六年级数学-奥数精品讲义16讲
六年级下册教案-春季奥数16讲_人教新课标
第一讲 圆柱和圆锥的表面积一、知识要点表面积是指物体各个面的面积之和。
在解答有关圆柱、圆锥的表面积问题时，要注意以下几点：1．借助图形仔细辨别表面积包含了哪些具体的面，增加了哪些面，减少了哪些面，要正确运用公式进行解答。
2．把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
3．有时解决问题过程中，题中一个关键的数量未知时，可借助字母做中介，从而解题。
4．解组合图形表面积时，要整体考虑，仔细观察组合图形各个面之间是否有某种联系，是否可将一些面变形为其他的面。
需要记住的公式：圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的表面积=2πRh+2πR 2=2πR （h+R ）二、精选例题：例1:有一块方木，横截面为正方形，边长4分米，相当于长的101，根据现有木料要加工成最大的圆柱体，则此圆柱体的表面积是多少？【思路点拨】例2:用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （3π=）【思路点拨】例3: 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？【思路点拨】例4:将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
【思路点拨】例5:一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．【思路点拨】例6:一段圆柱体木料，如果截成两段，其表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，其表面积增加40平方厘米。
求此圆柱体的表面积。
【思路点拨】例7:从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。
求这个几何体的表面积。
【思路点拨】例8:如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．【思路点拨】练习：1、一个长方形的长8厘米，宽4厘米，以长方形的长为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的表面积是多少？2、有一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱体，沿着上下底面的圆心的连线切开后，它的表面积增加了多少平方厘米？3、如图是一顶帽子。
六年级上册奥数(课件)第16讲：生活中的数学
1.3x×90%＋1.2（200－x）90%－200＝27.7
x＝130
甲的成本： x＝130元 乙的成本：200－130＝70（元）
答：甲的成本是130元，乙的成本是70元。
？
汽水 25个空瓶 25÷5＝5（瓶）汽水 5个空瓶
问老板借一个 喝完后再还给老板
5÷5＝1（瓶）汽水 25＋5＋1＝31（瓶）
答：实际他可以喝到 31瓶汽水。
买4瓶汽水可以喝5瓶
25瓶汽水 25÷4＝6（份）……1（瓶） 6×5＝30（瓶）汽水 30＋1＝31（瓶）
答：实际他可以喝到 31瓶汽水。
剪成一个圈， 穿过去一个人。
生活中的数学
例题一
轻了
红色数字 放天平上
有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，现在手 头上只有一台天平，至少称几次就一定能找 出它呢？
分成3份：2，2，1
一样重 不一样重
第3份那个 轻的那份 是次品。 中有次品。
再称。 轻的那个是次品。
答：至少称2次就一定能找出它。
练习一
有80枚同样的围棋子，其中一枚做的密 度不够，稍轻了一些，用天平至少称几次能 保证找出这种棋子？
例题四
某商品按定价的80％出售，仍能获得20％的 利润。定价时期望的利润百分数是多少？
1×80%＝0.8
0.8÷（1＋20%）＝2 （ 12） 210% 03 5% 0
33
答：定价时期望的利润百分比是50%。
打折问题转 化为单位“1” 的问题。
练习四
甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30％ 的利润定价，乙商品按20％的利润定价，后来两种 商品都按定价的90％出售，共获利润27.7元。甲、 乙两种商品的成本各是多少元？
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第十六讲 逻辑推理(二) 人教版(含答案)
第十六讲逻辑推理（二）第一部分：趣味数学六个货架一家超市,六个货架是这样安排的:出售玩具的货架紧紧挨着出售服装的货架,但玩具货架不是一号架。
出售餐具的货架在小家电货架的前一排,日化品在服装前面的第二个货架上,餐具在食品后面的第四个货架出售。
请问:这个超市是怎样安排这六个货架的?【答案】已知:1、出售玩具的货架紧紧挨蓍出售服装的货架,但玩具货架不是一号架。
2、出售餐具的货架在小家电货架的前一排,3、日化品在服装前面的第二个货架上,4、餐具在食品后面的第四个货架出售。
推理:一、从1、3知道日化品在服装前第二个；服装前第一个或后一个可能是玩具；二、从2、4知道餐具在小家电前一排,而餐具在食品后第四个货架,一共是六个货架,餐具在食品之间隔三个，后面还有一个小家电，推出第一排是食品，第五是餐具,第六是小家电；三、其余二、三、四号三个的排序应当是日化、玩具、服装，玩具不可能在服装后，后面五号是餐具。
即：一号架：食品；二号架：日化；三号架：玩具；四号架：服装；五号架：餐具；六号架：小家电。
第二部分：习题精讲解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。
这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。
统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
例题1：小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。
每两人要比赛一盘。
到现在为止，小华已经比赛了4盘。
甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。
丙赛了几盘？这道题可以利用画图的方法进行推理，如图32-1所示，用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。
(精品)数学讲义六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积
圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积2S r r rππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）50.24；（2）18.84；28.26；（3）50.24．【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.12÷3.14÷2 = 4米，故面积为：3.14×4×4 = 50.24平方米．【总结】考查圆的周长及面积的计算．【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】3；9；1:16．【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比．【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系．【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】50.24．【解析】S = 4×4×3.14 = 50.24平方米．【总结】考查圆的面积在实际问题中的运用．2/ 16【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】314．【解析】剪出的最大圆的直径即为正方形的边长，所以圆的半径为10厘米，所以圆的面积是：10×10×3.14 = 314平方厘米．【总结】本题主要考查正方形中剪出最大圆的问题．【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】19.625平方分米．【解析】由题意，可得圆的半径为：（16-0.3）÷3.14÷2 = 2.5分米，故这个圆的面积为：2.5×2.5×3.14 = 19.625平方分米．【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长．【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】3.14．【解析】圆的半径为：20÷2 = 10厘米，要做100个这样的面盆至少需要铝板：100×3.14×10×10=31400平方厘米= 3.14平方米．【总结】考查圆的面积的计算的简单应用，注意单位的换算．【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】圆【解析】在所有周长相等的图形中，圆的面积最大．【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力．4 / 16【例8】 两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】50.24平方厘米．【解析】圆环的面积为：3.14×（25-9）= 50.24平方厘米． 【总结】考查圆环的面积的计算．【例9】 一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】138.16平方米．【解析】圆心水池的半径为：62.8÷3.14÷2=10米，则路面的面积为： 3.14×（144-100）= 138.16平方米． 【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用．【例10】 如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★ 【答案】41． 【解析】阴影部分的面积即为小圆的面积，故阴影部分面积占大圆面积的91364ππ【总结】考查圆的面积的计算．【例11】 两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】1100．【解析】设大圆的半径为10r ，小圆半径为9r ，所以大圆面积占两圆面积的100181，所以 大圆面积为：1991÷181×100=1100平方厘米． 【总结】考查圆的面积的计算【例12】 有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交 给另一个班管理．【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81， 因为16+81=97；9+25+64=98， 所以符合要求，所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理． 【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用．【例13】 大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】7.5厘米．【解析】由题意，可得：415S S =阴影大圆，35S S =阴影小圆， 则43155S S =小圆大圆，设大圆半径为R ，则22435155R ππ⨯⨯=⨯⨯，解得：7.5R =． 即大圆的半径为7.5厘米．【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而 求出大圆的半径．【例14】 如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】2.58平方厘米．【解析】设正方形的边长为a ，则212a =，则圆的面积为： 223.14 3.14 3.1439.4224a a ⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故阴影部分面积为：12-9.42 = 2.58平方厘米． 【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用．6 / 16ABO【例15】 如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】20.5厘米．【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积， 所以长方形的长等于圆的周长的一半，故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽-圆的半径+41×圆的周长 =16.4+16.4÷4=20.5厘米．【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧 长．===1、 扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、 扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】 一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】72°．【解析】360°÷5 = 72°．【总结】考查扇形的面积与所在的圆的面积的关系．模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例17】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】13.08；15.23．【解析】扇形的面积为：60×3.14×5×5÷360=13.08平方厘米 ； 此扇形的周长为：60×3.14×5÷180 + 5×2 = 15.23厘米．【总结】考查扇形面积及周长的计算，注意扇形的周长还包含了两条半径的长．【例18】 已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】157．【解析】1131.41015722S lr ==⨯⨯=平方厘米．【总结】考查扇形面积的计算．【例19】 一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】3，9． 【解析】213602n S r lr π==扇形． 【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系．【例20】 一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】121.5π．