2019-2020年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨创新应用教学案新人教A版选修4
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨本讲整合课件新人教A版选修4_1
专题一 专题二
应用1
ห้องสมุดไป่ตู้
知识建构
综合应用
如图,点O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,点E为面BCC1B1的中
专题二 借助图形解决圆锥曲线问题
圆锥曲线的定义、性质是高考的重点和热点,讨论圆锥曲线的性 质时,借助图形的直观性,可以发现圆锥曲线的性质与图形之间的 对应关系,从而找到解决问题的思路.
应用 3 已知 F1,F2 是椭圆的左、右焦点,以 F1 为顶点,F2 为焦点
的抛物线交椭圆于
P,Q
两点,且
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本讲整合
-1-
知识建构
综合应用
知识建构
综合应用
专题一 专题二
专题一 正射影问题 正射影的要求较平行射影要高,在以前的学习中也有一定的介绍,
要求会作出某个图形在平面上的正射影(尤其是在三视图中更明 显),而平行射影只要求了解即可.常与简单几何体相联系,在选择题、 填空题、解答题中均有可能出现,预计将来还会保持这种形式.
于是
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,
即������△2 ������������������ = ������△BOC·S△BDC.
高中数学 3.2 第三讲 圆锥曲线性质的探讨课件 新人教A版选修41
第一页，共29页。
二 平面与圆柱面的截线
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共29页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第三页，共29页。
学习目标 1.理解定理1及其推导证明过程． 2．在用Dandelin双球证明定理1的过程中探求椭圆的性质.
第四页，共29页。
课前预习 1.平面内两个等圆的内公切线的性质 如图所示：
2c＝ 122－62＝6 3.
∴a＝6，c＝3
3，故椭圆的离心率e＝ac＝
3 2.
设截面与母线所夹的角为φ，则cosφ＝
3 2.
∴φ＝30°.
第二十九页，共29页。
第九页，共29页。
1.AD AD cosφ sinθ 答
2.椭圆 案
3.长轴 短轴 焦距 2 a2－b2
第十页，共29页。
思考探究1 用一个平行于圆柱的轴的平面截圆柱，截口 是什么？
提示 是矩形．如图，截口显然是矩形． 思考探究2 在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三 角形吗？能截出一个半圆吗？在什么条件下，你能截出一个正 方形？
第十三页，共29页。
如果长轴A1A2＝2a，短轴B1B2＝2b，焦距F1F2＝2c，则有
a2＝b2＋c2，离心率e＝
c a
，准线方程为x＝±ac2
，椭圆的标准方
程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称
图形，又是以原点为对称中心的对称图形．因此，画椭圆的图
长轴长2a＝
2r sinφ
，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ
，焦距2c＝
2acosφ.
2021学年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨学案新人教A版选修4_1
.第三讲 圆锥曲线性质的探讨一、选择题1.如下图，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .那么此弦所对的圆心角∠AOB 为( ) A.60° B.90° C.120°D.150°解析 作OC ⊥AB 于C ，那么BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BOOB ＝32，∴∠B ＝30°，∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°. 答案 C2.如下图，在⊙O 中，弦AB 的长等于半径，E 为BA 的延长线上一点，∠DAE ＝80°，那么∠ACD 的度数是( )A.60°B.50°C.45°D.30°解析 连接OB ，那么∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，又∵∠BCD ＝∠DAE ＝80°，∴∠ACD ＝∠BCD －∠ACB ＝80°－30°＝50°. 答案 B3.如图，⊙O 的直径为CD ，与弦AB 交于点P ，假设AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，那么该圆的半径为( ) A.5.5 C.6解析 根据相交弦定理，可得AP ·BP ＝CP ·DP ，即4×6＝3×DP ，∴DP ＝8，∴2r ＝DP ＋CP ＝8＋3，∴r ＝5.5. 答案 A4.⊙O 的半径为5，两弦AB ，CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，那么圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273D.809解析 如下图，过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，那么DH ＝12CD ，由相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·DE ，而AE ＝EB ＝4，可设CE ＝4x ，那么DE ＝9x ，所以4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，即OH ＝OD 2－DH 2＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1332＝2143. 答案 A5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，假设AB ＝6，BC ＝4，那么AE ＝( ) A.103B.23C.1D.43解析 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM ＝∠A .∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝EBC ，∴∠A ＝∠EBC .又∠ACB ＝∠BCE ，∴△ABC ∽△BEC ，∴AB BE ＝AC BC .∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC .∴64＝4EC .∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103. 答案 A6.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝3，PB ＝1，那么∠PAB 的大小为( ) A.90°B.60°C.45°D.30°解析 连接AO ，PA 是圆O 切线，A 为切点，∴∠PAO ＝90°，∴AP 2＋AO 2＝PO 2，即3＋r 2＝(1＋r )2⇒r ＝1. 由AP ＝3，PO ＝2，AO ＝1及∠PAO ＝90°，可得∠POA ＝60°， ∴AB ＝1，cos ∠PAB ＝3＋1－123＝32.∴∠PAB ＝30°.答案 D7.点A ，B ，C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，假设AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，.那么线段AC 的长为( ) A.94B.92C.49D.29解析 由切割线定理，得CD 2＝BD ·AD . 因为CD ＝6，AB ＝5， 那么36＝BD ·(BD ＋5)， 即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)·(BD －4)＝0，所以BD ＝4. 因为∠A ＝∠BCD ，∠D ＝∠D ， 所以△ADC ∽△CDB .于是AC CB ＝CD BD，所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92.答案 B8.如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC ＝4，那么AD 的长为( )A.8B.45 C.83D.35解析 由题意可知BD 与BC 相等，BD ＝BC ＝4，OB ＝OC 2＋BC 2＝25，∴sin 12∠B ＝55，cos 12∠B ＝255， ∴sin ∠B ＝2sin 12∠B ·cos 12∠B ＝45，∵AC ⊥BC ，∴sin ∠A ＝cos ∠B ＝35，又∵AB ＝BC sin ∠A ＝203，∴AD ＝AB －BD ＝203－4＝83.答案 C9.如图，PT 切⊙O 于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A ，B ，与直线CT 的交点是D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( ) A.10B.20C.5 5解析 根据相交弦定理可得AD ·DB ＝CD ·DT ，∴3×4＝2DT ，解得DT ＝6，∴圆的半径r ＝4，AB ＝7，不妨设PB ＝x ，那么PA ＝x ＋7， 根据切割线定理，可得PT 2＝PB ·PA ，∴PT 2＝x ·(x ＋7)，在Rt △PTD 中，DT 2＋PT 2＝PD 2，∴36＋PT 2＝(x ＋4)2，∴36＋x (x ＋7)＝(x ＋4)2，解得x ＝20. 答案 B10.如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G ，F ，交⊙O 在A 点处的切线于P ，假设PE ＝3，ED ＝2，EF ＝3，那么PA 的长为( )A. 5B. 6C.72解析 依题意知，ED ＝2，DF ＝1.AE ＝BE .设GE ＝t ，那么PG ＝3－t .由相交弦定理得GE ·EF ＝AE ·BE ，故AE ＝BE ＝3t ，又由PA 是切线知∠PAB ＝∠C (弦切角等于弦所对的圆周角)＝∠BDE ，所以△PAE ∽△BDE .所以PE AE ＝BEED，即33t＝3t 2，解得tGE ＝2，PG ＝1，再由切割线定理知PA 2＝PG ·PF ＝6，所以PA ＝ 6. 答案 B 二、填空题11.如图， 一圆内切四边形ABCD ，且AB ＝16，CD ＝10，那么四边形ABCD 的周长为________. 解析 由切线长定理知CD ＋AB ＝AD ＋BC ，∵AB ＋CD ＝26，∴AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝52. 答案 5212.如下图，分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边相交于E ，F 两点.假设∠E ＝30°，∠F ＝50°，那么∠A ＝________.解析 ∵∠A ＋∠ADC ＋∠F ＝180°，∠A ＋∠ABC ＋∠E ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠.A ＝12(180°－∠E －∠F )＝50°.答案 50°13.如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB 的延长线于N 点，假设MN ＝1，MQ ＝3，那么PN 的长为________.解析 依题意得，NP 2＝NB ·NA ＝NM ·NQ ，那么NP 2＝MN ·NQ ，所以NP 2＝1×(1＋3)＝4，所以NP ＝2. 答案 214.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为点D ，点D 在半径OC 上的射影为点E .假设AB ＝3AD ，那么CE EO的值为________.解析 连接AC ，BC ，那么AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ， ∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ，CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CE EO ＝8.