2021高考文科数学一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法课时跟踪检测

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2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：数列第1节数列的概念与简单表示法

第6章数列第一节数列的概念与简单表示法[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 2．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n ＝c (常数)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．5．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立．2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1a n ，则a 3＝( )A ．－3 B.23 C ．5 D.45D [a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝1－15＝45.]3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则a 5＝________.8 [a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8.] ⊙考点1 由数列的前n 项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．根据下面各数列前n 项的值，写出数列的一个通项公式． (1)12，－34，78，－1516，3132，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…；(5)23，415，635，863，1099，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n－12n . (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为a n ＝2＋(－1)n.(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12n 为奇数，n2n 为偶数.(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T (3)．(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T (6)． ⊙考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1，求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.(1)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1n，n ≥2 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1得S 1＝2a 1＋1，即a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 又S n －1＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S 6＝－1×1－261－2＝1－26＝－63.(3)当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2，∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n(n ≥2)．显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2.]a n ＝S n －S n －1只适用于n ≥2的情形，易忽略求a 1，造成错解，如T (1)，T (3)． 1.(2019·郑州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2 [由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，显然a 1＝3不满足上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.]2．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有2S n ＝a 2n ＋a n ，则a n ＝________.n [由2S n ＝a 2n ＋a n 得2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， ∴2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0， ∴a n －a n －1＝1，又2S 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .]⊙考点3 由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，可用累加法求a n . (2)形如a n ＋1＝a n f (n )，可用累乘法求a n .(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，可构造等比数列求a n . (4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋8＋5＋2 ＝n 3n ＋12，∴a n ＝32n 2＋n 2.求解时，易错误地认为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)造成错解．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求数列{a n }的通项公式．[解] 由a n ＋1＝nn ＋2a n 得a n ＋1a n ＝n n ＋2， ∴a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·4 ＝1n ＋1×1n ×2×1×4＝8nn ＋1，即a n ＝8nn ＋1. 求解时易错误地认为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1，造成错解．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.a n ＋1＝Aa n ＋B 可转化为a n ＋1＋k ＝A (a n ＋k )的形式，其中k 可用待定系数法求出．1.(2019·泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1，则a n ＝________.2n －1＋n [由a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1得a n ＋1－a n ＝2n －1＋1，∴a n －a n －1＝2n －2＋1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋(n －1)＋2＝1－2n －11－2＋n ＋1＝2n －1＋n ，即a n ＝2n －1＋n .]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，则a n ＝________. 2 [∵a n ＋1＝2na n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2，即a n ＝2.]3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 2n ＋1－3 [由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.]⊙考点4 数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第 2 020项为________．(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，则S 2 020＝________.(1)45 (2)0 [(1)因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 020＝a 505×4＝a 4＝45.(2)∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项a k，则数列的周期为k－1.n1n＋1n n 2 0200 [∵a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1＝(a n－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，∴a2 020＝a2＝0.]2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020＝________.2 010 [由题意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]。

