一元二次方程应用(利润问题)学案
一元二次方程的应用解决成本与利润问题
一元二次方程的应用解决成本与利润问题在实际生活中，成本与利润问题是许多企业和个体经济活动中常遇到的挑战。
为了能够科学地做出经济决策，我们可以运用一元二次方程来解决成本与利润问题。
本文将从几个具体案例出发，演示一元二次方程的应用过程。
案例一：生产成本与利润之间的关系假设某企业制造产品的生产成本为C，每件产品的销售价格为P，该企业预计在某一时期内能够销售出x件产品。
我们希望通过一元二次方程来分析生产成本与利润之间的关系。
首先，我们假设单位成本为a，表示每件产品的生产成本。
那么，总成本C可以表示为C = ax。
其次，我们假设单位利润为b，表示每件产品的利润。
那么，总利润可以表示为利润 = P * x - C。
将C代入到这个表达式中，我们可以得到利润 = P * x - ax。
这个表达式可以转化为一元二次方程 Profit = -ax + Px。
如果我们已知a、P的值，就可以利用这个方程来求解利润与销售量之间的关系。
案例二：最大化利润问题在某些情况下，我们希望通过一元二次方程来解决最大化利润的问题。
假设某企业的生产成本方程为C = ax^2 + bx +c，其中a、b、c为常数，x为销售量。
企业销售价格方程为P = mx + n，其中m、n为常数。
我们的目标是确定一个销售量x，使得利润最大化。
利润可以表示为 Profit = Px - C，将C和P的表达式代入，可以得到 Profit = (m-a)x^2 + (n-b)x -c。
为了找到利润最大值，我们可以求解这个二次方程的顶点坐标。
顶点的横坐标即为销售量x，纵坐标即为利润。
通过求解方程 Profit' =2(m-a)x + (n-b) = 0，我们可以得到顶点坐标。
然后，我们就能确定一个销售量x，使得利润最大化。
案例三：利润的平衡点问题另一个常见的问题是找到利润的平衡点，即销售量使得利润为零的点。
假设某企业的生产成本方程和销售价格方程分别为C = ax^2 + bx + c和P = mx + n。
107.13.解一元二次方程的实际应用——利润问题
无 月 亦 无 殇 。 谁
香 。 雪 入 窗 ， 今
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一ห้องสมุดไป่ตู้杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
韵 风 味
离绵别，不思思谁，人
解：设降价x元，
则(40－x)(20＋2x)＝1200
解得x1＝10，x2＝20 答：衬衫的单价应降10元或20元.
某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配 合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取合适的降价措施.调查表明：这 种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中 每天盈利4800元，同时又要使得百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
XXX X
古 X
X X X
风 设
计 P P T 模 版
，陌 长芦 门殇 清， 宫半
古 韵 一
问胜 卿逝 ，一 忆江 解秋
古 韵 二
千三丝 落千三 何落千 处满落 ？地腰
古 韵 三
人是
难水
，间
不残
寒
烦，
唤花
，
丝风
，香
莫
三尘
人茫杯如惆一谁殇入，若一世
已然独流怅壶痴。窗罂笑杯繁
…… ……
……
去又醉年
设每台冰箱应降价x元
日利润＝单台利润×日销售台数
单台利润
台数
日利润
用一元二次方程解决增降率问题及利润问题教案
13．(2017·重庆模拟)在“二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物 质文化遗产代表作名录之后，中国传统文化再次进入人们的视野，与其相关的 创意产品颇为畅销．某文具经销商计划用 12 元/盒的进价购进一款“二十四节 气”创意书签用以销售．
(1)据调查，当该种书签的售价为 14 元/盒时，月销量为 1 780 盒．每盒售 价每增长 1 元，月销量就相应减少 30 盒．若使该种书签的月销量不低于 1 600 盒，每盒售价应不高于多少元？
11．(2017·盐城)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店 用3 500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年 下降了11元/盒，该商店用2 400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完， 礼盒的售价均为60元/盒． (1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？ (2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
解：(1)设 2014 年这种礼盒的进价为 x 元/盒，则 2016 年这种礼盒的进价为 (x－11)元/盒，根据题意，得3 5x00＝x2－40101，解得 x＝35，经检验，x＝35 是原 方程的解．答：2014 年这种礼盒的进价是 35 元/盒．(2)设年增长率为 a，2014 年的销售数量为 3 500÷35＝100(盒)．根据题意，得(60－35)×100(1＋a)2＝(60 －35＋11)×100，解得 a＝0.2＝20%或 a＝－2.2(不合题意，舍去)．答：年增长 率为 20%.
