根与系数关系
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着一定的关系。
设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的两个根分别记为x₁和x₂。
根据求根公式，方程的两个根可以通过以下公式计算得出：
x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)
从以上公式可以发现，方程的两个根与系数a、b、c之间存在着一定的关系。
具体来说：
1. 系数b的正负会影响根与根之间的大小关系。
当b>0时，根x₁<根x₂；当b<0时，根x₁>根x₂。
2. 系数c的正负会影响根的正负。
当c>0时，根为两个正数；当c<0时，根为两个负数。
3. 系数a的正负会影响抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
总之，一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着密切的关系，系数的改变将会影响根与根之间的大小关系、根的正负以及抛物线的开口方向。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
根与系数的关系
根与系数的关系一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝，时，其求根公式为：；若两根为，根与时，则两根的关系为：；当△≥0它的逆定理也是成立系数的这种关系又称为韦达定理；则是，时，那么的，即当的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用还常常要求同学们熟记韦达定理解答一些变式题目外，存在的根的判别式一元二次方程三种情况，以及应用求根公式求出方程的即下面两个根进而分解因式，，。
希望就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
有两个不（1）的方程：例1已知关于没有实）2相等的实数根，且关于的方程（1数根，问取什么整数时，方程（）有整数解？的取12），（）条件的分析：在同时满足方程（的整数值。
值范围中筛选符合条件的2．解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；）没有实数2 ∵方程（∴根，于是，；解得的取值范围是）条件的1同时满足方程（），（2或其中，的整数值有，无整数时，方程（当1）为根；，有整数1当）为时，方程（根。
解得：的整数）有整数根的所以，使方程（1 值是。
熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此说明：的取值范围，并依靠熟练的解不题的基础，正确确定，等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出这也正是解答本题的基本技巧。
3二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
来说，往往二次项系数，分析：对于一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式若判定根的正负，△，但△只能用于判定根的存在与否，的正负情况。
因此解答此题的关或则需要确定键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
＞，∴△＝—4×解：∵657)(—＝2×∴方程有两个不相等的实数根。
0 ∵，设方程的两个根为＜∴原方程有两个异号的实数根。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
0
0
0
0
1
2
3
4
根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
添加标题
根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组的一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。
二元一次方程组的求解过程中，根与系数之间有以下关系：
1. 若方程组有唯一解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关。
具体关系公式为：
x = (ce - bf) / (ae - bd)
y = (cd - af) / (ae - bd)
2. 若方程组无解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解无关。
此时，方程组中的两个方程之间存在线性相关性。
3. 若方程组有无穷多解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关，但无法用简单的公式表示。
此时，方程组中的两个方程之间不存在线性相关性，但它们表示的直线重合或平行。
需要注意的是，以上关系只适用于二元一次方程组，不适用于其他类型的方程组。
在具体求解过程中，可以根据方程组的特点选择合适的方法，如代入法、消元法、Cramer法等。
根与系数的关系韦达定理
根与系数的关系——韦达定理吴翼腾基本概念1.根与系数的关系称为韦达定理（在此研究一元二次方程根与系数的关系）。
2.韦达定理内容：方程02=++c bx ax 的根是ab x a b x 2,221∆--=∆+-=， ⇒ac x x a b x x =⋅-=+2121,。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即必须满足判别式0≥∆。
韦达定理的应用（一）检验一元二次方程的解 例如：12,1221-=+=x x 是否是01222=+-x x 的解？（二）已知方程的一个根，求另一个根及待定系数的值1.已知方程0322=++mx x 的一个根为21，求另一个根及m 的值。
2.利用根与系数的关系解方程：422233+=+x x（三）不解方程，求根的代数式的值规律总结：对称式因式分解，求绝对值平方加讨论，整式非对称式降次，分式非对称式转化为对称式求解，求最值用判别式，在配方点和端点上。
例题一1.设方程03742=--x x 的两根为,,21x x 不解方程，求下列代数式的值：（1）)3)(3(21--x x （2）3231x x + （3）112112+++x x x x （4）21x x -2.已知m 为实数，方程022=++m x x 有两个实根,,21x x 求||||21x x +的值。
3.设21,x x 是二次方程032=-+x x 的根，求1942231+-x x 的值。
4.已知βα,是方程0872=+-x x 的两个根，且,βα>不解方程，利用根与系数的关系求232βα+的值。
5.对自然数n ，设x 为二次方程0)12(22=+++n x n x 的两根为,,n n βα求：)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(120204433+++++++++βαβαβα 的值。
6.设21,x x 为方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实数根，求2221x x +的最大值和最小值。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系1. 引言方程的根与系数之间存在着一定的关系，通过研究这种关系，可以帮助我们更好地理解和解决各类方程。
在本文中，我们将深入探讨方程的根与系数之间的关系，并通过具体的例子和推导，解释其中的数学原理。
2. 一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是方程的系数，x是方程的未知数。
我们来讨论一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.1 根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以通过判别式D=b2−4ac来确定。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论： - 当D>0时，方程有两个不相等的实根； - 当D=0时，方程有两个相等的实根； - 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
2.2 根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间存在着以下关系： 1. 根与系数之间的和：设方程的。
2. 根与系数之间的乘积：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba。
两个根分别为x1和x2，则x1⋅x2=ca由以上关系可以看出，当我们知道方程的系数时，就可以通过这些关系推导出方程的根的和与积，从而进一步研究方程的性质和解法。