(通用版)2021版高考数学一轮复习第6章数列1第1讲数列的概念与简单表示法教案理

第1讲数列的概念与简单表示法知识点考纲下载数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 了解数列是自变量为正整数的一类函数.等差数列理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.等比数列理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指数函数的关系.1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式通项公式把数列的通项使用公式表示的方法法递推公式使用初始值a 1和a n 与a n ＋1的关系式或a 1，a 2和a n －1，a n ，a n ＋1的关系式等表示数列的方法3. a n 与S n 的关系假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类原那么类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一样的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( )(4)假设数列用图象表示，那么从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，那么a 4＝( )A.32 B.53 C.74D.85解析：选B.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53.数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，那么3( )A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项C ．只是数列{a n }中的第6项D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或n ＝6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．假设数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增〞或“递减〞或“摆动〞) 解析：法一：令f (x )＝xx ＋1，那么f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么数列{a n }是递增数列．法二：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1〔n ＋1〕〔n ＋2〕＞0，所以a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增数列．答案：递增数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝________．解析：由得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的条件中，属容易题．高考对a n 与S n 关系的考察主要有以下两个命题角度： (1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .[典例引领]角度一利用a n 与S n 的关系求通项公式a n数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，那么a n ＝________．【解析】因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列，所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21，又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，又a n ＋a n －1>0，n ≥2，所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1，因为a 1＝1，所以a n ＝n (n ∈N *)．【答案】 n角度二利用a n 与S n 的关系求S n设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，那么S n ＝________．【解析】由得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，那么1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.【答案】－1n(1)S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[通关练习]1．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，那么a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，那么S n ＝________．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)，又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，所以a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.法二：因为S 1＝a 1，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，那么S n ＝2(S n ＋1－S n )，所以S n ＋1＝32S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为32的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －13．数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . 解：设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ，当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2，当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n，n ≥2.由递推关系求数列的通项公式[典例引领]分别求出满足以下条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为a n ＝n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n －1－1.假设本例(3)条件a n ＋1＝3a n ＋2变为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，求a n .解：因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1＝a n3n ＋1，所以数列{a n 3n }是以13为首项，1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23，所以a n ＝n ·3n－2·3n －1.由数列递推式求通项公式的常用方法[通关练习]1．(2021·兰州市诊断考试)数列{a n }，{b n }，假设b 1＝0，a n ＝1n 〔n ＋1〕，当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，那么b 2 017＝________．解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1〔n －1〕×n ，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1〔n －1〕×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，因为b 1＝0，所以b n ＝n －1n ，所以b 2 017＝2 0162 017. 答案：2 0162 0172．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2na n ，那么a n ＝________．解析：由于a n ＋1a n＝2n，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n 〔n －1〕2，故a n ＝2n 〔n －1〕2. 答案：2n 〔n －1〕2数列的性质(高频考点)数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考察，多存在一定难度．高考对数列的性质的考察常有以下三个命题角度： (1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值．[典例引领]角度一数列的单调性{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，那么实数λ的取值范围是________．【解析】 {a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 【答案】 (－3，＋∞) 角度二数列的周期性设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n，a 2 018＝3，那么a 1＝( )A ．－12B. 12 C ．－13D. 13【解析】设a 1＝x ，由a n ＋1＝1＋a n1－a n ，得a 2＝1＋x 1－x，a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1，所以数列{a n }是周期为4的周期数列．所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1＋x1－x ＝3.解得x ＝12.【答案】 B角度三数列的最值数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n k ，并求数列{a n }的通项公式．【解】因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 2＋4n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12〔n －1〕2＋4〔n －1〕＝92－n .当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想1：根据递推公式，写出数列的前n 项直到出现周期情况后，利用a n ＋T ＝a n 写出周期〔n ＋T 〕－n ＝T .思想2：利用递推公式“逐级〞递推，直到出现a n ＋T ＝a n ，即得周期T ＝〔n ＋T 〕－n . 〔2〕判断数列的单调性的两种方法[通关练习]1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n ，且a 1＝33，那么a n n的最小值为( ) A ．21 B ．10 C.212D.172解析：选C.由条件可知，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33，又n ＝1时，a 1＝33满足此式．所以a n n＝n ＋33n－1.令f (n )＝a n n＝n ＋33n－1，那么f (n )在[1，5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f (5)＝535，f (6)＝212，那么f (5)>f (6)，故f (n )＝a n n 的最小值为212.2．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝－1a n －1＋1(n ≥2且n ∈N *)，假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 2 018＝________．解析：因为a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－32，a 4＝2，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以S 2 018＝672×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＋2－13＝3413. 答案：3413数学文化与数列问题[典例引领](2021·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，那么前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1〔1－27〕1－2＝381，解得a 1＝3.【答案】 B解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．[通关练习]1．?九章算术?是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？〞其意思为：“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得一样，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？〞(“钱〞是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱解析：选 D.设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.2．(2021·新疆第二次适应性检测)?九章算术?之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，?张丘建算经?卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈〞(注：从第2天开场，每天比前一天多织一样量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，那么第30天比第一天多织布的尺数是( ) A ．19 B ．18 C ．17D ．16解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝5，S 30＝30〔a 1＋a 30〕2＝390，a 1＋a 30＝26，a 30＝26－a 1＝21，a 30－a 1＝16.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的单调性的判断(1)作差比拟法．a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列． (2)作商比拟法．当a n >0时，那么a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n＝ 1⇔数列{a n }是常数列．当a n <0时，那么a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．易错防范(1)数列是按一定“次序〞排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数〞有关，而且还与这些“数〞的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．1．数列1，2，7，10，13，…，那么219在这个数列中的项数是( )A ．16B ．24C ．26D ．28解析：选 C.因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，那么a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158C.34D.38解析：选C.由得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，所以a 5＝23，所以a 3a 5＝12×32＝34.3．(2021·长沙市统一模拟考试)?九章算术?是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？〞该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( ) A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.4．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，那么称a k 为数列{a n }的峰值．假设a n ＝－3n 2＋15n －18，那么{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133D.163解析：选A.因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3A.5．(2021·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016等于( )A.4 0322 017B.4 0282 015C.2 0152 016D.2 0142 015解析：选 A.由a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n 可得a n ＋1－a n ＝n ＋1，利用累加法可得a n －a 1＝〔n －1〕〔n ＋2〕2，所以a n ＝n 2＋n 2，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋12 016－12 017 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017，选A. 6．数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，那么数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n－32n .答案：a n ＝(－1)n·2n－32n7．假设数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝〔n ＋1〕〔n ＋2〕，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n 〔n ＋1〕，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *8．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，那么a 2 018＝________．解析：因为a 1＝1，所以a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，所以a 2 018＝a 2＝0. 答案：09．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n.因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n，a n ＋1＝2n ＋1，所以b n ＝2n＋2n ＋1＝3·2n.10．数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23〔n ＝1〕，1n 〔n ≥2〕.(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1〔2n ＋3〕〔2n ＋2〕＜0，所以c n ＋1＜c n ，所以数列{c n }为递减数列．1．(2021·湖南岳阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝〔n ＋1〕a n2，那么a 2 017＝( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032D ．4 034解析：选B.由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝〔n ＋1〕a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，所以a nn＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n .那么a 2 017B. 2．(2021·湖北六校模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．假设b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，那么实数λ的取值范围是( ) A ．λ<45B ．λ<1C ．λ<32D ．λ<23解析：选A.因为数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，所以a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，那么1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，所以1a n＋1＝2n.所以b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)，所以b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，因为数列{b n }是单调递增数列，所以b n ＋1>b n ，所以(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，可得λ<n ＋12(n ≥2)，所以λ<32，又当n ＝1时，b 2>b 1，所以(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45，综上，λ的取值范围是λ<45，应选A.3．以下关于星星的图案构成一个数列，那么该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n 〔n ＋1〕2.答案：a n ＝n 〔n ＋1〕24．(2021·成都市第二次诊断性检测)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n 2n 2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝________．解析：由题意知a n a n －1＝n 2n 2－1＝n 2〔n －1〕〔n ＋1〕，所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×2222－1×3232－1×…×n2n 2－1＝ 22×32×42×…×n2〔2－1〕〔2＋1〕〔3－1〕〔3＋1〕〔4－1〕〔4＋1〕…〔n －1〕〔n ＋1〕＝22×32×42×…×n 21×3×2×4×3×5×…×〔n －1〕×〔n ＋1〕＝2n n ＋1，所以a n n 2＝2n 〔n ＋1〕＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的前n 项和T n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：2nn ＋15．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求n 为何值时，a n 最小．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6，b n ＝a n ＋1－a n ，得b n ＋1－b n ＝2n －6，b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n －b n －1) ＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n －1)－6] ＝－14＋2×n 〔n －1〕2－6(n －1)＝n 2－7n －8，当n ＝1时，上式也成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8. (2)由(1)可知a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)，当n <8时，a n ＋1<a n ，即a 1>a 2>a 3>…>a 8，当n ＝8时，a 9＝a 8，当n >8时，a n ＋1>a n ，即a 9<a 10<a 11<… 所以当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)假设a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n，即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

