17年高中数学第一章坐标系1.2.1极坐标系的概念课时提升作业(含解析)新人教A版选修4_4
2017_2018学年高中数学第1章坐标系1.1平面直角坐标系学案北师大版选修4_420171023 (2)
1.1平面直角坐标系1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)教材整理1平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.()(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.()(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x轴的直线方程为________.1(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x2＋y2＝1表示的曲线是____________.【答案】(1)y＝0(2)x2＋y2＝1(3) 椭圆教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝4的图形2变为椭圆.()(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.()(3)在伸缩变换下，直线依然是直线.()x2 【解析】(1)√因为x2＋y2＝4的圆的形状变为方程＋y2＝1表示的椭圆.4(2)×平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化.【答案】(1)√(2)×(3)√预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：利用平面直角坐标系确定位置由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A，B，C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3).∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上.k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，1∴直线PD的方程为y－3＝(x＋4). ①3又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，x2 y2双曲线方程为－＝1(x≥2).②4 5联立①②，解得P点坐标为(8,5 3).5 3∴k PA＝＝3.8－3因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A，B，C的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.1.已知某荒漠上有两个定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A，且与AB成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C，D，由围墙总长为8 km，得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A ，B 为焦点，长轴长 2a ＝4，焦距 2c ＝2的椭圆(去除 落在直线 AB 上的两点).以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则点 C 的轨迹方程为x 2 y 2＋ ＝1(y ≠0). 4 3易知点 D 也在此椭圆上，要使平行四边形 ABCD 的面积最大，则 C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积 S ＝2 3(km 2).x 2 y 2(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆 ＋ ＝1(y ≠0)内，故暂不 4 3 3需要加固水沟的长就是直线 l ：y ＝ (x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图.3因此，由Error!⇒13x 2＋8x －32＝0， 那么弦长＝ 1＋k 2|x 1－x 2|38 32 4848 ＝ 1＋(3 )2· (－13 )2－4 × (－13 )＝，故暂不加固的部分长km.1313平面直角坐标系中曲线方程的确定3(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点到 G2的两个焦点的距离之和为 12，求椭圆 G 的方程；(2)在边长为 2的正△ABC 中，若 P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点 P 的轨 迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件 用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根 据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x2 y 2＋ ＝1(a >b >0)， a 2 b 2c 3则 2a ＝12，知 a ＝6.又离心率 e ＝ ＝ ，故 c ＝3 3. a 2∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.x 2 y 2∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 36 9(2)以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系， 设 P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则 A (0， 3).222∴x2＋(y－3)2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2，化简得x2＋(x＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；③用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程.(3)代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求.→→→→2.如图111，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM与PN的夹角为120°，QC·QM＝2.5图111(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程.【解】(1)建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，△CQM为正三角形.→→∴QC·QM＝r2·cos60°＝2，∴圆C的半径为2.又圆心为(0,0)，∴圆C的方程为：x2＋y2＝4.