2．(2017·连云港模拟)某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病 贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价 的百分率是_____2_0_%__． 3．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计， 七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获 奖，则这两年中获奖人次的平均年增长率为________2_5_%售量(副)
21.3一元二次方程应用题 利润_
数量关系 （ 每束利润 ）×（ 束数 ） = 总利润 432 10-X 40+8X 解：设每束玫瑰应降价X元，则每束获利 （10-X）元，平均每天可售出（40+8X） 束， 由题意得： （10-X）（40+8X）= 432 要注意 整理得： X2-5X+4=0 哦！ 解得： X1=1 X2=4 经检验： X1=1 不符合题意应舍去 X2=4 是方程的解且符合题意
单件利润=售价—进价
商品单件利润
× 商品件数 2：解题过程分析：
＝
商品总利润
1：仔细审读找出贯穿全题的等量关系。 2：分析题中相关数量相之间关系，适当设未知数， 并用含未知数的代数式表示相关的量，从而列出方程 3：整理方程并解出方程。 4：结合题中实际意义，对方程的根取舍。 5：总结作答。
答：每束玫瑰应降价4元。
列一元二次方程解应用题 的基本步骤：
数量关系
（
每束利润 ）×（ 束数 ） = 利润 10-X
40+8X
审 设 列
432
解：设每束玫瑰应降价X元， 则每束获利（10-X）元， 平均每天可售出（40+8X） 束， 由题意，得 （10-X）（40+8X）= 432 X2-5X+4=0 解得： X1=1 X2=4
3﹣0.5x 株数 株数 3 3+1 3+2 3+x 10 = 利润 总利润 3×3
增加1株 增加2株
…
间接设未知数
…
…
增加x株
回顾与思索
如果每束玫瑰盈利 10 元， 平均每天可售出 40 束 . 为扩 大销售，经调查发现，若 每束降价 1 元，则平均每天 可多售出8束.如果小新家每 天要盈利 432 元，那么每束 玫瑰应降价多少元？ 小新家的花圃用花盆培育 玫瑰花苗，经过试验发现 , 每盆植入 3 株时，平均每株 盈利 3 元；以同样的栽培条 件，每盆每增加 1 株，平均 每株盈利就减少 0.5 元。要 使每盆的盈利达到 10 元， 则每盆应该植多少株？
一元二次方程的应用利润问题
x
每台利润
40 x 30
思考: 涨价改 销售量 变了什么?
600 10 x
总利润
(40 x 30)(600 10x)
例1: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出, 平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价 为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要 想销售利润平均每月达到10000元,每个台灯的 定价应为多少元?这时应进台灯多少个?
解 : 设每台冰箱降价x元, 根据题意, 得 x (2900 x 2500)(8 4 ) 5000. 50 2 整理得 : x 300 x 22500 0. 解这个方程, 得 x1 x2 150.
2900 x 2900 150 2750. 答 : 每台冰箱的定价应为2750元.
每台利润
x 2500
总利润
( x 2500 )(8 4
2900 x ) 50
练习1、 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈 利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如 果每天盈利1600元,应降价多少元?
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600 x) 元,每天 分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(44 ______
解 : 设每件商品的售价应为 x元, 根据题意 ,得
( x 21)(350 10x) 400.
整理得: x 2 56x 775 0. 解这个方程 ,得 x1 25, x2 31.
x 31 21 1 20% 25.2, x 31 不合题意 ,平均每天能售出20 件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取 降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1 元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利 1200元,每件衬衫应降价多少元?