2021高考数学一轮复习第6章数列第1讲数列的概念与表示分层演练文20210910191

2021高考数学一轮复习第6章数列第1讲数列的概念与表示分层演练文20210910191一、选择题1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项解析：选C.数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，因此通项公式为a n ＝5＋6（n －1）＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝( ) A ．1 B ．0 C ．2 018 D ．－2 018解析：选B.因为a 1＝1，因此a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，因此a 2 018＝a 2＝0.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝ ( ) A ．2n B ．2n －1C ．2nD ．2n－1解析：选C.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n－2a n －1，因此a n ＝2a n －1，因此数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，因此a n ＝2n.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝ ( ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8解析：选B.因为a n ＋1a n ＝2n，因此a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，因此a 2＝2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32. 法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，因此a 10＝2×24＝32.5．数列{a n }中，a 1＝1，关于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A ．6116 B.259 C ．2516D.3115解析：选A.法一：令n ＝2，3，4，5分别求出a 3＝94，a 5＝2516，因此a 3＋a 5＝6116.法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2得a 1a 2a 3·…·a n －1＝(n －1)2. 因此a n ＝n 2（n －1）2.因此a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.故选A.6．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C.在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .因此a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.因此a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.二、填空题7．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．解析：由a n ＋1＝12a n －1，得a n ＋1＋2＝12(a n ＋2)，因此数列{a n ＋2}是以4为首项，12为公比的等比数列，因此a n ＋2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n，a n ＝23－n－2，因此a 5＝23－5－2＝－74.答案：－748．(2020·兰州诊断)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n ＝b n －1＋a n －1，则b 10＝________．解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1，因此b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，因此b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ，又b 1＝0，因此b n ＝n －1n ，因此b 10＝910. 答案：9109．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n＝14，则n 的值为________．解析：因为a 1＝1，因此a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，因此n ＝9.答案：910．(2020·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n 等于________．解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，因此a n ＝2n （n ＋1）.答案：2n （n ＋1）三、解答题11．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，因此a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 12．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，因此a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 因此 a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2，…a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.明显，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.2．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范畴．解：(1)因为a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，因此a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)．因此数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)a n＝1＋1a＋2（n－1）＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a<－8.。

