学习三角形角平分线的知识时
三角平分线模型定理
三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。
在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。
本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。
首先，我们将给出三角平分线的定义。
三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。
这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。
接着，我们将探讨三角平分线的性质。
首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。
这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。
除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。
该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。
根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。
这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。
通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。
本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。
下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。
1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。
八上-角平分线的性质和判定(教案)
八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义1.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段、射线和直线的性质。
1.2 讲解角平分线的定义：在一个角内部，从角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的小角的线段叫做这个角的角平分线。
1.3 角平分线的表示方法：用符号“∠平分线”表示。
1.4 角平分线与角的关系：角平分线将角分成两个相等的小角，即每个小角等于原角的一半。
第二章：角平分线的性质2.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段的性质。
2.2 讲解角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。
2.3 角平分线性质的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
2.4 角平分线性质的应用：解决与角平分线有关的问题。
第三章：角平分线的判定3.1 导入：回顾初中阶段所学过的线段的判定方法。
3.2 讲解角平分线的判定方法：已知一条线段，如何判断它是某个角的角平分线。
3.3 角平分线判定方法的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
3.4 角平分线判定方法的应用：解决与角平分线有关的问题。
第四章：角平分线与三角形的关系4.1 导入：回顾初中阶段所学过的三角形的性质。
4.2 讲解角平分线与三角形的关系：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心。
4.3 内心性质的证明：通过几何图形，利用线段的性质和角度关系进行证明。
4.4 内心性质的应用：解决与三角形内心有关的问题。
第五章：角平分线的实际应用5.1 导入：通过实际例子，引入角平分线的应用。
5.2 讲解角平分线在实际问题中的运用：如在建筑设计、土地测量等领域中的应用。
5.3 角平分线实际应用的举例：分析实际问题，运用角平分线的性质和判定方法解决问题。
5.4 角平分线实际应用的练习：让学生通过练习题，巩固角平分线在实际问题中的运用。
第六章：角平分线的作图6.1 导入：回顾之前学过的几何作图方法。
6.2 讲解如何作一个角的角平分线：利用直尺和圆规完成角的角平分线的作图。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教学设计
人教版数学八年级上册《角平分线的性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《角平分线的性质（1）》这一节的内容主要包括角平分线的定义、性质及其在几何中的应用。
学生通过学习这一节内容，可以进一步了解角的平分线与角的大小、角的边长之间的关系，为后续学习三角形、多边形等几何知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但部分学生对角平分线的理解可能仍存在困难，因此在教学过程中需要加强对角平分线概念的讲解，并通过大量的实例让学生加深对角平分线的认识。
三. 教学目标1.了解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决一些简单的几何问题；3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.角平分线在几何中的应用。
五. 教学方法1.采用讲解法，让学生理解角平分线的定义和性质；2.运用示例法，让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质；3.采用练习法，让学生在实践中运用角平分线解决几何问题；4.运用小组合作法，让学生在讨论中加深对角平分线性质的理解。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、几何模型等；2.准备一些有关角平分线的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、垂线的性质等知识，引导学生进入新课的学习。
