高中数学-数列章节复习-教师(十)

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高中数学数列知识点归纳

高中数学数列知识点归纳摘要：一、数列的概念与分类1.数列的定义2.等差数列与等比数列3.几何数列与调和数列二、数列的性质与运算1.数列的项与公比2.数列的求和公式3.数列的性质及其应用三、数列的递推关系式1.递推关系式的定义2.常见的递推关系式3.递推关系式的应用四、数列的通项公式1.通项公式的定义2.常见的通项公式3.求解通项公式的方法五、数列的极限与无穷级数1.数列的极限2.无穷级数的概念与性质3.级数的收敛性与发散性正文：高中数学的数列知识点是数学学习中的一个重要部分，它涉及到数列的概念、分类、性质、运算、递推关系式、通项公式以及极限和无穷级数等内容。

首先，我们要了解数列的概念与分类。

数列是一组按照一定规律排列的数字，可以用来描述事物的发展和变化规律。

根据数列中相邻两项的关系，数列可以分为等差数列和等比数列。

等差数列是相邻两项之差相等的数列，而等比数列是相邻两项之比相等的数列。

此外，还有几何数列和调和数列等特殊类型的数列。

其次，我们要掌握数列的性质与运算。

数列的项是指数列中的每一个数字，而公比是指等比数列中相邻两项的比。

数列的求和公式是计算数列和的重要工具，而数列的性质如单调性、有界性等则是解决数列相关问题的关键。

递推关系式是描述数列的一种方法，它是指用一个已知项和其后的项的关系式来表示数列。

掌握常见的递推关系式，如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等，有助于我们更好地理解数列的规律。

数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。

求解通项公式是数列学习中的难点，需要我们灵活运用数学方法。

最后，我们要了解数列的极限与无穷级数。

数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的值趋于一个确定的值。

无穷级数是指一个数列的所有项按照一定的方式排列组成的级数。

理解级数的收敛性与发散性，有助于我们更好地把握数列的性质。

总的来说，高中数学的数列知识点繁多且重要，需要我们认真学习并掌握。

高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结知识网络二、知识梳理一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n（；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：① q pa a n n +=+1；②nn n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式：⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=nn S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .例4已知数列{}n a 中，nn n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“nn n n f a a )(1+=+求解.例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式. 小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）构造等差、等比数列求通项：①q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.3、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a 。

高二数学第3章数列课件第3章数列 5.数列复习

第1页共4页数列复习小结一.知识网络:二.要点提示:1.数列的定义:按一定次序排列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前n 项和:对于任意数列{}n a ,其通项是a n 和它的前n 项和n S 之间的关系是:⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a ,*),2()1(N n n n ∈≥=.3.求数列通项公式的方法:①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式a n ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一.②利用通项a n 和它的前n 项和n S 之间的关系是:, ③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解. ④其它方法:迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列,常用的两种基本方法．．．．:一是利用定义;二是利用等差中项（或等比中项）来进行证明.(注意:通项的特点与前n 项和的特点只用于判断)5.等差数列的性质:(1)数列{}n a 为等差数列，则a m = a n ＋（m －n ）d ,或mn a a d mn --=(2)数列{}n a 为等差数列的充要条件．．．．是:其通项公式可以写成a n = an ＋b (a,b 为实常数). (3)数列{}n a 为等差数列的充要条件．．．．112+-+=n n n a a a ,推广k n k n n a a a +-+=2(n>k.>0) (4)数列{}n a 为等差数列:若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+.等差数列的性质通项及前n 项和正整数集数列的概念等差数列等比数列等比数列的性质有关应用第2页共4页(5)数列{}n a 为等差数列,去掉前m 项,剩下的项构成等差数列. 推广：数列{}n a 为等差数列,则每隔k 项取m 项的和仍构成等差数列. (6)数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d 的等差数列.推广①:数列{}n a 为公差为d 等差数列:则在数列中每隔k 项取一项构成的数列是公差为d k )1(+的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推广②:数列{}n a 是公差为d 的等差数列,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7)数列{}n a ,{}n b 项数相同的等差数列:则{}n ka ,{}n n qb pa +,{}q p q pa n ,(+为常数)仍为等差数列.(8)数列{}n a 为等差数列,其前n 项和n S 可以写成b a bn an S n ,(,2+=为常数).(9)数列{}n a 为等差数列:则数列中依次每连续k 项之和构成的数列也是等差数列. (10)数列{}n a 为等差数列:奇S 表示奇数项的和,偶S 表示偶数项的和,若项数为n 2项时, 则有奇S －偶S = nd , 奇S /偶S = a n / a n+1;若项数为n 2－1项时,则有奇S －偶S = a n , 奇S /偶S = n / (n －1),n n a n S )12(12-=-. 6.等比数列的性质:(1)数列{}n a 为等比数列:m n m n n n m n m n n a a a q a a qa a +---⋅===211,,.(2)数列{}n a 为等比数列: 112+-⋅=n n n a a a ,推广m n m n n a a a +-⋅=2(n>m >0) (3)数列{}n a 为等比数列:k p n m +=+,则k p n m a a a a ⋅=⋅. (4)数列{}n a 为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列. 推广：数列{}n a 为等比数列,则每隔k 项取m 项的和(积)仍构成等比数列. (5)数列{}n a 为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列.推广①:数列{}n a 为公比为 q 等比数列:则在数列中每隔k 项取一项构成的数列是公比为1+k q 的等比数列.第3页共4页推广②:数列{}n a 为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列. (6)数列{}n a ,{}n b 为项数相同的等比数列:则}1{na ,}{n nb a ,{}n ka ,{}n n b a ⋅ ,{}k a kn (为常数)等仍为等比数列.(7)数列{}n a 为公比为q (q ≠±1)的等比数列:则数列中连续k 项之和(积)构成的数列是等比数列. (8)数列{}n a 为等比数列: (奇S 表示奇数项的和,偶S 表示偶数项的和)若项数为n 2项时,则有偶S /奇S = q ;若项数为n 2－1项时,则有(奇S －1a )/偶S = q. (9)递推公式为)1(1≠+=+p q pa a n n 的递推数列}{n a ,都可以转化为111n n qq a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭从而构造等比数列.7.等差数列与等比数列比较: 8.等差数列与等比数列的关系:(1)各项为正的等比数列{}n a ,其对数数列)1,0}({log ≠>a a a n a 为等差数列. (2)数列{}n a 为等差数列,则数列C C n a}({为正常数)为等比数列.9.数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和); ②错位相减法:(等比数列和差比数列);例1:求和:*)(432432N n na a a a a n∈+++++ . ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项);第4页共4页例2:求和:)12()12(1751531311+⋅-++⨯+⨯+⨯n n . 例3:求数列}11{++n n 的前n 项和.④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法); 例4:求数列: ,3211,,3211,211,1n +++++++的前n 项和n S . ⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解); 例5:求数列 ,21,,814,413,212,21-+n n 的前n 项之和.⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例6:已知数列6,9,14,21,30,…,其中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑求和记法用∑=nk ka1= n a a a a ++++ 321。