高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示讲义(含解析)-高三全册数学教案

第一节数列的概念与简单表示突破点一数列的通项公式[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题1．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝12a n －1，得a 2＝12a 1－1＝1－1＝0，a 3＝12a 2－1＝0－1＝－1，a 4＝12a 3－1＝－12－1＝－32，a 5＝12a 4－1＝－34－1＝－74.答案：－742．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎨⎧1＋a 2n ，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为________．解析：困为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.答案：93．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，∵10－3＝10－9，∴10－3是该数列的第9项．答案：94．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[全析考法]考法一利用a n 与S n 的关系求通项数列{a n }的前n项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝____________.[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.(2)∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n . 当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)． [答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2(2)n[方法技巧]已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考法二利用递推关系求通项[例2] (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.(2)因为a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法技巧] 典型的递推数列及处理方法递推式方法示例a n ＋1＝a n ＋f (n ) 叠加法 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n a n ＋1＝a n f (n ) 叠乘法a 1＝1，a n ＋1a n ＝2na n ＋1＝Aa n ＋B(A ≠0,1，B ≠0)化为等比数列a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)化为等差数列 a 1＝1，a n ＋1＝3a n2a n ＋3[集训冲关]1.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n ＋1a n2，则a 2 019＝( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 038解析：选B 由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n .则a 2 019＝2 019.故选B.2.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解析：选B S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n ＝32，故数列{S n }为等比数列，公比是32，又S 1＝1，所以S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故选B. 3.[考法二]已知在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由a n ＋1＝nn ＋2a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋2，故a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，…，a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，以上式子累乘得，a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2nn ＋1.因为a 1＝4，所以a n ＝8nn ＋1(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式，所以a n ＝8n n ＋1.答案：8nn ＋14.[考法二]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝____________. 解析：由题意可知，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，以上式子累加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n . 因为a 1＝2，所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案：n 2＋n ＋22突破点二数列的性质[基本知识]数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项[基本能力]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是________(填递增或递减)．答案：递增2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________．答案：03．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n取得最大值时，n 等于________．答案：5或6[全析考法]考法一数列的单调性[例1] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23 C.6481D ．125243[解析] 法一：(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.法二：(作商比较法)a n ＋1a n ＝n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.[答案] A [方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时，a n ＋1a n>1 )，则a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时，a n ＋1a n<1 )，则a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．考法二数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2] (2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________.[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝2 008，a 2＝2 009，a 3＝1，a 4＝－2 008，∴a 5＝－2 009，a 6＝－1，a 7＝2 008，a 8＝2 009，…，∴a n ＋6＝a n ，即数列{a n }是以6为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 017.[答案] 4 017 [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．[集训冲关]1.[考法二]若数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n－2，所以a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.2.[考法一]已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小．答案：5。

高三数学一轮复习 6-1数列的概念及其表示法学案

2、数列的通项公式：如果数列的第 n项与n之间的关系可以用来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.
3、数列的分类：
1）根据数列项数的多少分数列和数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为数列，数列，数列和数列.
二.问题展示，合作探究
探究类型一：数列通项公式的应用
例1、已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第4项和第五项.
3.(*)在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.
4.(*)数列的第4项是.
5. (* )写出数列，，，的一个通项公式.
6. (**)数列中，，则此数列最大项的值是（）.
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
7.(**)已知数列满足，（n≥2），则 .
8. (**)数列满足，，写出前5项，并猜想通项公式 .
四．知识梳理，归纳总结
这一节课我们学到了什么？
五、预习指导，新课链接
等差数列的定义，通项公式和前n项和公式的复习巩固，完成下节学案的预习
授课时间
年月日
第周
星期
编号
课题
数列的概念及其表示法
课型
复习
学习目标
了解数列的概念，递推公式，通项公式，明确递推公式与通项公式的异同
掌握求简单学习难点
数列通项公式的求解
导学设计
一.学情调查，情景导入
1、数列的概念
数列的定义：的一列数叫做数列.
数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.
变式：已知数列，，，，，…，则5 是它的第项.
探究类型二：递推关系式的应用
例2、已知数列满足，，求 .
变式：已知数列满足，，那么（）.