2.呈现（10分钟）利用课件、图片等展示角平分线的定义和性质，让学生直观地了解角平分线。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质，并尝试解答一些有关角平分线的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，运用角平分线的性质解决一些几何问题，加深对角平分线性质的理解。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：角平分线在实际生活中有哪些应用？让学生联系生活实际，拓宽思路。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强化学生对角平分线性质的记忆。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关角平分线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
三角形的高,中线,角平分线教案
三角形的高,中线,角平分线教案三角形的高、中线和角平分线教案第一节：三角形的高三角形的高是从一个顶点到对边所引的垂线段，也是三角形内一边的垂直平分线。
一个三角形可以有三条高。
1. 三角形的三条高相交于一个点，称为垂心。
2. 垂心离三角形三个顶点的距离相等，即垂心到三个顶点的距离相等。
三、求解方法：1. 已知三角形的底边和高，可以求出面积。
2. 已知三角形的两边和夹角，可以求出高。
第二节：三角形的中线三角形的中线是从三角形的一个顶点到对边中点的线段，也是三角形内一边的垂直平分线。
一个三角形可以有三条中线。
1. 三角形的三条中线相交于一个点，称为重心。
2. 重心离三角形三个顶点的距离比重心到对边中点的距离大。
三、求解方法：1. 已知三角形的底边和中线，可以求出面积。
2. 已知三角形的两边和夹角，可以求出中线。
第三节：三角形的角平分线三角形的角平分线是从一个角的顶点到对边的平分线。
一个三角形可以有三条角平分线。
1. 三角形的三条角平分线相交于一个点，称为内心。
2. 内心到三角形三边的距离相等，即内心到三个边的距离相等。
三、求解方法：1. 已知三角形的两边和夹角，可以求出角平分线。
2. 已知三角形的内心到三个顶点的距离，可以求出内心的位置。
通过本节课的学习，我们了解了三角形的高、中线和角平分线的定义、性质以及求解方法。
这些知识可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
希望同学们能够通过课后的练习和巩固，熟练掌握这些概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
角平分线的题设和结论
角平分线的题设和结论角平分线是指将一个角的两条边平分的直线，也就是将一个角分成两个相等的角的直线。
它在几何学中有着重要的应用和意义，是许多定理的基础。
在三角形中，角平分线分为内角平分线和外角平分线。
内角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线。
外角平分线则是指从一个三角形的一个角的外部出发，将相邻两个内角的非公共边分成两个相等的线段的直线。
在研究角平分线时，我们需要掌握一些基本的定理和结论。
下面是一些常见的定理和结论：1. 内角平分线定理：三角形中，从一个角的顶点出发，将这个角的对边分成两个相等的线段的直线称为这个角的内角平分线。
内角平分线定理指出，一条内角平分线将这个角所对的边分成两条比例相等的线段。
2. 角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线既是一个角的内角平分线，又是另一个角的内角平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。
3. 外角平分线定理：在一个三角形中，如果一条直线是一个角的外角平分线，那么这条直线所对的另一个内角等于这个三角形另外两个内角之和。
4. 角平分线定理（外部）：在一个三角形中，如果一条直线既是一个内角的外部平分线，又是另一个内角的外部平分线，那么这条直线将这个三角形分成两个面积比例相等的三角形。
5. 角平分线定理（相似三角形）：在两个相似三角形中，它们对应的顶点所对应的两个内角所对应的边上的点连成一条直线，这条直线就是它们所对应内角的平分线。
除了以上定理和结论之外，还有一些与角平分线相关的重要定理和结论，如垂心定理、欧拉定理等等。
这些定理和结论在几何学中有着广泛的应用和意义。
总之，掌握好角平分线相关的知识对于我们学习几何学和解决几何问题都有着重要的帮助。
七年级角平分线知识点
七年级角平分线知识点七年级的数学学习中，角平分线是比较重要的知识点之一，它是几何中的一个比较基础的概念。
本文将针对角平分线的定义、性质、求解方法以及应用场景等方面进行详细介绍，希望对各位学生的数学学习有所帮助。
一、角平分线的定义角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线，也称为角的平分线。
如下图所示，$BD$就是角$ABC$的平分线。
（请参见附图一）二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如下图所示，$BP$是角$ABC$的平分线，$BD$和$BC$是该角的两边，那么有$BD=PC$，$BC=PD$。
（请参见附图二）2. 在一个三角形中，角平分线将对边分成相似的线段。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。
（请参见附图三）3. 在一个四边形中，对角线相交于一点，当且仅当相邻角的平分线相交于该点。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，$AC$和$BD$也交于该点。
（请参见附图四）三、角平分线的求解方法1. 利用角平分线的定义和性质进行推导。
如下图所示，$BD$是角$ABC$的平分线，那么有$\angleABD=\angle DBC$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，又因为$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle ABC=2\angle ABD$。
因此，当角的度数已知时，可以通过计算得到角平分线所对应的度数。
2. 利用相似三角形的性质。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，因此可得出$BD$所对应的线段长度。
3. 利用对角线的交点进行计算。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，可以通过计算点$P$的坐标来求解角平分线。
高中数学角平分线定理
高中数学角平分线定理角平分线定理是高中数学中一个重要的几何定理，它是在三角形中研究角平分线性质时的一个基本定理。
角平分线定理是指：若一条线段从一个角的顶点出发，平分这个角，并且与这个角的两边相交于两点，那么这条线段就称为这个角的角平分线，并且它将这个角分成两个相等的部分。
角平分线定理在解决三角形问题时具有重要的作用。
