N ∈都成立， 即11++=>=n n n n A a A a ，所以{}n a 是递增数列. 所以,n n A a =1n B a =，所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-， 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列；②当0d <时，1n n B B +<对任意*n N ∈都成立， 进面11n n n n B a B a ++=<=，所以{}n a 是递减数列.1,n A a =n n B a =， 所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=- 所以数列{}n a 是公差为d 的等差数列； ③当0d =时，110n n n n A A B B ++-+-=， 因为1n n A A +-与1n n B B +-中至少有一个为0， 所以二者都为0，进而可得数列{}n a 为常数列， 综上所述，数列{}n a 为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 21.已知a ，b ，c ，d ∈R，矩阵A ＝20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 的逆矩阵A －1＝11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程． 【答案】2x －5y ＋1＝0. 【解析】 【分析】 根据AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦解得A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，利用矩阵的线性变换，用,x y 表示,x y ''，将,x y ''代入y ＝2x ＋1并整理即可得到答案. 【详解】由题意得，AA －1＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 20a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝22a dac bd b --⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则 x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1201-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2x x yy y ''=-⎧⎨=⎩ 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.22.在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B的极坐标分别为()π42，，5π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 【答案】（1）340x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）求得()04A ，，()22B --，，问题得解． （2）利用直线AB 和曲线C 相切的关系可得：圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r ，列方程即可得解．【详解】（1）分别将()π42A ，，()5π224B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r +=．又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB 的距离等于圆的半径r . 又圆心到直线AB 的距离为22210431=+，即r 的值为210．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题．23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】(1)38；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X 的概率分布，计算数学期望. 详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；（2）因为每人可被录用的概率为，所以，， ，；故随机变量X 的概率分布表为： X 0 1 2 3 P所以，X 的数学期望为．点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算．(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单．24.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【答案】（1）2p =；（2【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2px ty =+，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去x ，得到关于y 的二次方程，利用韦达定理结合124y y =-可求出正数p 的值；（2）由直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，并设点()33,Q x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出AB ，求出点H 的坐标，可得出点P 的坐标，并可得出直线PF 的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点Q 的坐标，并分别计算出点P 、Q 到直线AB 的距离1d 、2d ，利用三角形的面积公式可得出S 关于t 的表达式，设20k t =>，构造函数()2f k S =，利用导数求出函数()y f k =的最小值，即可得出S 的最小值.【详解】（1）设AB 方程为2p x ty =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =；（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-.因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为()10x ty t =+≠，()33,Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，124y y =-，124y y t +=，所以()21241AB y y t =-=+，令1x =-，则2y t =-，所以21,H t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PF 的方程为2112t x y t -=+，由221124t x y t y x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140t y y t ---=，所以324ty -=-，32y t =，代入24y x =，得23x t =，所以()2,2Q t t . Q 到直线AB的距离为21d =，P 到直线AB的距离为22d =，所以四边形APBQ 的面积()5321221122S AB d d t t +=+==，令20t k =>，则()52241k S k +=，令()()5241k f k k +=，则()()()432132k k f k k+-'=.当203k <<时，()0f k '<，函数()y f k =单调递减， 当23k >时，()0f k '>，函数()y f k =单调递增. 所以，当23k =时，()y f k =有最小值5527，因此，四边形APBQ 的面积S 【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.。
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学(word版含答案)
盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学2020.01注意事项：1. 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝1Sh ，其中 S 为底面积，h 为高．3n n样本数据 x 1，x 2，···，x n 的方差 s 2＝1 ∑ (x i －)2，其中＝1 ∑ x i ．n i ＝1 n i ＝1一､ 填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合 A ＝(0，＋∞)，全集 U ＝R ，则∁ A ＝ ▲． U2. 设复数 z ＝2＋i ，其中 i 为虚数单位，则 z ·—z ＝▲．3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ． 4. 命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 ▲ ． 6. 已知样本 7，8，9，x ，y 的平均数是 9，且 xy ＝110，则此样本的方差是 ▲ ．（第 5 题图）7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2＝4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O的距离为 ▲ ．8. 若数列{a n }是公差不为0 的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5 成等差数列，则a 2的值为 ▲ ． a 19. 在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，点 P 是棱 CC 1 上一点，记三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 与四棱锥 P －ABB 1A 1 的体积分别为 V 1 与 V 2，则V 2＝ ▲ ．V 110. 设函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象与 y y 轴右侧第一个22最低点的横坐标为π，则ω的值为 ▲．6S ←0I ←0 While S ≤10 S ←S ＋I I ←I ＋1End WhilePrint I→11.已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH ＝的值为▲．→AB ＋4→AC ，则cos∠BAC212.若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10 项的和为▲．13．已知集合P＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)|kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若P Q，则|b1－b2|k2＋1 的最小值为▲．14.若对任意实数x∈(－∞，1]，都有| e xx2－2ax＋1|≤1 成立，则实数a 的值为▲．二､解答题:本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．(本小题满分14 分)已知△ABC 满足sin(B＋π)＝2cos B．6（1）若cos C AC＝3，求AB；3（2）若A∈(0，π)，且cos(B－A)＝4，求sin A．3 516．(本小题满分14 分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC1 上的一点．（1）若AC1//平面PBD，求PC1的值；PC（2）求证：BD⊥A1P．1A（第16 题图）11QA DOB CPyPA F1 O F2 xB如图，是一块半径为4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O 上，点P、Q 在⊙O 的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q 分别与直线BC、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)（第17 题图）18．(本小题满分16 分)设椭圆C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C 上a2 b2运动．当PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C 的方程；→→→→（2）延长PF ，PF 分别交椭圆C 于点A，B(A，B 不重合)．设＝，＝，1 2AF1λF1P BF2 μF2P 求λ＋μ的最小值．（第18 题图）定义：若无穷数列{a n}满足{a n＋1－a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M(q)数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M(q)数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n＋1＝2S n－1n＋λ，请判断数列{b n}是否为“M(q)数列”，2并说明理由；（3）若数列{b n}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n 使得4039＜b m＜4040?若存在，请求2019b n2019出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16 分)若函数f(x)＝e x－a e－x－mx(m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f(x0)≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．e盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题2020.01注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用．2.本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡．21.【选做题】在A、B、C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4—2：矩阵与变换a 3已知圆C 经矩阵M＝3 －2 变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a 的值．B.选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C.选修4—5：不等式选讲已知正实数a，b，c 满足1＋2＋3＝1，求a＋2b＋3c 的最小值．a b c【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10 分)如图，AA1、BB1 是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A1－CD－B1 的大小为π，求母线AA1 的长．3（第22 题图）23．(本小题满分10 分)2n设∑ (1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n(n∈N*)，记S n＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．i＝1（1）求S n；（2）记T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C n，求证：|T n|≥6n3恒成立．n n n n盐城市､南京市2020 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准2020.01说明：1.本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）4．真5．6 6．2 7．2 31．(－∞，0] 2．5 3．238．3 9．210．7 1112．10 13．414．－1332二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)解：（1）由sin(B＋π)＝2cos B，可知B＋1cos B＝2cos B，即sin B＝3cos B．6 2 2因为cos B≠0，所以tan B＝3．又B∈(0，π)，故B＝π．........................................ 2 分3由cos C C∈(0，π)，3可知sin C＝1－cos2C................................... 4 分3AC ＝AB ，在△ABC 中，由正弦定理b ＝ c ，可得sin Csin B sin C sinπ3所以AB＝2．................................................ 7 分（2）由（1）知B＝π，所以A∈(0，π)时，π－A∈(0，π)，3 3 3 3由 cos(B －A )＝4，即 cos(π－A )＝4，所以 sin(π－A )＝ 1－cos 2(π－A )＝3， ................. 