2021版高考数学一轮复习第6章数列第1节数列的概念与简单表示法课件文新人教A版

解析：当 n＝1 时，a1＝S1＝2.当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－ 1n＝ 1，1， n≥2，n∈N*. 答案：22， n－n＝ 1，1， n≥2，n∈N*
2
课堂 ·考点突破
解析：(1)数列：1，2，3 和数列：3，2，1 是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、走进教材
2．(必修 5P33A 组 T4 改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－an－11）n(n≥2)，则 a5 等于( )
第六章数列
第一节数列的概念与简单表示法
栏
课前 ·基础巩固 1
目
导
课堂 ·考点突破 2
航
3 课时 ·跟踪检测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解数列的概念和几种简单的表示
以考查 Sn 与 an 的关系为主，简单
方法(列表、图象、通项公式).
的递推关系也是考查的热点．本节内 1.数学运算
2．已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝20，，nn为为奇偶数数，
C．an＝2sinn2π
D．an＝cos(n－1)π＋1
解析：选 C 对 n＝1，2，3，4 进行验证，an＝2sinn2π不合题意．
3．数列－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…的一个通项公式 an＝________．解析：这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)nn（n1＋1）. 答案：(－1)nn（n1＋1）

2021年高考数学(文)一轮复习讲义第6章61数列的概念与简单表示法

§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n }的第n 项a n通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做数列的通项公式前n 项和数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n 与a n 的对应关系图象法把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法3.a n 与S n 的关系假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．提示数列的通项公式a n ＝3n ＋5是特殊的函数，其定义域为N *，而函数y ＝3x ＋5的定义域是R ，a n ＝3n ＋5的图象是离散的点，且排列在y ＝3x ＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 题组二教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋1，那么a 3＝________. 答案21解析由题意知，a 2＝4a 1＋1＝5，a 3＝4a 2＋1＝21.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 答案5n ＋1 题组三易错自纠4．a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，那么实数λ的取值范围是________．答案(－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，那么此数列最大项的值是________．答案30解析a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，那么a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么a n ＝________. 答案4n －5解析a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)(2022·大连模拟)各项都为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，假设4S n ＝(a n ＋1)2，那么a n ＝________. 答案2n －1解析由题意得，4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，那么4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，即a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋1＋a n )，∵{a n }各项均为正数，即a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝2，由4S 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，那么a n ＝________. 答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析当n ＝1时，由，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②，得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.本例(1)中，假设S n ＝2n 2－3n ＋1，那么a n ＝________________.答案⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2思维升华S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况．跟踪训练1(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，那么a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝ 2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，那么a n ＝________.答案13n解析因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①那么当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② 由①－②，得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意，知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .(3)(2022·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．假设S n ＝2a n ＋1，那么S 6＝________. 答案－63解析∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，那么a n ＝________. 答案n 2＋n ＋22解析由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，那么a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋22.命题点2累乘法例3设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n ，那么a n ＝________.答案2n解析∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n. 又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n.思维升华数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (2)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练2(1)(2022·龙岩质检)假设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ，那么a n ＝________. 答案2n ＋n －2解析因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ，所以a 2－a 1＝1＋21， a 3－a 2＝1＋22， a 4－a 3＝1＋23， ……a n －a n －1＝1＋2n －1，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n －1＋(21＋22＋23＋…＋2n －1)，n ≥2，所以a n ＝2n ＋n －2，n ≥2，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n ＋n －2n .(2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求通项公式a n .解由得a n ＋1a n ＝nn ＋2，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得n －1个等式累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1，所以a n a 1＝2n (n ＋1)，即n ≥2时，a n ＝43n (n ＋1)，又因为a 1＝23也满足该式，所以a n ＝43n (n ＋1).数列的性质命题点1数列的单调性例4数列{c n }，c n ＝2n －72n ，那么当n ＝________时，c n 最大．答案5解析c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n2n ＋1，当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋1<c n ，因此c 1<c 2<c 3<c 4<c 5>c 6>c 7>…， ∴n ＝5时，c n 取得最大值．命题点2数列的周期性例5(2022·兰州模拟)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，那么a 2022的值为() A ．2B ．1C.12D.14答案B解析因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列，所以a 2022＝a 4＝1，应选B. 命题点3数列的最值例6等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，那么nS n 的最小值为()A ．－3B ．－5C ．－6D ．－9 答案D解析由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2，a m ＋1＝3，设等差数列{a n }的公差为d ，那么d ＝1， ∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2，那么a n ＝n －3，S n ＝n (n －5)2，nS n ＝n 2(n －5)2.设f (x )＝x 2(x －5)2，x >0，f ′(x )＝32x 2－5x ，x >0，∴f (x )的极小值点为x ＝103，∵n ∈N *，且f (3)＝－9，f (4)＝－8， ∴f (n )min ＝－9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练3(1)(2022·钦州质检)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，那么S 2022＝________.