(2)由(1)知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2，∴a＝3＋1，c＝2，∴b2＝a2－c2＝2 3，x2 y2∴椭圆方程为：＋＝1.4＋2 3 2 3平面直角坐标系中的伸缩变换探究1在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？【提示】在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3在伸缩变换中，若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后，变换后的坐标(x′，y′)与原坐标(x，y)有什么关系？【提示】一般地，在平面直角坐标系xOy中：使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0)，则当k＝1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为Error!的伸缩变换，当k>1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上1的单位长度缩小为原来的，即为Error!的伸缩变换，当0<k<1时，相当于y轴上的单位长度k保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为Error!的伸缩变换.x2 y2在下列平面直角坐标系中，分别作出＋＝1的图形：25 9(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；1(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.2【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.x2 y2 【自主解答】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则＋＝125 9的图形如图①.1 x2 y2(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图②.1 x2 y2(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的2 25 9图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响，本题中即为Error!的伸缩变换，本题中即为Error!的伸缩变换.x2 y23.本例中，＋＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：25 95(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍；33(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.53 x2【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则＋5 25y2＝1的图形如图①.93 x2 y2(2)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则＋＝1的5 25 9图形如图②.1.曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是()1 1A.(0,0)B.( 5 )，5C.(1,5)D.(4,4)【解析】将答案代入验证知D正确.【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.|x|－|y|＝1B.|x－y|＝1C.||x|－|y||＝1D.|x±y|＝1【解析】由题知C正确.【答案】 Cx2 y2 13.已知一椭圆的方程为＋＝1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭16 4 2圆的形状为()1【解析】如果y轴上单位长度不变，x轴的单位长度变为原来的倍，则方程变为x2＋y2＝24，故选B.【答案】 B4.将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换Error!后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】由Error!得Error!x′2 y′2代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.16 9x2 y2∴变换后的曲线方程为＋＝1.16 9x2 y2【答案】＋＝116 95.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.【解】如图，设点M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 x－12＋y2，x2 y2化简得＋＝1，4 3x2 y2∴动点M的轨迹C的方程为＋＝1.4 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)10。
高中数学 第一章 坐标系 1.2.1 极坐标系的概念课时提
极坐标系的概念课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为( )A. B.C. D.【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.2.极坐标系中,极坐标对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.【补偿训练】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在( ) A.x轴上 B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是( )A.1B.C.7D.5【解析】选D.设极点为O.因为点A(4,1),B.所以OA⊥OB,所以AB==5.二、填空题(每小题6分,共12分)4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.答案:35.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.【解析】在射线OM上符合条件的点为,在射线OM反向延长线上符合条件的点为.答案:或【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.三、解答题(每小题10分,共30分)6.在极坐标系中,分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标:(1)ρ≥0,θ∈[0,2π).(2)ρ≥0,θ∈R.【解析】(1)当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.(2)当ρ≥0,θ∈R时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为,k∈Z.7.边长为2的菱形ABCD,一个内角为60°,建立适当的极坐标系,求出菱形四个顶点的极坐标,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).