【解析】由题意，可得：22960()2360r ππ⨯⨯⨯=，解得：2121.5r =，故此扇形所在圆的面积为：2121.5r ππ=．【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积．8 / 16ABCDEFA BC D【例21】 一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14） 【难度】★★【答案】6.28平方厘米．【解析】设扇形所在圆的半径为r ，则由题意可得：4522 3.1411.14360r r +⨯⨯⨯=， 解得：4r =厘米，故此扇形的面积为：245 3.144 6.28360⨯⨯=平方厘米．【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算．【例22】 如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】24π-． 【解析】229022S 2224360S S ππ⨯=-=⨯-=-正阴影扇形．【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算．【例23】 等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】0.86． 【解析】21124 3.1424 3.140.8624ABCAEF S SS =-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影扇形．【总结】考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．【例24】 如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】60【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r ， 则扇形的半径为2r ，故由题意，可得：()22241803360360n r r ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得：60n =．即CAB ∠是60度． 【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算．ABCH【例25】 如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】1.57平方厘米．【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和， 三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180°， 故阴影部分面积为：180×3.14×1×1÷360=1.572cm ．【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角之和．【例26】 如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】25.32平方厘米．【解析】一个小扇形的面积是：60×3.14×6×6÷360=18.84平方厘米， 等边三角形的面积为：6×5.2÷2=15.6（平方厘米）， 所以这三段弧所围成的图形的面积是：18.84×3-15.6×2=56.52-31.2=25.32（平方厘米）【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算．【例27】 如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】48.125．【解析】22113.1410105 3.14548.12544S =⨯⨯-⨯-⨯⨯=阴影（）．【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积．10 / 16【例28】 如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】18平方厘米．【解析】圆的面积为：6636ππ⨯⨯=，空白部分的扇形的面积为：3631.5 4.5πππ-=，设空白部分的扇形的圆心角为n ，则36 4.5360nππ⨯=，解得n =45，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形， 故面积为6×6×0.5=18平方厘米．【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积．【例29】 有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】175.84平方米．【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为360-60=300度， 小扇形的圆心角为：180-60=120度，故总面积为：22300120822175.84360360ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=平方米．【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形．【例30】 已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】256π．【解析】连接CD 、OD 、OC ，则阴影部分面积为CD BDCS S 弓形+∆．因为C 、D 把半圆弧AB 三等分，所以AB CD ODC BCD ∆∆∥，所以、等底等高， 所以阴影部分面积=CD BDC S S 弓形+∆=()260102253606OCD S ππ⨯⨯÷==扇形． 【总结】本题综合性较强，考查了一些几何的内容，教师可以选择性的讲解．ABC D【习题1】 扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★ 【答案】90．【解析】314÷1256×360°= 90°． 【总结】考查扇形面积公式的逆运用．【习题2】 一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】113.04．【解析】36×3.14=13.04平方米．【总结】考查圆的面积的计算在实际问题中的运用．【习题3】 若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（ ）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．是原来的12 D ．不变【难度】★ 【答案】A 【解析】213602n S r lr π==扇形． 【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及扇形所在的圆的半径之间的关系．【习题4】 如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★ 【答案】72°．【解析】8÷40×360°= 72°．【总结】考查圆心角在实际问题中的运用．随堂检测12 / 16【习题5】 环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14） 【难度】★★【答案】15.7平方厘米．【解析】外圆的半径长为：18.84÷3.14÷2=3cm ；内圆半径长为：4÷2=2cm ； 故环形的面积为：3.14×（3×3-2×2）=15.7平方厘米． 