山西省长治二中2018-2019学年高二下学期第一次月考理科数学试卷(含答案)
长治县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
长治县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，10，25 B ．20，15，15 C ．10，10，30D ．10，20，202． 给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y=x ﹣1，y=，y=（x ﹣1）2，y=x 3中有三个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点A （1，0）对称；④若函数f （x ）=3x ﹣2x ﹣3，则方程f （x ）=0有2个实数根．其中假命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43． 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．或 D．或5． 已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为（ ）A ．240x y +-=B ．240x y --=C ．20x y +-=D ．20x y --=6． 若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ） A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 7． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为B ．函数f （x ）的图象关于直线对称C ．函数f （x ）在区间（﹣，）上是增函数班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度得到8． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4i B ．3+4i C ．﹣3﹣4i D ．﹣3+4i9． 若椭圆+=1的离心率e=，则m 的值为（ ）A ．1B ．或C ．D ．3或10．若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．下列4个命题：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 A 、12i + B 、12i - C 、2i + D 、2i -二、填空题13．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．14．设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．15．的展开式中的系数为 （用数字作答)．16．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．17．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）18．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．三、解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．20．设函数．（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．21．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．22．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）23．根据下列条件求方程．（1）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．24．已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．长治县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为800×=20，600×=15，600×=15，故选B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，是减函数．函数y=为增函数．函数y=（x﹣1）2在（0，1）上减，在（1，+∞）上增．函数y=x3是增函数．∴有两个是增函数，命题①是假命题；②若log m3＜log n3＜0，则，即lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，命题②为真命题；③若函数f（x）是奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③是真命题；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0即为3x﹣2x﹣3=0，也就是3x=2x+3，两函数y=3x与y=2x+3有两个交点，即方程f（x）=0有2个实数根命题④为真命题．∴假命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，训练了函数零点的判定方法，是中档题．3．【答案】C【解析】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．【答案】C【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2=3m ，离心率e=．焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2=﹣3m ，离心率e==．故选：C ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．5． 【答案】D【解析】解析：本题考查抛物线的焦半径公式的应用与“中点弦”问题的解法．设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2224y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而1222y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为24y x -=-，即20x y --=，选D ． 6． 【答案】D 【解析】考点：几何概型． 7． 【答案】B【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣），A 错误；对于B ，当x=时，f （）=3cos （2×﹣）=﹣3取得最小值，所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；对于C ，当x ∈（﹣，）时，2x ﹣∈（﹣，），函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，得到函数y=3co s2（x ﹣）=3co s （2x ﹣）的图象，这不是函数f（x）的图象，D错误．故选：B．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8．【答案】B解析：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．∴=3+4i．故选：B．9．【答案】D【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=3当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．10．【答案】D【解析】因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数为减函数且，所以，排除B，故选D答案：D11．【答案】C【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．12．【答案】D【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D 二、填空题13．【答案】 [1，）∪（9，25] ．【解析】解：∵集合，得 （ax ﹣5）（x 2﹣a ）＜0，当a=0时，显然不成立， 当a ＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足 ，解得 9＜a ≤25， 当a ＜0时，不符合条件， 综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．14．【答案】 ②【解析】解：由MP ，OM 分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM ＜0＜MP ． 故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．15．【答案】20【解析】【知识点】二项式定理与性质【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．所以系数为：故答案为：16．【答案】．【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．17．【答案】10cm【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．18．【答案】．【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC…∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …又C1C∩CB=C，∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1…（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点…又D为AB中点，∴AC1∥DE…DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1…【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．∴．…①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．…②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．因为x＞0，所以x1应舍去．当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，则即因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，代入方程组解得λ=1．