利用一次函数的图像解决实际问题
解法1:
解法2:
①要使y甲=y乙,就是要使
将两函数的图像在同一坐标
3000x=2000x+40000,解得
系中画出,观察图像可知:这两
x=40,即当x=40时,租哪家租金 个函数图像的交点是
都相同.
(40,120000),也就是当x=40时,y
②要使y甲>y乙,就是要使 3000x>2000x+40000,解得 x>40,即当x>40时,租乙家的房 屋更合算. ③要使y甲<y乙,就是要使 3000x<2000x+40000,解得 x<40,即当x<40时,租甲家的房 屋更合算.
(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计),
则小芳比预计时间早几分钟到达乙地?
解:(1)由函数图像可以得出小芳家距离 甲地的路程为10 km,花费时间为0.5 h,故 小芳骑车的速度为10÷0.5=20(km/h),
由题意可得出点H的纵坐标为20,横坐标
. 为
41 3 36 2
说明:由此可以看出,有些一元一次方程和一元一次不等式问 题,可以借助一次函数来考虑,借助一次函数的图像,往往能 使方程和不等式的意义更加直观和形象.
活动2 一起探究 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现 有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元;乙家未装修,每月 租金为2000元,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元. (1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的 租金y与租用时间x之间的函数关系式. (2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.
设直线EF的解析式为y3=k3x+b3,将点E
4 3
,
30
,H
3 2
,
20
分别代入
得k3=-60,b3=110,∴y3=-60x+110,
解∴点方D程坐组标为(y1y.75,6520)0,x3x01-4510=0,2, 得5(km),x
y
1.75, 5,
∴小芳出发1.75小时后被妈妈追上,此时距家25 km.
(2)观察图像,判断租哪家的车合算.
(3)根据图像,你能很快回答下列问题吗? ①如果该单位估计每月的行程约为800千米,那么这个单位租哪家的车合算? ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算?
甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从 同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h),求: ①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变 量x的取值范围. ②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变 量x的取值范围. (2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图像,并结合实际问 题,解释两图像交点的意义.
时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小芳离家1小时20分钟后,妈
妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图所示的是
她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图像.
(1)小芳骑车的速度为
km/h,H点坐标为
;
(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远?
第二十一章 一次函数
问题思考
学习新知
(1)假如你是单位领导,你的单位急需用车,但又不准备买
车,你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的
一家签订月租合同,设汽车每月行驶x千米,应付给出租车
公 的司月的租月 费租是费y2元是,yy12元= 4,y1=x(53x≥x0+).1请10你0(决x≥定0)租,应哪付家给的个车体合车算主. 3
甲和y乙的值相等,都等于 120000;当x>40时,y甲=3000x的 图像在y乙=2000x+40000的图 像的上方,这说明此时y甲>y乙; 当x<40时,y甲=3000x的图像在y 乙=2000x+40000的图像的下方, 这说明此时y甲<y乙.
7.(2016·绥化中考)周末,小芳骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小
(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不 计),则小芳比预计时间早几分钟到达乙地?
(3)将y=0代入直线CD解析式有-20x+40=0,解得x=2,
将y=0代入直线EF的解析式有-60x+110=0,解得x= 11 ,
2-11
=1
6
(h),即10分钟,故小芳比预计时间早10分钟到达乙地.
解:(1)由公式s=vt,得: ①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.自变量x的取值范围为x≥0. ②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3),即y=25x-75.自变量x的 取值范围为x≥3.
(2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像 的交点坐标是(5,50),即甲出发5 h后被乙追上(或 乙出发2 h后追上甲).此时,两人距离出发地50 km.
,故点H的坐标为
3 2
,
20
(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远?
(2)设直线AB的解析式为y1=k1x+b1,将点A(0,30),B(0.5,20)分别代入 得y1=-20x+30,
由题意知AB∥CD,∴设直线CD的解析式为y2=-20x+b2,将点 C(1,20)代入得b2=40,故y2=-20x+40,
66
问题:对于上例中甲、乙行驶的情况,你能借助图解释“乙出 发多少小时后可以超过甲”这一问题吗?还有其他方法解答 这个问题吗?
