2.1 整式 同步辅导

2.1 整式1．用字母表示数(1)用字母表示数的意义用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来． 用字母表示数为叙述和研究问题带来很大方便，用字母表示数是代数的一个重要特点，是数学发展史上的一大进步．①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．用字母简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律等． ②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．用字母表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.如果用字母a 表示第一个数，则第二个数为a －4.④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．如用a 与b 表示互为相反数的两个数，则a ＋b ＝0；若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．(2)用字母表示数应注意的问题①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示；如长方形的长和宽要分别用a ，b 两个字母表示，面积用S 表示，则有S ＝ab .②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义；并且符合实际．③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．(3)用字母表示数的书写规定①含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写成“·”或省略不写．字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m ×n 写成mn ；相同字母写成幂的形式，如a ×a 写成a 2，(a ＋b )×(a ＋b )写成(a ＋b )2.数字与字母相乘时省略“×”，但数字要写在字母的前面，数字是带分数要化成假分数；如4×n 写成4n,112×a 要写成32a .数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．②含有字母的式子中如果出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．如s ÷t 写成s t ，x ÷2一般写成x 2或12x . ③式子后面有单位时，单位名称写在最后，若是和差形式的式子，要在单位前把式子括起来．如t ℃升高2 ℃后是(t ＋2) ℃，不能写成t ＋2 ℃.【例1－1】 列式子表示下列关系：①全校学生总数是x ，其中女生占总数的48%，则女生人数是__________，男生人数是__________；②一辆长途汽车从杨柳村出发，3小时后到达相距s 千米的溪河镇，这辆长途汽车的平均速度是__________；③产量由m 千克增长10%，就达到了__________千克；④若三角形一边长为a ，并且这边上的高为h ，则这个三角形的面积为__________； ⑤有这样一组数字：3,6,9,12，…，则第n 个数可表示为__________．解析：列式子，可以将这个字母看作一个具体数，只不过它不具体．④三角形面积等于二分之一底乘以高；⑤关键在于找到序号1,2,3，…n 与数字之间的关系，此题成3倍关系．答案：①48%x (1－48%)x ②s 3千米/时 ③(1＋10%)m ④12ah ⑤3n 【例1－2】 式子2a ＋b 表示的实际意义是________________________________． 解析：同一个式子在不同问题中意义不同，因此本题答案不唯一，只要将a ，b 赋予实际意义即可．答案：①工人甲每小时加工a 个零件，工人乙每小时加工b 个零件，甲加工两小时，乙加工1小时共加工(2a ＋b )个零件；②笔记本每本a 元，钢笔每支b 元，两本笔记本、一支钢笔共(2a ＋b )元；…….2．单项式(1)定义：数或字母的积构成的式子，叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项．．．．．．．．．．．．．．．式．．．(2)理解：除单独的一个数以外，所有的单项式都可以分为两部分，一部分是数字因数，另一部分是字母因数(可以含有乘方运算)，如：n 可以看作1×n ，－3ab 5可以看作－35×ab 等． 解技巧 判断单项式 判断是否是单项式主要抓住两点：①不能含有加减运算；②单项式中可以含有分母，但分母中一定不含有字母．【例2】 判断下列各式哪些是单项式．(1)x ＋12；(2)abc ；(3)b 2；(4)－5ab 2；(5)y ；(6)25x 2y ；(7)－5；(8)1x. 分析：由单项式概念可知(2)～(7)都是，(1)字母x 与1之间是和的运算，(8)中字母在分母上．解：(2)(3)(4)(5)(6)(7)是单项式，(1)和(8)不是．3．单项式的系数与次数(1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．注意点：①当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；②圆周率π是常数；③当单项式的系数是带分数时，必须写成假分数；④单项式的系数应包括它前面的符号．(2)次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．注意点： ①单项式的次数是所有字母的指数的和．