【总结】考查圆环的面积的计算．【习题6】 两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】891平方厘米．【解析】因为大圆的周长是小圆的周长的119倍，故大圆与小圆的面积之比为：100:81，因为两个圆的面积之差是209平方厘米，所以小圆的面积为： 209÷（100-81）×81 = 209÷19×81= 891平方厘米． 【总结】本题主要是根据大小两圆的周长比确定出面积比．【习题7】 一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】188.4平方分米．【解析】从上午9点到上午10点40分，分针走过的度数为：600°，故分针扫过的面积为：2600 3.146188.4360⨯⨯=平方分米．【总结】时针走过一小时，则分针走了360度，本题主要是确定出分针转过的度数．A B2 2【习题8】 如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】4.56．【解析】2145444822360S S S ππ=-=⨯⨯-⨯⨯=-空三角形扇形，14(82)48 4.562S S S πππ=-=⨯⨯--=-=阴影半圆空．【总结】本题主要考查阴影部分的面积计算．【习题9】 如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】问号． 【解析】句号的面积：22243r r r ππ-=（）；逗号的面积：224r 22r ππ⨯÷=；问号的面积：22223134r 44r r r πππ-+=（）．【总结】本题中主要考查阴影部分的面积，注意计算方法．【习题10】 如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】1.42平方厘米．【解析】两个阴影部分的面积差为大扇形的面积减去长方形的面积， 再减去小扇形的面积，即：22113.144 3.1422444⨯⨯-⨯⨯-⨯= 1.42平方厘米．【总结】本题要注意认真审题，看清楚求的是两部分的面积差，然后转化为规则图形的面积的差．空14 / 16【作业1】 下列判断中，正确的是（ ）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小 【难度】★ 【答案】C 【解析】213602n S r lr π==扇形． 【总结】考查扇形面积的影响因素．【作业2】 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】141.3．【解析】3.14×（81-36）=141.3平方厘米． 【总结】考查圆的面积的计算【作业3】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】1.628【解析】72×3.14×5÷180＋5＋5=16.28厘米=1.628分米． 【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算．课后作业【作业4】 一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】286．【解析】30×20-3.14×10×10=286平方厘米． 【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算．【作业5】 一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】314．【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（108＋36）÷360×785=314． 【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算．【作业6】 某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】191.54平方分米．【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30°，而分针走过了360°，故面积差为： 3.14×80×80-30×3.14×60×60÷360=19154平方厘米=191.54平方分米． 【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数．【作业7】 如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★ 【答案】4:7．【解析】2221111410456222S ππππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影；2114982S ππ=⨯⨯=大半圆，故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：56984:7ππ=：． 【总结】考查半圆面积的计算．16 / 16红红 红 红蓝 蓝蓝蓝 【作业8】 一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】11．【解析】车轮转速：120×10003113600÷=周． 【总结】考查圆的周长计算的简单应用【作业9】 如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？ 【难度】★★★ 【答案】一样大【解析】设大圆R =2，则小圆r =1．蓝色部分的面积：211(21)42422r ππ-⨯⨯⨯=-；红色部分的面积为：()2244(424)24R r S ππππππ--=--+=-蓝色， 所以两部分面积一样大．【总结】考查不规则图形的面积，注意认真分析，转化为规则图形的计算．【作业10】 如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】4.56平方厘米．【解析】通过割补，可以将“树叶”状的阴影转化到上面两个弓形处，故13.14444424.564S S S =-=⨯⨯⨯-⨯÷=阴影扇形直角三角形平方厘米．【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积．。
六年级数学-奥数精品讲义16讲
六年级数学-奥数精品讲义16讲目 录第1讲 定义新运算第2讲 简单的二元一次不定方程第3讲 分数乘除法计算第4讲 分数四则混合运算第5讲 估算第6讲 分数乘除法的计算技巧第7讲 简单的分数应用题【1】第8讲 较复杂的分数应用题【2】第9讲 阶段复习与测试【略】第10讲 简单的工程问题第11讲 圆和扇形第12讲 简单的百分数应用题第13讲 分数应用题复习第14讲 综合复习【略】第15讲 测试【略】第16讲 复杂的利润问题【2】第一讲 定义新运算在加，减，乘，除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。
在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。
例1；如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2；如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#【8#5】的结果是多少？例3；规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。