答案 8 三、解答题15.求证：假设圆内接五边形的每个角都相等，那么它为正五边形. 证明 如图，连接BD ，依题意得∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠CDE ＝∠E ＝108°.因为A ，B ，D ，E 四点共圆，且∠A ＝108°，所以∠BDE ＝72°，而∠CDE ＝108°，故∠CDB ＝36°.从而∠CBD ＝36°.所以CD ＝CB .同理，其他各边也都相等， 从而ABCDE 是正五边形.16.如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.17.如图，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，过A作⊙O2的切线交⊙O1于C，直线CB交⊙O2于D，直线DA交⊙O1于E.(1)求证：CE＝CA；(2)求证：CE2＋DA·DE＝CD2.证明(1)如图，连接AB.∵AC切⊙O2于点A，∴∠3＝∠2.又∵∠2＝∠E，∴∠3＝∠E.∵∠3＝∠1，∴∠1＝∠E，∴CE＝CA.(2)由切割线定理，得CA2＝CD·CB，∴CE2＝CD·CB.由割线定理，得DA·DE＝DB·CD，∴CE2＋DA·DE＝CD·CB＋CD·DB＝CD·(CB＋DB)＝CD2.18.如图，半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，BC∶CA＝4∶3，点P在AB下侧半圆上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(1)当点P运动到与点C关于直径AB对称时，求CQ的长.(2)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？并求出此时CQ的长.解(1)当点P运动到与点C关于直径AB对称时，CP⊥AB于D.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AB＝5，BC∶CA＝4∶3，.∴BC ＝4，AC ＝3.又∵AC ·BC ＝CD ·AB ， ∴CD ＝125，∴PC ＝245.∵在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ ， ∴Rt △ACB ∽Rt △PCQ .∴AC PC ＝BC CQ .∵CQ ＝BC ·PCAC ＝4×2453＝325. (2)∵点P 在AB 下侧半圆上运动的过程中，CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC .可知当PC 取到最大值时CQ 取最大值.显然当PC 为⊙O 直径时取最大，即PC ＝5时，CQ 取最大值，为43×5＝203.[学习目标]1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.5.用平面截圆锥面研究所得曲线的根本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线. [知识链接]1.一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？ 提示 圆.2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？提示椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？提示平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？提示用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.[预习导引]1.正射影(1)定义：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′.称点A′为点A在平面αα上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影.(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆一样的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经历我们知道，正射影的形状发生了变化，就好似一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影定义：设直线l与平面α相交(如图)，称直线lA作平行于l的直线(称为投影线)，必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面αα上的平行射影所组成的图形，，正射影是平行射影的特例.3.定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是椭圆符号语言平面α与圆柱OO′的轴斜交，那么截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆(1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆..(2)组成元素：如下图，F 1，F 2是椭圆的焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线.我们把A 1A 2叫作椭圆的长轴，B 1B 2叫作椭圆的短轴，F 1F 2叫作椭圆的焦距，如果长轴为2a ，短轴为2b ，那么焦距2c ＝2a 2－b 2.(3)Dandelin 双球探究椭圆性质：如下图，设球O 1，O 2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l 1，l 2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的夹角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l 1，l 2也是确定的，且φ，θ均为定值.①当点P 在椭圆的任意位置时，过P 作l 1的垂线，垂足为Q ，过P 作平面α的垂线，垂足为K 1，连接K 1Q ，得Rt △PK 1Q ，那么∠QPK 1＝φ.从而有PF 1PQ ＝PK 1PQ＝cos φ＝定值. ②椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ.我们把直线l 1叫作椭圆的一条准线. ③椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比也为定值cos φ，所以l 2是椭圆的另一条准线. ④记e ＝cos φ，我们把e 叫作椭圆的离心率. 5.定理2文字语言假设用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，那么会出现以下情况：(1)如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线；(2)如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个局部都相交，这时的交线是双曲线.符号语言在空间中，取直线l 为轴，直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α，l ′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′π，假设它与轴l 的交角为β(当π与l 平行时，记β＝0)，那么：(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆； (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；确定交线的形状6.(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a ).(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a ). (3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等. 7.圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin 球与平面π的切点.(2)准线：截面与Dandelin 球和圆锥交线所在平面的交线. (3)离心率：e ＝cos βcos α.(4)圆锥曲线的几何性质.曲线上的点到PF1＋PF2＝2a|PF1－PF2|＝2a－焦点距离要点一正投影例1 P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影.(1)假设P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？(2)假设P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？(3)假设PA，PB，PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？解如下图.(1)假设PA＝PB＝PC，O为P在平面ABCOA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心.(2)由P到△ABCO到△ABC的三边距离相等，∴O为△ABC的内心.(3)∵PO⊥平面ABC，PA⊥BC，∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心.规律方法确定一个几何图形的正射影，，一定要全面考虑.跟踪演练1 l1，l2为不垂直的异面直线，α是一个平面，那么l1，l2在平面α上的正射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.其中结论正确的选项是________(写出所有正确结论的编号).解析如下图，可知①②④正确，而对于③，假设两直线的正射影是同一条直线，那么两直线必共面，这与l1，l2异面矛盾，∴③错.故填①②④.答案①②④要点二平行投影例2 如下图，边长为20的正△ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.解设BD，CE是点B，C到平面α的距离，那么BD⊥α，CE⊥α，BD＝10，CE＝5，由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，∴B，D，E，C共面.∵BD≠CE，∴BC，DE必相交，设交点为F.∵DF⊂α，∴F∈α.∵BC⊂平面ABC，∴F∈平面ABC，∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.∵A是平面ABC和平面α的公共点，∴平面ABC∩平面α＝AF.在△BDF中，∵BD∥CE，BD＝2CE，∴CF＝BC.又∵△ABC为正三角形，∴CF＝AC，∠ACF＝120°.∴∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝60°＋30°＝90°.由正投影变换的性质，得DA⊥AF，∠BAD是△ABC和平面α所成的二面角的平面角.在Rt△ABD中，AB＝20，BD＝10，∴∠BAD＝30°，∴△ABC所在平面和α所成的二面角的大小为30°.规律方法在必修中，我们讨论了点、直线在平面上的射影，也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2 有以下4个命题：①矩形的平行射影一定是矩形；②矩形的正射影一定是矩形；③梯形的平行射影一定是梯形；④梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2解析①矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立.②矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.③梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确.④中梯形的中正射影可能是梯形、线段，A..