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数列1、数列中 a n 与 S n 之的关系：a nS 1 , ( n 1)S n S n 1 ,( n 注意通能否合并。

2).2、等差数列：⑴定：如果一个数列从第2 起，每一与它的前一的差等于同一个常数，即 a n － a n 1=d ，（n ≥ 2， n ∈N ），那么个数列就叫做等差数列。

⑵等差中：若三数a 、 A 、b 成等差数列a bA2⑶通公式： a n a 1 ( n1)d a m (n m)d或 a npn q ( p 、 q 是常数） .⑷前 n 和公式：S n na 1n n 1n a 1 a n2d2⑸常用性：①若 m n p q m, n, p, q N ， a m a n a p a q ；②下等差数列的 a k ,a k m , a k 2m , ，仍成等差数列；③数列a nb （,b 常数）仍等差数列；④若 { a n } 、 { b n } 是等差数列，{ ka n } 、 { ka n pb n } ( k 、 p 是非零常数 )、{ a p nq }( p, q N * )、，⋯也成等差数列。

⑤性： a n 的公差 d ，：ⅰ） d 0 a n 增数列； ⅱ） d0 a n 减数列； ⅲ） da n 常数列；⑥数列 { a n } 等差数列a n pn q （ p,q是常数）⑦若等差数列a n的前 n 和 S， S、S 2 k S k 、S 3k S 2k ⋯ 是等差数列。

nk3、等比数列⑴定：如果一个数列从第 2 起，每一与它的前一的比等于同一个常数，那么个数列就叫做等比数列。

⑵等比中：若三数a 、G 、b 成等比数列 G 2 ab, （ ab 同号）。

反之不一定成立。

⑶通公式：a n a 1q n 1 a m q n m⑷前 n 和公式： S na 1 1 q na 1 a n q1 q1 q⑸常用性①若 m n p q m, n, p, q N， a ma n a p a q ；②,, , 等比数列，公比qk下成等差数列的成等比数列a k ak mak 2m( ), ③数列a n （不等于零的常数）仍是公比q 的等比数列；正等比数列a n ；lg a n 是公差 lg q 的等差数列；④若a n 是等比数列，ca n ，a n 2 ， 1，a nan r( r Z) 是等比数列，公比依次是q ， q21 r.，， qq⑤ 性：a 10, q 1或 a 1 0,0q 1a n 增数列； a 1 0,0 q 1或 a 1 0, q 1a n 减数列；q1a n 常数列；q 0a n 数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

高中数学必修5数列全章知识回顾

必修5数列全章知识回顾一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()144n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （2）数列}{n a 的通项为1n na n =+，则n a 与1+n a 的大小关系为___二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和，求证：以b n =n Sn（*n N ∈）为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如（1）等差数列 {}n a 中，公差12d =，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ； ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

高中数学必修5数列的综合复习(详解)

高中数学必修5数列的综合复习（详解）【本讲要紧内容】数列基础知识数列的概念、数列的通项公式、数列的递推公式、数列通项公式与前n 项和公式的关系。

【知识把握】【知识点精析】1. 数列知识有着广泛的应用，而且学习数列对培养和提高观看、分析、归纳等能力都有重要的作用。

2. 数列基础知识〔1〕数列按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做那个数列的项，各项依次叫做那个数列的第1项〔或首项〕，第2项，…，第n 项，…。

例如1，4，7，10，13；1，2，3，4，…，n ，…差不多上数列，数列的一样形式能够写为⋯⋯,,,321n a a a a ，，其中n a 是数列的第n 项，我们常常把上面的数列简记作{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，如上面例子中的第1个数列；项数无限的数列叫做无穷数列，如上面例子中的第2个数列，另外，我们依照数列各项数值大小的变化，能够分成递增数列，递减数列，摆动数列和常数数列。

对数列要从函数的高度深刻明白得，数列是定义域为正整数集或它的有限子集上的函数值列。

〔2〕数列的通项公式假如一个数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系能够用一个公式来表示，那么那个公式叫做那个数列的通项公式。

例如，数列，，，，65544332…的通项公式能够为*)(21N n n n a n ∈++=；数列2，5，10，17，…的通项公式能够为*)(12N n n a n ∈+=。

一个数列的通项公式的表达式也不一定是唯独的，例如-1，1，-1，1，…的通项公式既能够表示为*)()1(N n a n n ∈-=也能够表示成)(cos *∈=N n n a n π，还能够表示成⎩⎨⎧-=为偶数时为奇数时n ,1n ,1a n〔3〕数列的递推公式假如数列{}n a 的第1项〔或前n 项〕，且任一项n a 与它的前一项1-n a 〔或前n 项〕间的关系能够用一个公式来表示，那么那个公式就叫做那个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。

专题10 数列 10.4数列求和题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)