例4；设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N【1】计算【14 *10】*6【2】计算 【58*43】 *【1 *21】例5；如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-【A+B 】求【1】10¤7【2】【5¤3】¤4【3】假设2¤X=1求X例6；设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞【X ∞ 1/4】的值是多少？例7；规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5则【3*2】*【1*10】的值是多少？例8；▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 已知3211212112=+++=∇））（（A 那么20088▽2009=？巩固练习1·已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推【1】3▽2 【2】5▽3【3】1▽X=123，求X的值2·已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算【1】【4△2】+【5△3】【2】【3△5】÷【4△4】3·如果A*B=3A+2B，那么【1】7*5的值是多少？【2】【4*5】*6 【3】【1*5】*【2*4】4·如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求【1】｛8，0，8｝【2】｛｛1，9，1，901｝1，19｝5·N为自然数，规定F【N】=3N-2 例如F【4】=3×4-2=10试求；F【1】+F【2】+F【3】+F【4】+F【5】+……+F【100】的值6·如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？【第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题】7·若“+·-·×·÷·=·【】”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
最新小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
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小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
【精品奥数】六年级上册数学思维训练讲义-第十六讲 圆的面积(二) 人教版(含答案)
第十六讲面积计算（二）第一部分：趣味数学两球间隙哪个大在兴趣小组活动中，老师给同学们出了这样一道题：假定我们给地球腰上打一个箍，也给小小的足球的腰上打一个箍，要求箍打得不大不小，刚好紧紧地套住球。
如果现在这两个箍的周长都增加了1米，试问把这两个箍分别套到这两个“球”上去时，“箍”和“球”之间的间隙哪个大？【答案】一样大第二部分：习题精讲【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。
把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习一：1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。
求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。
如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。
六年级奥数 第16讲PPT课件
2020/10/13
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
4
3
甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件的 5 相等，又等于丙生产零件数量的四分之三，已知 乙比丙多生产50个零件，求这批零件共有多少个。
例3. 某商店同时卖出两件商品，每件各得60元， 但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖 出这两件商品是赚钱还是亏本？
2020/10/13
2
2
2
例4. 乙的 3
六年级奥数上 第16讲
分数、百分数应用题（一） 例1. 某区举行小学生春季运动会，其中某校参 加10的名人运数动占员运，动则员该总校人人数数的占运115 动，员若总这人个数学的校再223去， 这次运动会共有运动员多少人？这个学校原来有
多少人参加运动Leabharlann ？2020/10/131
例2. 甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，
有体甲重、的乙二3 人相，等已，知甲甲的的体重5 的体比重乙的的体3 重与
的少17.5千克， 求4 甲乙二人体重。
例5 . 果品店运来的苹果比香蕉多500千克，运来
的苹果的
2 5
与运来香蕉的
1 2
同样多，这个水果
店运来苹果和香蕉各多少千克？
2020/10/13
3
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
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六年级奥数拔尖教材目录第1讲定义新运算第2讲简单的二元一次不定方程第3讲分数乘除法计算第4讲分数四则混合运算第5讲估算第6讲分数乘除法的计算技巧第7讲简单的分数应用题（1）第8讲较复杂的分数应用题（2）第9讲阶段复习与测试（略）第10讲简单的工程问题第11讲圆和扇形第12讲简单的百分数应用题第13讲分数应用题复习第14讲综合复习（略）第15讲测试（略）第16讲复杂的利润问题（2）第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。
在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。
例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？例2：如果A#B 表示3B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？例3：规定YX XY Y X +=∆ 求2Δ10Δ10的值。