10 分3 3 5 所以 sin A ＝sin[π－(π－A )]＝sin πcos(π－A )－cos πsin(π－A )3 3 3 3 3 3＝ 3×4－1×3＝4 3－3． ............................. 14 分2 5 2 5 1016．(本小题满分 14 分)证明：（1）连结 AC 交 BD 于点 O ，连结 OP ．因为 AC 1//平面 PBD ，AC 1 平面 ACC 1， 平面 ACC 1∩平面 BDP ＝OP ，所以 AC 1//OP ． ............................. 3 分因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O ， 所以点 O 是 AC 的中点，所以 AO ＝OC ，所以在△ACC 1 中，PC 1＝AO＝1． ................ 6 分D 1C 1A 1B 1PD C（2）连结 A 1C 1．PC OC O因为 ABCD －A 1B 1C 1D 1 为长方体，所以侧棱 C 1C ⊥平面 ABCD ． （第 16 题图）又 BD 平面 ABCD ，所以 CC 1⊥BD ． ...................... 8 分因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥BD ． ................. 10 分又 AC ∩CC 1＝C ，AC 面 ACC 1A 1， CC 1面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥面 ACC 1A 1． .......................................... 12 分又因为 A 1P 面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥A 1P ． .......................... 14 分17．(本小题满分 14 分)解：（1）设⊙P 半径为 r ，则 AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长 2πr ＝BC ≤2 16－4(2－r )2， ............................ 4 分 解 得 r ≤ 16 ，π2＋4故⊙P 半径的取值范围为(0， 16 ]． ................................. 6 分π2＋4 （2）在（1）的条件下，油桶的体积 V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )． ..................... 8 分设函数 f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0， 16 ]，π2＋4所以 f '(x)＝4x－3x2，由于16 ＜4，π2＋4 3所以 f '(x)＞0 在定义域上恒成立，故f(x)在定义域上单调递增，即当r＝16 时，体积取到最大值．................................. 13 分π2＋4答：⊙P 半径的取值范围为(0，16 ]．当r＝16 米时，体积取到最大值． ....... 14 分18．(本小题满分16 分)π2＋4 π2＋4解：（1）由当PF2⊥x轴时，x0＝1，可知c＝1． ................................................... 2分将x0＝1，y0＝e 代入椭圆方程得1 ＋e2＝1．a2 b2由e＝c＝1，b2＝a2－c2＝a2－1，所以1 ＋ 1 ＝1，a a a2 a2(a2－1)解得a2＝2，故b2＝1，所以椭圆C 的方程为x2＋y2＝1．..................................... 4分2→→1－x1＝λ(x0＋1)，（2）方法一：设A(x1，y1)，由AF1＝λF1P y1＝λy0，1＝－λx0－λ－1，y1＝－λy0，代入椭圆方程，得(－λx0－λ－1)2＋(－λy)2＝1．...................... 8 分2x2(λx)2 2 2(λ＋1)(2λx0＋λ＋1) 2又由0＋y0＝1，得20 ＋(λy0) ＝λ ，两式相减得2 2＝1－λ ．因为λ＋1≠0，所以2λx0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝ 1 ．.................................................. 12 分3＋2x0同理可得μ＝ 1 ，............................................ 14 分3－2x0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x0 3－2x0 9－4x23当且仅当x0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ....................... 16 分3方法二：由点A，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x＝my－1，x2 22＋y ＝1，消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0．x＝my－1，设A(x1，y1)，则y0y1＝－1m2＋2，所以y1＝－1 ．................ 8 分(m2＋2)y0将点P(x ，y ) x2 y 2＝1，0 0代入椭圆的方程得0＋020 0 0 0代入直线 PA 的方程得 x 0＝my 0－1，所以 m ＝x 0＋1．y 0→ → y 1 1 1 由AF 1＝λF 1P ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－ ＝ ＝y 0 (m 2＋2)y 2 (x 0＋1)2＋2y 2＝ 1＝ 1 ． .................................... 12 分 (x 0＋1)2＋2(1－1x 2) 3＋2x 02同理可得μ＝ 1 ． ............................................. 14 分3－2x 0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x 0 3－2x 0 9－4x 23 当且仅当 x 0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ...................... 16 分3注：（1）也可设 P ( 2cos θ，sin θ)得λ＝ 1 ，其余同理． 3＋2 2cos θ（2）也可由1＋1＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．λ μ 19．(本小题满分 16 分)解：（1）因为 b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以 q ＝b 3－b 2＝7－4＝1，所以b n ＋1－b n ＝1，n ≥2，b 2－b 1 4－1b n －b n －1 即 b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， .................................................................. 2 分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为 b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×3，即 b n ＝3n －2． ............... 4 分 （2）由 b n ＋1＝2S n －1n ＋λ，得 b 2＝3＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．2 2方法一：由 b n ＋1＝2S n －1n ＋1，得 b n ＋2＝2S n ＋1－1(n ＋1)＋1，2 2 两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－1，即 b n ＋2＝3b n ＋1－1，n ∈N *．2 2又 b 2＝5，所以 b 2＝3b 1－1，22所以 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ............................................ 6 分2b n ＋1－1则 b n ＋1－1＝3(b n －1)．