，且仅指字母的指数． 注意：单项式52x 3y 2的次数是5次的，52是系数，52的指数2不是字母的 指数，所以不算．②当字母因数是单个的字母时，指数是1而不是0，切不可弄错．如5ab 2中a 的指数是1，单项式次数是3不是2.【例3】 判断下列各式是否是单项式，如果不是，请说明理由；如果是，请指出它的系数和次数．①x ＋1；②2y ；③πr 2；④－32a 2b . 分析：①②不是单项式，是和、商，不是数字与字母的积，③④是，其中π，－32是单项式中的数字因数，是系数．解：①不是，因为原式中出现了加法运算；②不是，因为原式是2与y 的商；③是，它的系数是π，次数是2；④是，它的系数是－32，次数是3. 4.多项式(1)定义：几个单项式的和叫做多项式．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；①名称：一个多项式含有几项，就叫几项式，如：多项式3n4－2n2＋1有3n4，－2n2，＋1三项，称作三项式．②注意：多项式中的每一项都带有符号，不论移动还是将来运算都要带着符号；(3)次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数．①多项式的所有项中，哪项的次数最高，这项的次数就是(代表了)整个多项式的次数．②要知道多项式的次数，前提是必须了解每一项的次数；当一个多项式中的各项的次数都相同(不存在哪一项的次数最高)，或次数最高的项有多个时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数．如多项式a2＋2ab＋b2的次数是2.③在多项式中，一个项的次数是几，就称它为几次项．如：多项式3n4－2n2＋1中3n4称为四次项，－2n2称为二次项，＋1为常数项．谈重点多项式的系数和次数①系数：多项式是由单项式构成的，因此对于多项式中的每一项，都有次数和系数(常数项除外)，但多项式没有系数概念；②次数：对于多项式，多项式中的项，单项式都有次数，它们之间既有区别也有联系；③方法：合为多项式，分为单项式，判断一个多项式的项的构成，一般类比数的运算：看作省略括号和加号的形式去判断，只看作是性质符号，不看作运算符号．【例4－1】指出下列多项式的项和次数：(1)3x－1＋3x2；(2)4x3＋2x－2y2.分析：注意两点：①构成多项式的每一个单项式就是多项式的项，注意要带着符号；②次数最高那项的次数就是这个多项式的次数．解：(1)有3x，－1，＋3x2三项，其中＋3x2这项的次数是2次的，最高，所以这个多项式的次数是2.(2)有4x3，＋2x，－2y2三项，其中4x3的次数最高，是3次，所以这个多项式的次数是3.【例4－2】指出下列多项式是几次几项式，并分别指出其中的二次项．(1)x3－2x2＋5x－1；(2)x3－2x2y2＋3y2.分析：①多项式中由几项构成就称为几项式，次数是几就是几次式；二次项是指构成多项式的项中，次数为2的单项式，并且有几个写几个．解：(1)x3－2x2＋5x－1有x3，－2x2，＋5x，－1四项，且次数是3，所以是三次四项式；二次项是－2x2.(2)x3－2x2y2＋3y2是四次三项式；二次项是3y2.几次几项式中的数字要大写，不能用阿拉伯数字哦！5．整式(1)定义：单项式与多项式统称整式．(2)理解：①整式包括单项式和多项式两类，类似于整数和分数统称为有理数一样．②是整式不一定是单项式(多项式)，但是单项式或多项式一定是整式．【例5】 下列式子中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋5，－1，x 2－3x ＋2，π，5x ，x 2＋1x ＋1，xy 3. 分析：根据概念：－1，π，xy 3是单项式，x 2＋5，x 2－3x ＋2是多项式，单项式和多项式都是整式，因5x ，x 2＋1x ＋1中含有数字(字母)除以字母，所以不是单项式也不是多项式，也就不是整式．解：单项式有：－1，π，xy 3； 多项式有：x 2＋5，x 2－3x ＋2；整式有：－1，π，xy 3，x 2＋5，x 2－3x ＋2.6．单项式系数情况汇总单项式中的系数一般包括下面几种情况：(1)省略系数情况：当系数是1或－1时，省略了系数1或－1，但不能说没系数．如：ab 的系数是1，－ab 的系数是－1.(2)分数系数：当写作73xy 3形式时，比较容易确定，当写作－2xy 5这种形式时，它的实质是－25·xy ，应注意区别． (3)用科学记数法表示的系数：如：3×105a 2b ，它的系数是3×105，其中指数5不是单项式中的次数．(4)π作系数：因为π是一个常数，所以π是系数，不是字母；(5)整数或小数系数(或百分数)：一般较好辨认，其中的数字部分就是系数．【例6－1】 指出下列单项式的系数．(1)4x ；(2)－m 2n 3；(3)－3.2×103x 2y ；(4)－5ab 38；(5)－4.3x 2y ；(6)－3a 2bc ；(7)xy 2；(8)－20%a ；(9)2×103a ；(10)2πR 2.解：系数分别是：(1)4；(2)－13；(3)－3.2×103；(4)－58；(5)－4.3；(6)－3；(7)1；(8)－20%；(9)2×103；(10)2π.【例6－2】 下列说法正确的是( )．A ．5y ＋1是单项式B ．单项式2ab 3的系数是2C ．单项式2ab 3的系数是23D ．单项式4xy 2是二次单项式答案：C【例6－3】 写出一个系数为72，关于x ，y 的四次单项式． 解：答案不唯一，只要符合要求即可，如：72xy 3，72x 2y 2，…. 7.