非线性振动2010

区域 B
X 称为渐近稳定区域.
0 定义3 如果存在 0,t0 0 ,任取 0 (无论如何小),存在 x ,满足 x 0 t t0,使得 x(t) ,那么称平衡是不稳定的.
着重解释几点： 1.对于稳定定义1特别注意任意 是可以任意选取的正数,着眼点放在” 无论如何小” 显然, 不能大于 ,对于给定的 t 0 , 越小, 就更小. 若把定义1中的”任意取 ”,改为”存在 ”,则只能得到”解有界”的 结论,而得不到稳定的结论. 2.对于渐近稳定的定义2,特别注意 ①所有轨线都趋向原点. a首先要求平衡是稳定的. 为什么? ②但从其中一条轨线不可以看 反例:等式(3)成立,但平衡不是稳定的. 出平衡是不是稳定的.
0 1
k x10 x2 0
现设
x10 和 x2 0
1 k
ห้องสมุดไป่ตู้
所以只需 由此解得
k 1 k
k

1 1 k
从而只要取 min
1 k , 1 k 1 k
定义1的条件全部满足,自由振动的平衡是稳定的. 其它下垂摆,证明写出来一大堆,不讲了.（有阻尼的下垂摆，倒立摆） 由该例可以看出,用定义取直接考察系统的稳定性很不容易. 注意：这个例子比较特殊： 与 t 0 无关
例:设 V ( x1 , x2 ) k 2 x12 x2 4 x1 x2
1 2
1 2
k 0
问 满足什么条件时,V ( x1 , x2 ) 是正定的? 解:令V ( x1, x2 ) X T AX ,则
1 2 2 k A 1 2 1 2 1 2
c
练习题：
用Lyapunov第二方法（V函数描述的），判别下列 扰动运动微分方程的零解稳定性
2 x1 x2 x1 ( x12 x2 ) 2 x2 x1 x2 ( x12 x2 )
另外一种方法：按一次近似判断稳定性的法则 按一次近似判断稳定性的法则： 驻定系统 x X ( x) (c)
n
式中 aij 是定常数, A aij 是 n n 阶对称方阵 aij a ji X T表示列阵 X 的转置矩阵,即矢量 x1 , x2 xn T 二次型 X AX 为正定的充要条件是:顺序主子式的行列式都大于零.
即:
a11 0
a11
a12
a21 a22
0
a11 a1n 0 an1 ann
1 2 g 两边积分得: 2 y l (1 cos x) c ( c 为任意常数)
取 V
1 2 g y (1 cos x ) 注：选取V函数方法之一，总能量积分的表达式 2 l
易见 V 是正定的(在区域 x 2 , y 2 内)
dV ，有 V ( x) 0 (常负的) 且通过(1)式对 t 求全导数, V dt
严格的稳定性概念由 A.M 李雅普诺夫给出: 定义1 如果任取 0 ( H , 无论如何小),对于任意给定的初时 刻 t0 0 ,存在 (t0 , ) 0 ,( 由 t 0 和 确定),任取初扰动 x 0,只要满 0 足 x ,对于一切 t t0 有 X (t ) 那么系统(1)的平衡就是稳定的.
故单摆运动在其平衡位置是稳定的. 另外，根据，定理2，不是渐近稳定的 定理3 (巴尓巴欣---克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数 ,它由(1)构成 的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合 ,除原点外,不包含(1)的整 条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的. 例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的. 证明:扰动运动的微分方程是:
式中 x1 , x20是初扰动,由此得:
0
1 0 x1 (t ) x x2 k
0 1
x2 (t ) k x10 x2 0
（三角不等式）
因此任给 t0 0 ,任取 0 ,欲 x1 (t ) 和 x2 (t ) ,对一切 t t0 成立,只需
1 0 x x2 k
X (t , 0) 0 ,即原点是平衡位置.
问:若平衡位置不是原点,如何研究系统在此平衡位置的稳定性? ② 在封闭区域,t 0 , X H H 0上连续,且有连续的一阶偏导数 ,
X i x j
(i, j =1,2,…, n)
(2)
对于大量工程实际问题,后一个假设是满足的. 理论上,根据常微分方程的理论,这一假设就保证了方程解的唯一性.
(t0 , x0 ) ,从这点出发的解的轨线在此区域内只 即,在区域(2)内任取一点 有唯一一条.(在增广空间,任何两条轨线不会相交;若投影到相空间内 却是可能相交的).