当x>5时,y=25(x-3)的图像在y=10x的图像的上方,说明乙出发 2小时后,乙可以超过甲,还可以用25x>10(x+3)来解决这个问 题,其中x表示乙离开出发地的时间.
第18讲 一次函数专题(一)
第18讲 一次函数专题（一）－－－利用图像解决实际问题一、一次函数与行程问题1．如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元）与行车里程x （km ）之间的函数关系图像.（1）根据图像，写出当3 x 时该图像的函数关系式； （2）某人乘坐2.5km ，应付多少钱？（3）某人乘坐13km ，应付多少钱？ （4）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？2．甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．如图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题：（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？ （2）甲因事耽误了多长时间？（3）x 为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？3．甲、乙两人沿相同的路线同时有A 地B 地匀速前进，他们距离B 地的路程S （千米）与前进的时间x （小时）的函数图像如图所示，则乙追上甲是距离B 地______千米.4．甲、乙两人从A 地出发前往B 地，甲、乙（实线为甲，虚线为乙）两人距离A 地的路程S （百米）与行走时间t （分）的函数关系图像如图所示，则甲与乙相遇的时间为乙出发后第_______分.第3题图 第4题图二、行程中的往返5．甲、乙两车要从A 地沿同一公路到B 地，乙车比甲车先行1小时，设甲车与乙车之间的路程为y （km ），甲车行驶时间为t （h ），y （km ）与t （h ）之间函数关系的图象如图所示（假设甲、乙两车的速度始终保持不变）．则a 的值是____________6．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x （时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地达到乙地所需时间为t 时，则t ＝__________。
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析
几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析一次函数是数学中的基础概念，也是我们日常生活中经常会遇到的数学概念。
它在解决实际问题中有着重要的应用价值，而几何直观则是一种直观的解决问题的思维方式。
本文将从几何直观的角度出发，分析一次函数在解决实际问题中的应用。
一、什么是一次函数一次函数是指函数y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数的图像通常是一条直线，因此也被称为线性函数。
一次函数在数学中有着广泛的应用，从代数求解到几何问题都离不开一次函数的概念。
二、一次函数在实际问题中的应用1.物体运动的描述一次函数可以用来描述物体的运动情况。
假设一个物体以匀速直线运动，我们可以用一次函数来描述其位置随时间的变化。
设物体在t时刻的位置为S(t)，速度为v，则S(t) = vt + S0，其中S0为物体在t=0时刻的位置。
这就是一个典型的一次函数应用，通过一次函数来描述物体的运动情况，这种描述方法在物理学和工程学中有着广泛的应用。
2.成本与产量的关系在经济学中，我们通常会用一次函数来描述成本与产量之间的关系。
假设生产某种产品的成本与产量之间存在线性关系，我们可以用一次函数来描述这种关系。
设产量为x，成本为C，则C(x) = kx + b，其中k为单位产量成本，b为固定成本。
通过分析这个一次函数，我们可以得到成本与产量之间的关系，从而帮助企业决策。
3.直线的建模在工程学和物理学中，我们常常需要对各种物理现象进行建模，而直线是一种简单而常见的模型。
通过建立一次函数的数学模型，我们可以对各种物理现象进行数学分析和预测。
用一次函数来描述线性传感器的输出与输入之间的关系，用一次函数来描述材料的应力与应变之间的关系等等。
几何直观是一种直观的解决问题的思维方式，通过观察、图形和几何关系来理解和解决问题。
在解决一次函数实际问题中，几何直观可以帮助我们更直观地理解和解决问题，从而更好地应用一次函数。
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用
一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。
在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。
一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。
下面我们来看几个具体的例子。
1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。
根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。
当x增加1个单位时，y增加2个单位。
当x减小1个单位时，y减小2个单位。
通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。
2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。
根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。
当x增加1个单位时，y减小3个单位。
当x减小1个单位时，y增加3个单位。
同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。
通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。
这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。
二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。
我们将通过以下两个实际应用问题来说明。
1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。
已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。
我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。