黄冈教育 一元二次方程应用专题学案
黄冈教育 一元二次方程应用专题学案【知识框架】一元二次方程的实际应用 【预备知识】解下列方程： ()()75.8212512525)1(2=++++x x ()[]{}12%6.190%601)2(=⨯-+-x x()()222456075)3(+=x x ()80005109060140)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--+x x()()()1101440%101%201530)5(2=--+-x【典例解析】（一）增长率（降低率）问题：【例1】（2009年赤峰市）某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率．【例2】（2009年常德市）常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北至桃源县盘塘镇创元工业园．在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少？《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧动点问题数字问题面积问题利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验【跟踪练习】1. （2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1﹣x ）2=4000 C ．4000（1﹣x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2=55002．（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都 是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．100(1)121x +=B 100(1)121x -=C ． 2100(1)121x +=D ． 2100(1)121x -=3.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
二次函数与实际问题 利润问题
二次函数与实际问题利润问题实际问题与二次函数――利润问题课时学案（1）一、利润公式某件商品进价40元，现以售价60元售出，一周可销售50件，问这一周销售该商品的利润为多少？小结：总利润= 二、问题探究问题1：某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件X元出售，可卖出(200-X)件，应如何定价才能使利润最大？问题2：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？分析问题：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润为y 元。
（1）涨价x元，每星期少卖件；实际卖出件。
（2）该商品的现价是元，进价是元。
跟据上面的两个问题列出函数表达式为：自变量x的取值范围解答过程：问题3：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？三、课堂练习1、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期要多卖出18件。
该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？2、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。
如何定价才能使得利润最大？3、某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？4、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
一元二次方程实际应用之(利润问题)
2、某商场的电视机原价为 2500 元，现以 8 折销 售，如果想使降价前后的销售额都为 10 万元，那 么销售量应增加多少？
解应用题的一般步骤？
第一步：设未知数(单位名称); 第二步：根据相等关系列出列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：检查求得的值是否符合实际意义； 第五步：写出答案（及单位名称）。
降价前整理得：x22－030x＋200＝0．40
800
降价后解得，x21＝0＋10，2xx2＝20．40－x
1200
答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元．
例2.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批西瓜，以3
元/kg的价格出售，每天可卖出200kg，为了促销，该
经营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0.1
元/kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费用共计24
元），该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜的
售价降低多少元？
分析： 设应将每千克西瓜降低x元
1.列表：
降价前
降价后
进价
2元
2元
售价
3元
3-x
数量
200kg
200+ 40x
0.1
等量关系 总利润=销售量x每千克的利润
分析： 设应将每千克西瓜降低x元
每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平
均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：这类销售问题，涉及的数量关系比较多，我们可以通过列 表的方式来分析其中的数量关系．
解：设（每40件－衬x）每（衫量天20（应＋的件降2销x））价售＝1x2元0每盈0．，件利根衬（据衫元题的）意总，利得润（元）
3、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品， 若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件， 商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
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九年级数学(上)学案
课题: 22．3《实际问题与一元二次方程(4)》
班级九( )班 学生: 月 日
一学习目标：
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.
2:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 二重难点:
根据单价、数量和销售额之间的等量关系建立数学模型并用它来解决实际问题 学习过程：
(一)情景导入
1、 选择适当方法解下列方程
(1)[].8000)10500(40)50(=--+x x (2) .720)10200)(5.02(=-+x x
2、单（售）价—进价=单件利润；单件利润×销售量=总利润；单价×销售量=销售额
(二)启发探究
例1将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？ 分析：设售价应定为(50+x)元。
单件利润：__________；销售量________；总利润__________； 等量关系根据：单件利润×销售量=总利润 可列方程为： 整理，得 解方程得 检验 答：
(三)互动深化
例2振华商厦服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天可多售出8件。
要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 问题：（1）若每件服装降价2元，一件服装赢利_______元，一天能卖出________件，一天赢利_______元 （2）若设每件服装降价x 元，一件服装赢利_______元，一天能卖出________件，一天赢利_______元。
（用含x 的代数式表示） （3）自己写出完整的解答过程
小练习：1.西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。
为了促销，该经营户决定降价销售。
经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。
另外，每天的房租等固定成本共２４元。
该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销
售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（四）运用创新
例3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
小结：根据价格变化与销售量变化间的关系来巧设未知数，再根据销售问题模型列方程
(五)反馈练习
1.一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒
2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。
要使每天盈利4500元，问该超市如何定价？
2.华润超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?
3．某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？
4．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。
假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。
现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时的市场价为每千克30元。
据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。
该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获利润5000元
5.商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？。