4.4群与代数方程根式可解性
代数的历史与发展

代数的历史与发展代数学(algebra)是数学中最重要的分支之一。
代数学的历史悠久,它随着人类生活的提高,生产技术的进步,科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中,代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展,而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。
该著作名为”ilm al-jabr wa’I muqabalah”,原意是“还原与对消的科学”。
这本书传到欧洲后,简译为algebra。
清初曾传入中国两卷无作者的代数书,被译为《阿尔热巴拉新法》,后改译为《代数学》(李善兰译,1853)。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论,主要研究某一方程(组)是否可解,怎样求出方程所有的根(包括近似根)以及方程的根所具有的各种性质等。
代数之前已有算术,算术是解决日常生活中的各种计算问题,即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同,主要区别在于代数要引入未知数,根据问题的条件列方程,然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题,早在古埃及的数学纸草书(约公元前1800年)中就有了启示,书中将未知数称为“堆”(一堆东西),并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法,在汉穆拉比时代(公元前18世纪)的泥板中,就载有二次方程问题,甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论:在什么意义下能把巴比伦数学看成代数?古希腊时代,几何学明显地从代数学中分离出来,并在希腊科学中占统治地位,其威力之大,以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言:量被理解为长度,两个量之积解释为矩形、面积等。
现在数学中保留的称二次幂为“平方”,三次幂为“立方”,就是来源于此。
古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。
该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题,出现了缩写符号和应用负数之例。
第六章 群论

1824年到1826年,挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理:一般 高于四次的方程不可能代数求解。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题,在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果, 只是阿贝尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。
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对称性最为神奇的一点:和物理世界中的守恒一一对应。
物理学定律是不因时间的流逝而改变的,换言之它在时间变换下对称; 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一:能量守恒; 物理学定律又不随着空间的位置而改变,这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律:动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米· 诺特(Emmy Noether)女士发现: 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。
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“群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题, 但是今天它的应用场合已被大大拓展,最大用途是 关于“对称性”的研究,所有具有对称性的东西, 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变,就 是对称的。
几何体当然可以是对称的:一个圆左右翻转后还是圆,旋 转180度后还是圆,所以它在这两种变换下是对称的。 非几何体的抽象概念:比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数, 无论怎么调换x、y、z的位置,都是不变的;或者sin(t), 用t+2π代替t,也是不变的。
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定理6.1 : 一个半群(S , ),如果它有一个子代数系统
子集、运算相 同,且封闭
(M , ),则该子代数也是一个半群。
代数课程思想方法介绍

若想谈论尺规作图不能问题,要把含直观因素 的尺规作图概念进行公理化(数学模型),用 代数方法解决问题.
尺规作图是从已知一些初等几何图形,一些线 段,一些点,而求出一些初等几何图形,线段, 点等.
即,已知平面上的一些点,要求尺规作出另一些 点来.
取定某线段为单位长的坐标系,平面上的点可以 用 (a,b) R R 表示。这样,尺规作图问题是:已 知一些实数 1, a1, a2,...an ,要求用尺规作图作另一 些数 b1,b2 ,...bn.
说明1,2,...,n为根,(1),(2 ),...,(n )也为根 故(1),(2 ),...,(n )是1,2,...,n的一个排列.
K中具有性质*的所有双射成一个群,K的伽罗华群(p(x)的
伽罗华群),它是 S11 的子群。
定理
p(x) 0可根式求解 相应的伽罗华群是可解群。
伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的,论文寄给当 时一流的数学家庞加莱,他没有看懂,丢在一边。 40~50年后,才被发现.创立了群的理论,创立 了近代的代数学.