答案 A要点三 圆锥曲线类型的判断例3 圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB ，CD 是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解 设⊙O 的半径为R ，母线VA ＝l ，那么侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE ，∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点，∴OE ∥VA . ∴∠VOE ＝∠AVO ＝π4.又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，AB ∩VO ＝O ，∴CD ⊥平面VAB ，∴平面CDE ⊥平面VAB ，即平面VAB 为截面CDE 的轴面，∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角和截面与轴线的夹角相等，故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线. 规律方法 判断平面与圆锥面的截线的形状的方法： (1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴线的夹角β； (2)判断α与β的大小关系； (3)根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3 在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，假设平面π与双球的切点不重合，那么平面π与圆锥面的截线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线解析 由于平面π与双球的切点不重合，那么平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，那么截线是椭圆. 答案 B要点四 圆锥曲线的性质例4 一平面垂直于轴线截一圆柱面所得的截线为半径为3的圆，另一截面与圆柱的轴线的交角为60°，求椭圆截线的两个焦点之间的距离. 解 如下图，斜截面与圆柱的轴线的交角为60°， 即与圆柱母线的交角为60°，故椭圆的长半轴长a ＝r sin φ＝3sin 60°＝23，又椭圆的短半轴长b ＝r ＝3， 故椭圆的焦距2c ＝2a 2－b 2＝2 3. 即椭圆截线的两个焦点间的距离为2 3.规律方法 当斜截面与圆柱面的母线或直截面的交角时，φ，圆柱面的半径为r ，那么截线椭圆的长轴长2a ＝2rsin φ，短轴长2b ＝2r ，离心率e ＝cos φ，焦距2c ＝2a cos φ＝2r cot φ.跟踪演练4 如图，讨论其中双曲线的离心率，其中π′是Dandelin 球与圆锥面交线S 2所在的平面，与π的交线为m .解 P 是双曲线上任意一点，连接PF 2，过P 作PA ⊥m 于A ，连接AF 2，过P 作PB ⊥平面π′于B ，连接AB ，过P 作母线交S 2于Q 2. ∵PB 平行于圆锥的轴， ∴∠BPA ＝β，∠BPQ 2＝α.在Rt △BPA 中，PA ＝PB cos β，PQ 2＝PBcos α， 由切线长定理得PF 2＝PQ 2，∴PF 2＝PB cos α.∴e ＝PF 2PA ＝cos βcos α.∵0<β<α<π2，∴cos β>cos α.∴e >1..同理，另一分支上的点也具有同样的性质， 综上所述，双曲线的准线为m ，离心率e ＝cos βcos α.1.一个平面图形在平面α上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段；所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆.2.几个重要结论(1)垂直截面与柱面的交线为一个圆.(2)不平行于圆柱面母线的平面截割圆柱面，其截线是一个椭圆，椭圆的短半轴等于圆柱面的半径r .长半轴等于rsin α(α是截割平面与圆柱面母线所成的角).1.以下说法正确的选项是( ) A.两条相交直线的平行射影还是相交直线 B.两条平行直线的平行射影还是平行直线C.线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线解析 两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，A 错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，B 错，角的平分线的平行射影可能与角的两边重合，不一定是该角平行射影的平分线，D 错；C 对. 答案 C2.一圆柱面被一平面所截，平面与母线成60°角，截线上最长的弦长为43，那么该圆柱底面的半径为( ) A.3 3C.3解析 圆柱面被一平面所截，截线是椭圆，由其长轴长为43，故圆柱底面半径为：12×43×sin 60°＝3.答案 C3.在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π和圆锥面均相切，那么两切点是所得圆锥曲线的________.解析根据焦球的定义知，两切点是所得圆锥曲线的焦点.答案两焦点4.如下图，球O1，O2分别切平面β于点F1，F2，P1P2为⊙O1的一条直径，Q1，Q2分别为P1，P2在平面β内的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂直平分，求证：F1F2＝2a2－b2.证明如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，那么四边形ABHG1是矩形，∴G1H＝AB.∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，∴P1Q1綊P2Q.∴P1Q1Q2P2是平行四边形.∴Q1Q2＝P1P2.一、根底达标1.一个圆的正射影不可能是( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.线段解析当圆所在的平面与射影平面平行时，射影是圆；不平行时是椭圆，垂直时是线段，不可能是抛物线，应选C..答案 C2.用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，那么交线为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.两条相交直线解析 所得交线为圆锥面的两条母线. 答案 D3.用一个平面去截一个圆柱面，其交线是( ) A.圆 B.椭圆 C.两条平行线D.以上均可能解析 当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，应选D. 答案 D4.一组平行平面与一正圆锥的交线具有( ) A.一样的焦距 B.一样的焦点 C.一样的离心率D.一样的准线解析 ∵平行平面与圆锥轴线夹角β相等，由离心率定义e ＝cos βcos α(圆锥半顶角α为定值)知，离心率一样.答案 C5.圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________.解析 根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线. 答案 抛物线6.一平面截半径为3的圆柱面得椭圆，假设椭圆的Dandelin 双球的球心距离为10，那么截面与圆柱面母线夹角的余弦值为________.解析 Dandelin 双球球心距离即为椭圆的长轴长， ∴2a ＝10，即a ＝5， 又椭圆短轴长2b ＝6，∴b ＝3.∴ce ＝c a ＝45，∴cos θ＝45，故截面与母线所成角的余弦值为45.答案 45二、能力提升7.平面与圆锥轴线的夹角为30°，与圆锥面交线的离心率为3，那么圆锥母线与轴线的夹角为( ) A.60° B.45° C.30°D.无法确定解析 由β＝30°，e ＝3，设圆锥母线与轴线的夹角为α，那么e ＝cos βcos α，∴cos α＝cos 30°3＝12，∴α＝60°. 答案 A8.一圆锥面的母线与轴线成α角，不过顶点的平面和轴线成β角，且与圆锥面的交线是椭圆，那么β和α的大小关系为( ) A.β>α B.β<α C.β＝αD.无法确定解析 由平面与圆锥面的交线为椭圆，根据定理2知：β>α. 答案 A9.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距离为13，假设作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱相交成一椭圆，那么椭圆的长轴长为________.解析 图为圆柱的轴截面，AB 为与球O 1和球O 2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB 过圆柱的几何中心O ，由O 1O ⊥OD ，O 1C ⊥OA ，得∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，那么AO ＝O 1O ，故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2AB 即为椭圆的长轴.故填13.答案 1310.圆锥的母线长为l ，底面半径为R ，如果过圆锥顶点的截面面积S 的最大值是12l 2，那么Rl的取值范围为________..解析 如下图，△PAB 是过圆锥的顶点P 的截面，设∠APB ＝x ，圆锥的顶角为α，那么△PAB 的面积为：S ＝12PA ·PB ·sin x ＝12l 2sin x (0<x ≤α)，∴S max＝⎩⎪⎨⎪⎧12l 2sin α ⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，12l 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤α<π.∴由题设知π2≤α<π.∴在Rt △PAO 中，R l ＝sin α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.即Rl的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 11.一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率.解 由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2， ∴短轴长为a ，那么有2b 2a ＝sin 30°＝12，∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32. 三、探究与创新12.如下图，圆柱被平面αAC 是圆柱在平面α以上最长的母线，BD 是最短的母线，EG ＝FH . (1)比拟EF ，GH 的大小；(2)假设圆柱的底面半径为R ，截面α与母线的夹角为θ，求CD 的长. 解 (1)如下图.∵EG ∥FH ，且EG ＝FH ，∴四边形EFHG 是平行四边形，∴EF ＝GH .(2)过D 作DP ⊥AC 于P ，在Rt △CDP 中，DPCD＝sin ∠DCP ，∴CD ＝2Rsin θ. 模块检测一、选择题1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，那么BC 的长为( ) A.6 cm B.12 cm C.18 cmD.24 cm解析 根据AE ＝ED ，AB ∥EM ∥DC ，有BM ＝MC . 又EF ∥BC ，所以EF ＝MC ，于是EF ＝12BC .答案 D2.如下图，在▱ABCD 中，EF ∥AC ，且EF 分别交AD ，DC 于E ，F ，AD 的延长线与BF 的延长线交于M ，那么以下等式成立的是( ) A.AD 2＝AE ·AM B.AD 2＝CF ·DC C.AD 2＝BC ·AB D.AD 2＝AE ·ED解析 在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC .由题意知DF ∥AB ，∴AD AM ＝BF BM .由题意知DM ∥BC ，∴BF BM ＝CF DC .∵EF ∥AC ，∴AE AD＝CF DC ，∴AD AM ＝AE AD，∴AD 2＝AE ·AM .答案 A3.如图，O 为△ABC 的外心.假设∠BAC ＝70°，那么∠OBC ＝( ) A.10°B.20°.C.30°D.40°解析 如图，连接OC ，由题意知OB ＝OC ，∠BOC ＝2∠BAC ＝140°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°. 