NUAA材料力学课件_13章

(0 ≺ x ≺ l / 2) 弯矩方程 M ( x) = ( P / 2) x, (0 ≤ x ≤ l / 2) 2 3 l/2 1 P 2 Pl 弯曲变形能 U1 = 2 ∫ ( x) d x = 0 2 EI 2 96 EI
18
1 P 2 Pl 弯曲变形能 U1 = 2 ∫ ( x) d x = 0 2 EI 2 96 EI 2 l/2 k P 2 kP l 剪切变形能 U 2 = 2 ∫ ( ) dx = 0 2GA 2 8GA U 2 12 EIk 两种变形能之比 = 2 U1 GAl 2 对矩形截面 k = 6 / 5, I / A = h / 12 E G= 又： 2(1 + μ ) U 2 12 h 2 = (1 + μ )( ) 19 U1 5 l
记为 k
Q ( x) U2 = ∫ k dx l 2GA
2
其中的系数
A k= 2 I
(S ) ∫A b d A
* 2 z 2
薄壁 k =2 对矩形截面 k = 6 / 5, 圆截面 k = 10 / 9, 圆环 17
例 3 (书例10.3) 已知: 矩形截面简支 梁。 求：比较弯曲和剪切 变形能的大小。 解： 由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。 剪力方程 Q ( x) = P / 2,
4 弯曲 纯弯曲时 转角
T ( x) d x U =∫ l 2GI p
2
dθ m = d x EI
6
4 弯曲 纯弯曲时 转角
dθ m = d x EI m dθ = dx EI m θ =∫ dx 0 EI
l
纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。
变形能
ml θ= EI 2 1 ml U = W = mθ = 2 2EI
l/2
2 3
U 2 12 EIk 两种变形能之比 = 2 U1 GAl 2 对矩形截面 k = 6 / 5, I / A = h / 12 E G= 又： 2(1 + μ ) U 2 12 h 2 = (1 + μ )( ) U1 5 l 取 μ =0.3 当 h/l = 1/5 时: U 2 / U1 = 0.125
材 料 力 学
第十三章 能 量 方 法
南京航空航天大学 陶秋帆等
1
第十三章 能量方法
本章内容: 1 概述 2 杆件变形能的计算 3 变形能的普遍表达式 4 互等定理 5 卡氏定理 6 虚功原理 7 单位载荷法 莫尔积分 8 计算莫尔积分的图乘法
2
§13. 1 概述
能量原理 与功和能有关的定理，统称为能量原理。 运用能量原理求解问题的方法称为能量法。 功能原理 外力的功等于变形能:
7
m θ =∫ dx 0 EI
l
变形能
横力弯曲时 对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变 形能相比很小，通常可忽略不计。 横力弯曲时，弯矩是x的函数。
ml θ= EI 2 1 ml U = W = mθ = 2 2EI
M ( x) d x dU = 2EI 2 M ( x) d x U =∫ l 2EI
, β Pn
21
β 时广义力的大小为: β P1 ,
β 时广义力的大小为: β P1 , , β Pn 当β 有dβ 时, 位移的增量为:
δ1 d β ,
, δn d β + βPn ⋅ δ n d β
1
则功的增量为:
d W = βP ⋅ δ 1 d β + 1
力的总功为:
W = ( P ⋅ δ 1 + + Pn ⋅ δ n ) ∫ β d β 1 0 1 1 = P ⋅ δ 1 + + Pn ⋅ δ n 1 2 2
23
1 U = W = P ⋅ δ1 + 1 2
1 + Pn ⋅ δ n 2
2 组合变形时的变形能 取一微段为研究对象 由变形能的普遍表达 式，有：
1 1 1 d U = N ( x) d(Δl ) + M ( x) d θ + T ( x) d φ 2 2 2 2 2 2 N ( x) d x M ( x) d x T ( x) d x + = + 2GI p 2 EA 2 EI
积分可得杆的总变形能
T ( x) d x N ( x) d x M ( x) d x +∫ +∫ U =∫ l l l 2EI 2GI p 2 EA
2
2
2
24
积分可得杆的总变形能
T ( x) d x N ( x) d x M ( x) d x +∫ +∫ U =∫ l l l 2EI 2GI p 2 EA