范数, 通常采用 X ( x12 x2 2 xn 2 )
1 2
例如,任取常数 r 0,满足不等式 X r ,表示以原点为球心, r 为球半径 的区域，称为原点的球邻域. 我们这里, 范数采用所有的 xi 的绝对值中最大的值表示 X 即 X max x1 , x2 xn 任取常数r 0不等式 X r 表示形心在原点,边长为 2r 的 n 维正方形,记作 Br(闭区域), Br (开区域)
n 对于扰动运动微分方程 x X ( x) , x R (1) V 以下假设函数 V ( x) 是单值连续的 V (0) 0, 对x具有连续偏导数 x j (i=1,2…n)
(2)
定理1 (李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动微分方程(1)可以找到一个 正定函数V ( x) ，它通过(1)构成的全导数是常负的,则系统(1)的无扰 运动是稳定的. 定理2 (李雅普诺夫,1892) 如果对于扰动运动的微分方程(1),可以找到 一个正定函数 V ( x),它通过(1)构成的全导数是负定的,则(1)的无扰动 速度是渐进稳定的. 例:无阻尼单摆振动在其平衡位置的稳定性方程
x1 x2 x2 k 2 sin x1 2 x 2
k 0, 0
获得总能量函数:
1 E ml 2 k 2 (1 cos x1 ) x2 2 2
E
在区域 x1 , x2 内是正定的.
1
取 V ( x) ml 2 k 2 (1 cos x1 ) x2 2 2
稳定性的严格定义
1.描述运动的方程组写成矩阵形式:
x1 x 2 x xn
X1 X X 2 Xn
x X (t , x)
(1)
其中,
为了研究系统的稳定性,假设 X (t , x) 满足 ①
V ( x1, x2 , x3 ) x12 x24 2x32 是变量函数.
正定函数的判定方法
要判定 V ( x) 是不是正定函数,还没有一个普遍的方法（通用的方法） 对于二次型的V 函数,有普遍适用的方法 定理1 考虑二次型
V ( x) aij xi x j X T AX
i , j 1
0 (t0 , x) 0
For all t t0 0 Only if x x(t ) Then 0 (t0 ) 0 ,( 只与 t 0 有关),任取 x ,只 定义2 如果平衡是稳定的,且存在 需 x 0 ,就有lim x(t ) 0 (3) t 那么就称平衡是渐近稳定的.
b 定义2中的 不同于定义1中的 ,因为如果 t 0 给定,则是唯一确定的 值;而定义1中的 仍是 的函数, 越小, 也越小. 3.对于定义3中,要注意 是一个确定的值,而 是任意选取的.对 着眼 于无论如何小”. 一 旦 发 现 原 点 任 意 小 的 邻 域 内 , 存 在 初 扰 动 x0 , 由 它 发 出 的 解 满 足,t t0 , x(t ) ,平衡就是不稳定的。原则上只要有一束 x(t ) 就可以 判定不稳定,而不需要研究原点的某个邻域的所有解的性质.
求得
a11
1 2 1 k 0 A (k 2 2 ) , 2 4
根据定理1,只要 A 0 ,即 k 时,函数 V ( x1 , x2 )是正定的.
n V V V 定义全导数: V ( x) xi X i ( x) t i 1 xi i 1 xi n
d 2 g sin dt 2 l
令 x ,
dx y 则方程变为以下形式 dt
dx dt y dy g sin x dt l
容易求出方程的初积分(首次积分，总能量函数)
dy dx g sin x g l ydy sin xdx y l
则 V ( x) 2ml 2 x22 0 (常负的)
E 0
得
x2 0
假如点集 x2 0(即ox1轴)存在整条轨线,则 x2 0 ,从而 x2 0
2 2 代入原方程有: k sin x1 2 x2 k sin x1 0
所以在 x1 内,只有 x1 0 ,没有其它解. 这表明在ox1轴上,除原点外,不存在整条轨线.
0 (t0 , x) 0
For all Only if Then
t t0
Lyapunov 第二方法
x0
x(t )
基本概念（V函数）：定号,常号,变号函数 设函数 V ( x) 是 n 维空间原点邻域内的单值连续函数,而 V (0) 0 定义1 如果存在 h 0 ,在区域 Bh : x h( h 0 )内 当x 0 时,V ( x) 0,则称 V ( x)是正定的 V ( x) 0,则称 V ( x)是负定的. V 定义2,如果在域 Bh 内,有 ( x) 0 ,则称V ( x) 是常正的 V ( x) 0 ,则称V ( x) 是常负的. 定义3,如果原点的任意小的邻域内, ( x) 既可取正值,又可以取负值,则称 V V ( x) 为变号函数 例如 V ( x1, x2 , x3 ) x12 x24 2x32 (h )是正定的(在全空间内正定) V ( x1, x2 , x3 ) x12 x24(h )是常定的. 因为在 ox3 轴上,x1 x2 0, x3 0 ,各点有V 0,其它各点 V 0