则( 0; , )就是复数域, a bi | a,b ,i2 1
0 , : (a,b) (a bi)
再扩充下去:四元数,八元数
(6) 代数数,超越数
是某有理系数多项式p(x)的根的实数称为代数数。
不是任一个有理系数多项式的根的实数称为超越数。
有理数
代数数
实数
无理数
超越数
e,都是超越数,2 2,e是超越数
{an} {bn} {an bn},
{an} {bn} {anbn}, ( 0; , )就是实数域。
(5) 复数域
定义:含有实数域 和i的最小域 ,称为复数域,
群的基本概念

3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A (BB-1)A-1
3, 单位元(不变元素)E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证:(1)E-1 E= E E-1 = E (令:A=E, 由A-1 A = A A-1 =E ) (2)E E-1 = E-1 E = E-1 (令:A= E-1 , 由EA = A E= A ) 由(1)和(2) E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法,泊松感到难于理解。几个 月后,他将论文退还给伽罗瓦;嘱咐写一 份详尽的阐述送来,可是,伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里,伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动,被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月,他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱,遭受路易--菲利浦王朝的迫害,直到1832 年4月29日,由于监狱里流行传染病,伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久,伽罗瓦的眼睛盯上了:高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时,意大利数学家塔塔利亚和卡当等人, 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年,卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时,数学家们非常乐观,以为马上就 可以写出五次方程、六次方程,甚至更高次方程 的求根公式了。然而,时光流逝了几百年,谁也 找不出一个这样的求根公式。
代数学的新生

阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次
方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发
现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后
人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,
得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这 些工作使他成为分析学严格化的推动者。
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阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数 论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的 加法定理、双周期性、并引进了椭圆积 分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的积 分(现称阿尔贝积分),其中R(x,y)是x 和y 的有理函数,且存在二元多项式 f , 使 f ( x,y)=0。他还证明了关于上述积分 之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言: 若干个这种积分之和可以用g个这种积 分之和加上一些代数的与对数的项表示 出来,其中g只依赖于f,就是f的亏格。
们都被不可克服的困难阻挡住了;把细枝末节完善化看来是剩
下来惟一可做的事情了,所有这些困难好象是宣告我们的分析
的力量实际上是已经穷竭了。”
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这种世纪末悲观主义的由来,可能是因为17、18世纪数学与 天文力学的紧密结合,使部分数学家把天文与力学看成是数学 发展的几乎惟一源泉,而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进 入低谷,就会使人感到迷失方向。18世纪末出现的数学悲观主 义具有深刻的认识论背景。
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第1卷(1826)刊登了7篇阿贝尔的 文章,其中有一般五次方程用根式不能 求解的证明。以后各卷也有很多他的文 章。1826年阿贝尔到巴黎,遇见了勒让 德和柯西等著名数学家。他写了一篇关 于椭圆积分的论文,提交给法国科学院, 不幸未得到重视,他只好又回到拍林。 克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。 阿贝尔(1802~1829)
群的等价定义及其证明

群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系,是代数结构中重要的一种.群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题.这是数学史中一块众所周知的里程碑.随后人们在理解了Galois 的思想之后,于19世纪中叶给出了抽象群的概念,开始以公理化的方式研究群.群论是近世代数的重要内容,近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用,因而群论是现代科学技术的数学基础之一.时至今日,群论的发展已日趋完善,在各个学科领域得到广泛的应用.为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念,以下给出了群的近十种定义,并通过证明,阐明群的各个定义间的等价关系.2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合,映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算.称(),,A B C σ⨯是一个代数系,特别地,当B C =时,称σ是A 左乘B 的代数运算,当A C=时,称σ为B 右乘A 的代数运算,当A B C ==时,称σ为A 的一个二元运算,此时代数系统记作()σ,A 或简记作A .半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统,定义A 的一个二元运算“ ”,我们称它为乘法运算,如果“ ”满足结合律,则称() ,A 是一个半群.幺半群[]1(7)P () ,A 是半群,如果有e G ∈,恒有a ae ea ==,则称e 是A 的单位元,又称幺元,() ,A 就称为幺半群.为简便其间,在以下群的定义当中所定义的二元运算,即乘法运算“ ”不再书写.3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元,则称() ,G 是一个群.定义 2 设G 是半群,G 中存在左幺元素e (即对a G ∈,均有ea a =),并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=), 则称G 是一个群.定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ,对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如:Ⅰ.G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ.