高考数学总复习：第3章《三角函数、解三角形》【4】

[跟踪训练] 3．函数
π f(x)＝Asinω x－ 6 ＋1(A>0，ω>0)的最大值为
3，其图象
π 相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
[典题导入] 已知函数
1 π f(x)＝3sin x－ 4 2 ，x∈R.
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数 y＝sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象？
[听课记录] (1)列表取值： x 1 π 2x－ 4 f ( x) 5 7 9 π 3 π 2π 2π 2π 2 2 0 0 π 2 3 π 0 3 2π 2π －3 0

第四节
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用


[主干知识梳理]
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念


二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用 五点法画 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 一个周期内的简图时，要找五 个关键点，如下表所示：
x ω x＋φ y＝Asin(ωx＋φ )
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象
与性质的综合应用
[典题导入] 已知函数
π f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|< 2 的图象
与 y 轴的交点为(0，1)，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最 低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π ，－2)．

(3)求φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知) 或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升 区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为 突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝0； “第二点” π (即图象的“峰点”)时 ωx＋φ＝ 2 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)时 ωx＋φ 3π ＝ ； “第五点”时 ωx＋φ＝2π(如例 2)． 2
2π A [最小正周期为 T＝ ＝6； π 3 π 1 由 2sin φ＝1，得 sin φ＝2，φ＝ 6 .]
3．(2012· 安徽高考)要得到函数 y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数 y＝cos 2x 的图象 A．向左平移 1 个单位 1 C．向左平移2个单位 C [∵y＝cos(2x＋1)＝cos B．向右平移 1 个单位 1 D．向右平移2个单位
A [由 y＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐 π 标保持不变，所得图象的解析式为 y＝sin 2x，再向左平移 4 个单 位得 y＝sin
π 2x＋ ，即 4
y＝cos 2x.]
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 [典题导入]

函数f(x) ＝A sin( ωx＋ φ )(A ，ω，φ 为常数， A ＞0，ω ＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

(1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)求f(x)的增区间； (3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[听课记录]
(1)由图象知 A＝2，
1 T 由2 ＝2π 得 T＝4π，所以 ω＝2.
1 ∴f(x)＝2sin2x＋φ，
π ∴f(0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<2，
得
π 5sin ＋φ ＝5， 6
π π ∴ 6 ＋φ＝2kπ＋ 2 ， π ∴φ＝2kπ＋ 3 (k∈Z)．
2 π 5 3 π ∴f(x)＝5sin x＋ ，f(0)＝5sin ＝ . 3 2 3 3
[规律方法] 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m， M－m M＋m 则 A＝ 2 ，b＝ 2 . 2π (2)求 ω，确定函数的周期 T，则可得 ω＝ T .
φ － ω 0 0
φ π π －φ 3π φ － ＋ － ω 2ω ω 2ω ω π 2 A π 0 3π 2 －A
2π －φ ω 2π 0