多项式应用方法归类多项式的应用和单项式的应用一样，重点在于概念的把握，它的应用主要分为两类，一是基础应用：考查多项式的识别，或在已知一个多项式的前提下，认定多项式的次数、项、是几次几项式、认定各项系数、次数等；二是变化应用，根据要求写出符合条件的多项式，或已知多项式具备某些特征，通过具备的特征，判断多项式中未知数的系数，未知的指数应具备的特点，从而通过列式求未知数的值，这些题目，一般具有灵活性特点，要综合分析判断，很多时候具有开放性．解技巧 列多项式 紧紧抓住定义和要求，写出符合题意的式子，或根据题意列出关系式，从而判断字母的取值情况．【例7－1】 多项式－3xy ＋5x 3y －2x 2y 3＋5是__________次__________项式，最高次项的系数是__________，二次项是__________，常数项是__________．解析：多项式中次数最高项的次数就代表了多项式的次数，有几项就是几项式，在所有项中次数最高的是5次，有4项，所以是五次四项式，最高次项是－2x 2y 3，所以系数就是－2，次数是2的项是－3xy,5是常数项．答案：五 四 －2 －3xy 5【例7－2】 写出一个多项式，使它的项数是3，次数是4.分析：根据定义，写出符合要求的式子，字母不限，也可以有两个或三个4次项． 解：答案不唯一，如：2x 4－3x 2＋1,3x 2y 2－4xy ＋1，….【例7－3】 已知n 是自然数，多项式y n ＋1＋3x 3－2x 是三次三项式，那么n 可以是哪些数？分析：已知多项式是三次三项式，由题目可知，y n＋1项的次数不能超过3，即n ＋1的值不能超过3，n 又是自然数，所以n ＝0或1或2.解：n 可以是0,1,2.8．多项式的排列当多项式的项较多时，为了容易识别，我们一般将多项式按某一字母的次数由高到低或由低到高进行排列，由低到高排列叫做升幂排列，由高到低排列叫做降幂排列；(1)根据加法交换律交换项的位置，所以排列后的多项式的值不变，注意：在排列过程中交换加数(即项)的位置时一定要连同项的符号一起交换；(2)不论升幂排列还是降幂排列都是按其中某一个字母的次数的高低排列，而不是按项的次数的高低，当只有一个字母时，因字母的次数就是项的次数，所以按次数排列和按字母次数排列一样．【例8－1】 将下列各式按x 的升幂排列．(1)x 3＋4x －7－2x 4；(2)6x 4－2xy 3＋3x 3y －4x 2y 2＋5y 4.分析：按x 的升幂排列就是按x 的次数从低到高排列，不用考虑y 的次数，(2)题5y 4项中不含x ，所以这项中的x 的次数最低．解：(1)－7＋4x ＋x 3－2x 4；(2)5y 4－2xy 3－4x 2y 2＋3x 3y ＋6x 4.【例8－2】 将多项式－x 3－xy 2＋2yx 2＋3y 3按y 的降幂排列正确的是( )．A ．－3y 3－xy 2＋2yx 2＋x 3B ．－x 3＋2yx 2－xy 2＋3y 3C ．3y 3－xy 2＋2yx 2－x 3D ．3y 3－x 3－xy 2＋2yx 2解析：是按字母y 的指数从高到低排列，并且在排列过程中一定要带着项的符号移动项的位置，A 符号错，B 按x 的降幂排列，D 顺序错乱，只有C 符合要求．答案：C9.顺水、逆水行驶问题轮船在河流中行驶，由于水流本身的速度，实际速度要受到水流速度的影响，因此轮船在水流中的行驶就分三种情况：顺水行驶、逆水行驶、静水行驶，因此速度也就有四种速度：静水速度(v 静)、逆水速度(v 逆)、顺水速度(v 顺)，水流速度(v 水)，并且四个速度之间存在着内在的联系：①v 顺＝v 静＋v 水；②v 逆＝v 静－v 水；③v 水＝v 顺－v 静＝v 静－v 逆＝12(v 顺－v 逆)． 【例9－1】 飞机无风时的飞行速度为a 千米/时，风速为20千米/时．(1)飞机顺风飞行的速度是__________千米/时；飞机逆风飞行的速度是__________千米/时；(2)飞机顺风飞行4小时的行程是__________千米；飞机逆风飞行3小时的行程是__________千米．答案：(1)(a ＋20) (a －20) (2)4(a ＋20) 3(a －20)【例9－2】 已知某轮船顺水航行的速度是40千米/时，逆水航行的速度是36千米/时，你能求出水流速度吗？若不能，请说明理由，若能，是多少？分析：由v 水＝12(v 顺－v 逆)可知，水流速度＝(顺水速度－逆水速度)÷2＝(40－36)÷2＝2(千米/时)，所以能求出水流速度．解：能，水流速度＝(40－36)÷2＝2(千米/时)．10.用单项式、多项式概念的判定作用求未知数的值数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x 4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－ax m 的系数是－2、次数是4，就可以知道－a ＝－2，m ＝4，从而求出a ＝2，多项式的运用也是如此．【例10－1】 如果－5xy m－1为4次单项式，则m ＝__________. 解析：因为－5xy m －1是4次单项式，所以x ，y 的指数和应是4，x 的指数是1，y 的指数就是3，所以m －1＝3，所以m ＝4.答案：4【例10－2】 已知多项式5x m y 2－(m －2)xy －3x ，如果它的次数为4次，则m 应为多少？如果多项式只有两项，则m 为多少？分析：①次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有5x m y 2次数能成为多项式的次数，所以m ＋2应该等于4，因此，m ＝2时，多项式的次数就是4次；②如果多项式是二项式，只有－(m －2)xy 这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0，即－(m －2)＝0，因此当m ＝2时，这项的系数是0，所以m ＝2.解：如果多项式的次数为4次，则m 应是2；如果多项式只有两项，则m 也是2.。