结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ.G 里至少存在一个左单位元e ,能让ea a =,对于G 的任何元a 成立;Ⅳ.对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个左逆元a1-,能让1a a e -=. 定义 4[]3(21)P 设G 是半群,对于任意元素a 、b ∈G ,方程ax =b 和xa =b 在G 都可解,则称G 为群.定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群,假如:Ⅰ.G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ.结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ.对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解.定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合,具有一个叫乘法的代数运算,称G 是一个群,假如满足:Ⅰ.封闭性: ∀a 、b ∈G ,∃c G ∈,使ab =c ;Ⅱ.结合律: ∀a 、b 、c G ∈, ()bc a =()c ab ;Ⅲ.右单位元: ∃e G ∈,∀a ∈G ,a ea =;Ⅳ.右逆元: ∀a ∈G , ∃1-a ∈G ,e a a =-1.定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群,假如:Ⅰ.G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ.结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ.G 里至少存在一个单位元e ,使a ea ae ==,对于G 的任何元a 成立;Ⅳ.对于G 的每一个元a , G 里至少存在一个逆元1-a ,使 a a 1-=a 1-a =e .定义 8 设一个非空集合G ,对于一个叫做乘法的代数运算,称G 是一个群,假如满足:Ⅰ.封闭性: a ∀、b G ∈,ab ∈G ;Ⅱ.结合律: a ∀、b 、c G ∈,()bc a =()cab 成立; Ⅲ.存在右单位元,即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ.存在左逆元,即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ.左商不变性: 对a ∀、b ∈G , 都有11--=bb aa.4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ,对∈∀a G 使得a ae ea ==,且每个元都有逆元.显然,G 中存在左幺元e 使a ae =.并且G 中每个元素均有左逆元1-a ,使得1a a e -=.定义2⇒定义3 显然成立.定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ,并且对a ∀、b G ∈,G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=,1b b e -=,ea a =,由封闭性1ba G -∈,显然1ba a b -=,即xa b =在G 中有解,再由ax b =,可得11a ax a b --=.显然易得1ex x a b -==,且有1a b G -∈,因而ax b =在G 中也有解.定义4⇒定义5 显然成立.定义5⇒定义6 由定义5可知,在G 里对a G ∀∈ ,ax a =有解,设x e G =∈即ae a =.对b G ∀∈, ya b =在G 里有解,则be yae ya b ===,所以e 为右单位元.且有ax e =在G 中有解,设1x a -= 即1aae -=.由a 的任意性可得,对于G 里的每个元a ,在G 里至少存在一个右逆元1a -,使1aa e -=.定义6⇒定义7 由定义6可知,G 里面存在右单位元e ,对于a G ∀∈,都有右逆元即1ae a aa e -==,.设元1a -的右逆元为11a -,即111a a e --=,又111111a ea a a e ----=,可得1111a aa a e ---=,得1a a e -=.显然1a -同为a 的左逆元,又由于1ae aa a ea a -===,e 同时为左单位元,所以G 里面至少存在一个单位元e ,能让ae ea a ==.同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==,其中a G ∀∈.定义7⇒定义8 由定义7可知,在G 里存在右单位元e ,使得a G ∀∈,ae a = ,存在逆元,即对于a G ∀∈,1a G -∃∈使得11a a aa e --==.显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈,使得1a a e -=.且对a b G ∀∈,,即11a b G --∃∈,,使得11aa bb --=.定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合,根据定义8可知,G 中存在右单位元e ,使得对a G ∀∈,都有ae a =.且每个元都有左逆元.则有1e G -∈,使得11e e e e --==.且可知1ee ee e -==.对1a G -∈使得1a a e -=,11aa ee e --==.由a 的任意性可知,G 里每个元素都有右逆元.又由1ae aa a a -==,可得ea a =,即e 同时为左单位元.显然(),G 为幺半群,且每个元都有逆元.5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合,对于一个叫做乘法的代数运算, 称G 是一个群,假如满足: Ⅰ.封闭性: a b G ∀∈、,bc G ∈;Ⅱ.结合律: a ∀、b 、c ∈ G ,()bc a =()c ab 成立;Ⅲ.左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ,若zy zx =,则y x =,右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ,若yz xz =,则y x =.证明 (此处用定义1的各个条件证明G 是一个群)集合G 是代数运算封闭且满足结合律.则首先是个半群.因G 为限集,不妨设G n =,对于a G ∀∈,设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅,显然'G 中元素的个数有1n +个.又有'G G ⊂,所以'G 中至少有两个元素相等.在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+.再设G 存在元素1e ,使得1j j a e a =,那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=,由左消去律得1i j a e G -=∈,显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===,有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=,由右消去律可得i j a a a -=,即1e a a =,易知1ae a =.对∀b G ∈,同理有2e G ∈,使得22e b be b ==.由等式1212ae be e ae b =,变形整理得12ae b ae b =,由消去律可得12e e =.不妨设12e e e ==,由,a b 的任意性,可知对c G ∀∈,有ec ce c ==,即G 存在单位元e .由以上可知对于a G ∀∈,显然有m a e =,(m 为整数).