解直角三角形(方位角)
解直角三角形方位角坡度
P A C B
2、如图，一渔船由西往东航行，在A点 测得海岛C位于北偏东60°的方向，前 进20海里到达B点，此时，测得海岛C位 于北偏东30°的方向，则海岛C到航线 AB的距离CD等于____海里．
3、一渔船在海岛A南偏东20°方 向的B处遇险，测得海岛A与B的 距离为20海里，渔船将险情报告 给位于A处的救援船后，沿北偏 西80°方向向海岛C靠近．同时， 从A处出发的救援船沿南偏西 10°方向匀速航行．20分钟后， 救援船在海岛C处恰好追上渔船， 求救援船航行的速度为多少？
2、如图，水坝的横断面是梯形，背水 坡AB的坡度为 3⋅：1，坡长AB=20 3m， 为加强水坝强度，将坝底从A处向后水 平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度 为1：1，求AF的长度．（结果精确到1 米）．
3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(阴影部分是挖去部分)，已知渠道内 坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
h 的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i= h/l l
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a面就越陡.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶. 6
1、如图，一水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜 坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角 为30°，求坝底AD的长度．（精确到 0.1米)
解直角三角形(2) ——方位角
归纳 方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角叫做方位角。
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 65°方向，距离灯塔80n mile的A处，它 沿着正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时， B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课精彩教案一、教学内容1. 利用直角三角形的性质，解决实际生活中的方位角问题；2. 利用直角三角形计算坡度角，并应用于地形、建筑设计等领域。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念及计算方法；2. 能够运用直角三角形的性质解决实际问题，如确定物体方位和计算坡度；3. 培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解方位角和坡度角的实际应用，以及计算方法的灵活运用。
教学重点：掌握直角三角形的性质，以及如何利用这些性质解决方位角和坡度角问题。
四、教具与学具准备1. 教具：直角三角形模型、地球仪、坡度计算器；2. 学具：三角板、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用地球仪展示不同地点的方位角，引导学生思考如何计算和确定方位角。
2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾直角三角形的性质；（2）介绍方位角的概念及计算方法；（3）介绍坡度角的概念及计算方法。
3. 例题讲解（15分钟）（1）计算给定地点的方位角；（2）计算给定地形的坡度角。
4. 随堂练习（10分钟）（1）学生独立完成练习题，计算给定地点的方位角；（2）学生分组讨论，计算给定地形的坡度角。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法；2. 坡度角的定义及计算方法；3. 例题及解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：（1）给定一点，求该点的方位角；（2）给定一个斜面，求其坡度角。
2. 答案：（1）方位角的计算结果为：度；（2）坡度角的计算结果为：度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解较为顺利，但在计算过程中仍存在一些问题，如计算方法不熟练、单位换算错误等，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考在实际生活中，还有哪些问题可以利用直角三角形的性质来解决，鼓励学生进行探索和研究。
重点和难点解析1. 实践情景引入的理解和应用；2. 知识讲解中方位角和坡度角计算方法的掌握；3. 例题讲解中解题步骤的详细解释；4. 随堂练习的设计与实施；5. 作业设计中题目难度的把握及答案的准确性；6. 课后反思与拓展延伸的有效性。
初中九年级数学下册人教版28.2.5解直角三角形的应用(方位角)ppt课件
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
(必有一边)
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系: (2)两锐角之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
探究
例题：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
北
A
P
C
B
小结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角 函数等知识去解直角三角形； (3)得到数学问题答案； (4)得到实际问题答案；
答：货轮无触礁危险。
A
N1
N
DX C
24海里
B
当堂练习
2、如图，某船以29.8海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯 塔C在该船的北偏东32°方向上，半小时后该船航行到点B处，发现此 时灯塔C与船的距离最短。 (1)在图上标出点B的位置； (2)求灯塔C到B处的距离(精确到0.1海里)。
北
D C
西南方向:______射__线_O_ F 东 A
东南方向:______射__线_O_ G G 东北方向:______射__线_O_ H
认识方位角
B 西
北
（3）南偏西25°
70°
O
25° A南
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
2024年解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将学习教材第十章“解直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：理解方位角的概念，掌握利用正切值计算方位角；理解坡度角的概念，掌握利用正弦值和余弦值计算坡度角。
二、教学目标1. 理解并掌握方位角与坡度角的概念。
2. 学会使用正切、正弦和余弦值计算方位角与坡度角。
3. 能够在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
三、教学难点与重点重点：方位角与坡度角的概念及其计算方法。
难点：在实际问题中运用所学的知识，解决有关方位角与坡度角的问题。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角三角形模型、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中的方位角与坡度角问题，引导学生思考如何解决这些问题。
2. 知识讲解：a. 讲解方位角的概念，引导学生通过观察三角板理解方位角的含义。
b. 讲解正切值在计算方位角中的应用，通过例题进行演示。
c. 讲解坡度角的概念，引导学生通过观察直角三角形模型理解坡度角的含义。
d. 讲解正弦值和余弦值在计算坡度角中的应用，通过例题进行演示。
3. 随堂练习：让学生完成教材中的相关习题，巩固所学知识。
4. 解题方法与技巧讲解：针对学生在随堂练习中遇到的问题，进行讲解和指导。
六、板书设计1. 方位角与坡度角的概念。
2. 正切、正弦和余弦值在计算方位角与坡度角中的应用。
3. 例题解答步骤。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定直角三角形的方位角。
b. 计算给定直角三角形的坡度角。
2. 答案：见附页。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角与坡度角的概念掌握情况，以及计算方法的运用。
2. 拓展延伸：引导学生思考方位角与坡度角在实际生活中的应用，如建筑设计、地形测量等。
重点和难点解析1. 教学内容的针对性及深度。
2. 教学目标的明确性与可衡量性。
3. 教学难点与重点的识别。
23.2xin解直角三角形的应用(方位角)
Ｂ
i=1:1.6
9.8m
Ｃ
i=1:2.5
α
5.8m
A
∵BE=5.8m
Ｅ
Ｆ
β
Ｄ
解；过点C作CＦ⊥AＤ于点Ｆ，所以EFCD是矩形。 EF=BC=9.8m BE=CF=5.8m，∠A=α，∠B=β
答；铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别 为32°和22°
2（2012）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。如
图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。小明为 了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°， 再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为450.已知点C到 大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度 （结果保留整数。参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52， A cos31°≈0.86）. 解：设AB=x米 ∵∠AEB=450, ∠ABE=900 ∴BE=AB=x米在 Rt△ABD中