答案 B4.在⊙O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与⊙O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，那么CP ＝( )A.333－1 D.23＋1解析 如图，连接OP ，那么OP ⊥AP 于点P .∵∠APB ＝30°，∴∠POB ＝60°，∴∠A ＝30°.∵AP ＝3，∴OP ＝1，∠POC ＝120°.在△POC 中，OC ＝OP ＝1，∠POC ＝120°，∴PC ＝ 3.答案 A5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD ，BC于E ，F 两点，并交BA 延长线于G ，那么BF ︵的度数是( )A.45°B.60° ° D.135°解析 BF ︵的度数等于圆心角∠BAF 的度数，由题意知∠B ＝180°－135°＝45°，∴∠BAF ＝180°－2∠B ＝90°. 答案 C6.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，AB ＝6，CD ＝25，那么线段AC 的长度为( )B.27C.305解析 连接BC ，∵AB 垂直平分CD ，∴CP 2＝AP ·PB .设PB ＝x ，那么AP ＝6－x .∴x (6－x )＝5，∴x 1＝1，x 2＝5(舍去).∴AC ＝25＋5＝30.答案 C7.如图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，那么这个几何体的体积为( )A.20πC.14π 解析 由圆柱底面半径r ＝2.α角，那么sin α＝45，∴cos α＝35. ∴几何体的最长母线长为2＋2a cos α＝2＋5×35，可得一个底半径r ＝2，高为7的圆柱，其体积为V ＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为12V ＝14π. 答案 C8.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM 平分∠ADB 交AB 于M ，DN 平分∠ADC 交AC 于N ，那么BM ＋CN 和MN 的大小关系为( )A.BM ＋CN >MNB.BM ＋CN <MNC.BM ＋CN ＝MND.无法确定解析 如图，延长ND 至E ，使得ND ＝DE ，连接BE ，ME .依题意易得∠MDN ＝90°，.∴MN ＝ME ，显然△BED ≌△CND ，∴CN ＝BE ，在△BEM 中，BM ＋BE >ME ，∴BM ＋CN >MN .应选A.答案 A9.如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，假设AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，那么线段AC 的长为( )A.4B.2C.29D.92 解析 ∵DC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴DC 2＝DB ·DA .即62＝DB ·(AB ＋DB )∴36＝DB ·(5＋DB )即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，所以△ADC ∽△CDB ， 于是AC CB ＝CDBD. 所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92. 答案 D10.如下图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝4 cm ，PB ＝3 cm ，PC ＝6 cm ，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE ＝2 5 cm ，那么PE 的长为( )A.4 cmB.3 cmC.54cmD.2 cm解析 由相交弦定理知PD ·PC ＝PA ·PB ，即PD ＝PA ·PB PC ＝2，又∵EA 是圆O 的切线，由切割线定理知EA 2＝ED ·EC ＝ED ·(ED ＋8)，∴(25)2＝ED 2＋8ED ，即ED 2＋8ED －20＝0，∴ED ＝2.∴PE ＝PD ＋DE ＝4.答案 A二、填空题11.⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D .假设AD ＝3，BD ＝2，且D 为OC 的中点，那么CD ＝________.解析 延长CO 交圆O 于点M ，由题意知DC ＝r 2，DM ＝32r .由相交弦定理知AD ·DB ＝DC ·DM ，即34r 2＝6，∴r ＝22，∴DC ＝ 2.答案 212.如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，那么CE ＝________.解析 如图，∵PC 为圆O 切线，C 为切点，PAB 为割线且PC ＝4，PB ＝8，∴PC 2＝PA ·PB ，∴PA ＝2，∴OA ＝12(PB －PA )＝3， ∴PO ＝OA ＋AP ＝3＋2＝5，连接OC ，那么OC ⊥PC ，在Rt △OCP 中，OC ＝3，PC ＝4， PO ＝5，且CE ⊥OP .∴OP ·CE ＝OC ·PC ，∴CE ＝3×45＝125. 答案125 13.如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于点D ，割线EC 交圆O 于B 、C 两点，设∠ODC ＝α，∠DBC ＝β，.那么∠OEC ＝________(用α、β表示).解析 先证明O ，D ，B ，C 四点共圆.如图，连接OA ，OB ，在Rt △OAE 中，AD ⊥OE ，由射影定理知EA 2＝ED ·EO .再由切割线定理知EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC .故O ，D ，B ，C 四点共圆.从而∠ODC ＝∠OBC ＝∠OCB ＝α.又∠DBC ＝β⇒∠EOC ＝π－β，故∠OEC ＝π－∠OCE －∠EOC ＝π－α－(π－β)＝β－α.答案 β－α14.AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .假设CD ＝2，那么AB ＝________，EF ＝________.解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，CD ＝2，∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又由相交弦定理得AE ·BE ＝CE ·EF ，即1×2＝3×EF ，∴EF ＝233. 答案 3233 三、解答题15.圆柱的底面半径是2，平面α与圆柱母线的夹角为30°，求截口椭圆的离心率和焦距. 解 椭圆的离心率e ＝cos 30°＝32.如图，过G 2作G 2H ⊥AD 于H .在Rt △G 1HG 2中，∠HG 1G 2＝30°，HG 2＝4.∴G 1G 2＝2HG 2＝8.∴截口椭圆的长轴长2a ＝G 1G 2＝8，短轴长2b ＝4.∴焦距2c ＝2a 2－b 2＝242－22＝4 3.16.如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，GCF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF ，∠GDB ＝∠DBC ..由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .所以∠DGB ＝∠GDB ＝∠DBC ，又由(1)知CD ＝BC ，所以∠DBC ＝∠BDC .所以∠GBD ＝∠BCD .故△BCD ∽△GBD .17.如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，AC ＝AB .(1)证明：AD ·AE ＝AC 2；(2)证明：FG ∥AC .证明 (1)∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 为割线，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AD ·AE .(2)由(1)得AD AC ＝ACAE ，∵∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴∠ADC ＝∠ACE ，∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴FG ∥AC .18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交⊙O 于点M 、N .(1)求证：B ，E ，F ，N 四点共圆；(2)求证：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明 (1)连接BN ，那么AN ⊥BN ，又CD ⊥AB ，那么∠BEF ＝∠BNF ＝90°，即∠BEF ＋∠BNF ＝180°，那么B ，E ，F ，N 四点共圆.(2)由直角三角形的射影定理可知AC 2＝AE ·AB ，由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：BFBA ＝BEBM ，BF·BM＝BA·BE＝BA·(BA－EA)，BF·BM＝AB2－AB·AE，那么BF·BM＝AB2－AC2，即AC2＋BF·BM＝AB2.。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影互动课堂学案
教学资料范本高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影互动课堂学案编辑：__________________时间：__________________一平行射影互动课堂重难突破1.一个图形F上的各点在平面α上的正射影也组成了一个图形F′,则图形F ′称作图形F在平面α上的正射影.图3-1-图3-1-12.一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关,如一条直线,当它和平面α垂直时,它在平面α上的射影是一个点;当它和平面α斜交时,它在平面α上的射影是一条直线;它和平面α平行时,它在平面α上的射影是一条1.设直线l与平面α相交,把直线l的方向称为投影方向,过点A作平行于l的直线,与平面α交于点A′,那么把点A′称作点A沿直线l的方向在平面α上的平行射影.一个图形F上的各点在平面α上的平行射影也组成了一个图形F′,则图形F′称作图形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分,我们对此已经有了了解,如图3-1-图3-1-2(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.运输油制品的油罐、圆柱形容器倾斜后所盛液体的液面等,都给我们以椭圆问题1一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影是和原来的圆相同的圆,当圆所在的平面β与平面α不平行时,该圆在平面α上的正射影会是什么图形？如果β与α垂直,该圆在平面α上的正射影又会是什么图探究:一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面β与平面α不平行,从生活经验我们知道,正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等,但它也有一个特征,就是它到两个定点的距离相等,下一节还会讲到.如果圆所在的平面β与平面α是互相垂直的,那么该圆在平面α上的射影是一条线段.活学巧用【例1】一个圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是什么图形?当β与α不平行时,圆在α思路解析:依据正射影的概念,圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是圆,当β与α不平行时,圆在α答案:圆;椭圆.【例2】下列语句不正确的是(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比;(4)思路解析:要想澄清本例语句的正确与否,必须弄清正射影、平行射影以及正射影是平行射影的特例,从而(1)正确;根据平行射影的性质,(2)是正而(4)中,两条相交直线的平行射影是否是相交直线需分情况讨论:当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时,此两直线的平行投影仍是两条相交直线答案:(4)【例3】两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交,那它的形状是什么样子？同理,两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有答案:两条直线相交,可以确定一个平面,当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时,此两直线的平行投影仍是两条相交直线,在考虑时一定要周全,避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理,可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影,当两条平行线与投射线平行时,它们的平行射影是两个点;当两条直线确定的平面与投射线平行时,它们的平行射影是一条直线;当两条直线确定的平面与投射线不平行时,它们的平行射影是两条平行直线.。