例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N（1） 计算（14 *10）*6（2） 计算 （58*43） *（1 *21）例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ）求（1）10¤7（2）（5¤3）¤4（3）假设2¤X=1求X例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？例7：规定X*Y=XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++=∇11 已知3211212112=+++=∇））（（A 那么20088▽2009=？巩固练习1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（1） 3▽2 （2）5▽3（3）1▽X=123，求X 的值2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7计算（1）（4△2）+（5△3）（2）（3△5）÷（4△4）3、如果A*B=3A+2B，那么（1）7*5的值是多少？（2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4）4、如果A>B，那么｛A，B｝=A；如果A<B，那么｛A，B｝=B；试求（1）｛8，0.8｝（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝5、N为自然数，规定F（N）=3N-2 例如F（4）=3×4-2=10试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值6、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……1×2×3×4×……×100=100!那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是几？（第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题）7、若“+、-、×、÷、=、（）”的意义是通常情况，而式子中的“5”却相当于“4”。
下面四个算式（1）8×7=8（2）7×7×7=6（3）（7+8+3）×9=39（4）3×3=3那么应该是我们通常的哪四个算式？8、如果2*4=2×3×4×5 5*3=5×6×7，请按此规定计算（1）（3*4）-（5*3）（2）（4*4）÷（3*3）9、规定（25）=2+5=7 （123）=1+2+3=6 （65）=6+5=（11）=1+1=2则计算（1）（56489） （2）（92045）+（90÷5）÷（12）10、规定64=2×2×2×2×2×2表示成F （64）=6；243=3×3×3×3×3表示成G （243）=5；试求下面各题的值（1） F （128）= ( )（2） F （16）= G （ ）（3） F （ ）+ G( 27 )=611、如果1=1！1×2=2！1×2×3=3！……试计算（1）5！ （2）X ！=5040，求X12、有一种运算符号“＆”使下列算式成立2＆3=7 5＆3=13 4＆5=13 9＆7=25 求995 ＆ 9=？13、A*B=B A B A ÷+ 在X*（5*1）=6中，X 的值是多少？14、对于任意的整数X 、Y 定义新运算“￥”X ￥Y=YMX XY 26+（其中M 是一个固定的值）如果1￥2=2，那么2￥9=？第二讲二元一次不定方程一、学习目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
二、基础知识：我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
三、例题解析：（一）基本方法例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。
设小明付了X枚贰角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。
49是奇数，2X是偶数，那么5Y必定是奇数。
这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。
2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y不小于49—2×19=29，这样，可得Y大于6。
方法二观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。
由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。
注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？分析与解：设他出生于19XY年，那么1991—19XY=1+9+X+Y1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y（二）能力拓展例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。
分析：路标上的数字是累计数。
由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。
已知这两个三位数之差为414，求原来的两位数。
例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀，竖切两刀，得到9个长方体，这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。
分析与解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积，竖切两刀增加了4ac的面积，所以可列方程：4ab+4ac=624。
三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。
练习一、基本题1、求方程6x+9y=87的自然数解。
2、求方程2x+5y=24的自然数解3、大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现在有306名旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。
6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数。
7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于10，问两种盒子各有多少个？二、综合题8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。
现有一个班的学生（不足70人）来开会。
一部分学生一人坐一把两座的长椅，其余的同学每三人坐一把四座的长椅。
结果平均每个学生坐1.35个座位。
求有多少个学生？思考题10、有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？第三讲分数乘除法计算分数乘除法的计算方法用字母表示为：b d bd ac ac⨯=（a ，c 都不等于0）； b d b c bc a c a d ad÷=⨯=（a ，c 都不等于0）。
一、课前准备：1、计算下列各题：（1）35÷10÷361 （2）73＋53÷157 （3）185÷79×3527（3）821÷9÷127 （4）25÷45×35 （6）52÷（41+53）2、在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律？（1） 25×167 ×78= ×( × ) （2） 58 ×23 ×815=( × )× （3） 229 ×(15×2931)= ×( × ) （4） 2534×4= × + × （5） 7×78= × 〇 × （6） 145×25= × 〇 × （7） 54×(89 - 56)= × 〇 ×二、例题讲解例1：计算：⑴443745⨯； ⑵152726⨯。
【分析】认真观察这两道题的数学特点：第(1)题中的4445与1只相差145，如果把写成1(1)45-的差与37相乘，再运用乘法分配律就能简化运算了。