所以Ｃ（０，４） 设M（m，０.５ｍ2-ｍx+6）
x2
ｙ
Ｃ
N
Hale Waihona Puke ｏ AM（m，０.５ｍ2-ｍx+6）
Ｂ P
x
2３,（１）如图１，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠C =90°，点E在BC上，且EA＝ED，∠AED=90°
求证AB+CD=BC
证明 ∵
A B
D
C
E
2３,（2）如图2过A作AF//BC交DE与F若AB＝３
解直角三角形(方位角)
指北或指南方向线与目标方向线所 成的小于90°的角。
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
认识方位角
北
（3）南偏西25°
B 西
70°
O 60°
25° A南
射线OA 东
北偏西70° C 射线OB
南偏东60°
射线OC
.例1、 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A
处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到1海里）
北
E
B 100m
600
西
东
D
A
200m
南 C
问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发
向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,
再由B地向北偏西200的方向行驶40海里
到达C地,则A,C两地的距离为
4_0_海__里
北
C 北
D
A 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
二、探究
例2、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货 轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北 偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 有无触礁的危险？
2、根据条件的特点，适当选用锐角三角函数 去解直角三角形；
3、得到数学问题的答案； 4、得到实际问题的答案。
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
知识卡片-解直角三角形的应用-方向角问题
解直角三角形的应用-方向角问题能量储备方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角，方向角一般写成“北(或南)偏西(或东)××度”的形式。
在图2447中，目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别是北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°。
另外，东南方向指的是南偏东45°，西北方向指的是北偏西45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解与方向角有关的问题时，根据方向角的概念，结合图形判断相应角的度数是关键。
例1：如图2449所示，在一次军事演习中，小李从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达目标B 点，然后沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点．(1) 求A ，C 两地之间的距离(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向上．解：(1)∵AM ∥DN ，∴∠MAB ＝∠ABD ＝60°，∴∠CBA ＝180°－∠ABD －∠CBN ＝180°－60°－30°＝90°。
∴△ABC 为直角三角形在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝ （5003）2＋5002＝1 000(m)。
(2) 在Rt △ABC 中，tan ∠BAC ＝BC AB ＝5005003＝33， ∴∠BAC ＝30°，则∠MAC ＝∠MAB －∠BAC ＝60°－30°＝30°答：(1)A ，C 两地之间的距离为1 000 m ．(2)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上． 例2：如图24425所示，一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°方向，距离它72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．(精确到1海里/时)解：在Rt △ABC 中，∠A ＝59°，AB ＝72海里，sin A ＝BC AB， ∴ BC ＝AB·sin 59°≈61.7(海里)，61.7÷(10－8)≈31(海里/时)．答：这艘船航行的速度约为31海里/时．蓄势待发考前攻略考真题与教材习题都是与方向角有关的航行问题，只是中考真题先要构造直角三角形．解这类题的关键是把实际问题中的有关数据转移到直角三角形中，借助解直角三角形解决问题．完胜关卡。
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设CD=x,则BD=X+24
在Rt△ADC中， △ 中 AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中， △ 中 AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20 ×
65° ° P
80
A C
34° °
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮 如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区， 20海里周围内为暗礁区
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二、探究
由东向西航行，，航行24海里到C 处见岛A在北偏 由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛 在北偏 ，，航行24海里到 处见岛 西60˚.在c见岛A在北偏西30 ，货轮继续向西航行，有 在 见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行， 见岛 30 无触礁的危险？ 无触礁的危险？
解直角三角形的应用
方位角问题
回顾：方位角
北
西
东
南
问题如图:一艘轮船由海平面上A 问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发 如图 向南偏西40 的方向行驶40海里到达B 40海里到达 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西20 的方向行驶40 40海里 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C A,C两地的距离为 到达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 海里 北
C 北 A
D
有一个角是60 有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向， 65° . 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 它沿正南方向航行一段时间后， 灯塔80 80海里的 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 的南偏东34 34° 这时， 达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B 有多远？ 精确到0.01海里） 0.01海里 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A
B
12
D
F
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形 构筑直角三角形（ 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时， ）；当问题以一个实际问题的形式给出时 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意， 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 关系。 一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构 复习时要形成知识结构， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
N1
N
D X
C
24海里 海里
B
答：货轮无触礁危险。 货轮无触礁危险。
练习：.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 练习： 它的周围8 渔船跟踪鱼群由西向东航行， 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60 方向上，航行12 60° 12海里到达 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 在北偏东30 方向上， 30° 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？ 东航行，有没有触礁的危险？