高中数学 《圆锥曲线》教案(高考回归课本系列)新人教A版
高考数学回归课本教案圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。
从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。
2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+by a x (a>b>0)， 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。
若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+by a y (a>b>0)。
3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。
4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨单元整合学案新人教A版选修4-1
第三讲圆锥曲线性质探讨单元整合知识网络专题探究专题一正射影问题正射影要求较平行射影要高，在以前学习中也有一定介绍，要求会作出某个图形在平面上正射影(尤其是在三视图中更明显)，而平行射影只要求了解即可，常与简单几何体相联系，在选择题、填空题、解答题中均有可能出现，预计将来还会保持这种形式．画出一个图形在一个平面上射影关键是确定该图形关键点如顶点等，画出这些关键点射影，再依次连接即可得此图形在该平面上射影．如果对平行投影理解不充分，对该类题目容易不知所措．防止出现这种情况方法是依据平行投影含义，借助于空间想象来完成．【例1】如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1中点，G是正方形BCC1B1中心，那么四边形AGFE在该正方体各个面上射影可能是四个图中__________．提示：要画出四边形AGFE在该正方体各个面上射影，只需画出四个顶点A，G，F，E 在每个面上投影，再顺次连接即得在该面上射影，并且在两个平行平面上射影是一样．解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上射影是图(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上射影是图(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上射影是图(3)．答案：(1)(2)(3)【例2】P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内正射影．(1)假设P点到△ABC三个顶点等距离，那么O点是△ABC什么心？(2)假设P点到△ABC三边距离相等，且O点在△ABC内部，那么O点是△ABC什么心？(3)假设PA，PB，PC两两互相垂直，O点是△ABC什么心？解：(1)假设PA＝PB＝PC，O为P在平面ABC上正射影，故有OA＝OB＝OC，∴O为△ABC外心．(2)由P 到△ABC 三边距离相等，故有O 到△ABC 三边距离相等，∴O 为△ABC 内心．(3)∵PO ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∴OA ⊥BC .同理OB ⊥AC ，OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 垂心．专题二 借助图形解决圆锥曲线问题圆锥曲线定义、性质是高考重点和热点，讨论圆锥曲线性质时，借助图形直观性，可以发现圆锥曲线性质与图形之间对应关系，从而找到解决问题思路．【例3】设双曲线一个焦点为F ，虚轴一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线一条渐近线垂直，那么此双曲线离心率为( )A ． 2B ． 3C ．3＋12D ．5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，不妨设F (c,0)，B (0，b )，k BF ＝－b c，双曲线渐近线斜率k ＝±b a . ∵直线BF 与一条渐近线垂直，∴－b c ·b a ＝－1.∴b 2＝ac .又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2－ac －a 2＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1±52(舍负值)，∴e ＝5＋12，应选D. 答案：D。
人教A版高中数学选修圆锥曲线参数方程的应用教案新
第四课时 圆锥曲线参数方程的应用一、教学目标：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题三、教学模式：讲练结合，探析归纳四、教学过程：（一）、复习引入：通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：例1、双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
答案：（0，），（0，）。
学生练习。
例2、方程{t t t t x y e ee e --=+=-（t 为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。
【θ=4π时四边形OAPB 的最大值，此时点P 为（，2）。
】（三）、巩固训练1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
3、抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲 圆锥曲线性质的探讨
[对应学生用书P37]1．正射影的概念给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．3．正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l 平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[对应学生用书P37][例1]()A．椭圆B．圆C．线段D．射线[思路点拨]要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．[解析]因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．[答案] A平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．1．下列说法正确的是()A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．答案：B2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．答案：一条线段或梯形3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．(1)当∠BAC ＝90°时，求证：△A ′BC 为钝角三角形；(2)当∠BAC ＝60°时，AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C . 解：(1)证明：∵AB >A ′B ，AC >A ′C ， ∴A ′B 2＋A ′C 2<AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C <0.∴∠BA ′C 为钝角．∴△A ′BC 为钝角三角形． (2)由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2， ∴BC ＝ AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC＝6－22，cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C＝6－33.[例2] 如图，在圆柱O1O 2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O 1和⊙O 2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F 1、F 2.求证：斜截面与圆柱面的截线是以F 1、F 2为焦点的椭圆．[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．[证明] 如图，设点P 为曲线上任一点，连接PF 1、PF 2，则PF 1、PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1、F 2，过P 作母线，与两球面分别相交于K 1、K 2，则PK 1、PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1、K 2.根据切线长定理的空间推广 ， 知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2， 所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝K 1K 2.由于K 1K 2为定值，故点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆．(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22， 故b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径． 答案：3225．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．解：由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2， ∴短轴长为4.设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12，∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32.∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32.[例3][思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin 双球法．[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥相切于圆S 1、S 2.在截面的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 作母线交S 1于Q 1，交S 2于Q 2，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理，PF 2＝PQ 2.所以PF 1＋PF 2＝PQ 1＋PQ 2＝Q 1Q 2.由正圆锥的对称性，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由α＝50°2＝25°，φ＝30°，φ>α，∴截线是椭圆． 