答案0解析∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，那么S 2022＝S 3×673＋1＝a 1＝0.(2)(2022·宁夏石嘴山市第三中学模拟)数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上．假设对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n ≥λ恒成立，那么实数λ的取值范围为________．答案⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上，可得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，可得a n ＝n ，对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n ≥λ恒成立，即为λ≤⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n min ，由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋2－12n ＋1＝－1(2n ＋1)(2n ＋2)<0，即f (n )<f (n ＋1)，可得f (n )递增，即有f (1)为最小值，且为12，可得λ≤12，那么实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 1．数列5，11，17，23，29，…，那么55是它的() A ．第19项B ．第20项 C ．第21项D ．第22项答案C解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．(2022·山东省淄博实验中学月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *)，那么a 10等于()A ．128B ．256C ．512D ．1024 答案B解析∵S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *)， n ≥2时，S n ＝2S n －1－1，∴a n ＋1＝2a n . n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1－1，a 1＝2，a 2＝1. ∴数列{a n }从第二项开始为等比数列，公比为2. 那么a 10＝a 2×28＝1×28＝256. 应选B.3．假设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，那么S 8等于() A ．255B ．256C ．510D ．511 答案C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，那么a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510.4．(2022·临沂模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列〞：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构〞、化学等领域都有着广泛的应用．假设此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，那么数列{a n }的前2022项的和为() A ．672B ．673C ．1347D ．2022 答案C解析由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{a n }是周期为3的数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2022＝673×3＋1，所以数列{a n }的前2022项的和为673×2＋1＝1347，应选C.5．(2022·安徽省江淮十校联考)数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，那么a nn 的最小值为()A ．45B ．45－1C ．8D ．9答案C解析由a n ＋1－a n ＝2n 知，当n ≥2时，a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)，相加得，a n －a 1＝n 2－n ，所以a n n ＝n ＋20n －1，又a 1＝20满足上式，所以a n n ＝n ＋20n－1，又n ∈N *，所以n ≤4时，a n n 单调递减，n ≥5时，a nn 单调递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.应选C.6．数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，假设a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，那么正整数k 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8 答案A解析a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.应选A.7．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2022·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，那么数列{a n }是递增的， ∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)． 9．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，那么S n ＝________. 答案－1n解析∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴S n ＝－1n. 10．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，那么a n ＝__________.答案2n 2－n ＋2解析由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，那么由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22，又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2，经检验n ＝1时，也满足上式．综上，{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2. 12．数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，假设数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．解(1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n， ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1，那么c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．13．数列{a n }的前n 项和为S n ，假设3S n ＝2a n －3n ，那么a 2022等于()A ．22022－1B ．32022－6C.⎝⎛⎭⎫122022－72D.⎝⎛⎭⎫132022－103答案A解析由题意可得，3S n ＝2a n －3n ，3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝－2a n －3，a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1)，结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3，a 1＋1＝－2，那么数列{a n ＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，据此有a 2022＋1＝(－2)×(－2)2022＝22022，∴a 2022＝22022－1.应选A.14．正项数列{a n }单调递增，那么使得不等式(1－λa i )2<1对任意a i (i ＝1,2，…，k )都成立的λ的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a kD.⎝⎛⎭⎫0，2a k答案D解析由(1－λa i )2<1，得－1<1－λa i <1，即0<λa i <2，∵a i >0，∴0<λ<2a i， ∵{a n }单调递增，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 单调递减， ∴对任意i ＝1,2，…，k ，有2a k ≤2a i， ∴λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2a k. 15．(2022·北京市海淀区期末)设数列{a n }使得a 1＝0，且对任意的n ∈N *，均有|a n ＋1－a n |＝n ，那么a 3所有可能的取值构成的集合为：__________，a 64的最大值为________．答案{－3，－1,1,3}2022解析因为数列{a n }使得a 1＝0，且对任意的n ∈N *，均有|a n ＋1－a n |＝n ，所以|a 2－a 1|＝1，因此a 2＝1或a 2＝－1；又|a 3－a 2|＝2，所以a 3－a 2＝±2，因此a 3＝1±2或a 3＝－1±2，即a 3所有可能的取值为－3，－1,1,3，故a 3所有可能的取值构成的集合为{－3，－1,1,3}，假设a n 取最大值，那么{a n }必为单调递增数列，即a n ＋1－a n >0，所以有a n ＋1－a n ＝n ，因此a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，以上各式相加得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)，所以a n ＝1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2，因此a 64＝63×642＝2022.16．数列{a n }是递增的等比数列且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，设S n 是数列{a n }的前n 项和，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n ·S n ＋1的前n 项和为T n ，假设不等式λ≤T n 对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．解∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1，a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根，且a 1<a 4. 解方程x 2－9x ＋8＝0，得a 1＝1，a 4＝8，∴q 3＝a 4a 1＝81＝8，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴S n ＝a 1()1－q n 1－q ＝1×()1－2n 1－2＝2n －1，令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n()2n －1·()2n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1在正整数集上单调递增， ∴T n ≥T 1＝23， ∵λ≤T n ，且对一切n ∈N *成立，∴λ≤23， ∴实数λ的最大值是23.。