令11m aa --=,则11a a aa e --==,所以G 里每个元素都有逆元.6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是:若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M (数学中的对象大致都具有这种形式)时,我们就把所有保持这些关系不变的,集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称,即为集合M 的对称群[]4(11)P . 在此补充以下几个定义.1) 置换:一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P .2) 置换群:一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P .3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群,这个群通常用n S 来表示[]()250P .下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质.我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x ),每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑.其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅,{}0i Z α+∈而a F α∈.令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅,则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换,略去字母x 的下标,这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列,而()j j i σ=.利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射. [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ,2x 换成2i x ,⋅⋅⋅后所得到的多项式,显然σφ是集合[]F x 的一个变换.令{}|n n T S σφσ=∈,n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合.定义“ ”为变换之间的乘法运算.证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群.证明 任取,n S σθ∈,令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ:()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ: ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性.对,,n S σθϕ∀∈,则有对应的,,n T σθϕφφφ∈,可得等式:()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==,()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==, 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律.对单位元n I S ∈,则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==. 令()11σσφφ--=,显然()n T ∈-1σφ, 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===. 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元.进而可知()n T 为[]F x 的置换群.令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式,令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=,同理可证(),f S 满足群的各个条件,即f S 为群.则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体,()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群,称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈,则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=,所以()n AB SL Q ∈,运算满足封闭.由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律.又有单位矩阵I ,||1I =即()n I SL Q ∈,显然I 为()n SL Q 里的单位元.再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1,显然每个元都可逆,设1A -为A 的逆矩阵,则1AA I -=.由此可得11||||||1AA A A --=⨯=,易得1||1A -=,即()1n A SL Q -∈.由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元.所以()(),n SL Q 是一个群.例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类,定义n Z 中的加法运算“⊕”.即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+.则()n Z ⊕构成群,称之为剩余类加群[]1(4951)P -.证明 由剩余类的性质,显然易知“⊕”满足封闭性,结合律.同样不难证明[]0为n Z 的单位元.对[]n i Z ∀∈,易得[]n i -为其逆元.很显然()n Z ⊕是一个群.例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合,那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ,用θτ表示旋转θ角的旋转.定义运算“”:1212θθθθτττ+=,则(),G 是一个群,也称为平面运动群[]2(48)P .证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭,结合律显然成立,单位元0e G τ=∈,再有对G θτ∈,其逆元,显1G θθττ--=∈然G 是一个群.例 4 若p 为素数,p N 表示关于模p 所有余数构成的集合,即小于p 的非负整数集合.定义pN中的运算“p ⋅”.对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群,并称为模p 乘群,或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-,(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性. 同样不难得知,运算满足结合律.很显然{}10p N ∈-,不难验证1为{}0p N -中的单位元.验证{}0p N -中元素有逆元,任取{}0p a N ∈-,则0a p <<,(),1a p =.因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=,从而得(),1c p =.当记mod p c c p =时,显然有1p c p ≤<,这表明{}0p p c N ∈-,进而可得等式:()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元.由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元.所以说{}p p N ⋅-,0是群.参考文献:[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山,李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海:上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海:复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