答案：B7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S .记圆S 所在平面为π′，π与π′的交线记为m .球切π于F 1点．在截口上任取一点P ，过P 作P A ⊥m 于A ，过P 作PB ⊥平面π′于B ，过P 作圆锥的母线交平面π′于C ，连接AB ，PF 1，BC .由切线长定理，PF 1＝PC .∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.，在Rt△ABP中，P A＝PBcos β在Rt△BCP中，PC＝PBcos α.∵α＝β，∴PC＝P A.∴PF1＝P A，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．[对应学生用书P39]一、选择题1．一条直线在一个面上的平行投影是()A．一条直线B．一个点C．一条直线或一个点D．不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．答案：C2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是() A．三角形B．一直线C．三角形或一直线D．以上均不正确解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．答案：D3．下列说法不．正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C 显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．答案：D4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为()A.22B. 2 C ．1D.12解析：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°＝ 2.答案：B 二、填空题5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．答案：圆 圆或椭圆 6．有下列说法①矩形的平行射影一定是矩形； ②梯形的平行射影一定是梯形； ③平行四边形的平行射影可能是正方形； ④正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有________．(填上所有正确说法的序号) 解析：利用平行射影的概念和性质进行判断． 答案：③7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球O 1和球O 2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB 过圆柱的几何中心O .由O 1O ⊥OD ，O 1C ⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O . 故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13. 显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13. 答案：13 三、解答题8．△ABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′、B′、C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．解：由条件可知A′B′＝A′C′，∴∠B′A′C′＝90°.设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，A′C′2＝4－(5－x)2，由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±2.即A到α的距离为5±2.9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则b＝3，a＝bcos 60°＝3×2＝6，∴c2＝a2－b2＝62－33＝27.∴两焦点间距离2c＝227＝6 3.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE，∵O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE＝∠AVO＝π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD ⊥平面VAB . ∴平面CDE ⊥平面VAB .即平面VAB 为截面CDE 的轴面， ∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等， 故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线．模块综合检测 [对应学生用书P45] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD 、△BCD 均与△ABC 相似． 答案：B2．已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AMB ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·AB D ．AD 2＝AE ·ED 解析：∵在▱ABCD 中， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC . ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BFBM.∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC .∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC .∴AD AM ＝AEAD ，∴AD 2＝AE ·AM . 答案：A3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A ．射影为线段时，线段的长为8 B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8. 答案：D4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.答案：D5．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°解析：因为P A ，PB 是⊙O 的切线， 所以∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 而∠P ＝50°，所以∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°， 又因为AC 是⊙O 的直径，所以∠BOC＝180°－130°＝50°.答案：A6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30°解析：∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∴∠POC＝2∠A＝70°.∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.答案：B7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于() A．30°B．35°C．40°D．45°解析：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：C8.(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ， 又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ， 所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确； 易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BDBF ，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D9．如图，P 为圆外一点，P A 切圆于点A ，P A ＝8，直线PCB 交圆于C ，B 两点，且PC ＝4， AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，连接AB ，AC ，则sin αsin β等于( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：由P A 2＝PC ·PB ， 有64＝4PB ，∴PB ＝16.又∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，AD ⊥BC ， ∴AB ＝AD sin α，AC ＝ADsin β. 在△P AB 和△PCA 中，∠B ＝∠P AC ，∠P 为公共角， ∴△P AB ∽△PCA .∴AC AB ＝APBP ，即ADsin βAD sin α＝816.∴sin αsin β＝12. 答案：B10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：①∠B ＋∠DAC ＝90°，②∠B ＝∠DAC ，③CD AD ＝ACAB ，④AB 2＝BD ·BC .其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝ACAB可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC ，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(广东高考)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3.答案： 312．如图，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则cos ∠BCE ＝________.解析：如图，连接AD .则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ，所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB ＝DA AB ＝102－8210＝35. 答案：3513．如图，AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，CD ＝43，AD ∶DB ＝3∶1，则直径的长为________．解析：因为AB 是直径，CD ⊥AB 于D ， 所以CD 2＝AD ·BD .因为AD ∶DB ＝3∶1，设DB ＝x ，则AD ＝3x . 所以(43)2＝3x ·x .所以x ＝4.所以AB ＝16. 答案：1614.如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB ＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.解析：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE . ∴BE AE ＝CE DE ＝21. ∵EF ∥AD ，∴EF AD ＝CE DC ＝23.∵△ADE 与△AFE 的高相同， ∴S △AEF S △ADE ＝EF AD ＝23. ∴S △AEF ＝23.答案：23三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点， ∴F 是AB 的中点．又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点． ∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小． 解：(1)证明连接OA ，OC ，则OA ⊥EA . 由射影定理得EA 2＝ED ·EO .由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ， 故ED ·EO ＝EB ·EC ， 即ED EB ＝ECEO， 又∠DEB ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ， 因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE＝180°－∠OBC －∠DBE ＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC ) ＝∠DBC －∠ODC ＝20°.17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠D ＝∠CBE .由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．18．(本小题满分14分)如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝152 3.。