【解析】如图,∠BAD=60°,以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向,建立极坐标系,则菱形的四个顶点的极坐标分别为A(0,0),B(2,0),C,D(答案不惟一).8.如图,以温州所在城市为极点,正东方向为极轴正方向,建立极坐标系,今有某台风中心在东偏南60°,距离极点800千米处,假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报,已知福州所在城市的极坐标为.(1)求台风中心的极坐标.(2)问福州是否已发布台风蓝色警报?【解析】(1)由题意知,台风中心距离极点800千米,极角取,所以台风中心的一个极坐标为.(2)福州所在城市的极坐标为,由(1)得,福州距离台风中心的距离为d==100×=100>700,所以该城市还未发布台风蓝色警报.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰锐角三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.由题意,得∠A OB=,|AB|==,所以|OB|2+|AB|2=|OA|2且|AB|=|OB|=,故△OAB为等腰直角三角形.2.(2016·天水高二检测)已知极坐标系中,极点为O,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别是,,则顶点C的极坐标为( )A. B.C. D.【解析】选C.如图所示,由于点A,B,故极点O为AB中点,故等边△ABC的边长|AB|=4,则CO⊥AB,|CO|=2,则C点的极坐标为,即.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图,在极坐标系中,写出点P的极坐标________.【解析】如图所示,连接OP.由OA是圆的直径,则∠OPA=90°,所以ρ=|OP|=2sin60°=,所以点P的极坐标为.答案:4.(2016·西安高二检测)已知在极坐标系中,△AOB为等边三角形,A,若ρ≥0,θ∈[0,2π),则点B的极坐标为__________.【解析】设B(ρ,θ),由∠AOB=,得θ-=±+2kπ,k∈Z,即θ=±+2kπ,k∈Z,由=2,得ρ=2,又因为θ∈[0,2π),所以θ=或.所以点B的极坐标为或.答案:或三、解答题(每小题10分,共20分)5.某大学校园的部分平面示意图如图.用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标,限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0).【解析】以O为极点,OA所在射线为极轴建立极坐标系,因为|OC|=600,∠AOC=,故C.又|OA|=600×cos=300,|OD|=600×sin=300,|OE|=300,|OF|=300,|OG|=150.故A(300,0),D,E,F(300,π),G.6.如果对点的极坐标定义如下:当已知M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R)时,点M关于极点O的对称点M′(-ρ,θ).例如,M关于极点O的对称点M′,就是说与表示同一点.已知A点的极坐标是,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:(1)ρ>0,-π<θ≤π.(2)ρ<0,0≤θ<2π.(3)ρ<0,-2π<θ≤0.【解题指南】认真阅读题中的新定义,正确理解其含义并能应用;数形结合,先求出点A关于极点O的对称点A′的极坐标,再根据图形及题中的限制条件写出点A的极坐标.【解析】如图所示,|OA|=|OA′|=6,∠xOA′=,∠xOA=,即点A与A′关于极点O对称.由极坐标的定义知(1)当ρ>0,-π<θ≤π时,A.(2)当ρ<0,0≤θ<2π时,A.(3)当ρ<0,-2π<θ≤0时,A.。
高中数学第一章坐标系第2节极坐标系第1课时极坐标系的概念检测北师大版选修4-4(2021学年)
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第一讲第二节第一课时极坐标系的概念一、选择题(每小题5分，共20分)1．点P错误!关于极轴的对称点的极坐标为（）Ａ.错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析: 如右图，点p关于极轴Oｘ的对称点为错误!。
答案: D２.点M错误!(ρ≥0)的轨迹是（)A.点B.射线C.直线D．圆解析: 由于动点M(ρ,错误!）的极角θ＝错误!，ρ取一切非负实数，故点M的轨迹是极角为＼f（π,４）的终边是一条射线,故选B.答案： B3.将极轴Ｏx绕极点顺时针方向旋转错误!得到射线OＰ,在OＰ上取点M，使｜OMﻩ|=4,则ρ>0,θ∈[0,2π)时点M的极坐标是（）A.错误!B．错误!C．错误!ﻩＤ．错误!解析: ρ=|OM｜＝４,与OP终边相同角为-π６＋２ｋπ，k∈Z,令k=1,θ＝错误!,∴Ｍ错误!．选A．答案: A4．已知A,Ｂ的极坐标分别是错误!和错误!，则A和B之间的距离等于( )Ａ.错误! B.错误!Ｃ.错误!ﻩD．错误!解析:Ａ、B在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AＯB＝错误!－错误!＝错误!.在△ＡOB中,|AO|＝|ＢO｜＝3，所以,由余弦定理，得｜AB|2=|ＯB|2+|OＡ｜2－２|OB|·｜OA|·coｓ＼ｆ(５π,6)＝9＋9－2×9×错误!=１8+9错误!=错误!(4＋２错误!）．∴|AB｜=错误!.答案: Ｃ二、填空题（每小题5分,共10分)５.点M错误!到极轴所在直线的距离为__＿_＿＿_＿__ ______＿_．解析: 依题意，点M错误!到极轴所在的直线的距离为ｄ＝6×siｎ错误!=3.答案: 3６．点A错误!,B错误!，O为极点,则△AOB的面积是_________＿ ______。
高中数学第1讲坐标系1.2极坐标系1.2.1极坐标系的概念1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化同步精练北师大版选修