因为 b 1－1＝3≠0，所以 b n －1≠0，所以4＝3， 4 4 4 4 4 b n －14 即{b n －1}是等比数列， ....................................... 8 分4＋ 所以 b n －1＝(1－1)×3n －1＝1×3n ，即 b n ＝1×3n ＋1，4 4 4 4 4(1×3n ＋2＋1)－(1×3n ＋1＋1)所以b n ＋2－b n ＋1＝ 44 4 4 ＝3， b n ＋1－b n(1×3n ＋1＋1)－(1×3n ＋1)4444所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分 方法二：同方法一得 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ....................................... 6 分2 则 b n ＋2＝3b n ＋1－1，两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )． .............................. 8 分2因为 b 2－b 1＝3≠0，所以 b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1＝3，2b n ＋1－b n所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分（3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得 b n 1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1． 又b 3－b 2＝2，即7－b 2＝2，所以 b 2＝3，所以 b 2－b 1＝2，所以 b n ＋1－b n ＝2n ，b 2－b 1 b 2－1 所以当 n ≥2 时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当 n ＝1 时上式也成立，所以 b n ＝2n －1． ...........................12 分 假设存在正整数 m ，n ，使得4039＜b m ＜4040，则4039＜2m－1＜4040．2019 b n 2019 2019 2n －1 2019由2m－1＞4039＞1，可知 2m －1＞2n －1，所以 m ＞n ．2n －1 2019又 m ，n 为正整数，所以 m －n ≥1．又2m －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －1＝2m －n ＋2m －n－1＜4040， 2n －1 2n －1 2n －1 2019所以 2m －n ＜4040＜3，所以 m －n ＝1， .............................................................. 14 分2019 所以2m－1＝2＋ 1 ，即4039＜2＋ 1 ＜4040，所以2021＜2n ＜2020，2n －12n －1 2019 2n －1 2019 2 所以 n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数 m ，n ，其中 m ＝11，n ＝10． ................... 16 分20．(本小题满分 16 分)解：（1）由函数 f (x )为奇函数，得 f (x )＋f (－x )＝0 在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以 a ＝1． .................................................. 3 分（2）方法一：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，所以f'(x)＝e x＋e－x－m＝e2x－m e x＋1．e x①当m≤2 时，由于e2x－m e x＋1≥0 恒成立，即f '(x)≥0 恒成立，故不存在极小值．........................... 5 分②当m＞2 时，令e x＝t，则方程t2－mt＋1＝0 有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，故可知函数f(x)＝e x－e－x－mx在(－∞，ln t1)，(ln t2，＋∞)上单调递增，在(ln t1，ln t2)上单调递减，即在ln t2 处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9分方法二：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，令g(x)＝f'(x)＝e x＋e－x－m，则g′(x)＝e x－e－x＝e2x－1．e x故当x≥0 时，g′(x)≥0；当x＜0 时，g′(x)＜0，........................... 5 分故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．①若2－m≥0，则g(x)≥0 恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．……6 分②若2－m＜0，即m＞2 时，g(0)＝2－m＜0．取t＝ln m，则g(t)＝1 ＞0．m又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈(0，t)，使得g(x0)＝0．又g(x)在(0，＋∞)上递增，所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9 分（3）由x0满足e x0＋e－x0＝m，代入f(x)＝e x－e－x－mx,消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e x0－(1＋x0)e－x0． ................................................ 11分构造函数h(x)＝(1－x)e x－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－e x)．当x≥0时，e－x－e x＝1－e2x0，所以当x≥0 时，h′(x)≤0 恒成立，e x故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－2, ............................... 13 分e则f(x0)≥－2可转化为h(x0)≥h(1)，故x0≤1．.................... 15 分e由e x0＋e－x0＝m，设y＝e x＋e－x，可得当x≥0时，y’＝e x－e－x≥0，所以y＝e x＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋1．e 综上，m 的取值范围是(2，e＋1]． .............................. 16 分e≤盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2020.01说明：1. 本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的 解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．纸．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 4—2：矩阵与变换解：设圆 C 上任一点(x ，y )，经矩阵 M 变换后得到圆 C’上一点(x’，y’)，a 3所以 3 －2x ＝x′y y′ ax ＋3y ＝x′，3x －2y ＝y′． ......................... 5 分又因为(x′)2＋(y′)2＝13，所以圆 C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13, 化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13， a 2＋9＝13，6a －12＝0 解得 a ＝2．所以，实数 a 的值为 2． ........................................... 10 分B. 选修 4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为 x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4， ........... 