根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。
将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。
一次函数解决实际问题典型例题
本次课课堂教学内容 一次函数解决实际问题一、学习目标1、掌握一次函数的图像与性质2、能够运用一次函数的性质解决生活中实际问题二、知识梳理1.正比例函数性质：一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 必过点：（0，0）、（1，k ） (2) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (3) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (4) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 2.一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k ≠0）的倾斜程度，b 称为截距 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 必过点：（0，b ）和（kb-，0） （2）走向： 依据k 、b 的值分类判断，见下图（3）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （5）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.（6）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数3.一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.k>0k<04.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）.上加下减，左加右减5.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1（5）两直线交于y轴上同一点: b1=b26.待定系数法一般步骤(一设二代三解四还原)：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.7.一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.9.一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点. 10.关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ；三、例题讲解【考点1 一次函数的应用—方案最优化问题】【例1】为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价；（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x 个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y （元），求y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y 最小，并求出y 的最小值．【变式1】学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？（3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为W（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用W最小，并求出W的最小值．【例2】湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？【考点2 一次函数的应用—行程问题】【例3】甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B 地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数．（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．【变式2】一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：（1）根据图象，分别写出y1、y2关于x的关系式（需要写出自变量取值范围）；（2）当两车相遇时，求x的值；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．【例4】甲、乙两车同时从A地出发驶向B地．甲车到达B地后立即返回，设甲车离A地的距离为y1（千米），乙车离A地的距离为y2（千米），行驶时间为x（小时），y1，y2与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A、B两地相距千米，甲车从B地返回A地的行驶速度是千米/时；（2）当两车行驶7小时后在途中相遇，求点E的坐标；（3）甲车从B地返回A地途中，与乙车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【例5】杭州市水厂的水价调整与阶梯式水价改革方案已出台，自2010年9月1日（用水时间）起执行，为鼓励居民节约用水，对居民生活用水实行水费阶梯制（见表）．…“一户一表”用水量不超过17立方米超过17立方米且不超过30立方米的部分单价（元/立方米） 2.40 3.35 …小芳家十月份用水x立方米．（1）当x≤17时，小芳家这月付水费多少元？（2）若小芳家这月用水20立方米，应付水费多少元？（3）若小芳家这月付了水费60.9元，她家该月用水多少立方米？【例6】某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场200 0.012乙养殖场140 0.015设超市每天从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元．（1）超市每天从乙养殖场调运鸡蛋（1200﹣x）斤（用含x的代数式表示）．（2）求W与x的函数关系式．（3）如果合理安排调运，可以节省运费，每天最少需总运费2610 元（直接填空）．【例7】如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1【变式】如图，直线y=kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b13＜x时，x的取值范围为．四、课堂检测1.