专题十《数列》讲义10.4数列求和知识梳理.数列求和1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．(3)一些常见的数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．题型一.裂项相消1．数列{a n}的通项公式a n=1or1)，已知它的前n项和S n=99100，则项数n＝（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：列{a n}的通项公式a n=1or1)=1−1r1，所以=1−12+12−13+⋯+1−1r1=1−1r1，由于前n项和S n=99100，所以1−1r1=99100，解得n＝99．故选：B．2．已知等差数列{a n}满足a3＝10，a1+a4＝17．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=3r1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，满足a3＝10，a1+a4＝17．所以3=101+4=17，解得1=4=3，所以a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1．（2）由（1）得b n=3r1=13r1−13r4，所以S n＝b1+b2+…+b n=14−17+17−110+⋯+13r1−13r4=14−13r4．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设=1(+2)，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）在4S n＝（2n﹣1）a n+1+1中，令n＝1，得a2＝3，∵4S n＝（2n﹣1）a n+1+1，∴当n≥2时，4S n﹣1＝（2n﹣3）a n+1，两式相减，得4a n＝（2n﹣1）a n+1﹣（2n﹣3）a n（n≥2），∴（2n+1）a n＝（2n﹣1）a n+1，即r1=2r12K1(≥2)．∴=K1⋅K1K2⋅K2K3⋯⋅32⋅21⋅1=2K12K3⋅2K32K5⋅2K52K7⋯53⋅31⋅1=2−1，故a n＝2n﹣1．（2）=1(+2)=1(2K1)(2r1)=12(12K1−12r1)，T n＝c1+c2+…+c n=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12K1−12r1)]=12(1−12r1)=2r1，所以=2r1．题型二.错位相减1．已知等差数列{a n}公差不为零，且满足：a1＝2，a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设=3，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由题，1=222=15，即(1+p2=1(1+4p，解得d＝4．∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（Ⅱ）=3=（4n﹣2）•3n＝2（2n﹣1）•3n，设数列{b n}的前n项和为T n，=2×1×31+2×3×32+2×5×33+⋯+2（2n﹣1）×3n，①3=2×1×32+2×3×33+2×5×34+⋯2（2n﹣1）×3n+1，②①﹣②，得：−2=2×1×3+2×2×32+2×2×33+⋯+2×2×3n﹣2（2n﹣1）×3n+1=6+4×32(1−3K1)1−3−2(2−1)×3r1=−12﹣4（n﹣1）•3n+1，∴=6+2(−1)⋅3r1．∴数列{b n}的前n项和=6+2(−1)⋅3r1．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2=13，b2b3=127．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5＝30，S7＝56，得51+5×42=3071+7×62=56，解得1=2=2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），由b1b2=13，b2b3=127，得12=13123=127，解得1=1=13．∴=(13)K1；（2）a n•b n=23K1=2⋅3K1．令{3K1}的前n项和为R n，则=130+231+332+⋯+3K1，13=13+232+333+⋯+K13K1+3两式作差可得：23=1+13+132+⋯+13K1−3=1×(1−13)1−13−3=32−2r32⋅3，∴=94−2r34⋅3K1．则=2=92−2r32⋅3K1．3．（2015·山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n＝3n+3，所以2a1＝31+3＝6，故a1＝3，＝3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，即a n＝3n﹣1，所以a n=3，=13K1，＞1.．（Ⅱ）因为a n b n＝log3a n，所以b1=13，当n＞1时，b n＝31﹣n•log33n﹣1＝（n﹣1）×31﹣n，所以T1＝b1=13；当n＞1时，T n＝b1+b2+…+b n=13+[1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n]，所以3T n＝1+[1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n]，两式相减得：2T n=23+[30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n]=23+1−31−1−3−1−（n﹣1）×31﹣n=136−6r32×3，所以T n=1312−6r34×3，经检验，n＝1时也适合，综上可得T n=1312−6r34×3．题型三.分组求和1．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n﹣2，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a2＝2+d，a4＝2+3d，∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1•a4，即（2+d）2＝2（2+3d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，设b n＝a n﹣2=2n﹣22n＝2n﹣4n，故S n＝b1+b2+…+b n＝（2×1﹣41）+（2×2﹣42）+…+（2n﹣4n）＝2×（1+2+…+n）﹣（41+42+…+4n）＝2×or1)2−4(1−4)1−4＝n2+n+43−4r13．2．在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{b n}满足=2，=2−1，2，=2，（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，可得a32＝a1a9，a3＝a1a3，可得（a1+2d）2＝a1（a1+8d），a1＝1，化简可得a1＝d＝1，即有a n＝n，n∈N*；（2）由（1）可得b n=2，=2−12，=2，k∈N*；前2n项和T2n＝（2+8+16+…+22n﹣1）+（4+8+12+…+4n）=2(1−4)1−4+12n（4+4n）=2(4−1)3+2n（n+1）．3．已知数列{a n}、{b n}满足：a n+1＝a n+b n，{b n+2}为等比数列，且b1＝2，a2＝4，a3＝10．（1）试判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）数列{b n}不是等差数列．理由如下：由a n+1﹣a n＝b n，且a2＝4，a3＝10，b1＝2，得b2＝a3﹣a2＝6，又∵数列{b n+2}为等比数列，∴数列{b n+2}的首项为4，公比为2．∴3+2=4×22=16，得b3＝14，显然2b2＝12≠b1+b3＝16．故数列{b n}不是等差数列；（2）结合（1）知，等比数列{b n+2}的首项为4，公比为2．故+2=4⋅2K1=2r1，∴=2r1−2．∵a n+1﹣a n＝b n，b1＝2，a2＝4，∴a1＝2，∴−K1=2−2（n≥2）．令n＝2，…，（n﹣1）．得2−1=22−2，3−2=23−2，…−K1=2−2（n≥2），累加得−2=(22+23+⋯+2)−2(−1)（n≥2）．∴=(2+22+23+⋯+2)−2+2=2(2−1)2−1−2+2=2r1−2（n≥2）．又a1＝2满足上式，∴=2r1−2．