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2019-2020年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨创新应用教学案新人教A版选修41．正射影的概念给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．3．正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[对应学生用书P37][例1] ( )A．椭圆B．圆C．线段D．射线[思路点拨] 要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．[解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．[答案] A平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．1．下列说法正确的是( ) A ．平行射影是正射影 B ．正射影是平行射影C ．同一个图形的平行射影和正射影相同D ．圆的平行射影不可能是圆解析：正射影是平行射影的特例，则选项A 不正确，选项B 正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C 不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D 不正确．答案：B2．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________． 解析：如果梯形ABCD 所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD 在α上的射影是一条线段．如果梯形ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD 在平面α上的射影仍是梯形．答案：一条线段或梯形3．已知△ABC 的边BC 在平面α内，A 在平面α上的射影为A ′(A ′不在BC 上)． (1)当∠BAC ＝90°时，求证：△A ′BC 为钝角三角形；(2)当∠BAC ＝60°时，AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C . 解：(1)证明：∵AB >A ′B ，AC >A ′C ， ∴A ′B 2＋A ′C 2<AB 2＋AC 2＝BC 2.∴cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C<0.∴∠BA ′C 为钝角．∴△A ′BC 为钝角三角形． (2)由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2， ∴BC ＝ AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ＝ 6－22，cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C ＝6－33.[例2] 如图，在圆柱O1O 2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O 1和⊙O 2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F 1、F 2.求证：斜截面与圆柱面的截线是以F 1、F 2为焦点的椭圆．[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．[证明] 如图，设点P 为曲线上任一点，连接PF 1、PF 2，则PF 1、PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1、F 2，过P 作母线，与两球面分别相交于K 1、K 2，则PK 1、PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1、K 2.根据切线长定理的空间推广 ， 知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2， 所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝K 1K 2.由于K 1K 2为定值，故点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆．(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22， 故b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径． 答案：3225．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．解：由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2， ∴短轴长为4.设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12，∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32.[例3] [思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin 双球法．[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥相切于圆S 1、S 2.在截面的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 作母线交S 1于Q 1，交S 2于Q 2，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理，PF 2＝PQ 2.所以PF 1＋PF 2＝PQ 1＋PQ 2＝Q 1Q 2.由正圆锥的对称性，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由α＝50°2＝25°，φ＝30°，φ>α，∴截线是椭圆． 答案：B7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为π′，π与π′的交线记为m.球切π于F1点．在截口上任取一点P，过P作PA⊥m于A，过P作PB⊥平面π′于B，过P作圆锥的母线交平面π′于C，连接AB，PF1，BC.由切线长定理，PF1＝PC.∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.在Rt△ABP中，PA＝PBcos β，在Rt△BCP中，PC＝PBcos α.∵α＝β，∴PC＝PA.∴PF1＝PA，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．[对应学生用书P39]一、选择题1．一条直线在一个面上的平行投影是( )A．一条直线B．一个点C．一条直线或一个点D．不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．答案：C2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是( ) A．三角形B．一直线C．三角形或一直线D．以上均不正确解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．答案：D3．下列说法不．正确的是( )A．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．答案：D4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )A.22B. 2 C ．1D.12解析：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°＝ 2.答案：B 二、填空题5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．答案：圆 圆或椭圆 6．有下列说法①矩形的平行射影一定是矩形； ②梯形的平行射影一定是梯形； ③平行四边形的平行射影可能是正方形； ④正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有________．(填上所有正确说法的序号) 解析：利用平行射影的概念和性质进行判断． 答案：③7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球O 1和球O 2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB 过圆柱的几何中心O .由O 1O ⊥OD ，O 1C⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O . 故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13.显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13. 答案：13 三、解答题8．△ABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′、B ′、C ′，若△A ′B ′C ′为直角三角形，BC 与α间的距离为5，求A 到α的距离．解：由条件可知A ′B ′＝A ′C ′， ∴∠B ′A ′C ′＝90°.设AA ′＝x ，在直角梯形AA ′C ′C 中，A ′C ′2＝4－(5－x )2，由A ′B ′2＋A ′C ′2＝B ′C ′2， 得2×[4－(x －5)2]＝4，x ＝5± 2. 即A 到α的距离为5± 2.9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．解：设椭圆长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ， 则b ＝3，a ＝bcos 60°＝3×2＝6，∴c 2＝a 2－b 2＝62－33＝27. ∴两焦点间距离2c ＝227＝6 3.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB 、CD 是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设⊙O 的半径为R ，母线VA ＝l ， 则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE ，∵O 、E 分别是AB 、VB 的中点， ∴OE ∥VA ，∴∠VOE ＝∠AVO ＝π4.又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ， ∴CD ⊥平面VAB . ∴平面CDE ⊥平面VAB . 即平面VAB 为截面CDE 的轴面，∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等， 故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线．模块综合检测 [对应学生用书P45] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△ABC相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD 、△BCD 均与△ABC 相似． 