我们可以通过角平分线定理来证明一些性质或者解决一些问题。
下面我们将介绍角平分线定理的一些应用。
角平分线定理可以帮助我们证明两条角平分线互相垂直的性质。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要证明BD和CD相互垂直。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD 的度数相等。
同样地，角BAD和角CAD被角平分线CD所平分，所以角BAD和角CAD的度数也相等。
因此，角BAD和角CAD的度数相等，从而BD和CD相互垂直。
角平分线定理还可以帮助我们解决一些关于角度比例的问题。
假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的角平分线相交于点D，我们想要求证BD和CD的长度比。
根据角平分线定理，我们知道角BAD和角CAD被角平分线BD所平分，所以角BAD和角CAD的度数相等。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度。
因此，角BAD和角CAD的度数都是90度。
根据三角形中角的度数之和等于180度，我们可以得知角ABC的度数为180度- 90度- 90度= 0度。
这意味着角ABC是一个平角，也就是说，角ABC是一条直线。
根据三角形内角和定理，我们知道角BAD和角CAD的度数之和等于180度，所以它们的度数都是90度。
因此，根据角平分线定理，BD和CD的长度比为1:1。
除了上述应用，角平分线定理还可以帮助我们证明一些关于相似三角形的性质。
假设在三角形ABC和三角形DEF中，角BAD和角CAD的角平分线分别与角EDF和角FDF的角平分线相交于点D和点E，我们想要证明三角形ABC和三角形DEF相似。
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学习三角形角平分线的知识时,我发现了几个有趣的结论，让大家一起来看看吧！例1如图1，已知△ABC的∠B和∠C的平分线BD、CE 相交于点O求证：∠BOC= 90°+1/2∠A。
解：∵BD平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC = 180°-(∠DBC+∠ECB)= 180°-(1/2∠ABC + 1/2∠ACB)= 180°- 1/2(∠ABC + ∠ACB)= 180°- 1/2(180°-∠A)= 180°- 90°+ 1/2∠A= 90°+ 1/2∠A即∠BOC= 90°+1/2∠A。
结论1：在一个三角形中，任意两个内角的角平分线相交形成的钝角等于90°加上第三个角的一半。
练习1、在三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于D，若∠BDC=125°，则∠A为 _________2、例2如图2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于点O，探究∠BOC与∠A的关系。
解：∵BO平分∠EBC ∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO 同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO又∵∠ABC+∠EBC=180°∴∠ABC=180°-∠EBC = 180°-2∠CBO同理：∠ACB=180°-∠FCB = 180°-2∠BCO又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180°∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-(1/2∠EBC + 1/2∠∠FCB）=180°-1/2(∠EBC + ∠∠FCB）= 180°-1/2(180°-∠ABC +180°-∠ACB )= 180°-1/2(180°-∠ABC -∠ACB + 180° )=180°- 1/2(180°+∠A)=180°- 90°+1/2∠A)=90°-1/2∠A即∠BOC= 90°- 1/2∠A。
结论2：三角形两个外角的角平分线相交形成的角等于90°减去第三个外角对应的内角的一半。
例3如图3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E，探究∠E与∠A的关系。
解：∵BE平分∠ABC ∠ABC = 2∠ABE= 2∠EBC 同理：∠ACD = 2∠ACE = 2∠ECD∵∠ACD = ∠ABC +∠A ∠ECD = ∠EBC+ ∠E∵∠ACD = 2∠ECD即∠ABC +∠A = 2(∠EBC+ ∠E)= 2∠EBC+ 2∠E=∠ABC+ 2∠E∴∠A= 2∠E即∠E = 1/2∠A。
结论3：三角形的一个内角的角平分线与另一个内角的邻补角的角平分线相交形成的角等于三角形中的第三个内角的一半。
提示：1、记忆口诀加减一半2、三角形内角和定理3、转化思想例4、在ΔABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于F，过点F作DE//BC，分别交AB、AC于D、E，已知ΔADE 的周长为24cm,且BC=8cm，求ΔABC的周长如图，绿色三角形和青色三角形都是等腰三角形。
在这里有一个规律：角平分线遇平行必有等腰三角形。
平行线构成的内错角相等，角平分线分两角相等。
图中标出了等角。
因此，DF=DB，EF=EC。
所以三角形ABC的周长是24+8=32CM三角形角平分线的应用例析三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形此情形可构造两种基本图形如图1、2所示：如图1，以AD为轴翻折，使点C落在AB上（即在AB上截取AE = AC），得△ACD≌△AED．如图2，以AD为轴翻折，使点B落在AC的延长线上（即延长AC到E，使AE = AB），得△ABD≌△AED．例1 如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB + BD = AC，求∠B ∶∠C的值．（河南省）解法1：在AC上截取AE = AB ，连结AE．∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD，∴△ABD≌△AED，∴∠B = ∠AED，BD = DE．又∵AB + BD = AC，∴CE = BD = DE，∴∠C = ∠EDC，∴∠B = ∠AED = 2∠C，∴∠B ∶∠C = 2∶1．解法2：延长AB到E，使AE = AC ，连结DE．请读者一试．二、“角平分线+ 垂线”构造全等三角形或等腰三角形1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．