15
剪切应变能密度
Q ( x)(S ) u2 = 2GI b
2
* 2 z 2 2
剪切变形能
Q ( x)(S ) U2 = ∫ dV V 2GI b 2 * 2 ⎡ Q ( x) ( S z ) ⎤ = ∫⎢ d A⎥ d x 2 ∫A 2 l 2GI b ⎣ ⎦
2 * 2 z 2 2
⎡ Q ( x) A = ∫⎢ ⋅ 2 l ⎣ 2GA I
u1 =
σ
2
2E
,
u2 =
τ
2
2G
* z
13
M ( x) y y处应力 σ = , I
Q( x) S τ= Ib
解： 应变能密度为
2G 2E * M ( x) y Q( x) S z y处应力 σ = , τ= I Ib 2 2 2 * 2 M ( x) y Q ( x)(S z ) , u2 = u1 = 2 2 2 2 EI 2GI b
2
8
M ( x) d x dU = 2EI
2
M ( x) d x U =∫ l 2EI
2
5 用广义力和广义位移表示变形能
1 1 可将 U = PΔl , U = mφ , 2 2
统一写为
1 U = mθ 2
1 U = W = Pδ 2
δ1 ε1
6 非线性弹性材料的变形能
U = W = ∫ P dδ , u = ∫ σ dε
0 0
9
例 1 (书例10.1) 已知: 圆截面半圆 曲杆，P , R, EI, GIp 。 求：A点的垂直位 移。 解：1 求内力 截面mn, 取左段
M
T
M = PR sin ϕ ,
2 变形能
T = PR (1 − cos ϕ ) 2 T 2 (ϕ ) R d ϕ M (ϕ ) R d ϕ + dU = 2GI p 2EI
总的功为三项之和:
1 1 U 2 = Q1δ Q1 + + Qnδ Qn 2 2 1 1 + Pδ P1 + + Pmδ Pm 1 2 2 ′ ′ + Q1δ Q1 + + Qnδ Qn
变形能与加载次序无关，所以:
U1 = U 2
30
变形能与加载次序无关，所以: U1 = U 2
1 U1 = Pδ P1 + 1 2 ′ + Pδ P1 + 1
1 1 + Pmδ Pm + Q1δ Q1 + 2 2 ′ + Pmδ Pm 1 1 + Qnδ Qn + Pδ P1 + 1 2 2 ′ + Qnδ Qn
1 + Qnδ Qn 2 1 + Pmδ Pm 2
1 U 2 = Q1δ Q1 + 2 ′ + Q1δ Q1 +
′ Pδ P1 + 1
2
Δl
4
l
2 纯剪切
N ( x) d x U =∫ l 2 EA 2 σ 1 应变能密度 u = σε = 2E 2
2
τ 1 应变能密度 u = τγ = 2G 2
2
3 扭转
1 ml U = W = mφ = 2 2GI p
2
5
3 扭转
1 ml U = W = mφ = 2 2GI p
2
扭矩T是x的函数时
26
1) 先加第一组，再加第二组 加完第一组力时的功为:
1 Pδ P1 + 1 2
1 + Pmδ Pm 2
加完第二组力时，第二 组力的功为:
1 Q1δ Q1 + 2
1 + Qnδ Qn 2
加第二组力时，第一组 ′ ′ 力的功为: Pδ P1 + + Pmδ Pm 1 总的功为三项之和:
27
加第二组力时，第一组 力的功为:
10
1 求内力 截面mn, 取左段
M = PR sin ϕ , T = PR (1 − cos ϕ )
2 变形能
M
2
T
M (ϕ ) R d ϕ T (ϕ ) R d ϕ + dU = 2GI p 2EI
2
P R sin ϕ d ϕ P R (1 − cosϕ ) d ϕ + = 2GI p 2EI
U =W §13. 2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
Pl 1 U = W = PΔl = 2EA 2
2
Δl
3
P
l
§13. 2 杆件变形能的计算
1 轴向拉伸或压缩
Pl 1 U = W = PΔl = 2EA 2 2 N ( x) d x 轴力N是x的函数时 dU = P 2EA 2 N ( x) d x U =∫ l 2 EA 2 σ 1 应变能密度 u = σε = 2E 2
2
⎤ (S ) ∫A b d A⎥ d x ⎦
* 2 z 2
记为 k
16
⎡ Q ( x) ( S ) ⎤ = ∫⎢ d A⎥ d x 2 ∫A l 2GI b ⎣ ⎦ * ⎡ Q 2 ( x) A ( S z ) 2 ⎤ = ∫⎢ ⋅ 2∫ d A⎥ d x 2 l 2GA I A b ⎣ ⎦