小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定，购买时自备容器则结帐金额再减5元．若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元；阿嘉购买咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（）A．y295250=x B．y300250=x C．y295250=x+5 D．y300250=x+52.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A．乙队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了126米C．在47.8秒时，两队所走路程相等 D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢3.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）A．y=﹣x+4 B．y=x+4 C．y=x+8 D．y=﹣x+84.某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：305.若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1 B．0 C．3 D．46.当直线y=（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．7．如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为．8.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调，彩电共30台，根据市场需要，这些空调，彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价如下表所示：项目空调彩电进价（月/台）5400 3500售价（月/台）6100 3900设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．（1）试出y与x之间的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可以选择？（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？9.快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，快车到达乙地后，慢车继续前行，设出发x小时后，两车相距y千米，图中折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y 与x之间的函数关系式，根据图中信息，解答下列问题．（1）甲、乙两地相距千米，快车从甲地到乙地所用的时间是小时；（2）求线段PQ的函数解析式（写出自变量取值范围），并说明点Q的实际意义．（3）求快车和慢车的速度．本次课课后练习1.一次函数y 1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1=k2B．b1＜b2 C．b1＞b2D．当x=5时，y1＞y22．如图所示，直线l1：y32=x+6与直线l2：y52=-x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式32x+6 52-＞x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣23.等腰三角形周长为20cm，底边长y cm与腰长x cm之间的函数关系是（）A．y＝20﹣2x B．y＝20﹣2x（5＜x＜10）C．y＝10﹣0.5x D．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）4.在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组1122y k x by k x b-=⎧⎨-=⎩的解是．5.如图所示，一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．6.据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05 mL．若小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开xh后水龙头滴了ymL水，则y与x之间的函数关系式为_______．7.如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（﹣1，a）．（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积．8.某农产品店利用网络将优质土特产销往全国，其中销售的核桃和花生这两种商品的相关信息如下表．根据下表提供的信息，解答下列问题：商品核桃花生规格1kg/袋2kg/袋利润10元/袋8元/袋（1）已知今年上半年，该店销售上表规格的核桃和花生共3000kg，获得利润21000元，求上半年该店销售这种规格的核桃和花生各多少袋？（2）根据之前的销售情况，估计今年下半年，该店还能销售上表规格的核桃和花生共2000kg，其中，核桃的销售量不低于600kg．假设今年下半年，销售上表规格的核桃为x（kg），销售上表规格的核桃和花生获得的总利润为W（元），写出W与x之的函数关系式，并求下半年该店销售这种规格的核桃和花生至少获得的总利润．9.2019年元旦期间，某商场打出促销广告，如表所示：优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元优惠办法一律按九折优惠其中200元仍按九折优惠超过200元部分按八折优惠小颖一次性购物x元，实际付款y元（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）这次购物小颖实际付款196元，问：所购物品的原价是多少元？10.学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求A，B两型桌椅的单价；（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总费用最少的购置方案．。
八年级数学下册《利用一次函数解决实际问题》教案、教学设计
（3）采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳，发现一次函数的性质；