5 分所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2 为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦 AB 最长，所以直线过圆心(0，2)， 于是 0＋2×2－m ＝0，解得 m ＝4．所以，实数 m 的值为 4． ............................................ 10 分C. 选修 4—5：不等式选讲解：因为1＋2＋3＝1，所以1＋ 4 ＋ 9 ＝1． a b c a 2b 3c，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1＋4 ＋9 )≥(1＋2＋3)2，a 2b 3c即a＋2b＋3c≥36，....................................................... 5分1 4 9当且仅当a＝2b＝3c，即a＝b＝c 时取等号，解得a＝b＝c＝6，a 2b 3c所以当且仅当a＝b＝c＝6 时，a＋2b＋3c 取最小值36．......................... 10 分22．（本小题满分10分）解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O－xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，→→从而A1C＝(－1，1，－3)，B1D＝(1，－1，－3)，→→－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3) 7所以cos＜A1C，B1D＞＝＝，(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2 11所以异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值为7 ． ........... 4 分11（2）设AA1＝m＞0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，→→→所以A1C＝(－1，1，－m)，B1D＝(1，－1，－m)，CD＝(2，0，0)，→n1·CD＝2x1＝0，设平面A1CD 的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD 的一个法向量n1＝(0，m，1)．→n1·A1C＝－x1＋y1－mz1＝0，同理可得平面B1CD 的一个法向量n2＝(0，－m，1)．因为二面角A1－CD－B1 的大小为π，3所以|cos＜n1，n2＞|＝|m×(－m)＋1×1 |＝1，m2＋12×(－m)2＋12 2解得m＝3或m＝3，3由图形可知当二面角A1－CD－B1 的大小为π时，m＝3．............... 10 分3注：用传统方法也可，请参照评分．23．（本小题满分10分）解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝3(9n－1)．2两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3(9n－1)，2所以S n＝3(9n－1)．......................... 3 分4（2）T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C nn n n n＝3{[－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]}n n n4n n n n n＝3{[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[C0－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]} n n n n4n n n n n n ＝3[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]n n n n n4＝3[C0(－9)0＋C1(－9)1＋C2(－9)2＋…＋C n(－9)n]n n n n4＝3[1＋(－9)]n＝3×(－8)n．...................................... 7 分4 4要证|T n|≥6n3，即证3×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n．4当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立．当n≥3时，2n－1＝C0＋C1＋…＋C n－1≥C0＋C1＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，n－1 n－1 n－1 n－1 n－1所以2n－1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．......................................... 10 分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。
盐城-南京2020届高三年级第一次调研考试 数学试题及答案
)盐城-南京 2020 届高三年级第一次调研考试2020.1.8一、填空题1.已知集合 A = (0, +∞) ，全集U = R ,则 CA= .2. 设复数 z = 2 + i ,其中i 为虚数单位，则 z z =.3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为 .4. 命题“ ∀θ∈ R , cos θ+ sin θ> 1 ”的否定是 命题. (填“真”或“假”)5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为.6. 已知样本7,8, 9, x, y 的平均数是9 ,且 xy = 110 ,则此样本的方差是 .7. 在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y2= 4x 上的点 P 到其焦点的距离为3 ,则点 P 到点O 的距离为.8. 若数列{a } 是公差不为0 的等差数列, ln a 、ln a 、lna ,成等差数列，则 a 2的值为 .n12519. 在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 ,中点 P 是棱CC 1 上一点，记三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 与四棱锥 P - ABB 1 A 1 ;的体积分别为V 1与V ,则V 2 = .V 110. 设函数 f (x) = sin(ωx +ϕ)(ω> 0, 0 < ϕ<π的图象与 y 轴交点的纵坐标为 22, y 轴右侧第一个最低点的横坐 标为π6，则ω的值为.11. 已知 H 是 A BC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点) = 1 + 1,则cos ∠BAC 的值为.AH AB AC4 212. 若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈ R ) 是等差数列，则其前10 项的和为.13. 已知集合 P = {( x , y ) x x + y y = 16} ,集合 Q = {( x , y ) kx + b1≤ y ≤ kx + b 2 } ,若 P ⊆ Q ,则的最小值为.14. 若对任意实数 x ∈(-∞,1],都有≤ 1成立,则实数 a 的值为 .S ←0I ←0WhileS ≤10 S ←S+1 I ←I+1 End For Print I3b 1 - b 2 k 2+1exx 2- 2ax +1a 2二、解答题15. (本小题满分 14 分)已知 ABC 满足sin ⎛B + π⎫= 2 cos B . .6 ⎪(1)若cos C =⎝⎭, AC = 3, ,求 AB ; 3(2)若 A ∈⎛ 0,π⎫, ,且cos ( B - A ) = 4,求sin A .3 ⎪ 5 ⎝ ⎭16. (本小题满分 14 分)如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，已知底面 ABCD 是正方形,点 P 是侧棱CC 1 上的一点.