∴=(22−2×1)+(23−2×2)+⋯+(2r1−2p＝（22+23+…+2n+1）﹣2（1+2+…+n）=4(2−1)2−1−2×or1)2=2r2−2−−4．题型四.讨论奇偶、绝对值求和1．数列{a n}的前n项和记为S n，对任意的正整数n，均有4S n＝（a n+1）2，且a n＞0．（1）求a1及{a n}的通项公式；（2）令=(−1)K14r1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，41=(1+1)2，则a1＝1；当n≥2时，由4S n＝（a n+1）2，知4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2，联立两式，得4a n＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，化简得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即{a n}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，故a n＝2n﹣1；（2）=(−1)K14r1=(−1)K14(2K1)(2r1)=（﹣1）n﹣1（12K1+12r1），下面对n分奇偶数讨论：当n为偶数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…+（12K3+12K1）﹣（12K1+12r1）=1−12r1=22r1，当n为奇数时，T n＝（1+13）﹣（13+15）+…﹣（12K3+12K1）+（12K1+12r1）=1+12r12r22r1，所以T n=为奇数为偶数．2．已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5＝9，S5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）设=(−1)，求{b n}前2n项和T2n．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则5=1+4=95=51+5×42=25，整理，得1+4=91+2=5，解得1=1=2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，=o1+2K1)2=2．（2）由（1）知，设=(−1)=（﹣1）n•n2．T2n＝b1+b2+…+b2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＝（﹣12+22）+（﹣32+42）+…+[﹣（2n﹣1）2+（2n）2]＝[（2﹣1）×（2+1）]+[（4﹣3）×（4+3）]+…+[2n﹣（2n﹣1）]×[2n+（2n﹣1）]＝1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n=2δ(1+2p2＝2n2+n．3．已知数列{a n}满足a1＝﹣2，a n+1＝2a n+4．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式并加以证明；（3）求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知，易得a2＝0，a3＝4，a4＝12．（2）猜想=2−4．因为a n+1＝2a n+4，所以a n+1+4＝2（a n+4），r1+4+4=2，则{a n+4}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以+4=2，所以==2−4．（3）当n＝1时，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2；当n≥2时，a n≥0，所以=−1+2+⋯+=2+(22−4)+⋯+(2−4)=2+22+⋯+2−4(−1)=2(1−2)1−2−4(−1)=2r1−4+2，又n＝1时满足上式．所以，当n∈N*时，=2r1−4+2．题型五.数列求和选填综合1．首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，当其前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵首项为正数的等差数列{a n}中，34=75，∴5（a1+2d）＝7（a1+3d），整理，得：1=−112，∵a1＞0，∴d＜0，∴=−112B+oK1)2=2（n﹣6）2﹣18d，∴当其前n项和S n取最大值时，n的值为6．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n＝a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为112(1−42)．【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：23=214+27=34，整理得：13=213+216=34，解得：1=14=2．则：=1K1=2K3，所以：b n ＝a 2n ﹣1﹣a 2n =22K32−22K3=−22n ﹣4，则：T 2n =−14(1−42)1−4=112(1−42)．故答案为：112(1−42)．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2且对于任意n ＞1，n ∈N *满足S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1），则（）A ．a 4＝7B ．S 16＝240C ．a 10＝19D ．S 20＝381【解答】解：当n ≥2时，S n +1+S n ﹣1＝2（S n +1）⇒S n +1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2⇒a n +1＝a n +2．所以数列{a n }从第2项起为等差数列，a n =1，=12−2，≥2，所以，a 4＝6，a 10＝18．S n ＝a 1+(2+)(K1)2=n （n ﹣1）+1，S 16＝16×15+1＝241，S 20＝20×19+1＝381．故选：D ．4．已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系11+22+33+⋯+=12−1，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（）A ．﹣454B ．﹣450C ．﹣446D ．﹣442【解答】解：数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，可得a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，由11+22+33+⋯+=12−1，可得11=12−1=−12，可得b 1＝﹣2，又11+22+⋯+K1K1=12K1−1，且11+22+33+⋯+=12−1，两式相减可得=12−12K1=−12，可得b n＝﹣（2n﹣1）•2n，则S5＝﹣2﹣3•4﹣5•8﹣7•16﹣9•32＝﹣454，故选：A．5．已知数列{a n}满足1=32，r1=3+3，若=3，则c1+c2+⋅⋅⋅+c n＝(2r1)⋅3−14．【解答】解：因为1=32，r1=3+3，所以1r1=+33=13+1，即1r1−1=13，所以数列{1}是首项11=23，公差为13的等差数列，所以1=23+13(−1)=r13，则=3=(+1)3K1，则1+2+⋅⋅⋅+=2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+(+1)×3K1，设T＝2×30+3×31+4×32+⋅⋅⋅+（n+1）×3n﹣1①，则3T＝2×3+3×32+……+n×3n﹣1+（n+1）×3n②，①﹣②可得：﹣2T＝2+3+32+……+3n﹣1﹣（n+1）×3n＝1+3−13−1−（n+1）×3n，则=(2r1)⋅3−14．即1+2+⋅⋅⋅+=(2r1)⋅3−14．故答案为：(2r1)⋅3−14．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝λa n﹣2，其中λ为常数，若a n b n＝13﹣n，则数列{b n}中的项的最小值为−1214．【解答】解：根据题意，数列{a n}的满足a1＝2，S n＝λa n﹣2，当n＝1时，有a1＝S1＝λa1﹣2，即2＝2λ﹣2，解可得λ＝2，则S n＝2a n﹣2，①＝2a n﹣1﹣2，②则有S n﹣1①﹣②：a n＝2a n﹣2a n﹣1，变形可得a n＝2a n﹣1，则数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ，又由a n b n ＝13﹣n ，则b n =13−2，当n ≤13时，b n ≥0，当n ≥14时，b n ＜0，且{b n }为递增数列，则当n ＝14时，b n 取得最小值，此时b 14=−1214；故答案为：−1214．