东南大学离散数学第一章

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F F F T T F T T
1.1 命题与联接词
• 联接词的定义总结
p F F q F T p T T pq F F p q F T p q p q T T T F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
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1.1 命题与联接词
联接词的优先级
、、、、
括号最优先 同一优先级：从左到右 例子：求于命题pqr含义相同的命题
F F 区别于自然语言的“如果p,则q” F T • 在自然语言中p和q有语义(内容)上的内在联系 T F • 联结词是命题真值之间的联结，而不是命题
内容之间的联结
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地球撬起来
T T F T
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T T
1.1 命题与联接词
更多例子
如果天晴，则雪是白的 p q 如果不天晴，则雪不是白的 pq （对给定正整数a）只要a能被4整除，则a能被 2整除 p q
– 数学方法研究形式逻辑的一门科学，使用符号 – 数理逻辑创始人——莱布尼兹(Leibniz,1646-1716,德) – 现代数理逻辑：公理化集合论、模型论、递归函数论、 证明论 – 最基本组成内容：命题演算、谓词演算 – 应用：逻辑电路、自动控制、人工智能等
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绪论：数理逻辑学习意义 E. W. Dijkstra（荷兰计算机科学家，提出了程序设计中常
悖论！
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1.1 命题与联接词
判断下列语句是否为命题
– 明天下雨 – 加拿大是一个国家 – x+y>4
注：
– 命题是陈述句，陈述句不一定是命题 – 命题有唯一真值，但真值可能受范围、时空、 环境、判断标准、认识程度限制，一时无法 确定——一个句子本身能否分辨真假与我们 知道它的真假值是两回事
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绪论：离散数学与计算机科学(续)
• 离散数学与数据结构
线性表、栈、队列：由元素及元素之间关系建立起来的对象
集合论是研究元素及其之间关系的理论
非线性结构对象（家族图谱、计算机文件组织结构及信息网等） 由树和图数据结构表示，如二叉树、网络等 图论是研究上述非线性结构及其运算的基本理论
– 符号：pq – 等价于(pq)(pq) – pq为假当且仅当p和q同时为假或 同时为真
p q p q F T T F
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– 小李在看书或者听音乐 （析取）
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T T
1.1 命题与联接词
蕴含联接词
– 符号,读作“如果…则…”、“蕴含”
定义：命题 p，q
– p与q的蕴涵式：复合命题“如果p，则q” – 符号：pq(符号称作蕴含联结词) – pq为假当且仅当p为真，q为假
合取(conjunction) 析取(disjunction) 蕴含(implication)
¬

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等价(equivalence/bi-implication)
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1.1 命题与联接词
否定联接词
– 符号¬,读作“非”，“否定”
定义：命题 p
– p的否定式：复合命题“p的否定”（“非p”） – 符号：p (符号称作否定联结词) – p为真当且仅当p为假
用的GOTO语句的三大危害；解决有向图中最短路径问题的Dijkstra 算法）：
“ 我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了
多少，现在觉悟了。我想，假如我早年在数理逻辑上好好 下点功夫的话，我就不会犯这么多的错误，不少东西逻辑 学家早就说了，可我不知道。要是我能年轻二十岁的话， 就要回去学逻辑。”
– 自然数、整数，真假值，有限节点等
研究方法：推理、运算及实验等
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绪论：为什么要学习离散数学
计算机技术的支撑科学：计算机只能处理离散的或
离散化了的数量关系
培养离散思维与抽象思维能力 计算机专业课程学习的重要基础
培养理论研究和应用开发的离散建模能力
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• 离散数学与其它计算机学科
计算机硬件中的数字线路设计、通讯系统设计——数理逻辑、布 尔代数等 可计算性、计算复杂性——抽象代数等 DNA计算——碱基序列编码信息，酶控制下进行DNA反应，反应前 序列为输入，反应后序列为运输结果 ……
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绪论：怎么学习离散数学
离散数学特征
离散性 可构造性 抽象性
离散数学课程基础
数理逻辑：命题逻辑和谓词逻辑 集合论：集合、关系和函数 代数结构：代数运算、群、格、布尔代数 图论：树、图
……
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绪论：教材及参考书
教材：