(1) 若 AC 1 / / 平面 PBD ,求 PC 1的值;PC(2) 求证: BD ⊥ A 1P .17. (本小题满分 14 分) + 2如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从 O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮 P 与 Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形 ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计). AB 为圆柱的一条母线, 点 A 、B 在 O 上，点 P 、Q 在 O 的直径上 AB / / P Q . P 、 Q 分别与直线 BC 、AD 相切，都与 O 内切，(1) 求圆形铁皮 Q 半径的取值范围;(2) 请确定圆形铁皮 Q 与 Q 半径的值，使得油桶的体积最大.(不取近似值)18. (本小题满分 16 分)设椭圆 C : x 22= 1(a > b > 0 ) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 , 商心率是 e ， 动点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上运动. 当 abPF 2 ⊥ x 轴时 x o = 1, y 0 = e .(1)求椭圆C 的方程;(2)延长 PF 1 , PF 2 分别交椭圆C 于点 A , B ( A , B 不重合).设 AF 1 = λF 1P , BF 2 = μF 2 P ,求λ+ μ的最小值.2 y0 0 n19.(本小题满分 16 分)定义:若无穷数列{a n } 满足{a n +1 - a n } 是公比为 q 的等比数列，则称数列{a n } 为" M (q) 数列”.设数列{b n } 中b 1 = 1,b 3 = 7 .(1) 若b 2 = 4 ,且数列{b n } 是“ M (q ) 数列"，求数列{b n } 的通项公式;(2) 设数列{b } 的前 n 项和为 S ,且b= 2S - 1n + λ,请判断数列{b } 是否为“ M (q ) 数列"，并说明理由:n n n +1 n 2 n(3) 若数列{b } 是" M (q ) 数列"，是否存在正整数 m , n .使得 4039 < b m < 4040? 若存在,请求出所有满足条件的正n2019 b 2019整數 m , n ;若不存在，请说明理由.20. (本小题满分 16 分)若函数 f ( x ) = e x- ae - x- mx (x ∈ R ) 为奇函数,且 x = x 时 f ( x ) 有极小值 f ( x ) .(1)求实数 a 的值;(2) 求实数 m 的取值范围; (3) 若 f ( x 0 ) ≥ -2上恒成立,求实数m 的取值范围.e⎢ ⎥ 附加部分21. [选做题]A.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知圆C 经矩阵 M = ⎡a3 3 ⎤ 变换后得到圆C ' : x 2 + y 2= 13 ,求实数 a 的值. - 2 ⎣ ⎦B. 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中,直线ρcos θ+ 2ρsin θ= m 被曲线ρ= 4 sin θ截得的弦为 AB ,当 AB 是最长弦时,求实数 m 的值.C. 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)已知正实数 a , b , c 满足 1 + 2 + 3= 1,求 a + 2b + 3c 的最小值.a b c2n22. [必做题](本小题满分 10 分)如图 AA 1、BB 1 是圆柱的两条母线, A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O 1 , O , CD 是下底面与 AB 垂直的直径,CD = 2.(1) 若 AA 1 = 3 ,求异面直线 A 1C 与 B 1D 所成角的余弦值;(2) 若二面角 A - CD - BπAA 的长.1 1的大小为 3,求母线123. [必做题](本小题满分 10 分)i设∑(1- 2x ) = a+ a x + a x 2 + + a x 2 n (n ∈ N *), ,记 S = a + a + a + + a n .i =1(1)求 S n ;122 nn242(2)记T = -S C 1+ S C 2- S C 3+ + (-1)nS C n, 求证: T≥ 6n 3 恒成立.n1 n2 n3 nn nn。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析
2020年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，每题5分）1．（2020•江苏一模）已知集合A＝（0，+∞），全集U＝R，则∁U A＝（﹣∞，0]．【解答】解：∵A＝（0，+∞），U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．2．（2020•江苏一模）设复数z＝2+i，其中i为虚数单位，则z•＝5．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案为：5．3．（2020•江苏一模）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n＝＝3，甲被选中包含的基本事件个数m＝＝2，则甲被选中的概率为P＝＝．故答案为：．4．（2020•江苏一模）命题“∀θ∈R，cosθ+sinθ＞1”的否定是真命题．（填“真”或“假”）【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃θ0∈R，cosθ0+sinθ0≤1为真命题，故答案为：真．5．（2020•江苏一模）运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，I＝0满足条件S≤10，执行循环体，S＝0，I＝1满足条件S≤10，执行循环体，S＝1，I＝2满足条件S≤10，执行循环体，S＝3，I＝3满足条件S≤10，执行循环体，S＝6，I＝4满足条件S≤10，执行循环体，S＝10，I＝5满足条件S≤10，执行循环体，S＝15，I＝6不满足条件S≤10，退出循环，输出I的值为6．故答案为：6．6．（2020•江苏一模）已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是2．【解答】解：∵样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，∴，解得x＝10，y＝11或x＝11，y＝10，∴此样本的方差为：S2＝[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（11﹣9）2]＝2．故答案为：2．7．（2020•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，准线方程为：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，所以P（2，）则点P到点O的距离为：＝，故答案为：2．8．（2020•江苏一模）若数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，则的值为3．【解答】解：数列{a n}是公差不为0的等差数列，lna1、lna2、lna5成等差数列，∴2ln（a1+d）＝lna1+ln（a1+4d），∴＝a1（a1+4d），∴，解得d＝2a1，∴＝＝3．故答案为：3．9．（2020•江苏一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝．【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC﹣A1B1C1与四棱锥P﹣ABB1A1的体积分别为V1与V2，设AB＝a，△ABC的高为b，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为h，则，，∴＝＝．故答案为：．10．（2020•江苏一模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则ω的值为7．【解答】解：∵f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，∴f（0）＝sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝sin（ωx+），∵y轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得ω+＝得φ＝7，故答案为：7．11．（2020•江苏一模）已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），＝+，则cos∠BAC的值为．【解答】解：∵＝+，令，∴如图，点B，H，E三点共线，则有，，∴．