2021年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)专题6.1 数列的概念及其简单表示(测)

第01节数列的概念与简洁表示法班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1．已知数列：2，0，2，0，2，0，．前六项不适合．．．下列哪个通项公式( ) A ．n a ＝()111n ++- B ．n a ＝2|sin2n π| C ．n a ＝()11n-- D ．n a ＝2sin 2n π 【答案】D故选D.2．【改编题】已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，若“数列{}n a 为递增数列”，则11n n n a a a +>>-，但11n n a a +>-不能推出1n n a a +>，如11, 1.5n n a a +==，则不能推出“数列{}n a 为递增数列”，所以“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.3．【改编题】已知数列}{n a 的前n 项和为nS ，且)1(2+=n n a S ，则5a = （）A ．16-B ．32-C ．32D ．64-【答案】B ．【解析】当1n =时，111122,2a S a a ==+∴=-．当2n ≥时，由22n n S a =+得1122n n S a --=+，两式作差得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2-为首项，2为公比的等比数列，∴452232a =-⨯=-，故选B ．4．【山西晋城市2022届高三下学期第三次模拟考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2nn n a a a +==,则20S =（）A ．3066B ．3063C ．3060D ．3069 【答案】D 【解析】5．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（）A ．27B ．36C ．45D ．54 【答案】D 【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 6．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】已知{}n a 满足11a =，*11()()4n n n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++，则54n n n S a -=（）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】试题分析：由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n 个等式并两边相加得:n a a a a a a a n nn n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n n S a a a a -=++++,则n a S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.7．【原创题】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为（）A ．54B ．65C ．77D ．91【答案】D ．故选D ．8．【2022年安庆市高三二模】数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D【解析】由11n n a a λ+=-,得1212()n n n a a a λλλ+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列,所以21λ=,得2λ=.故选D.9．【浙江省杭州外国语学校高三上学期期中考试】已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的挨次排列成一个数列,则该数列的通项公式为（）A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a【答案】B 【解析】试题分析：当(]0,∞-∈x 时，由()()012=--=-=x x x f x g x，得12+=x x，令x y 2=，1+=x y ，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]0,∞-上的图象，由图象易知交点为()1,0，故得到函数的零点为0=x .当(]1,0∈x 时，(]0,11-∈-x ，()()11211211--=+-=+-=x x x f x f ，由()()021=-=-=-x x x f x g x ，得x x =-12，令12-=x y ，x y =，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]1,0上的图象，由图象易知交点为()1,1，故函数的零点为1=x .当(]2,1∈x 时，(]1,01∈-x ，10．【2022年江西省四校高三一模测试】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（）A.1B. 22 C . 22- D. 3【答案】D 【解析】试题分析：数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，，且1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=(3366667,3,37,3,3a b a b ππ∴=-=∴=-=,3948tan 1b b a a +-⋅6262tan1b a =-()2723tan13π⨯=-7tantan 2tan 3333ππππ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭11.【2022年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（）A ．6SB ．7SC ．8SD ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确. 12．【浙江省桐乡第一等四校高三上学期期中理考】已知函数()121f x x =--，[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，1()(())n n f x f f x -=，2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是（）A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n -个 D.2n 个【答案】D. 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.【答案】1021【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n na a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．【2022年江西九江高三模拟】已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______.【答案】2)1(+n n15．【陕西省西安长安区一中高三上学期第三次质检】把正整数按肯定的规章排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = ．【答案】38【解析】试题分析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故87a 表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数．故8721938a =⨯=.16．【2022年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】已知数列{}n a 的首项11a =，且对任意*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b -+=的两实根，则21n b -= .【答案】(31)(32)n n -- 【解析】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【湖南省2022届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+.（1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-,数列{}nb 的前n 项和为n T ,若不等式()112n n n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围. 【答案】（1）231n n a =-（2）()2,3- 【解析】试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义动身，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即1311122=3111122n n n n n a a a a a ++++=++，由112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项11133,22n n a -+=⨯得231n n a =-（2）先代入化简得12n n nb -=，所以用错位相减法求和1242n n n T -+=-，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类争辩：若n 为偶数, 则min 12(4)32n λ-<-=；若n 为奇数, 则min 12(4)222n λλ--<-=⇒>-，因此求交集得λ的取值范围试题解析：（1）由数列{}n a 中, ()111,3nn n a a a n N a *+==∈+,可得1131311111,322n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+==+∴+=+ ⎪⎝⎭,112n a ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭是首项为32,公比为3的等比数18．【2022届高三班级第四次四校联考】（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(12*∈-=N n S n n(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 若1232212+⨯-=+nn nn b ，且数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：1<n T 。