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化1点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为( )．A ．π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2在极坐标系中，与点π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标是( )． A ．π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．58,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．π8,6⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 3在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 5π2,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么可能是顶点C 的坐标的是( )．A ．3π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π)D ．(3，π)4在极坐标系中，极坐标5π4⎫⎪⎭化为直角坐标为( )． A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1) D ．(－1，－1)5直线l 过点A π7,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π7,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 6点A π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．7将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭； (2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)(5，π)．8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点M 在直角坐标系中的坐标．参考答案1 答案：B ρ2，tan θ＝－1， ∵点P 在第二象限，∴最小正角3π=4θ. 2 答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故π8,6⎛⎫- ⎪⎝⎭关于极点对称的点的一个坐标为78,π6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π8,6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3答案：B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，∴|OC |＝AOC ＝π2，点C 的极角ππ3π==424θ+或5ππ7π=424+， 即点C的极坐标为⎛ ⎝或7π4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4答案：D x ＝ρcos θ5π=14⎛- ⎝⎭， y ＝ρsin θ5π=142⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 故所求直角坐标为(－1，－1)．5答案：π4如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝πππ=366-， 所以ππ5π6==212OAB -∠. 所以π5ππ=π=3124ACO ∠--.6 答案：(1)55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为π5,2π+3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,21π+3k ⎛⎫-(+) ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．7 答案：解：(1)πcos =14x ，πsin =14y ，所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． (2)x ＝6·πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3，y ＝6·πsin =3⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sinπ＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8 答案：解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝π4cos 6，∴x ＝2＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．。
课时作业(一)坐标系(含答案)
课时作业(一)坐标系一､选择题1.在极坐标系中,点112,6Pπ⎛⎫⎪⎝⎭到直线ρsinθ=1的距离等于( )3.1.2..12A B C D解析:由ρsinθ=1化为直角坐标方程为y=1P(2,116π)对应直角坐标系中的点1)-∴P到直线的距离为2.答案:B2.与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭不表示同一点的极坐标是( )75.2,.2,661113.2,.2,66A BC Dππππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析:在极坐标中(-ρ,θ)=(ρ,π+θ)=(ρ,(2k+1)π+θ),(k∈Z) (ρ,θ)=(ρ,2π+θ)=(ρ,2kπ+θ)∴75132,2,2,2,6666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案:C3.极坐标方程sinθ=12(ρ∈R)表示的曲线是( )A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线解析:sinθ=12(ρ∈R),则θ=2kπ+6π(k∈Z),或θ=2kπ+56(k∈Z).又∵ρ∈R,∴代表两条相交直线.答案:A4.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为( )A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:由已知ρ2=4ρsinθ,x2+y2=4y,∴x2+(y-2)2=4,故选B.答案:B5.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为( )A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析:如图,⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥Ox,OA为直径,|OA|=4,半径为2.当直线与极轴垂直且过(2,0)点时与圆相切.方程为ρcosθ=2,应选B.答案:B6.已知曲线C与曲线ρ=53-5sinθ关于极轴对称,则曲线C的方程是( )A.106cos πρθ⎛⎫=--⎪⎝⎭B.106cos πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.106cos πρθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭D.106cos πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭解析:曲线5sin ρθθ=-化为直角坐标方程为225x y y +=-即2250x y y +-+=关于x 轴对称的曲线方程为2250.x y y +--=化为极坐标方程为ρ2=ρcosθ+5ρsinθ即ρ=106cos πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选B. 