∴，即．∴，∴＝（其中点F为边AB的中点），则有，边AB上的中线与垂线重合，即CB＝CA．∵且．由对称性可知，且．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，D（0，0），B（2，0），C（1，0），设A（0，4t），∴H（0，t），t＞0．由BC＝CA可得，．cos∠BAC＝＝．故答案为．12．（2020•江苏一模）若无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，则其前10项的和为10．【解答】解：∵无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）是等差数列，∴ω＝0，∴cos（ωn）＝1，∴无穷数列{cos（ωn）}（ω∈R）的前10项的和为：S10＝10×1＝10．故答案为：10．13．（2020•江苏一模）已知集合P＝{（x，y）|x|x|+y|y|＝16}，集合Q＝{（x，y）|kx+b1≤y ≤kx+b2}，若P⊆Q，则的最小值为4．【解答】解：当x≥0，y≥0时，x2+y2＝16，即y＝；当x≥0，y＜0时；x2﹣y2＝16，即当x＜0，y≥0时；﹣x2+y2＝16，即y＝当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣16，舍去．作出图象，x2﹣y2＝16的一条渐近线为y＝﹣x，与该渐近线平行，且与圆x2+y2＝16的一条切线为，由图可知，k＝﹣1，最小值为＝．故答案为：4．14．（2020•江苏一模）若对任意实数x∈（﹣∞，1]，都有||≤1成立，则实数a 的值为．【解答】解：依题意，，令，若x2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣4≥0，则x2﹣2ax+1＝0有解，设一解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，故﹣1＜a＜1，，①当2a+1＜0，即时，函数f（x）在（2a+1，1）单调递减，f（0）＝1，则f（2a+1）＞1，不满足题意；②当2a+1＞0，即时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，由f（0）＝1可得f（x0）＞f（0）＝1，不满足题意；③当2a+1＝0，即时，f（x）在（﹣∞，0），（0，1）单调递减，则f（x）≤f（0）＝1，＞0，则|f（x）|≤1恒成立．故答案为：．二、解答题（共6题，满分90分）15．（2020•江苏一模）已知△ABC满足sin（B+）＝2cos B．（1）若cos C＝，AC＝3，求AB；（2）若A∈（0，），且cos（B﹣A）＝，求sin A．【解答】解：（1）由sin（B+）＝2cos B，可知sin B+cos B＝2cos B，即sin B＝cos B，因为cos B≠0，所以tan B＝，又B∈（0，π），故B＝，由cos C＝，C∈（0，π），可知sin C＝，在△ABC中，由正弦定理，所以AB＝2；（2）由（1）知B＝，所以A∈（0，）时，﹣A∈（0，），由cos（B﹣A）＝，即cos（）＝，所以sin（）＝，所以sin A＝sin[﹣（）]＝sin cos（）﹣cos sin（）＝＝．16．（2020•江苏一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是正方形，点P 是侧棱CC1上的一点．（1）若AC1∥平面PBD，求的值；（2）求证：BD⊥A1P．【解答】解：（1）连结AC交BD于点O，连结OP．因为AC1∥平面PBD，AC1⊂平面ACC1，平面ACC1∩平面BDP＝OP，所以AC1∥OP．因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以点O是AC的中点，所以AO＝OC，所以在△ACC1中，＝＝1．（2）证明：连结A1C1．因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，所以侧棱C1C⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1＝C，AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，所以BD⊥面ACC1A1，又因为A1P⊂面ACC1A1，所以BD⊥A1P．17．（2020•江苏一模）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB为圆柱的一条母线，点A、B在⊙O上，点P、Q在⊙O的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．（1）求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）【解答】解：（1）设⊙P的半径为r，则AB＝4（2﹣r），所以⊙P的周长，解得，故⊙P半径的取值范围为；（2）在（1）的条件下，油桶的体积V＝πr2•AB＝4πr2（2﹣r），设函数，则f′（x）＝4x﹣3x2，由于，所以f′（x）＞0在定义域上恒成立，即函数f（x）在定义域上单调递增，故当时，体积取倒最大值．18．（2020•江苏一模）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【解答】解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b ＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．19．（2020•江苏一模）定义：若无穷数列{a n}满足{a n+1﹣a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M（q）数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n+1＝2S n﹣n+λ，请判断数列{b n}是否为“M（q）数列”，并说明理由；（3）若数列{b n}是“M（2）数列”，是否存在正整数m，n使得＜＜？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为b2＝4，且数列{b n}是“M（q）数列”，所以q＝＝＝1，所以＝1，n≥2，即b n+1﹣b n＝b n﹣b n﹣1，n≥2，所以数列{b n}是等差数列，其公差为b2﹣b1＝3，所以数列{b n}通项公式为b n＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．（2）由，得，b3＝4+3λ＝7，解得λ＝7，由，得，两式作差，得：，∴，n∈N*，∵，∴，∴对n∈N*恒成立，则＝3（），∵，∴，∴＝3，∴是等比数列，∴，∴，∴＝＝3，∴{b n+1﹣b n}是公比为3的等比数列，故数列{b n}是“M（q）数列“．（3）由数列{b n}是“M（2）”数列，∴b n+1﹣b n＝（b2﹣b1）×2n+1，∵＝2，∴＝2，∴b2＝3，∴b2﹣b1＝2，∴b n+1﹣b n＝2n，∴当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1，＝2n﹣1+2n﹣2+…+2+1＝2n﹣1，假设存在正整数m，n，使得，则，由＝，∴，∴m﹣n＝1，∴，即，∴，∴n＝10，m＝11．∴存在满足条件的正整数m，n，其中m＝11，n＝10．20．（2020•江苏一模）若函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣mx（m∈R）为奇函数，且x＝x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；（3）若f（x0）≥﹣恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上恒成立，∴e x﹣ae﹣x﹣mx+e﹣x﹣ae x+mx＝0，化简可得（1﹣a）（e x+e﹣x）＝0，故a＝1；（2）由（1）可得f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，则，①当m≤2时，由于e2x﹣me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；②当m＞2时，令e x＝t，则方程t2﹣mt+1＝0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足代入f（x）＝e x﹣e﹣x﹣mx，消去m得，构造函数h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，则h′（x）＝x（e﹣x﹣e x），当x≥0时，，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中，则，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由，设y＝e x+e﹣x，可得当x≥0时，y′＝e x﹣e﹣x≥0，∴y＝e x+e﹣x在（0，1]上递增，故，综上，实数m的取值范围为．