近世代数发展简史

近世代数发展简史根据课程教学安排,通过查阅近世代数发展历史的相关资料,了解了相关的知识,并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解,以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。
一、近世代数的定义代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算,以及群、环、域、模等为研究对象的学科,而近世代数(又称抽象代数)是代数学研究的一个重要分支,主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构,并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子,它不仅在代数学中,而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。
二、近世代数的发展代数学的起源较早,在挪威数学家阿贝尔(Abel,.)证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念;1830年,年仅19岁的伽罗瓦(Galois,E.)彻底解决了代数方程的根式求解问题,从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念;后来,凯莱(Cayley,A.)在1854年的文章中给出有限抽象群;戴德金(Dedekind,)于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群;克莱因(Klein,.)于1872年建立了埃尔朗根纲领,这些都是抽象群产生的主要源泉。
然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯(Weber,H.)在的同一期分别给出有限群的公理定义,1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。
由于李(Lie,.)对连续群和弗罗贝尼乌斯(Frobenius,.)对群表示的系统研究,对群论发展产生了深刻的影响。
同时,李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念,然而,它的发展却是19世纪末和20世纪初,由基灵(Killing,)、外尔(Weyl,(.)H.)和嘉当(Cartan)等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽是戴德金较早引入的,但域的公理系统却是迪克森(Dickson,.)与亨廷顿(Huntington,.)于19世纪初才独立给出。
数与代数在这一部分内容主要包含一、数与式;二、方程与

数与代数在这一部分内容主要包含:一、数与式;二、方程与不等式;三函数。
一数与式(一)重点是:关于数与式的主要内容,包括有理数、实数、代数式和二次根式,代数式主要是整式和分式。
这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义,建立数感,理解代数式的表述功能,建立符号感,同时理解运算的意义,强调运算的必要性。
(二)内容的变化(1)降低了对于实数运算的要求。
比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根,用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根”。
(2)取消了对“有效数字”的要求,但重视学生的估算能力,要求学生理解近似数。
例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值”。
(3)与实验稿比较,加强了对二次根式的要求,比如对二次根式的化简,分母有理化,但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
(4)在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义。
”(5)注重代数式的实际应用和实际意义。
例如要求“能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示。
”以及“会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算。
”(6)对于代数式的意义,除了关注数学意义外,还关注现实的意义。
(7)强调几何直观的作用。
(8)知道|a|的含义(这里a 表示有理数)。
二方程与不等式(一)重点方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容,一个就是关于方程的,比方说一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程,可化为一元一次方程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式,和一元一次不等式组。
方程和不等式这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想,也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象,用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来,然后进行讲学,最后运用到现实问题。
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这里说明一下,所谓的方程有根式 解(即代数可解),就是这个方程的解能 够由该方程的系数经过有限次加减乘除以 及开整数次方运算来表示.
从代数方程的根解法的发 展过程来看,早在公元前1700年左 右,古巴比伦人就能够用根式求解 一元二次方程ax2+bx+c=0了.
而直到3000多年之后,16世纪的 文艺复兴时期,三次方程 x3+ax2+bx+c=0和四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0的求根公式才由意 大利数学家给出.到了16世纪中叶, 用根式求解四次或四次一下方程的问 题获得了圆满解决.
人们为了纪念他,把用群论的方法 研究方程根式解得理论称为伽罗瓦理 论. 更重要的是,群论开辟了全新的研 究领域,以结构研究代替计算,在错综 复杂的现象中寻求共同的结构,把偏重 计算研究的思维方式转变为用结构观念 研究的思维方式.
群论迅速发展成为了一门崭新的数 学分支,对近世代数的形式和发展产生 了巨大影响.群是一个高度抽象的概念, 群论对于数学的其他分支,如数学分析、 几何学、物理学、化学的发展,甚至对 于20世纪结构主义哲学的产生和发展都 发生了巨大的影响.
在1824—1826年,年轻的挪威数学 家阿贝尔严格证明了:对于方程 xn+a1xn-1+…+an=0,如果其次数n≥5,并且 系数a1,a2,...,an看成是字母,那么任何一 个由这些字母组成的根式都不可能是方程 的根.这样,五次和高于五次的一般方程 的求解问题就有阿贝尔解决了.
阿贝尔还考虑了一些特殊的能用根 式求解的方程,其中的一类现在被称为 “阿贝尔方程”. 阿贝尔关于代数方程的工作只是证 明对于一般的五次和五次以上方程根式 解是不可能的,但并不妨碍人们去求一 些特殊代数方程的解,不如阿贝尔方程 的根式解.
旧知回顾
“群”的概念经过前面几讲的学 习,相信同学们已经对它有了很好 的认识.“群”基本内容就是这 些.
新课导入
群理论是丰富多彩的.同学们有没 有想过,是那个聪明人发明的呢?在这 一节中,我们来介绍“群”这一概念是 怎么提出来的.
教学目标
知识与能力
• 了解代数方程的发展历程. • 认识一些伟大的数学家.