答案:B 二､填空题7.在极坐标系中,圆ρ=1上的点到直线33cos πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值是________.解析:把圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程分别为221,60,x y x +=-=所以根据点到直线的距离公式可知:圆心到直线的距离为3,d ==所以直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最大值为d+R=3+1=4.答案:48.在直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为,[0,],,x cos y sin θθπθ=⎧∈⎨=⎩以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2在极坐标系中的方程为bsin cos ρθθ=-.若曲线C 1与C 2有两个不同的交点,则实数b 的取值范围是________.解析:曲线C 1表示的是半圆x 2+y 2=1(0≤y≤1),曲线C 2表示的是直线x-y=-b,由数形结合易得1≤b< 2.答案:12b <≤9.在极坐标系中,ρ=4sinθ是圆的极坐标方程,则点(4,)6A π到圆心C 的距离是________.解析:由圆的极坐标方程ρ=4sinθ知圆心2,,2C π⎛⎫⎪⎝⎭如图所示,4,,6A π⎛⎫⎪⎝⎭∴,3COA π∠= ∴|AC|2=|OC|2+|OA|2-2|OC||OA|cos∠COA, =22+42-2×2×4×12=12. ∴23AC =答案:3三､解答题 10.求过2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭平行于极轴的直线.解:解法一:在直线l 上任取一点M(ρ,θ),∵2,.4A π⎛⎫⎪⎝⎭∴||22,4AH sinπ==则|OM|·sinθ=|AH|即ρsinθ=2,所以,过2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭平行于极轴的直线方程为ρsinθ=2. 解法二:以极点为坐标原点,极轴为x 轴建立直角坐标系,直线过点2,,4π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为2,2). 则直线方程为 2.y =化为极坐标方程为211.已知曲线C 3,C 4的极坐标方程分别为ρsinθ=3,ρ=4sinθ0,02πρθ⎛⎫<⎪⎝⎭≥≤,求曲线C 3与C 4交点的极坐标.解:解法一:以极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x 2+y 2,∴C 3,C 4的直角坐标方程分别为y=3,x 2+y 2=4y(0≤x≤2,0≤y<4).由223,4(02,04), 3.y x x y y x y y =⎧⎧=⎪⎨⎨+=<=⎪⎩⎩得≤≤≤∴C 3,C 4的交点直角坐标为.由ρ==,3tan πθθ===得C 3,C 4的交点极坐标为.3π⎛⎫⎪⎝⎭解法二:由3,4,sin sin ρθρθ=⎧⎨=⎩得sin 2θ=3.4又0≤θ<,2π∴sinθ=2,θ=3π,ρ=4sinθ=∴C 3与C 4交点的极坐标为.3π⎛⎫⎪⎝⎭12.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ. (1)写出⊙O 1和⊙O 2的圆心的极坐标;(2)求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的极坐标方程.解:(1)⊙O 1和⊙O 2的圆心的极坐标分别为3(2,0),2,.2π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ. 所以x 2+y 2=4x.即x 2+y 2-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程. 同理x 2+y 2+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.由222240,40,x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得12120, 2.0, 2.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即⊙O 1和⊙O 2交于点(0,0),和(2,-2),过交点的直线的直角坐标方程为y=-x, 其极坐标方程θ=4π- (ρ∈R )(也可写为θ=34π(ρ∈R )).。
2017_2018学年高中数学第一章坐标系1.2极坐标系1.2.3_1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos 1, ������ , ������分别为曲线������与������轴、 ������轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.
1.2.3 直线和圆的极坐标方程 1.2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *1.5.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
1.能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程. 2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 3.了解圆锥曲线统一的极坐标方程.
1.直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线. 在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)=0来表示. 如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)=0建立了如下的关系: ①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程φ(ρ,θ)=0; ②极坐标满足方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线C上. 那么方程φ(ρ,θ)=0叫作曲线C的极坐标方程,曲线C叫作极坐标方程 φ(ρ,θ)=0的曲线. (2)直线的极坐标方程. 直线l经过极点,倾斜角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R). (3)圆的极坐标方程. ①圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是ρ=r ; ②圆心在(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程是ρ=2acos θ .
