高中物理：确定磁场最小面积的方法
带电粒子在磁场中的最小范围问题
一、磁场范围为圆形
例1 一质量为m 、带电量为q的粒子以
速度 从O点沿 轴正方向射入磁感强度为B
的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于 纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如 图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小 面积； （2）粒子从O点进入磁场区到 达点所经历的时间； （3） 点的坐标。
例3 如图，一个质量为m，带电量为 的粒子在BC边上的M点以速度 垂直于BC边飞入正三角形ABC。 例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如图所示。
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为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正方向运动，求符合该条件磁场的 最小面积。
为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强 磁场。
（1）粒子在磁场里运动
的轨道半径ｒ及周期T；
（2）该粒子在磁场里运 动的时间t； （3）该正三角形区域磁 场的最小边长；
（1）
（2）Leabharlann （3）四、磁场范围为树叶形
例4 在平面内有许多电子（质量为m、电量 q为），从坐标O不断以相同速率vo沿不同方 向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直 于 平面向内、磁感强度为B的匀强磁场， 要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向正 方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
带电粒子在磁场中运动之
有界磁场最小面积全攻略
有界磁场最小面积全攻略作者：高爱虎来源：《中学物理·高中》2013年第12期带电粒子在磁场中的运动问题，既是高中物理的重点，也是学生学习的难点，同时又是高考的热点.而这类问题中求解有界磁场最小面积的题目更是近年来高考及各类试卷的“新宠儿”.求解有界磁场的最小面积的题目主要考查了学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力，它能够很好的体现高考对学生“分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力”的考查.其难点在于粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入磁场点、射出磁场点的确定.下面按磁场区域的形状分类解析.1磁场区域为矩形例1如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点A（L，38L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点B（L4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面向里的矩形匀强磁场区域，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力.求：（1）电子经过B点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B的大小和矩形磁场的最小面积S.小结求解该类问题时，应依据题意确定圆心的位置、圆的半径、射入磁场点、射出磁场点，从而画出粒子在磁场中运动的部分圆弧；让矩形的一边与射入、射出磁场点的连线重合，另一边（运动轨迹小于半圆周）或三边（运动轨迹大于半圆周）与圆弧相切，据此画出能恰好覆盖运动轨迹的矩形即是最小.2磁场区域为圆形小结磁场区域为三角形的题目当三角形边长最小时粒子圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆，因此在计算最小边长时要注意等边三角形三边的三条中垂线中只有射入、射出磁场点所在边的中垂线过轨迹圆的圆心.4磁场区域为树叶形磁场区域为树叶形的题目的特征是大量相同带电粒子都过磁场中某点.设大量质量为m、带电量为q的粒子以相同速率v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，且均过磁场中某点P.则粒子将在磁场中做半径为r=mvBq的匀速圆周运动，且轨迹圆的圆心集合是以P点为圆心、r为半径的圆（以下统称“圆心圆”），如图7虚线所示.下面利用“圆心圆”的知识求解树叶形磁场的最小面积.例4（2009年海南卷）如图8，ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.小结沿“圆心圆”的部分弧平移某条半径即可找到相应的磁场区域边界，从而求出磁场的最小面积.。
磁场中的最小面积及动态圆积问题
磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。
【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。
若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。
【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。
【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。
求磁场区域最小面积的三类问题
求磁场区域最小面积的三类问题1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0<v ≤BE）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。
求：（1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间；（2）速度最大的粒子打在水平线POQ 上的位置离O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积。
3、如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
18 磁场最小面积问题—高中物理三轮复习重点题型考前突破