7．已知数列{a n }和{b n }首项均为1，且a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n +1+a n b n +1＝0，则S 2019＝（）A ．2019B ．12019C ．4037D ．14037【解答】解：∵a n ﹣1≥a n （n ≥2），a n +1≥a n ，∴a n ≥a n +1≥a n ，∴a n ＝a n +1，另外：a 1≥a 2≥a 1，可得a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1．∵2S n S n +1+a n b n +1＝0，∴2S n S n +1+b n +1＝0，∴2S n S n +1+S n +1﹣S n ＝0，∴1r1−1=2．∴数列{1}是等差数列，首项为1，公差为2．∴1=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n =12K1．∴S 2019=14037．故选：D ．8．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n ≥2且n ∈N +），等比数列{b n }公比q ＝2，令c n =为奇数，为偶数，则数列{c n }的前n 项和S 2n ＝2n 2﹣n +4r1−43．【解答】解：因为a1＝1，a2=13，11+22+⋅⋅⋅+=r1K1+6（n≥2且n∈N+），①可得n＝2时，11+22=31+6，即b1+3b2＝b3+6，由等比数列的{b n}的公比为q＝2，即b1+6b1＝4b1+6，解得b1＝2，所以b n＝2n，当n＝3时，11+22+33=42+6，即2+3×4+83=3×16+6，解得a3=15，又11+22+⋯+K1K1=K2+6（n≥3，且n∈N+），②①﹣②可得，=r1K1−K2，即2=2r1K1−2K2，化为1+1K2=2K1，又11+13=6=22，所以{1}为等差数列，且公差d=12−11=2，则1=11+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以c n=2−1，为奇数2，为偶数，所以S2n＝1+22+5+24+…+（4n﹣3）+22n＝（1+5+…+4n﹣3）+（22+24+…+22n）=o1+4K3)2+4(1−4)1−4＝2n2﹣n+4r1−43．故答案为：2n2﹣n+4r1−43．9．已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，其中1=−12，设=K+1，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是（5，7）【解答】解：∵2a n a n+1+a n+3a n+1+2＝0，∴a n+1=−(+2)2+3，∴r1+1=−(+2)2+3+1=+12+3，∴1r1+1=2+3+1=2+1+1，即1r1+1−1+1=2，所以数列{1+1}是公差为2的等差数列，∵11+1=2，∴1+1=2+(−1)×2=2n，∴b n＝2n（n﹣λ），∴b n+1﹣b n＝2（n+1）（n+1﹣λ）﹣2n（n﹣λ）＝4n+2﹣2λ，因为b3为数列{b n}中唯一最小项，所以b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n＝1时，b2﹣b1＝6﹣2λ＜0，得λ＞3，当n＝2时，b3﹣b2＝10﹣2λ＜0，得λ＞5，当n≥3时，4n+2﹣2λ＞0恒成立，即λ＜2n+1，即有λ＜7．所以5＜λ＜7．故答案为：（5，7）．课后作业.数列求和1．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1r1}的前n项和，若λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比．设公差为d，由已知得：41+6=14(1+2p2=1(1+6p，，联立解得d＝1或d＝0（舍去），a1＝2，故：a n＝n+1．（2）由（1）得：1r1=1(r1)(r2)=1r1−1r2，所以：=12−13+13−14+⋯+1r1−1r2．=12−1r2，=2(r2)．由于：λT n≤a n+1对一切n∈N*恒成立，所以：2(r2)≤+2，解得：≤2(r2)2+4)+8，由于：+4≥≥4故：2(+4)+8≥16，即：λ≤16．故λ的最大值为16．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，a7＝14．（1）求数列{a n}的通项公式及S n；（2）若_____，求数列{b n}的前n项和T n．在①b n＝2•a n；②b n=2+r12；③b n＝（﹣1）n•a n这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝6，a7＝14．得4d＝a7﹣a3＝14﹣6＝8，解得d＝2，所以a1＝a3﹣2d＝6﹣4＝2，所以a n＝2+2（n﹣1）＝2n；S n=2（2+2n）＝n2+n．（2）若选择条件①：由（1）可知a n＝2n，则b n＝2•a n＝2n•4n，所以T n＝b1+b2+…+b n＝2×41+4×42++6×43…+（2n）•4n；4T n＝2×42+4×43+6×44+…+（2n）•4n+1，两式相减得：﹣3T n＝2×41+2×42+2×43+…+2×4n﹣2n•4n+1＝2×4(1−4)1−4−2n•4n+1=−83（1﹣4n）﹣2n•4n+1，所以T n=89（1﹣4n）+23•4n+1；若选择条件②：由a n＝2n，S n＝n2+n，得b n=2+r12=82+8r4or1)=8+4or1)=8+4（1−1r1），所以T n＝b1+b2+b3+…+b n＝8n+4（1−12+12−13+⋯+1−1r1）＝8n+4r1=82+12r1；若选择条件③：由a n＝2n，得b n＝（﹣1）n•a n＝（﹣1）n•2n，所以T n＝﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n•2n，当n为偶数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）++[﹣2（n﹣1）+2n]=2×2＝n，当n为奇数时，T n＝（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+[﹣2（n﹣2）+2（n﹣1）]﹣2n=K12×2n ＝﹣n﹣1，所以T n=，为奇数−−1，为偶数．3．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=(+1)2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2(−2)(r1)，T n＝b1+b2+…+b n，求T n．【解答】解：（1）S n=(+1)2（n∈N*），当n＝1时，1=1(1+1)2，∴a1＝1，当n≥2时，由S n=(+1)2，得2=2+①取n＝n﹣1，得2K1=K12+K1②①﹣②得：2=2(−K1)=2−K12+−K1，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1＝1，n≥2，∴数列{a n}是等差数列，则a n＝n；（2）由S n=(+1)2，a n＝n，∴=or1)2，则=2(−2)(r1)=(−2)，∴=1−2+2(−2)2+⋯+K1(−2)K1+(−2)，−2=1+2−2+⋯+K1(−2)K2+(−2)K1，两式作差得：∴−3=1+1−2+⋯+1(−2)K1−(−2)=1−(−12)1−(−12)−(−2)=2+(−12)K13−(−2)，∴=3(−2)−2+(−12)K19=3r29(−2)−29．4．在数列{a n}中，a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；并求满足S n＜1516时n的最大值．【解答】解：（I）∵a1=12，对任意的n∈N*，都有1(r1)r1=B+1B成立，∴1(r1)r1−1B=1．∴1B=2+（n﹣1）＝n+1，∴a n=1or1)．（II）a n=1or1)=1−1r1．∴数列{a n}的前n项和S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1−1r1)=1−1r1，S n＜1516，即1−1r1＜1516，解得n＜15，因此满足S n＜1516时n的最大值为14．。