屈婉玲，耿素云，张立昂，《离散数学》，高等教 育出版社，2007
参考书：
Kenneth H. Rosen，《离散数学及其应用》，机械 工业出版社，2007 方世昌，《离散数学》，西安电子科技大学出版社， 2000 朱一清，《离散数学》，电子工业出版社，2000
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绪论：课程安排（离散结构1）
• 讲授内容：
– 数理逻辑（第一、二、三、四、五章） – 集合论（第六、七、八章） – 代数结构（第九、十章）
• 成绩构成：
平时成绩（30%）＋ 期末成绩（70%） 平时成绩：作业、考勤（10%）＋ 期中测试（20%）
• 作业：
周二交作业
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绪论：数理逻辑
逻辑学分类
– 辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律 – 形式逻辑：是研究思维的概念、判断和推理的问题
数理逻辑（又称符号逻辑）
例子
– 今天没有天晴 p • p ：今天天晴
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p
p
F T
T F
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1.1 命题与联接词
合取联接词
– 符号,读作“合取”
定义：命题 p，q
– p与q的合取式：复合命题“p并且q” – 符号：pq(符号称作合取联结词) – pq为真当且仅当p和q同时为真
例子
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1.1 命题与联接词
给定命题pq
它的逆命题
q p
它的反命题 pq 它的逆反命题 qp
各种命题关系
pq qp qp pq
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1.1 命题与联接词
等价式
– 符号,读作“当且仅当”
定义：命题 p，q
– 王华的成绩很好并且品德很好 pq • p：王华的成绩很好 • q：王华的品德很好
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p q
F F F T T F T T
pq
F F F T
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1.1 命题与联接词
析取联接词
– 符号,读作“析取”
定义：命题 p，q – p与q的析取式：复合命题“p或q” – 符号：pq(符号称作析取联结词) – pq为假当且仅当p和q同时为假 例子
– 小李是学数学或者计算机科学pq
p q F F F T T F T T
p q F T T T
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• p：小李是学数学 • q：小李是学计算机科学
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1.1 命题与联接词
析取联接词（相容或）≠ “排斥或” 排斥或：
– 符号
定义：命题 p，q
F F F T 例子： – 小李正在教学楼看书或在图书馆上网 T F
离散数学 Discrete Mathematics
赖大荣
计算机科学与工程学院
(计算机楼532)
daronglai@
绪论：什么是离散数学（离散结构）
研究离散量的结构及相互关系的数学科学
– 离散结构：集合、关系、图等 离散量是指分散开来的、不存在中间值的量
研究对象:有限或可数个元素
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1.1 命题与联接词
命题分类
– 简单命题：不能被分解成更简单的陈述句 – 复合命题：简单陈述句+联接词
例子
– 今天没有天晴 – 王华的成绩很好并且品德很好 – 小李是学数学或者计算机科学 – 如果天下雨，那么地下湿
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1.1 命题与联接词
基本联结词
否定(negation)
数理逻辑提供了计算机科学与技术研究中的 重要工具与方法
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第一部分 数理逻辑
■ 主要内容 命题逻辑基本概念
命题逻辑等值演算
命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
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第1章 命题逻辑基本概念 Propositional Logic
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1.1 命题与联接词
命题(Proposition)：具有唯一真值陈述句
唯一性：或真或假但不能两者都是的 命题所用符号：常用小写26个英文字母
例子
– – – – – – 十是整数 2100年人类将在月球生活 x=3 现在是几点？ 1+1=2 我现在说假话
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例子
– 如果天下雨，那么地下湿 • p：天下雨 • q：地下湿
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p q
p F F T
q pq F T T T F F
T T
T
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1.1 命题与联接词
更多关于蕴含联接词… pq：q是p的必要条件 其他：