一、磁场形状为圆状的最小面积计算1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。
现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆形有界磁场边界上Q点(3l6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。
求：(1)匀强电场的电场强度E的大小？(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？(3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则a＝eE mv y＝atl＝v0tv0＝v y tan 30°解得E＝3m v20 el。
(2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30°x D＝3l 6所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。
设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋r sin 30°＝l (有r ＝l3)t ＝13TT ＝2πm eB ⎝ ⎛⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl9v 0。
(3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l6S ＝πr 21＝πl 212。
答案 (1)3m v 20el (2)6m v 0el ，πl 9v 0(3)πl 2122．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。
磁场中的最小面积问题
磁场中的“最小面积”问题河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。
很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。
那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。
相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。
例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。
角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得："二崂则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺qB由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以0,为圆心、R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。
为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。
磁聚焦最小磁场面积
磁聚焦最小磁场面积磁聚焦技术是一种利用磁场对带电粒子进行引导和控制的方法。
在磁聚焦过程中，带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，沿着特定的轨迹运动。
为了使粒子聚焦在某一特定点上，需要满足一定的条件，其中最关键的是磁场的最小面积。
最小磁场面积是指为了使带电粒子聚焦在某一特定点上，所需要的最小的磁场覆盖区域。
这个面积的大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。
理论上，最小磁场面积可以通过计算洛伦兹力与粒子运动方向的夹角来确定，但在实际应用中，通常需要通过实验来找到合适的磁场配置。
为了确定最小磁场面积，需要进行一系列的实验和模拟。
这些实验和模拟需要考虑不同的磁场强度、粒子速度和夹角等因素，以找到使粒子聚焦在最佳位置的磁场配置。
在实际应用中，最小磁场面积的大小通常由磁透镜的设计和制造精度来决定。
除了最小磁场面积外，磁聚焦技术还有其他重要的参数和限制。
例如，磁场的均匀性和稳定性对聚焦效果有很大影响。
如果磁场不均匀或不稳定，带电粒子可能会偏离理想的轨迹，导致聚焦效果不佳。
因此，在实际应用中，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等，以确保磁聚焦系统的性能和精度。
另外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。
在这些领域中，磁聚焦技术的作用是控制和引导带电粒子的运动，使其按照特定的轨迹和速度运动。
通过优化磁场的设计和配置，可以提高这些应用的性能和精度，推动相关领域的发展。
总之，磁聚焦技术是一种重要的控制和引导带电粒子的技术。
最小磁场面积是磁聚焦过程中的一个关键参数，其大小取决于粒子的速度、电荷量和磁场的强度等因素。
为了实现最佳的聚焦效果，需要综合考虑各种因素，包括磁场的设计、制造和校准等。
此外，磁聚焦技术还可以应用于其他领域，如粒子加速器、核聚变、医学成像和电子显微镜等。
通过不断优化磁场的设计和配置，可以推动相关领域的发展和技术进步。
磁场大小计算公式
磁场大小计算公式
磁场大小的计算公式是非常重要的，因为它可以帮助我们确定磁场的强度和方向。
首先，要明白一个基本的概念，那就是磁场是由带电粒子运动产生的。
当电子在运动时，它们会产生磁场，这是由于电荷的运动导致了电场的变化，从而产生了磁场。
那么，如何计算磁场的大小呢？根据磁场的定义，我们知道磁场的大小是由磁场力线的密度来决定的。
换言之，磁场的大小与磁通量密度有关。
磁通量密度是指在一个垂直于磁场方向的面上通过的磁通量与这个面积的比值，用符号B表示。
具体的计算公式是：
B = Φ / A
其中Φ是通过这个面积的磁通量，A是这个面积的大小。
如果我们知道磁场力线的密度，就可以用这个公式来计算出磁通量密度。
反过来，如果我们知道磁通量密度，就可以用这个公式来计算出磁场力线的密度。
另外，还有一种计算磁场大小的方法，那就是根据磁场的源头来计算。
磁场的源头是指产生磁场的物质，例如磁铁、电流等。
根据毕奥-沙伐定律，产生磁场的物质会对周围的空间产生一个磁场，磁场的大小与磁场源头的性质有关。
如果我们知道磁场源头的性质，例如磁体的磁感应强度或电流的大小，就可以用相应的公式来计算出磁场的大小。
总之，磁场大小的计算公式是一项非常重要的知识，在研究磁场的性质和应用中都具有重要的指导意义。
希望大家能够好好掌握这一知识点，为未来的科学研究和应用奠定坚实的基础。