四、选做题（任选2道，每道10分）21．（2020•江苏一模）已知圆C经矩阵M＝变换后得到圆C′：x2+y2＝13，求实数a的值．【解答】解：设圆C上任一点（x，y），经矩阵M变换后得到圆C’上一点（x’，y’），所以，所以，又因为（x′）2+（y′）2＝13，所以圆C的方程为（ax+3y）2+（3x﹣2y）2＝13，化简得（a2+9）x2+（6a﹣12）xy+13y2＝13，所以解得a＝2．所以，实数a的值为2．22．（2020•江苏一模）在极坐标系中，直线ρcosθ+2ρsinθ＝m被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB是最长弦时，求实数m的值．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线ρcosθ+2ρsinθ＝m，可得直角坐标方程为x+2y﹣m＝0．又曲线ρ＝4sinθ，所以ρ2＝4ρsinθ，其直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，所以曲线ρ＝4sinθ是以（0，2）为圆心，2为半径的圆．为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心（0，2），于是0+2×2﹣m＝0，解得m＝4．所以，实数m的值为4．23．（2020•江苏一模）已知正实数a，b，c满足++＝1，求a+2b+3c的最小值．【解答】解：根据题意，因为++＝1，则++＝1，由柯西不等式得a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）≥（1+2+3）2；即a+2b+3c≥36，当且仅当a＝b＝c时取等号，解得a＝b＝c＝6，所以当且仅当a＝b＝c＝6时，a+2b+3c取最小值36．五、必做题（每题10分，共计2题）24．（2020•江苏一模）如图，AA1、BB1是圆柱的两条母线，A1B1、AB分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD是下底面与AB垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C与B1D所成角的余弦值；（2）若二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，求母线AA1的长．【解答】解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，0），A1（0，﹣1，3），B1（0，1，3），从而＝（﹣1，1，﹣3），＝（1，﹣1，﹣3），所以cos＝，所以异面直线A1C与B1D所成角的余弦值为：．（2）设AA1＝m＞0，则A1（0，﹣1，m），B1（0，1，m），所以＝（﹣1，1，﹣m），＝（1，﹣1，﹣m），，＝（2，0，0），设平面A1CD的一个法向量＝（x1，y1，z1），则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD的一个法向量＝（0，m，1）．同理可得平面B1CD的一个法向量＝（0，﹣m，1）．因为二面角A1﹣CD﹣B1的大小为，所以|cos＜，＞|＝＝，解得m＝或m＝，由图形可知当二面角A1﹣CD﹣B1的大小为时，m＝．25．（2020•江苏一模）设（1﹣2x）i＝a0+a1x+a2x2+…+a2n x2n（n∈N*），记S n＝a0+a2+a4+…+a2n．（1）求S n；（2）记T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n，求证：|T n|≥6n3恒成立．【解答】解：（1）由题意，令x＝1，得a0+a1+a2+…+a2n＝＝0；令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2n﹣1+a2n＝＝31+32+…+32n＝•（9n﹣1）．两式相加，得2（a0+a2+a4+…+a2n）＝•（9n﹣1），即2S n＝•（9n﹣1），∴S n＝（9n﹣1），n∈N*．（2）由题意，T n＝﹣S1∁n1+S2∁n2﹣S3∁n3+…+（﹣1）n S n∁n n＝{[﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n]}＝{[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]﹣[﹣+﹣+…+（﹣1）n ]}＝[90﹣91+92﹣93+…+（﹣1）n9n]＝[（﹣9）0﹣（﹣9）1+（﹣9）2﹣（﹣9）3+…+（﹣9）n]＝（1﹣9）n＝•（﹣8）n．故|T n|＝|•（﹣8）n|＝•8n．要证|T n|≥6n3，即证×8n≥6n3，只需证明8n﹣1≥n3，即证2n﹣1≥n．当n＝1，2时，2n﹣1≥n显然成立．当n≥3时，2n﹣1＝++…+≥＝+＝1+（n﹣1）＝n，即2n﹣1≥n，所以2n﹣1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．。
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题(含附加题及答案)
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0] 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1ACCC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=. 方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠，∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立，所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx e e x f x x --=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(x x e e x x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--x xxx e e e e ， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分 则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=， 可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分 附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系，由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分 所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++， 即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分 当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===， 所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1AC 与1BD 所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==， 解得m =3m =， 由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, m =…………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=， 令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-， 两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分 （2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++- {}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立； 当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。