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第一节数列的概念与简单表示法A 级·基础过关|固根基|1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2解析：选C 观察数列1，3，6，10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2.所以a n ＝n （n ＋1）2.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ，则数列的通项公式a n ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 B ．2nC ．2n －1D ．2n －1－1解析：选 C log 2(S n ＋1)＝n ⇒S n ＋1＝2n⇒S n ＝2n－1.所以a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2－1＝1，适合a n ＝2n －1(n ≥2)，因此a n ＝2n －1.故选C.3．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问需几日相逢( )A ．9B ．8C ．16D ．12解析：选A 由题意可知，良马每日行程a n 构成数列{a n }，a 1＝103，d ＝13，驽马每日行程b n 构成数列{b n }，b 1＝97，d ′＝－12，假设第n 天相逢，由题意知103n ＋132n (n －1)＋97n－14n (n －1)＝1 125×2，解得n ＝9，故选A. 4．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B |a n ＋1|>a n ⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．(2019届广东惠州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1，则S 6a 6＝( ) A.6332 B.3116 C.12364D.127128解析：选A 因为S n ＝2a n －1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)，化为a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，即a n ＝2n －1，所以a 6＝25＝32，S 6＝26－12－1＝63，则S 6a 6＝6332.故选A.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，则a n ＝________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －2(n －1)2－(n －1)＝4n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＝4×1－1.所以a n ＝4n －1.答案：4n －17．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________．解析：∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，∴可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 020＝a 2＝0.答案：08．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，当n ＝1时，1＋2＝3≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥29．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，得a 21－(2a 2－1)a 1－2a 2＝0，解得a 2＝12.令n ＝2，得a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0，解得a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ， ①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1， ② 由①－②得，(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . B 级·素养提升|练能力|11.(2019届山西晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( )A ．98项B ．97项C ．96项D ．95项解析：选B 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 018，得1≤n ＜2 03821，又n ∈N *，故此数列共有97项． 12．(2019届德阳诊断)若存在常数k (k ∈N *，k ≥2)，q ，d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n＋d ，nk ∉N *，qa n，n k ∈N *，则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k ，q ，d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”，若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，则b 2 016＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 因为{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，所以b 2 014＝0×b 2 013＝0，所以b 2 015＝b 2 014＋3＝3，所以b 2 016＝b 2 015＋3＝6.故选D.13．(2019届临汾期末)已知数列{x n }的各项均为正整数，且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可能取值的集合为________．解析：由题意得x 3＝1，x 4＝2或x 3＝2，x 4＝1.当x 3＝1时，x 2＝2，从而x 1＝1或4；当x 3＝2时，x 2＝1或4，因此当x 2＝1时，x 1＝2，当x 2＝4时，x 1＝8或3.综上，x 1所有可能取值的集合为{1，2，3，4，8}．答案：{1，2，3，4，8}14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝3×2n －3，其中n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }为等差数列，T n 为其前n 项和，b 2＝a 5，b 11＝S 3，求T n 的最值．解：(1)由S n ＝3×2n －3，n ∈N *，得 ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×21－3＝3.②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3×2n －3)－(3×2n －1－3)＝3×(2n －2n －1)＝3×2n －1.(*)又当n ＝1时，a 1＝3也满足(*)式．所以，对任意n ∈N *，都有a n ＝3×2n －1.(2)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，由(1)得b 2＝a 5＝3×25－1＝48，b 11＝S 3＝3×23－3＝21.由等差数列的通项公式得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1＋d ＝48，b 11＝b 1＋10d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝51，d ＝－3，所以b n ＝54－3n .可以看出b n 随着n 的增大而减小，令b n ≥0，解得n ≤18，所以T n 有最大值，无最小值，且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值，即T n ＝T 18＝18（b 1＋b 18）2＝9×(51＋0)＝459.。