三、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的 步骤
[基础自测自评] x 1．函数 y＝sin2的图象的一条对称轴的方程是 A．x＝0 C．x＝π x π C [由2＝ 2 ＋kπ得 x＝π＋2kπ(k∈Z)． x 故 x＝π是函数 y＝sin2的一条对称轴．] π B．x＝ 2 D．x＝2π ( )
π 6 ，0 2π 3 ，1 7π 6 ，0 5π 3 ，－1 13π 6 ，0
5．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数， A>0， ω>0)在闭区间[－π ，0]上的图 象如图所示， 则 ω＝________． 解析 2π 观察函数图象可得周期 T＝ ， 3
[听课记录]
T 7π π π 由图可知：A＝ 2，4 ＝12－3＝4，
π 2π 所以 T＝π，ω＝ T ＝2，又函数图象经过点3，0，
π π 所以 2× 3＋φ＝π，则 φ＝3， 故函数的解析式为 f(x)＝ π 6 所以 f(0)＝ 2sin3＝ 2 . 答案 6 2
π 2sin2x＋3，
2．已知简谐运动
π f(x)＝2sin 3
x＋φ|φ
π |< 2 的图象经过点(0，1)， ( )
则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为 π A．T＝6，φ＝ 6 π C．T＝6π ，φ＝ 6 π B．T＝6，φ＝ 3 π D．T＝6π ，φ＝ 3
所以
4π 2π f(x)的增区间为－ 3 ＋4kπ， 3 ＋4kπ，k∈Z.
(3)∵－π≤x≤π， π 1 π 2π ∴－ 3 ≤2x＋ 6 ≤ 3 ，
1 π 3 ∴－ ≤sin x＋ ≤1， 2 2 6
∴－ 3≤f(x)≤2，所以 f(x)的值域为[－ 3，2]．
π D [由 y＝cos(ωx＋φ)为奇函数知 φ＝kπ＋ ， 其中 k∈Z.又 0<φ< 2
π π π，所以 φ＝ 2 ，则 y＝cosωx＋ ＝－sin ωx. 2
由 AB＝2 2知
T2 ＋22＝2 2
2，
2π 所以 T＝4＝ ，
ω
π πx 得ω＝ ，y＝－sin . 2 2 结合选项知当 x＝1 时， π×1 y＝－sin 2 ＝－1， πx 此时函数 y＝－sin 取得最小值， 2 因此该函数图象的一条对称轴为 x＝1.]
2π 2π 则 T＝ 3 ＝ ，所以 ω＝3. ω 答案 3
[关键要点点拨] 1．确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π )中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 M－m M＋m 2π A＝ 2 ，k＝ 2 ，ω 由周期 T 确定，即由 ＝T 求出， ω φ 由特殊点确定．

[互动探究]
若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)．
解析 由图知 A＝5， 3π 2π 2 T 5π 由2＝ 2 －π＝ 2 ，得 T＝3π，∴ω＝ T ＝3. 此时
2 y＝5sin3x＋φ. 2 y＝5sin3x＋φ，
π 将最高点坐标 ，5 代Fra bibliotek 4 1 π π ∴φ＝6，∴f(x)＝2sin2x＋6，
由
1 π f(x0)＝2sin2x0＋6＝2，
1 π π ∴2x0＋6＝2＋2kπ， 2π x0＝4kπ＋ 3 ，k∈Z， 又(x0，2)是 y 轴右侧的第一个最高点， 2π ∴x0＝ . 3 π 1 π π (2)由－ ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z 得 2 2 6 2 4π 2π － 3 ＋4kπ≤x≤ 3 ＋4kπ，
1 2x＋2，
(
)
1 ∴只要将函数 y＝cos 2x 的图象向左平移 个单位即可．] 2
4．用五点法作函数
π y＝sinx－ 6
在一个周期内的图象时，主要确
定的五个点是 ________ 、 ________ 、 ________ 、 ________ 、 ________． 答案
π 只要把函数 y＝sin x 的图象向左平移 3 个单位长度， 1 再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变， π 即可得 y＝sin(2x＋ 3 )的图象．]
(2)函数 y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π )为奇函 数，该函数的部分图象如图所示，A、B 分别 为最高点、最低点，且 AB＝2 2，则该函数 图象的一条对称轴为 2 A．x＝ π C．x＝2 ( π B．x＝ 2 D．x＝1 )
[规律方法] 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数 1 的 个最小正周期，可求解参数 ω 的值，利用图象的最高点、低 2 点为三角函数最值点，可求解参数 A 的值．在求函数值域时，由 定义域转化成 ωx＋φ 的范围，即把 ωx＋φ 看作一个整体，再结合 三角函数的图象求解．
2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的 区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单 |φ | 位； 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换， 平移的量是 (ω>0) ω 个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值．
[跟踪训练] 1．(2014· 滨州一模)把函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小 到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移 π 4 个单位，得到的函数图象的解析式是 A．y＝cos 2x