面对这样漂亮的结果,数学界迎来 了一个挑战:探寻五次和五次以上方程 的根式解.但是经过以后近300年的努 力,一直没有得到结果.在这期间,几 位数学家的卓越工作是值得一提的.
首先是数学家拉格朗日.
约瑟夫· 路易斯· 拉格朗日 (1735~1813)法国数学家、物理学 家.1736年1月25日生于意大利都灵, 1813年4月10日卒于巴黎.他在数学、 力学和天文学三个学科领域中都有历 史性的贡献,其中尤以数学方面的成 就最为突出.
首先来介绍一下伽罗瓦. 伽罗瓦(公元1811年~ 公元1832年)是法国 对函数论、方程式论 和数论作出重要贡献 的数学家,他的工作 为群论(一个他引进 的名词)奠定了基 础.
“群”这一概念是由法国数学家伽 罗瓦在1831年首次提出的,当时的代数 学仍是一门以方程为中心课题的数学学 科,代数方程的求解问题依然是代数学 的基本问题,特别是用根式求解方程.
在阿贝尔的工作之后,数学家所 面临的一个问题就是:什么养的特殊 方程能够用根式求解?这个问题稍后 被同样年轻的数学家伽罗瓦解决 了.对方程的根式可解问题的研究直 接导致了群伦的建立.
伽罗瓦继承和发展了前人及同时 代人的研究成果,融汇贯通了他们的 数学思想,并且凭着对数学特性的一 种直觉,超越了他们.
他首先提出了根的置换概念,主意 到每个方程都可以与一个置换群(伽罗 瓦群)联系起来,方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统.这样, 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决,而且他最终以群论为工具, 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答.
伽罗瓦是一位天才的数学家,他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著, 如勒让德德经典著作《几何原理》,拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》, 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作,打 下了坚实的数学基础.
在1770年前后,法国数学家拉格朗日 利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解 式方法),详细分析了二、三、四次方程 的根式解法,提出方程根的排列与置换理 论是解代数方程的关键所在,他的工作有 力地促进了代数方程论的进步,但他的这 种方法却不能对一般五次方程求解.
接下来是数学家阿贝尔.
尼耳期.亨利克.阿贝尔(1802- 1829)1802年8月出生于挪威的一个农 村.他很早变显示了数学方面的才华.16 岁那年,他遇到了一个能赏识其才能的 老师霍姆伯(Holmboe)介绍他阅读牛 顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作.大 师们不同凡响的创造性方法和成果,一 下子开阔了阿贝尔的视野,把他的精神 提升到一个崭新的境界,他很快被推进 到当时数学研究的前沿阵地.
伽罗瓦在21岁时就因一场决斗而 早逝.在他临终前给朋友的一封绝笔信 中,伽罗瓦写下了有关他研究的一份说 明.这封信,说明了伽罗瓦对数学本质 尤其是数学方法的追求和探索,展示了 他对现代数学的远见卓识.
在最后介绍一下文中提到的几位 大数学家.首先是勒让德.
勒让德(1752~1833)法国数学 家.1752年9月18日生于巴黎 ,1833 年1 月10日卒于同地.1770 年毕业于马萨林 学院 .1782 年以外弹道方面的论文获 柏林科学院奖.1783年被选为巴黎科学 院助理院士,两年后升为院士.1795年 当选为法兰西研究院常任院士.1813年 继任J.-L.拉格朗日在天文事务所的职 位.
正像人们评价的,“群的概念是 近世科学思想出色的新工具之 一”“无论在什么地方,只要能应用 群论,就能从一切纷乱混淆中立刻结 晶出简洁与和谐”.
虽然伽罗瓦理论被公认为19世纪最 杰出的数学成就之一,但对19世纪初的 人来说太深奥了,就连当时的数学大师 都不能理解伽罗瓦的数学思想和他的工 作的实质,以至于他的论文得不到发表, 且在以后的几十年中一直被人们看成是 一部“天书”.
过程与方法
• 通过丰富的故事来了解方程的发展历程.
• 了解一些伟大的数学家.
• 以故事的形式,介绍群的产生.
情感态度与价值观
• 让学生感受到数学的发展历程. • 培养学生对数学的浓厚兴趣.
• 培养合作交流意识.
教学重难点
• 了解代数方程的发展历程. • 了解伽罗瓦群论思想的形成. • 了解认识一些伟大的数学家.