例2 如图4，在四边形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD平分∠ABC．求证：∠A + ∠C = 180°．证明：过点D作DE⊥AB，交BA延长线于点E，作DF⊥BC，交BC于点F ．∵BD平分∠ABC，∴DE = DF ．又∵AD = DC，∴Rt△EAD≌Rt△FCD，∴∠C = ∠EAD．∵∠EAD + ∠BAD = 180°，∴∠C + ∠BAD = 180°．例3 如图5，已知等腰Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B 的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E．求证：BD = 2CE .证明：延长CE交BA的延长线于点F ．∵BE是∠B的平分线，BE⊥CF，∴∠BCF = ∠F，∴△FBC是等腰三角形．∴CE = FE．∴CF = 2CE．∵AB = AC，∠ABD = ∠ACF，∠BAD = ∠CAF = 90°，∴Rt△BAD≌Rt△CAF．BD = CF = 2CE．三、“角平分线+ 平行线”构造等腰三角形1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边，得等腰三角形；2、自角的一边上任一点作角平分线的平行线交另一边的反向延长线，得等腰三角形．例4 如图6，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．若BD + EC =9，则线段DE的长为（） A.9 B.8 C.7 D.6解：∵DE∥BC，∴∠DFB = ∠FBC ．∵∠FBC = FBD，∴∠DFB = FBD，∴DF = BD．同理可证，FE = EC ．∵DF + FE = DE，∴BD + EC = DE，即DE = 9. 故应选A.例5 如图7，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC 中点，EF∥AD，交AB于M，交CA的延长线于F，求证：BM = CF．证明：作CN∥EF交BA的延长线于N．∵E是BC中点，∴BM = MN．∵∠BAD =∠CAD，EF∥AD，∴∠F = ∠FMA，∴AM = AF．又∵CN∥EF，∴∠N = ∠ACN，∴AN = AC．∴AC + AF = AN + AM = BM，∴BM = CF．总之，三角形的角平分线问题的辅助线的添加，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可获得解答与三角形的角平分线有关的几个结论三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角与第三个角的关系一、三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角与第三个角的关系例1.已知如图，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACE，∠A=70°，求∠D的度数.结论：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角∠D与第三个角∠A的关系是：二、三角形的两条内角平分线的夹角与第三个角的关系例2.已知如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度数.结论：三角形的两条内角平分线的夹角∠D与第三个角∠A的关系是：三、三角形的两条外角平分线的夹角与第三个角的关系例3.已知如图，BD平分外角∠CBE，CD平分外角∠BCF，∠A=70°，求∠D的度数.结论：三角形的两条外角平分线的夹角∠D与第三个角∠A的关系是：关于三角形角平分线的几个结论1、若△ABC的内角的平分线与一个外角的平分线相交于点D，试猜想∠D与∠A的关系，并说明理由1 三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的关系2 三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系3 三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系解：如图，设△ABC中，∠ABC和∠ACB的内角平分线交于D，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于E，∠ABC的外角分线与∠ACB的外角平分线交于F，则有下列关系成立：②∠E＝∠A/2③∠F＝90－∠A/2证明过程如下：1、因为BD平分∠ABC，所以∠DBC＝∠ABC/2同理∠DCB＝∠ACB/2因为∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝180－(∠ABC＋∠ACB)/2又因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A所以∠BDC＝180°－(180°－∠A)/2即∠BDC＝90°＋∠A/22、如图，根据“三角形任一外角等于不相邻的两个内角的和”得：∠E＋∠EBC＝∠ECG所以∠E＝∠ECG－∠EBC同理∠A＝∠ACG－∠ABC因为∠EBC＝∠ABC/2，∠ECG＝∠ACG/2所以∠E＝∠ACG/2－∠ABC/2＝(∠ACG－∠ABC)/2＝∠A/23、如图，根据三角形内角和性质得：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)因为BF、CF为∠ABC，∠ACB的外角∠MBC和∠NCB的平分线所以∠MBF＝∠CBF＝∠CBM/2∠BCF＝NCF＝∠BCN/2所以∠BFC＝180°－(∠CBF＋∠BCF)＝180°－(∠CBM/2＋∠BCN/2)＝180°－(∠CBM＋∠BCN)/2因为∠CBM＝180°－∠ABC，∠BCN＝180°－∠ACB所以∠BFC＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)/2＝(∠ABC＋∠ACB)/2＝(180°－∠A)/2即∠F＝90°－∠A/2另外，第三个结论也可以用第一个结论进行推导思路如下：先根据角平分线的条件证明∠DBF＝∠DCF＝90°再根据四边形内角和等于360°得：∠BDC＋∠F＝180°所以∠F＝90°－∠A/2当然，先证明第三个结论，再用上面的方法也可以证出第一个结论变式问题：在四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD 的平分线CF交AB于F，BE，CE相交于O，∠A=124，∠D=100求，∠BOF的度数将本题中的BA、CD延长相交于M后就是一个三角形MBC，再作出两个角的角平分线，演变为上面的问题的第一小题。