高中数学一轮复习基础知识手册第十编：数列

第十编数列1. 数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式、递推公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 2. 等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 知识能力解读（一）数列数列可以看做是以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅为定义域的函数. 可按研究函数的一般顺序——定义、表示方法、性质对数列进行研究. 1数列定义数列是指按照一定顺序排列的一列数. 在函数意义下，数列是某一定义域为正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅）的函数，其图象是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，简记为{}n a ，其中n a 是数列{}n a 的第n 项，也叫做通项.这里应注意的是：（1）{}n a 与n a 的意义不同. {}n a 表示数列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，而n a 表示的是这个数列的第n 项. （2）数列的项与它的项数是不同的概念. 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个项在数列中的位置，它是自变量的值.（3）在数列的定义中，只强调有顺序，而不强调有规律. 数列中的每一项都和它的序号有关，因此给定一个数列，只要指明序号，对应的项就是确定的. 2数列的表示方法（1）图象法；（2）列表法；（3）解析法. 3数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 通项公式常用()()*N n a f n n =∈表示. 数列的通项公式具有两大功能：（1）可以通过数列的通项公式求出数列中的任意一项；（2）可以通过数列的通项公式判断给定的一个数是否为数列的项以及是第几项.判断具体数m 是否为数列{}n a 中的项时，建立方程()m f n =，解出n . 若*N n ∈，则m 即为{}n a 中的第n 项；若解出的*N n ∈，则m 不是{}n a 中的项.学习数列的通项公式需明确：（1）并不是所有数列都有通项公式；（2）有的数列的通项公式在形式上不唯一. 4数列的分类（1）有穷数列、无穷数列按数列的项数是有限还是无限分为有穷数列和无穷数列. 切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限的，它就是有穷数列. （2）单调数列、摆动数列、常数列按数列中前后项之间的大小关系来分，若前面的项永远大于它后面的项，则称之为递减数列；若前面的项永远小于它后面的项，则称之为递增数列；若前面的项时而大于后面的项，时而小于后面的项，则称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列. 递增数列和递减数列，称之为单调数列. 5数列的递推公式（1）递推公式如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的6n a 与n S 的关系若n a 为数列{}n a 的通项，n S 为其前n 项和，则n a 和n S 之间的关系是：()()111,2.n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩7等差数列（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 等差数列的定义用字母表示为1n n a a d +-=（d 为常数）或()*211N n n n n a a a a n +++-=-∈.一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起，是一个等差数列.一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，这个数列并不一定是等差数列. 因为差是常数，但却不一定是同一个常数.公差d 可以为正数、负数或零. 当0d =时，数列为常数列. （2）等差数列的通项公式()()()()**11N ,,N n n m a a n d n a a n m d n m =+-∈=+-∈. 由上面的两个式子也可得11n a a d n -=-或()n ma a d n m n m-=≠-. ()11n a a n d =+-可整理为()1n a dn a d =+-. 如果0d =，那么n a 是常数函数；如果0d ≠，那么n a 是关于n 的一次函数，它的图象是直线()1y dx a d =+-上的一群孤立的点. （3）等差数列的增减性{}0n d a >⇔为递增数列；{}0n d a <⇔为递减数列；{}0n d a =⇔为常数列.（4）等差数列的求和公式（由倒序相加法推得）()12n n n a a S +=，()112n n n S na d -=+. 整理()112n n n S na d -=+，可得2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设2d A =，12d B a =-，则上式可写成2n n S An B =+. 当0A ≠（即0D ≠）时，n S 是关于n 的二次函数（其中常数项为0），点(),n n S 在二次函数2y Ax Bx =+的图象上，因此，当0d ≠时，n S 的图象是抛物线2y Ax Bx =+上的一群孤立的点. 点评（1）由上面得到的数列123,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅不是原等差数列{}n a . （2）由二次函数的性质可以得出结论：当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值. （3）数列{}n a 为等差数列的充要条件是其前n 项和为2n S An Bn =+（其中常数项为0）. （5）等差中项任意两个数,a b 有且只有一个等差中项. 2a bA +=是,,a A b 为等差数列的充要条件. 任意两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数.在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项8等比数列（1）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示()0q ≠，等比数列的定义用字母表示为()*1N n na q n a +=∈. 等比数列的公比q 是从第2项起，每一项与它的前一项的比值，相邻两项比的顺序不能颠倒. 等比数列的公比q 是一个与n 无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零. （2）等比数列的通项公式()1*1N n n a a q n -=∈，()*,n m n m a a q m n N -=∈. 由于11n n a a q -=可以整理为1n n aa q q=⋅，因此等比数列{}n a ，即1n a q q ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭中的各项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限. 当0q >时，这些点在曲线1x ay q q=⋅（即x y cq =，这里1a c q =为一个不等于0的常数）上.（3）等比数列的增减性 10,1a q >⎧⎨>⎩或{}10,01n a a q <⎧⇔⎨<<⎩为递增数列； 10,01a q >⎧⎨<<⎩或{}10,1n a a q <⎧⇔⎨>⎩为递减数列； {}1n q a =⇔为常数列.（4）等比数列的求和公式（可由错位相减法推得）当1q ≠时，()()111111n n n a q a q S qq --==--也可以写成1111n n n a a q a q a S q q --==-- 当1q =时，1n S na =.有关等比数列的求和问题，当不能确定时1q ≠，应分1q =及1q ≠两种情况进行讨论. （5）等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.如果G 是a 与b 的等比中项，那么G ba G=，即2G ab =，因此G =G 是,a b 的等比中项的充要条件是2G ab=（或G =，其中0ab >. 条件0ab >不能少，如果0ab =，即,a b 中至少有一个为0，那么,,a G b 就不为等比数列. 只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同.一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项.（二）等差数列、等比数列的性质 1等差数列的性质（1）有穷等差数列{}n a 中，与首末两项距离相等的两项的和相等，并且等于首末两项之和. 特别地，若项数为奇数，则其还等于中间项的2倍，即121322n n n a a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅=中. （2）若*,,,N m n p k ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+，其中,,,m n p k a a a a 是等差数列{}n a 中的项. 特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=.使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边作和的项数应是一样多的. （3）在等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，即,,2,k k k a a m a m ++⋅⋅⋅仍为等差数列.（4）等差数列中依次每k 项之和构成的新数列仍然是等差数列，即232,,,k k k k k S S S S S --⋅⋅⋅仍为等差数列.（5）若数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，则{}n n ma kb +仍为等差数列，其中,m k 均为常数. （6）等差数列{}n a 的通项公式()()111n a a n d dn a d =+-=+-，则n a 可表示为n a kn b =+，其中k 为等差数列的公差，它可以是任意实数.（7）等差数列{}n a 的前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则n S 可表示为2n S An Bn =+，其中,A B 可以是任意实数. 另外，等差数列中还有以下性质需注意：①等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠则0m n a +=.②等差数列{}n a 中，若(),n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+. ③等差数列{}n a 中，若()n m S S m n =≠，则0m n S +=.④若{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则2121m m m m a S b T --=. ⑤项数为偶数2n 的等差数列{}n a ，有()()2121n n n n S n a a n a a +=+=⋅⋅⋅+（n a 与1n a +为中间的两项）；S S nd -=奇偶；1nn S a S a +=奇偶. 