π π π 2 2 = cos θcos + sin θsi n = cos ������ + sin θ. 4 4 4 2 2 2 2 2 2 整理 ,得 ρ2= ������cos ������ + ������sin θ,即 x2+y2= ������ + ������. 2 2 2 2 2 2 2 即 x − ������ + ������2 − ������ = 0. 2 2
高中数学 第1章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念学案 北师大版选修44
1.2.1 极坐标系的概念1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)教材整理极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图121所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.图1212.极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线.( )(2)极角θ的大小是唯一的.( )(3)点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与点⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6是同一个点.( )【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k π.(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a ，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.【导学号：12990004】【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：A (0,0)，B (a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π3，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23π.已知点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.【自主解答】 如图所示， |OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知：(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，2π3；(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，5π3； (3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6，－π3.由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，94π.【解】 如图所示.探究1【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z ).某大学校园的部分平面示意图如图122所示.图122用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0)).【精彩点拨】 解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.【自主解答】 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈3.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2 ，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.【解】 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形.(2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝23，∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.1.在极坐标系中与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3表示同一点的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－2， 4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3 【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确. 【答案】 C2.已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 【解析】 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3.【答案】 D3.若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，O 为极点，则△AOB 的面积为________.【解析】 S △AOB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×5×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π－π6＝154.【答案】1544.关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点.其中，叙述正确的序号是________.【导学号：12990005】【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误.【答案】 ①③5.已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π).【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学421_极坐标系的概念(有答案)
_4.2.1 极坐标系的概念一、选择题。
1. 在极坐标系中，点A (2,0)关于极点的对称点的极坐标不能是（ ）A.(2,−π)B.(2,π)C.(2,2π)D.(2,3π)2. 已知点M 的极坐标为(5,π3)，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ） A.（5,−π3）B.(5,4π3)C.(5,−2π3)D.(5,−5π3)3. 在极坐标系中，点(ρ,θ)与点(ρ,π−θ)的位置关系是（ ）A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于过极点且垂直于极轴的直线对称4. 在极坐标系中，点A (1,π5)，B (2,6π5)，则|AB|等于（ ） A.1B.2C.3D.45. 在极坐标系中，集合{(ρ,θ)|ρ=1，0≤θ<2π}表示的图形是（ ）A.射线B.直线C.圆D.半圆6. 一个三角形的一个顶点为极点O ，其它两个顶点的极坐标为P 1(4,π12)，P 2(2,π2)，则△P 1OP 2的面积为（ ）A.√6−√2B.√6+√2C.√3+1D.√3−1 二、填空题。
点M(6,5π6)到极轴的距离为________．若A (3,π3)，B (4,−π6)，则|AB|=________，S △AOB =________（其中O 是极点）．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使OM =2016，则ρ>0，θ∈[0,2π）时的点M的极坐标为________．三、解答题。
在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B(3,π4)，C(2,π2)，D(3,7π4)，E(4,2π3)已知极坐标系中，O为极点，A(3,π6)，OA⊥OB，|AB|=5，若ρ≥0，θ∈[0,2π），求点B的极坐标．△ABC的顶点的极坐标为A(4,4π3)，B(6,5π6)，C(8，7π6)．判断△ABC的形状；求△ABC的面积．参考答案与试题解析4.2.1 极坐标系的概念一、选择题。
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极坐标系的概念
课时提升作业
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.在极坐标系中,下面点与M相同的点为( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由于相同的点必须满足极径相等,极角的终边相同,且与的终边相同,所以选D.
2.极坐标系中,极坐标对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为极坐标对应的点的极径大于0,极角的终边在平面直角坐标系中第三象限,所以点在第三象限.
【补偿训练】在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在
( ) A.x轴上 B.y轴上
C.射线Ox上
D.射线Oy上
【解析】选C.Ox轴上点的直角坐标为(x′,0)(x′≥0)与其极坐标在数值上相同.
3.(2016·合肥高二检测)在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是( )
A.1
B.
C.7
D.5
【解析】选D.设极点为O.
因为点A(4,1),B.
所以OA⊥OB,
所以AB==5.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.在极坐标系中,若两点A,B的极坐标分别为,,则△AOB(其中O为极点)的面积为_____________.
【解析】由题意,∠AOB=,AO=3,OB=4,
所以△AOB(其中O为极点)的面积为×3×4×sin=3.
答案:3
5.已知在极坐标系中,极点为O,0≤θ<2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
【解析】在射线OM上符合条件的点为,
在射线OM反向延长线上符合条件的点为.