（4）组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的一次函数实例引入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系；
（2）探究：引导学生通过小组讨论、自主探究，从实际问题中抽象出一次函数关系；
3.探究性作业：鼓励学生自主探究一次函数的性质，发现规律，提高学生的探究能力和创新意识。
例题：研究一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图像，探讨k、b的取值对图像的影响。
4.小组合作作业：安排一些需要团队合作完成的作业，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
例题：小组合作设计一个一次函数应用实例，并撰写解题报告，分析解题过程。
3.一次函数在实际问题中的求解方法。
总之，在本节课的教学过程中，我将注重启发式教学、分层教学和师生互动，努力提高学生的学习兴趣和积极性，确保教学目标的实现。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，检验学生对一次函数的理解和应用能力，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：包括一次函数的定义、性质、图像等方面的练习，旨在帮助学生巩固一次函数的基本概念。
例题：已知一次函数y=2x+3，求该函数的斜率和截距。
2.实际问题应用题：设计一些与生活息息相关的问题，让学生运用一次函数知识解决，提高学生解决实际问题的能力。
例题：某商店进行打折促销活动，原价为100元的商品，每增加1元，折扣力度增加0.01。请列出商品价格与折扣力度之间的关系，并计算在哪个价格区间购买最划算。
（三）情感态度与价值观
1.增强数学在实际生活中的应用意识，认识到数学知识在解决实际问题中的重要性；
利用一次函数图像解决实际问题
利用一次函数图像解决实际问题从近几年黑龙江省的中考试卷可以看出，中考命题增大了对一次函数图像的应用考查的力度和强度，题型由选择题、填空题攀升到分值比重较大的解答题，直至难度较大的实际应用题.特别是利用一次函数图像解决实际问题这类题目，正逐步成为中考命题的热点.因此，列举几道近年来黑龙江省各地区的中考题进行考点解析、考题精讲、中考预测等几方面的诠释，供广大考生在复习时参考.一、考点解析1. 考点应用（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式；（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y＝kx＋b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；（4）体会一次函数与二元一次方程（组）的关系；（5）能用一次函数（图像）解决简单的实际问题.2. 考点指明（1）利用一次函数图像的应用题考查的考点集中在以下几方面：①对数形结合的认识和理解情况；②将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；③对分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的掌握；④对一次函数与方程（组）、不等式（组）关系的理解与转化能力.（2）利用一次函数图像解决实际问题这类的题目，通常表现为图像信息题，是中考的热点考题.解答这类问题的重点是要抓住以下几点：①读懂图像，结合分析找出有用信息；②利用信息抽象出数学模型（如一次函数）；③带着实际问题的限制条件解数学模型.（3）利用一次函数图像解决实际问题时，深刻理解一次函数的图像要注重以下几点：①分清一次函数中的分段函数，要特别注意相应的自变量变化区间，在解析式和图像上都要反映出自变量的相应取值范围.由几条线段（或射线）组成的折线将函数图像分段，其中每条线段（或射线）代表每一段函数图像，代表某一个阶段的情况.②弄清两个坐标轴代表的实际意义，分析分段函数的图像要结合实际问题背景.二、考题精讲例1：（2014年黑龙江省齐齐哈尔市）已知，A、B两市相距260千米.甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计）.乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市.如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图像，结合图像回答下列问题：（1）甲车提速后的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时，点C的坐标为；（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间.【考点应用】一次函数图像的应用.【详解详析】（1）由甲车行驶2小时到M地可知M地距A市80千米，由此求得甲车原来的速度为40千米/时，进而求得甲车提速后的速度；根据乙车从出发到返回的时间以及速度，求得点C的坐标；（2）设乙车返回时y与x的函数关系式y＝kx＋b，代入点C和（4，0）求得答案即可；（3）求出甲车提速后到达B市时间减去乙车已返回A市的时间即可.【解答过程】【总结点评】此题考查一次函数的实际运用，结合图像，理解题意，正确列出函数解析式解决问题.例2：（2015年黑龙江省齐齐哈尔市）甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图像解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t= 小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．【考点应用】一次函数图像的应用．【详解详析】（1）首先求得乙车的速度，然后求出乙车到达A地用的时间是多少；最后求出甲车的速度，求出t的值是多少即可；（2）根据题意分三种情况求出甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x的函数关系式，写出自变量的取值范围；（3）根据题意分三种情况求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．【解答过程】4小时、6小时后两车相距120千米．【总结点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系．。
八年级数学一次函数图像的应用详解
1、某植物t天后的高度为ycm,图中的l 反映了y与t 之间的关系，根据图象回答下列问题：
1）植物刚栽的时候多高？9cm
2）3天后该植物多高？ 12cm
3）几天后该植物高度可达21cm 12天
Y/cm
24
l
21
（12，21）
18
15
12
（3，12）
9
6
3
2 4 6 8 1012 14 t/天
把（0,10),(250,0)代入得