答案：B2．已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AM B ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·AB D ．AD 2＝AE ·ED 解析：∵在▱ABCD 中， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC . ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BFBM.∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC .∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC.∴AD AM ＝AE AD，∴AD 2＝AE ·AM . 答案：A3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A ．射影为线段时，线段的长为8 B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8. 答案：D4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.答案：D5．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°解析：因为PA ，PB 是⊙O 的切线， 所以∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 而∠P ＝50°，所以∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°， 又因为AC 是⊙O 的直径， 所以∠BOC ＝180°－130°＝50°. 答案：A6.如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°解析：∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠1， ∴∠POC ＝2∠A ＝70°.∵OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠POC ＝20°. 答案：B7．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°解析：∵CD 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD .又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， 由此得∠ACO ＝∠CAD . ∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠CAD ＝∠CAO .故AC 平分∠DAB ，∴∠CAO ＝40°. 又∠ACO ＝∠CAO ，∴∠ACO ＝40°. 答案：C8.(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ， 又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ， 所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确； 易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BDBF，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D9．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于点A ，PA ＝8，直线PCB 交圆于C ，B 两点，且PC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，连接AB ，AC ，则sin αsin β等于( ) A.14B.12 C ．2D ．4 解析：由PA 2＝PC ·PB ，有64＝4PB ，∴PB ＝16.又∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，AD ⊥BC ，∴AB ＝ADsin α，AC ＝ADsin β.在△PAB 和△PCA 中，∠B ＝∠PAC ，∠P 为公共角，∴△PAB ∽△PCA .∴AC AB ＝AP BP ，即ADsin βAD sin α＝816.∴sin αsin β＝12. 答案：B10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：①∠B ＋∠DAC ＝90°，②∠B ＝∠DAC ，③CD AD ＝AC AB，④AB 2＝BD ·BC .其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝AC AB可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(广东高考)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA ＝________.解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是PA ＝OA tan 60°＝ 3. 答案： 312．如图，AB 是⊙O 的直径，＝，AB ＝10，BD ＝8，则cos ∠BCE＝________.解析：如图，连接AD .则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ，所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB＝DA AB ＝102－8210＝35. 答案：3513．如图，AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，CD ＝43，AD ∶DB ＝3∶1，则直径的长为________．解析：因为AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD .因为AD ∶DB ＝3∶1，设DB ＝x ，则AD ＝3x .所以(43)2＝3x ·x .所以x ＝4.所以AB ＝16.答案：1614.如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB ＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.解析：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE . ∴BE AE ＝CE DE ＝21. ∵EF ∥AD ，∴EF AD ＝CE DC ＝23.∵△ADE 与△AFE 的高相同，∴S △AEF S △ADE ＝EF AD ＝23. ∴S △AEF ＝23. 答案：23三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点，∴F 是AB 的中点．又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点．∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD⊥OE 于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小．解：(1)证明连接OA ，OC ，则OA ⊥EA .由射影定理得EA 2＝ED ·EO .由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED EB ＝EC EO ，又∠DEB ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ，因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE＝180°－∠OBC －∠DBE＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20°.17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD ∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF ·EP ＝DE ·EA .∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA ＝CE ·EB .∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4，∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6.∵CE ·EB ＝EF ·EP ，∴9×6＝4×EP .解得：EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得：PA 2＝PB ·PC ，∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.2019-2020年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨第一节平行射影课后导练新人教A 版选修基础达标1.下列结论中正确的是( )①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的射影不可能是圆②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形③两条平行线段之比等于它们的平行射影之比④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然A.①②B.②③C.③④D.②③④解析:∵平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了.∴①是错误的,④是正确的.∵平行线的平行射影仍然是平行线,∴平行四边形平行射影仍然是平行四边形,故②正确.③正确.证明见类题演练1.答案:D综合运用2.证明三角形的中线的平行射影仍然是该三角形平行射影的中线.已知:如图3-1-6,△ABC 及其中线AD 在平面α上的平行射影分别是△A′B′C′和A′D′. 求证:A′D′为△A′B′C′的中线.图3-1-6证明:连结BB′,DD′,CC′,则BB′∥DD′∥CC′.∵D是BC中点,∴D′是B′C′中点.∴A′D′仍是△A′B′C′的中线.拓展探究3.证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.思路分析:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.证明:(1)如图3-1-7,△A1B1C1与△A2B2C2和△A1′B1′C1′、△A2′B2′C2′各有两对对应顶点A1和A1′,B1和B1′,A2和A2′,B2和B2′重合,在两平面的交线g上.图3-1-7∵C1与C1′,C2与C2′是射影对应点,∴C1C1′∥C2C2′.由这些点向对应轴直线g作垂线C1H1,C1′H1′,C2H2,C2′H2′.设C1C2与C1′C2′相交于直线g上一点x,由相似三角形得=,=.∵C1C1′∥C2C2′,∴===k时,==k.又∵△A1B1C1与△A1′B1′C1′同底,△A2B2C2与△A2′B2′C2′同底,∴或=k,其中k为常数.(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.图3-1-8在△A1B1C1与其射影A1′B1′C1′中,三对对应边相交于对应轴g上.由(1)中结论知:=k,即=k.=k,即=k.=k,即=k.∴=+-=k+k-k=k(+-)=k.∴=k.同理,=k,∴.备选习题4.已知平面α、β相交于直线g,△ABC及点P在平面α上,P′是P在β上的射影.求作△ABC 在平面β上与P1P′投影方向相同的射影.图3-1-9作法:(1)连结PP′.(2)作直线PA交直线g于x.(3)连结P′x.(4)过A作AA′∥PP′交直线P′x于A′,则A′为A的射影.(5)同法作出B、C的射影B′、C′.(6)连结A′B′,A′C′,B′C′.则△A′B′C′即为△ABC的平行射影.。