项数为奇数()21n -的等差数列{}n a ，有 ()2121n n S n a -=-（n a 为中间项）； n S S a -=奇偶；1S nS n =-奇偶. S 奇、S 偶分别为数列所有奇数项的和与所有偶数项的和.2等比数列的性质（1）若首项10a >，公比1q >，或首项10a <，公比01q <<，则数列为递增数列；若首项10a >，公比01q <<，或首项10a <，公比1q >，则数列为递减数列；公比1q =，数列为常数列；公比0q <，数列为摆动数列. 等比数列公比不等于零是一大特点.（2）在有穷等比数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项的积相等，并且等于首末两项之积.特别地，若项数为奇数，则其还等于中间项的平方，即212132n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅=⋅⋅⋅=中.（3）若*,,,N m n p k ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a ⋅=⋅，其中,,,m n p k a a a a 是等比数列{}n a 中的项. 特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数是一样多的.（4）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列. 剩下的项按原顺序排列构成的数列不一定是等比数列.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂. 一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂.（5）若{}n a 为等比数列，则{}()0n a λλ≠，{}n a 皆为等比数列，公比分别为q 和q . 一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 欠幂. 例如:对于以q 为公比的等比数列{}n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列，公比为1q ，{}2na 也是等比数列，公比为2q . （6）等比数列中依次每k 项之积构成的新数列仍然是等比数列.（7）若数列{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n ma b 与n n ma b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列，其中m 是不为零的常数.（8）等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q -=⋅=⋅，则n a 可表示为n n a c q =⋅，其中1ac q=，q 为公比.（9）等比数列{}n a 的前n 项和()()11111111n n n a q a aS q q q q q-==-⋅≠---，则n S 可表示为n n S k k q =-⋅，其中q 为公比，10,1aq k q≠=-.3等差数列与等比数列的相互关系（1）设0a >且1a ≠，则,,x y z a a a 成等比数列,,x y z ⇔成等差数列；（2）{}n a 是正项等比数列{}log c n a ⇔是等差数列（其中0c >且1c ≠）.注意等差数列与等比数列在性质上有很多的相似之处，如：若*,,,N m n p q ∈，且m n p q +=+，则对等差数列有m n p q a a a a +=+，对等比数列有m n p q a a a a ⋅=⋅. （三）判定方法1等差数列的判定方法有以下几种（1）定义法:1n n a a d +-=（d 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列. （2）通项公式法：n a pn q =+（,p q 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列. （3）中项公式法:122n n n a a a ++=+（*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列.（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（,A B 为常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等差数列. 2等比数列的判定方法有以下几种（1）定义法：1n n aq a +=（q 是不为0的常数，*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（2）通项公式法:n n a cq =（,c q 均是不为0的常数*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*N n ∈）{}n a ⇔是等比数列.（4）前n 项和公式法：1111n n n a a S q kq k q q =-=---（11ak q =-是常数，且0,1q q ≠≠）{}n a ⇔是等比数列.注意（1）只能用定义法来严格证明这两类特殊数列，其余三种方法一般在填空题、选择题中使用.（2）证明数列不是这两类特殊数列，只要举反例即可.解题方法荟萃Ⅰ. 数学思想方法（一）函数与方程思想（二）分类讨论思想 1 对n 的奇偶性进行讨论 2 对公比q 的讨论（三）构造法 Ⅱ. 解题规律技巧（一）等差数列的性质在解题中的应用（二）等比数列的性质在解题中的应用高考命题研究数列是高中数学的重要内容之一，因此，它在历年高考中都占有重要地位，一般情况下都是一个客观性题加一个主观性题，分值占整个试卷的10%左右. 客观性题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式等，对基本的计算能力要求比较高. 解答题是以考查数列的通项与求和为主，涉及函数、方程、不等式知识的综合运用，在解题过程中通常用到等价转化、分类讨论等数学思想方法，有时也与数学归纳法相结合，属于中高档难度的题目.（一）有关等差、等比数列基本量的运算（二）等差、等比数列的综合熟练地应用等差、等比数列的性质，并结合数列求和的常用方法，有时也其他章节内容.（三）等差数列、等比数列的证明方法：（1）定义法，即证1n n a a d +-=（常数），1n n aq a +=（不为零的常数）.（2）中项法，即证()()2111122,2n n n nn n a a a n a a a n +-+-+=≥=⋅≥. （四）求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数的解析式一样，有解析式便可研究函数性质，而有了数列的通项公式便可求出其任意一项以及前n 项和等. 看来，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.1求递推数列的通项公式的方法对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换而转化成等差数列或等比数列问题.（1）递推式为1n n a a d +=+及1n n a qa +=（d 、q 为常数，其中0q ≠）（2）递推式为()1n n a a f n +=+（3）递推式为1n n a pa q +=+（p 、q 为常数，其中0p ≠）（4）递推式为1n n n a pa mq +=+（,,n p q 为常数，其中,0m p ≠）（5）递推式为21n n n a pa qa ++=+设21n n n a pa qa ++=+可以变形为()211n n n n a aa a aa β+++-=-，即()21n n n a a a a a ββ++=+-，则可得,,a p a q ββ+=⎧⎨=-⎩求出,a β，此时{}1n n a aa +-是公比为β的等比数列.（6）递推式()()*1N n n a f n a n +=∈ 2已知n S 求n a己知数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式，即11,1,, 2.n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(五)数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，它往往是数列知识的综合体现. 求和题在试题中经常出现，它常用来考查我们对基础知识的掌握程度和分析问题、解决问题的能力. 有时也可以由数列的前n 项和来求数列中的某些元素，如求1,,,,n a a n d q 等. 任何一个数列的前n 项和都是从第1项一直加到第n 项. 数列的求和主要有以下几种求解方法. 1公式法直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和、立方和公式等求和的方法. 2倒序相加法在一个数列{}n a 中，如果与首末两项等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法. 3错位相减法 4裂项法常用的裂项技巧如：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1k =等. 使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项. 由于数列{}n a 中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的个数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项. 5分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，将这类数列适当拆开，可分为几个等差数列、等比数列或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可. 附录常用公式定理常用公式及结论n ①若,,n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=； ②若,,n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+； ③若,n m S S m n =≠，则0m n S +=.（3）若{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则2121m m m n a S b T --=. （4）项数为偶数()*2N n n ∈的等差数列{}n a 有：()()2121n n n n S n a a n a a +=+=⋅⋅⋅=+（1,n n a a +为中间的两项）； S S nd -=奇偶；1nn S a S a +=奇偶. 项数为奇数()*21N n n -∈的等差数列{}n a 有： ()2121n n S n a -=-（n a 为中间项）；n S S a -=奇偶；1S nS n =-奇偶. ,S S 奇偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.（5）常见数列的前n 项和公式()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=；()213521n n +++⋅⋅⋅+-=； ()()22221211236n n n n +++++⋅⋅⋅+=；()2333311232n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦.（6）常用结论A 是,a b 的等差中项的充要条件是2a bA +=； G 是,a b 的等比中项的充要条件是2G ab =，其中0ab >.。