3. 三元一次方程的根与系数之间的关系三元一次方程是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c和d是方程的系数，x、y和z是方程的未知数。
接下来，我们探讨三元一次方程的根与系数之间的关系。
3.1 方程的解三元一次方程的解是以有序数组的形式表示的，例如(x0,y0,z0)。
解的存在唯一性要求方程的系数满足一定的条件，即系数的行列式不为零。
具体而言，当abc−ac2−b2d=0时，方程无解；当abc−ac2−b2d≠0时，方程有唯一解。
3.2 根与系数之间的关系三元一次方程的根与系数之间的关系可以通过高斯-若尔当消元法进行求解。
解方程组的过程中，我们可以得到以下结论： 1. 根与系数之间的关系是复杂的，且很难直接表达； 2. 方程的解与系数的变化密切相关，系数的微小变化可能导致解的大幅度变化； 3. 方程的解可以通过变量的代换和消元的方法求得，求解过程中可以使用线性代数的相关理论和方法。
根与系数的关系
根与系数的关系内容提要：1、根系关系（韦达定理）2、不解方程直接确定两根的和与积3、根系关系与关于两根的对称式4、由两根关系考察待定系数5、韦达定理逆定理及其应用问题：一元二次方程的求根公式是什么？问题：利用求根公式计算21x x +和21x x ∙的值一、根系关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）先化为一般形式（2）定理成立的条件0∆≥即方程先要有根（3）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 简化形式：如果02=++c px x 的两根为2,1x x ，那么p x x -=+21，q x x =∙21，对于二次项系数为 1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
二、不解方程直接确定两根的和与积例1若2,1x x ，是一元二次方程x x 322=+的两根，则21x x +的值是（ ）A.-2B.2C.3D.1例2若2,1x x ，是一元二次方程322=-x x 的两根，则21x x ∙的值是（ ）A.-2B.2C.-3D.1例3 两个不等的实数m 、n 满足462=-m m ，462=-n n 则mn 的值为（ ）A.6B.-6C.4D.-4例 4 a,b 是方程x x 342-=-的两根，),(b a P 是函数xk y =的图像上一点，则k 的值是（ ）A.-4B.4C.-3D.3三、根系关系与关于两根的对称式例5设2,1x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A. 0B.1C.-1D.-5222121212()2x x x x x x +=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+22121212()()4x x x x x x -=+-12121211x x x x x x ++= 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2121212x x x x x x ++=+212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+， 2212121)())((m x x m x x m x m x +++=++ 例 6 关于x 的方程0)32(22=+++m x m x 有两个相等的实数根α，β，若111-=+βα则m 的值为（ ） A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1例 7 关于x 的方程02)6(2=++-a ax x a 有两个相等的实数根α，β，若)1)(1(++βα为负整数，则符合条件的整数a 有（ ）个A. 1B.2C. 3D.4四、由两根关系考察待定系数例 8 已知关于x 的方程02=++n mx x 的一根是另一根的2倍，那么m ，n 之间的关系是（ ）A.n m =22B.n m 922=C.n m 92=D.0=+n m例9 已知关于x 的方程012=+++k kx x 的两根2,1x x 满足k x x =+212则k 的值为（ ）A. 5B.-0.5C. 5或-0.5D.1五、韦达定理逆定理及其应用问题：已知一元二次方程如何求根？问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数为根的一元二次方程是例 若一个一元二次方程的两根分别是Rt ABC ∆的两条直角边长，且3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程。
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(b) 2 ( b 2 4ac ) 2 b b 4ac b b 4ac x1•x2= = • 2a 4a 2 2a
2
2
4 ac = 4a 2
c = a
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
3x1 x2 .
2
x1 x2
2
4 4 4 x1 x2 12 12 9 9
例2 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是 2,求另一根及k的值.
解：设另一根为m
解法一：将x=2代入方程，4-2(k+1)+3k=0 , k=2 , 由根与系数关系2m=3k , m=-3 解法二： m+2=k+1 2m=3k m=-3 k=-2
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+x＋c=0 (a≠0) 1、一元二次方程的一般形式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、 c b a. x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝
a
3、用根与系数关系解题的条件是 （1）a≠0（2）△≥0
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b2 4ac
0 两个不相等的实数根 0 两个相等的实数根 0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根 两根之和 两根之积 a与b之间 关系 a与c之 间关系
x1 x 2 x1 x2
x 2 3x 4 0
x 2 5x 6 0
2
4 1 2 3 1
3 4 6 5
3 2
2
b x1 x2 a
c a
3 5
4 6
1 2
1 2 x 3x 1 0 2
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
设x1 、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
b b 4ac 则x1= 2a
2
b b 2 4ac X2= 2a
b b 2 4ac 2b b b 2 4ac b ∴x1+x2= = = + 2a 2a 2a a
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论
以两个数x1 , x2为根的一元二次 方程（二次项系数为1）是 x x1 x2）x x1 x2 0 （
2
说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 1 3x + 2 =0
x1+x2=2
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x1x2= 4
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
例1.不解方程，求方程3x +2x-9=0的两根 (1)倒数和，(2)平方和，(3)平方差.
2
解：设方程的两根为x1,x2.即x1+x2=-2/3 , x1x2=-3 2 1 1 x1 x2 3 2 1. x1 x2 x1 x2 3 9 4 4 2 2 2 2.x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 6 6 9 9
1 2
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么你可以发现什么结论？ x1 x2 =？ x1 x2 =？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根 及m的值。 解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 , 又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · 2= x =-2+( 3 2
3 2
5 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。 由根与系数的关系,得 解：
．