答案:或
【误区警示】解析中易出现漏掉的错误,应对点M的位置全面考虑.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.在极坐标系中,分别求下列条件下点M关于极轴的对称点M′的极坐标:
(1)ρ≥0,θ∈[0,2π).
(2)ρ≥0,θ∈R.
【解析】(1)当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为.
(2)当ρ≥0,θ∈R时,点M关于极轴的对称点M′的极坐标为,k∈Z.
7.边长为2的菱形ABCD,一个内角为60°,建立适当的极坐标系,求出菱形四个顶点的极坐标,限定ρ≥0,θ∈[0,2π).
【解析】如图,∠BAD=60°,以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向,建立极坐标系,则菱形的四个顶点的极坐标分别为A(0,0),B(2,0),C,D(答案不惟一).
8.如图,以温州所在城市为极点,正东方向为极轴正方向,建立极坐标系,今有某台风中心在东偏南60°,距离极点800千米处,假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报,已知福州所在城市的极坐标为
.
(1)求台风中心的极坐标.
(2)问福州是否已发布台风蓝色警报?
【解析】(1)由题意知,台风中心距离极点800千米,极角取,所以台风中心的一个极坐标为.
(2)福州所在城市的极坐标为,由(1)得,
福州距离台风中心的距离为
d=
=100×=100>700,
所以该城市还未发布台风蓝色警报.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知极坐标系中,点A,B,若O为极点,则△OAB为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.由题意,得∠A OB=,
|AB|==,
所以|OB|2+|AB|2=|OA|2且|AB|=|OB|=,
故△OAB为等腰直角三角形.
2.(2016·天水高二检测)已知极坐标系中,极点为O,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的
顶点A,B的极坐标分别是,,则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.如图所示,由于点A,B,故极点O为AB中点,故等边
△ABC的边长|AB|=4,则CO⊥AB,|CO|=2,则C点的极坐标为,即.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如图,在极坐标系中,写出点P的极坐标________.
【解析】如图所示,连接OP.由OA是圆的直径,则∠OPA=90°,
所以ρ=|OP|=2sin60°=,
所以点P的极坐标为.
答案:
4.(2016·西安高二检测)已知在极坐标系中,△AOB为等边三角形,A,若ρ≥0,θ∈[0,2π),则点B的极坐标为__________.
【解析】设B(ρ,θ),由∠AOB=,得θ-=±+2kπ,k∈Z,即θ=±+2kπ,k∈Z,由=2,得ρ=2,又因为θ∈[0,2π),所以θ=或.所以点B的极坐标为或.
答案:或
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某大学校园的部分平面示意图如图.
用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标,限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0).
【解析】以O为极点,OA所在射线为极轴建立极坐标系,因为|OC|=600,∠AOC=,故C.
又|OA|=600×cos=300,
|OD|=600×sin=300,
|OE|=300,|OF|=300,|OG|=150.
故A(300,0),D,E,F(300,π),
G.
6.如果对点的极坐标定义如下:
当已知M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R)时,点M关于极点O的对称点M′(-ρ,θ).
例如,M关于极点O的对称点M′,就是说与表示同一点.
已知A点的极坐标是,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:
(1)ρ>0,-π<θ≤π.
(2)ρ<0,0≤θ<2π.
(3)ρ<0,-2π<θ≤0.
【解题指南】认真阅读题中的新定义,正确理解其含义并能应用;数形结合,先求出点A关于极点O的对称点A′的极坐标,再根据图形及题中的限制条件写出点A的极坐标.
【解析】如图所示,
|OA|=|OA′|=6,
∠xOA′=,∠xOA=,
即点A与A′关于极点O对称.
由极坐标的定义知
(1)当ρ>0,-π<θ≤π时,A.
(2)当ρ<0,0≤θ<2π时,A.
(3)当ρ<0,-2π<θ≤0时,A.。