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，
4、
等比数列
定义
递推公式
；
通项公式
（）
中项
（）
前项和
分类讨论思想
重要性质
；
5、数列求和方法：
注：an与sn的关系
【热身练习】
1、若一数列为，则是这个数列的第7项。
2、数列{an}中，Sn=n2－7n＋6，则该数列的通项 __ _
3、在数列中，若，则 301
4、已知等差数列{ }满足 ,则 24
答案： =120
（4）在等比数列{an}的前项和，则＝-1
（5）在等比数列{an}中，已知a3＝1 ，S3＝4 ，求a1＝q＝。
答案：或
例2：数列的奇偶项
例1：一项数为偶数的等差数列，奇数项之和为24，偶数项之和为30，若最后一项比第一项大，求此数列的首项、公差、及项数
答案：
例2：已知等比数列，，项数为偶数，奇数项和85，偶数项和170，求该数列的项数
7．已知数列{an}的通项公式an= ,bn= ,则{bn}的前n项和为。
8．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（C）
（A）an=n2-n+1（B）an=n2+n-1（C）an= （D）an=
9.若数列{an}为等差数列，公差为，且S100=145，则a2+a4……+a100的值为（B）
（A）60（B）85（C）（D）其它值
2、下列四个命题：（1）公比q＞1的等比数列的各项都大于1；（2）公比q＜0的等比数列是递减数列；（3）常数列是公比为1的等比数列；（4）{lg2n}是等差数列而不是等比数列。正确的个数是（B）
（A）0（B）1（C）2（D）3
3、若是各项均为正数的等差数列，，则 < 。
4、求证：数列是等差数列，并求从第几项起，该项及其后每一项都是负数。
（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式。
答案：（1）、略；（2）、
递推关系：
1、已知已知是正项数列的前项和，且 =
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；
答案：（1）
（2），利用错位相减法得：
2、若是前n项和为，且，，求。
答案：
二、等差等比数列基本性质的考察
2．在等比数列中,若则 =___ ______， =___1875_______.
3．在等比数列中,若是方程的两根，则 =___ ________.
4．两个等差数列则 =___ ____பைடு நூலகம்___.
5已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第___4____项.
【自我测试】
1．与，两数的等比中项是____ ______.
5、等比数列中，，，且公比q为整数，则
512。
【精解名题】
一、等差数列与等比数列的判定
1、已知数列的递推公式为。
①、求证：等比数列；②、求。
答案：①、略；②、 =
练习：1、已知数列中，，
（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式。
答案：（1）、略；（2）、
2、已知数列中，，
答案：
例3：正项等比数列的项数为偶数，它的所有项之和等于它的偶数项和的4倍，第2、4项之积是3、4项和的9倍.
⑴求及；⑵问的前几项和最大？
答案：（1）
点拔：①、当项数为2n时，；
；。
②、当项数为2n+1时，则是中间项，；
；。
【巩固练习】
1．等差数列中, 则的公差为______8________。
2．已知数列是等差数列，若 ,
且 ,则 __18_______。
3．若成等差数列，则的值等于___ _______.
4．设是等差数列的前n项和，若 ____1______.
5．已知等差数列的公差为 ,若成等比数列,则 ____-6______.
6．已知等差数列的公差d≠0,且a1, a3, a9成等比数列,求
例2：已知四个数-3，x，y，27前三项成等差数列，后三项成等比数列，求x，y.
答案：或
三、数列求和
例1：（1）在等差数列中，，求其前n项和为。
答案：
（2）在等差数列中，已知，前n项和为且，求前n项和。
答案：得：，则：，得：
（3）在等差数列{an}中，，求前24项和的值。
13．数列{an}满足a1=27,且an+1-an=2n-1,
（1）求数列{an}的通项公式（2）设，求数列{bn}的前n项和
解：（1）（2）
教学内容：数列综合复习
【知识精要】
1、看数列是不是等差数列有以下四种方法：
2、； 2 ( )；
( 为常数)； ④
2、看数列是不是等比数列有以下四种方法：
( ， )
( 为非零常数).
正数列{ }成等比的充要条件是数列{ }（）成等比数列.
3、
等差数列
定义
递推公式
；
通项公式
中项
（）
前项和
，
重要性质
答案：，令，得：，即
2、数列的间隔性
（1）三个数成等差数列，常设为：
若四个可设为：
（2）三个数成等比数列，常设为：
若四个可设为：
例1：有四个数前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数之和是16，第二个数与第三个数之和是12，求这四个数。
答案：0,4,8,16 或 15,9,3,1
10．在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为（D）
（A）m+n（B）（C）（D）0
11．数列中，，又数列是等差数列，则 =（B）
A、0 B、 C、 D、－1
12．已知四个数，前三个数成等比数列，和为，后三个数成等差数列，和为，求此四个数.
9,6,4,2或25，-10,4,18
1、数列的正负大小与单调性
等差数列时，数列为递增数列；反之为递减数列；时，为常数列。
例1：已知等差数列的公差非零，则当时下面关系式成立的是（B）
A、 B、 C、 D、
例2：若首项是的等差数列从第10项起各项都比1大，则此数列的公差的取值范围是（D）
A、 B、 C、 D、
练习：
1、在等差数列中，若，则 -4。