10=b
1
0=250k+b 把∴ 1y代入 21得xk=10
2
1 25
当x=0时2，5 y=10
当x=100时，y=6
10-6=4升
∴摩托车每行驶100千米消耗4升汽油
变式练习
1、看图填空:
⑴当y=0时,x=__-_2___
⑵直线对应的函数表达式为_y_=__0_.5_x_+_1_____
30千克
⑵超过30千克后，每 千克需付多少元？
0.2元
30
4：弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)的关系是 一次函数,图象如左图所示,观察图象回答： （1）弹簧不挂物体时的长度是多少？从图中还可知道什 么？
(2) y与x之间的函数关系式？ （3）弹簧的长度是24cm时，所挂物体的质量是多少？
某股市变化情况
生活中的图象
学习目标
1．能通过函数图象获取信息． 2．能利用函数图象解决简单的
实际问题． 3．初步体会方程与函数的关系．
干旱造成的灾情
由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而
减少.干旱持续时间 t( 天)与蓄水量V(万米3) 的关系如图所示,
用一次函数图象解决实际问题的教案
用一次函数图象解决实际问题的教案]教案名称：用一次函数图像解决实际问题教案主题：数学教学目标：1.能够明白使用一次函数图像解决实际问题的意义和应用范围。
2.能够解决一些实际问题，如解析坐标点和斜率；在一张坐标纸上绘制函数图像；使用图像解决一些实际问题。
3.培养学生的思维能力，如观察、分析和解决问题的能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增加把数学知识与现实生活联系起来的积极性。
教学重难点：1.使用一次函数图像解决实际问题的应用。
2.使用函数图像求解问题时，特别是建立方程和制作图像，需要学生经常练习。
教学步骤：老师首先为学生介绍本课的主题，即使用一次函数图像解决实际问题。
为什么要学习这个？这与他们日常生活有什么关联呢？Step 2：预习老师为学生分发学习材料，让他们阅读有关材料和视频的内容。
同时，老师还设定了小组任务：每组从学习材料中选出一段内容进行理解和总结，并向全班展示学习成果。
这样做可以让学生更好地理解学习内容，并培养他们的思维和沟通能力。
Step 3：讲解老师开始讲解本课的主要内容。
老师首先介绍了一次函数图像的概念和一些重要的性质，如斜率和截距。
老师解释了函数图像的意义和用途，以及在实际问题中的应用。
老师使用数学公式和实际问题来解释一些具体的概念和应用，如解析坐标点和斜率等。
Step 4：示范老师向学生展示如何在坐标纸上绘制一次函数图像并解决实际问题。
老师以一个具体的例子为例，让学生跟着操作，并吸收相关知识。
老师渐进式地解释过程并指出一些常见的错误。
学生们也可以跟着老师完成这个例子，以加深理解。
老师将一些相关问题分发给学生，让他们在课堂上或自学时间里完成。
老师还将一些问题转化为实践任务，让学生们在学校里寻找并解决实际问题。
这样做可以帮助学生掌握图像和实际问题的应用。
Step 6：总结老师要求学生对本节课的知识点和应用进行总结，并将学习成果向全班展示。
老师鼓励学生互相交流和分享自己的答案，以促进知识的交流和深入理解。
人教版初中数学八年级下册19.1.3《应用图像解决简单的实际问题》教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如绘制一个实际问题的函数图像，通过调整图像上的点来观察结果的变化。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数和反比例函数图像在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数图像的斜率和截距以及反比例函数图像的对称性这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图像分析来帮助大家理解如何利用这些特点解决实际问题。
（三）ห้องสมุดไป่ตู้践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数或反比例函数图像相关的实际问题。
本节课将引导学生运用已学的一次函数和反比例函数图像知识，解决生活中的实际问题，培养学生的图像分析能力和实际问题解决能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学图像分析实际问题的能力，提高数形结合思维。
2.培养学生通过图像识别问题临界点，增强观察能力和数据分析能力。
3.培养学生在解决实际问题时，能够运用函数图像进行合理解释，提高数学表达和逻辑推理能力。
此外，我还发现学生们对于数学知识在实际生活中的应用非常感兴趣，这让我感到很欣慰。在今后的教学中，我会继续将实际案例融入课堂，让学生们感受到数学的实用性和趣味性。
利用一次函数解决问题
利用一次函数解决问题一次函数（也称为线性函数）是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有许多应用领域。
本文将介绍如何利用一次函数解决问题。
一、利用一次函数解决实际问题一次函数在实际问题中的应用非常广泛。
它可以描述物体的直线运动、收入与支出的关系、成本与产量的关系等。
下面举例说明：例1：小明每天骑自行车上学，他发现骑行的时间与距离之间存在一定的关系。
他测量了两天的数据，如下所示：时间（分钟）：10 20 30 40距离（千米）：1 2 3 4小明想要知道骑行 50 分钟可以骑多远，他可以利用一次函数解决这个问题。
解：我们可以先通过已知数据构建一个一次函数。
选择时间作为自变量 x，距离作为因变量 y。
现在我们来求解 a 和 b 的值。
已知点 A (10, 1) 和点 B (20, 2)，可以利用两点间的斜率公式计算 a的值：a = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (20 - 10) = 1 / 10 = 0.1接下来，我们可以代入其中一点的坐标和已知的 a 值，求解 b 的值：1 = 0.1 * 10 + bb = 1 - 1 = 0所以，一次函数为 y = 0.1x + 0。
现在可以利用求得的一次函数来解决问题。
当 x = 50 时，我们可以通过函数表达式求得对应的 y 值：y = 0.1 * 50 + 0 = 5因此，小明骑行 50 分钟可以骑行 5 千米。
二、利用一次函数解决图像问题一次函数的图像是一条直线，通过直线的性质，我们可以解决一些与图像相关的问题。
下面举例说明：例2：某公司生产零件，每天生产数量与花费的时间之间呈一次函数的关系。
已知当生产数量为 1000 时，需要 4 小时。
而当生产数量为2000 时，需要 8 小时。
现在需要求解该函数的表达式并计算生产 3000 个零件所需的时间。