一元二次方程解法讲义ok

教师辅导讲义⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y1 2 3 4—3的值为2,则4y2 2y 1的值为。

例2、关于x的一元二次方程a-2x2• x • a2-4 =0的一个根为0,则a的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制•例3、已知关于x的一元二次方程ax2• bx • c = 0 a = 0的系数满足a b，则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1”巧解代数式的值。

例4、已知a, b是方程x2「4x5=0的两个根，b, c是方程y2「8y • 5m = 0的两个根，贝U m的值为。

例 5、已知 a =b，a2 -2a -1 =0，b2 -2b -1 =0，求 a b -变式：若a2—2a-1=0，b2-2b-1=0，则a+-的值为_____________________ 。

b a6方程a-bx2亠i.b-cx，c-a=0的一个根为( )A -1B 1C b-cD -a7、若2x 5y -3 =0,贝U 4x・32y = 。

1 基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

2 方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如x2=m m _ 0 ,其解为：x =K』m※对于(x +a f =m，(ax + m f =(bx + n f等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：12X2-8=0;( 2) (3x 1)2 =7 3 1 - x 2 - 9 = 0;4 9 x -1 2 =16 x 2 2( 5) 9x2 -24x 16 = 11例2、解关于x的方程：ax2 -b =03.下列方程无解的是( )A. x23=2X2-1B. X-22=0C. 2X 3=1-XD. x2 9 =0类型二、配方法考点三、方程解法基本步骤：1.先将常数c 移到方程右边2. 将二次项系数化为 13. 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明x 5 -2x 3的值恒大于0, 一 10x 2 7x-4的值恒小于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式x 2 y 2 2^4y 7的最小值。

变式：若t =2 - -3x 2 12x -9，则t 的最大值为，最小值为 。

例3、已知x 2y 24x _6y • 13 = 0, x 、y 为实数，求x y的值。

11 1变式1:已知X 2 • ； -X- 1-4 =0，则x 」二 .x x x变式 2:如果 a +b + P ■口—1 =47^^+21时—4,那么 a+2b —3c 的值为 _____________ 。

例4、分解因式：4x 2 • 12x类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积 的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到 的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法X - x 1 X - X 2 = 0 = X = X 1 ,或 X = x 2※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“ 0”※方程形式：女口（ax +mf =（bx + nf ，（x +a ]x +b ）=（x +a j[x + c ）， x 2 + 2ax + a 2 = 0 ※分解方法：提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法（3） （m n ）2 -4（m -n ）2（平方差）5 2类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时, 把各项系数2 2（5 ） -12xy x 36 y （完全平方式）-8x 4y 6x 6y 2-2x 3y （提公因式）（4）a 26a 9例 1、2x x -3 =5 x -3 的根为（）A552 A x B x = 3C X 1, X 2 = 3 Dx = 一 225针对练习:例 2. （ 1）4a 2 -169b 2 （平方差） ⑵（完全平方式）2（6） （a b ） - 5（a b ） 4 （十字相乘法）23（8）5n （2m-n ） -2（n-2m ）（提公因式）a, b, c 的值代入求根公式，就可得到方程的根。

-~2⑴条件：(a ^0,且 b 2 -4ac 兰0 X2)公式：x=―b 八 b ——，(a ^0,且 b 2-4acZ0)2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： ⑴ 3(1+xf=6.⑵(x+3 lx+6 )=-8.⑶ X 2—4X +1=0⑷ 3x 2「4x -1 = 0 (5) 3 x -1 3x 1二 x 「1 2x 5说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择 配方法。

例2、在实数范围内分解因式：(1) X 2-2、2X -3 ；(2) - 4x 2 8x-1.⑶ 2x 2-4xy-5y 2 说明：①对于二次三项式ax 2 bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用 求根公式，这例 3、若(4x +y f +3(4x+y )—4 =0，贝4x+y 的值为 _____________ 。

例4、方程x ? -6 =0的解为( ) A. x<i = -3,X2= 2 B.= 3,x 2 = -2 C. = 3,X2 =-3 D.= 2,X2= -2例 5、解方程：x 22^3 1x 2 .3 ^0例&已知2x 2-3xy -2y 2=0,则x y的值为 x — y变式：已知2x 2 —3xy -2y 2 =0,且x ■ 0, y ■ 0,则心的值为 x — y 例7、解下列方程 例8、解关于x 的方程x 2+x - 2+k(x 2+2x)=0(对k 要讨论)(1) (2x-3) 2= (3x-2) 24x+14 5 x-5 22 3 x+2(4) 5m 2 - 17m + 14=0 (5) (xb 2 =0+x+1)(x 2 +x + 12)=42⑹2x+ (3a-b)x —2a 2+3ab-种方法首先令ax 2 bx c =0，求出两根，再写成ax 2 bx • c = a(x 一 xj(x 一 x 2). ②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 .类型五、“降次思想”的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组 典型例题：例2、如果x 2 • X-1 =0，那么代数式x 3 2x^7的值32例3、已知a 是一元二次方程x 2-3x 1=0的一根，求a _2a ?_5a 1的值a 2+1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形; ②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次幕，最后求解。

例4、用两种不同的方法解方程组丿2：—八6,2⑴........ (X 2-5xy+6y 2=0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元 但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x^8x 7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是() A. ,3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a b 、a-b 、ab > a 2 b 2 之间的运算关系. 例2、解方程组：例1、已知 x 2 -3x ^0， 求代数式X 一 1 3 一 X 2 1X —1的值当满足①a=0、②厶_0时，才能用韦达定理。

说明：一些含有x y 、x 2y 2、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利 用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题•有时，后者显得更为简便•例3、已知关于x 的方程k 2x 2 - 2k_1x ・1=0有两个不相等的实数根x 「X 2，（1） 求k 的取值范围；（2） 是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说 明理由。

例4、当k 取何值时，方程x 2 -4mx • 4x 3m 2-2m - 4k = 0的根与m 均为有理数?例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而 得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正 确解应该是多少？ 例 6、已知 a=b ， a 2-2a-1=0， b 2-2b-1=0，求 a b =变式：若 a 2_2a_1=0， b 2_2b_1= 0，贝U —的值为 ___________b a例7、已知是方程x 2 -x-1=0的两个根，那么:4=.测试题目: 、选择题1.解方程：3x 2+27=0 得（）.2 .方程(2-3x ) + (3x-2 ) 2=0 的解是(2 2=- (A)1 ,x 2=-1(B)1（7）p -7pq 12q （十字相乘法）(i )」x+y =10,[xy = 24;< 22 ,小x +y =10, x + y = 2.(A)x= ± 3 (B)x=-3 （C ）无实数根（D ）方程的根有无数个。