…【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．【答案】【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，又f（﹣x）=﹣f（x），∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．∴f（0）=0，f（1）=1，当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．∴2016=4×504∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，，令f′（x）=0，解得．x f x f x所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．x g′x g x↗（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，∴≥，即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，当n=1时，成立，当n≥2时，≥lnn，即≥0，设h（n）=，n≥2，则h（n）是减函数，∴继续验证，当n=2时，3﹣ln2＞0，当n=3时，2﹣ln3＞0，当n=4时，，当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，则n的最大值是4．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．23．【答案】【解析】解：（1）易知椭圆+=1的右焦点为（2，0），由抛物线y2=2px的焦点（，0）与椭圆+=1的右焦点重合，可得p=4，可得抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2．（2）椭圆+=1的焦点为（﹣4，0）和（4，0），可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得c=4，即a2+b2=16，又e==2，解得a=2，b=2，则双曲线的标准方程为﹣=1．【点评】本题考查圆锥曲线的方程和性质，主要是抛物线的准线方程和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．24．【答案】【解析】解：（1）由，∴f（x）的周期为4π．由，故f（x）图象的对称中心为．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴．∴，故函数f（A）的取值范围是．。
山西省长治二中2018-2019学年高二下学期第一次月考理科数学试卷(附答案)
2018—2019学年第二学期高二第一次月考数学试题（理科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数ii z +-=12，则=z A ．22B ．25 C ．210 D ．215 2．三本不同的书给7位学生，每位至多1本，则不同的给法数是 A ．343B ．210C ．35D ．603．过)3,3(),1,3(B A 两点的直线的倾斜角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 4．设x x x x f ln 42)(2--=，则)(x f 的递减区间为 A ．)2,1(-B ．)2,0(C ．),2(),1,(+∞--∞D ．(),2+∞5．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上，则双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y x =D ．y x = 6．设函数a x a x x f +-+=34)1()(．若)(x f 为偶函数，则)(x f 在1=x 处的切线方程为 A ．45-=x y B ．35-=x yC ．24-=x yD ．34-=x y7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A ．24B ．27C ．30D ．368．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A ．甲、乙可以知道对方的成绩B ．甲、乙可以知道自己的成绩C ．乙可以知道四人的成绩D ．甲可以知道四人的成绩9．网格的小正方形边长为1，一个正三棱锥的侧视图为如图所示的三角形，则该正三棱锥的侧面积为A ．39B ．227C ．30333+D ．30310．已知11em dx x=⎰，函数)(x f 的导数))(()('a x m x a x f ++=，若)(x f 在x ＝a -处取得极大值，则a 的取值范围是 A ．1<aB ．01<<-aC ．1>a 或0<aD ．10<<a 或0<a11．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4=AF ，则线段AB 的长为A ．5B ．6C ．316D ．320 12．设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知,1)(,ln )()(2ee f x x xf x f x ==+'则下列结论正确的是 A ．)(x f 在),0(+∞上单调递增 B ．)(x f 在),0(+∞上单调递减 C ．)(x f 在),0(+∞上有极大值 D ．)(x f 在),0(+∞上有极小值 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13．已知点)0,1(M 是圆5)1()2(:22=-+-y x C 内一点，则过点M 的圆的最短弦所在直线的方程是 14．=--⎰-dx x )4(222π15．已知A 、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种D数为16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,(c F 关于直线x c by =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．实数m 取什么值时，复数i m m m m )2()232(22-+--（1）表示纯虚数；（2）表示的点位于第三象限．18．已知有3位女生，4位男生（1）这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；（2）从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法．19．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)．20．如图，⊥PA 平面,ABCD 四边形ABCD 是矩形，F E ,分别是PD AB ,的中点（1）求证：//AF 平面;PCE（2）若二面角B CD P --为45角，,3,2==CD AD 求PD 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知椭圆1222=+y x 的左焦点为,F O 为坐标原点 （1）求过O ，F 且与2:-=x l 相切的圆的方程；（2）设过F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与x 轴交点为G ，求G 横坐标的取值范围．22．已知)(11)(R a e xx x f ax∈-+=- （1）设0>a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的)1,0(∈x ，恒有1)(>x f ，求a 的范围2018—2019学年第二学期高二第一次月考理数答案1—12 CBABB CCBDC CB13. 1+-=x y 14.π2- 15. 48 16.22 17. (1)m=21- (2)2020221<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-m m m18. (1)1440.3544=A A (2)313437=-C C19.证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立20.（1）作PC 的中点G ，连结,,EG FGPCD ∆中，FG 为中位线，CD FG //且,21CD FG =由CD AE //且CD AE 21=得四边形AEGF 为平行四边形，EG AF //， ⊄AF 平面PCE ，⊂EG 平面PCE ，//AF ∴平面PCE (4)（2）法一：⊥PA 平面,ABCD ,CD PA ⊥∴又⊥∴⊥CD AD CD , 平面PAD ，,PD CD ⊥∴PDA∠∴为二面角BCD P --的平面角，45=∠∴PDA …………………………………… 8分由2=AD 得234,17,25,22,2======∆PEC S PC EC PE PD PA 设D 到平面PCE 的距离为,h 由PCE D DCE P V V --=得：PA S h S BCE PCE ⋅=⋅∆∆,17346=h 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值为.1717322117346=⋅………………………12分 （也可以得出二面角为PDA ∠后，借助⊥AF 平面PCD 得⊥EG 平面PCD ，得平面⊥PCE 平面PCD ，过D 作PC DM ⊥即可得PCE DM ⊥） 法二：⊥PA 平面,ABCD ,CD PA ⊥∴又⊥∴⊥CD AD CD , 平面PAD ， ,PD CD ⊥∴P D A∠∴为二面角B CD P --的平面角， 45=∠∴PDA (8)分 以A 为原点，AP AD AB ,,为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，),2,2,0(),0,2,0(),2,0,0(),0,2,3(),0,0,23(-=D P C E )0,2,23(),2,0,23(=-= 设平面PCE 的法向量为),,(z y x n =由,0,0=⋅=⋅n EC n PE 得()3,3,4-=n 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值为.17173……………………………………12分 21.（1）F(-1,0)，OF 的垂直平分线：12x =-，半径为,23设圆心点坐标1(,)2b -， 49412=+b ，得2±=b ，圆方程为49)2()21(22=±++y x （2）设),(),,(2211y x B y x A 直线AB 方程：)1(+=x k y ，与1222=+y x 联立得： 0224)21(2222=-+++k x k x k ，2221214kk x x +-=+ AB 中点)21,212(222k k k k ++-，AB 的垂直平分线为)212(121222k k x k k k y ++-=+- 令)21(212121,0222k k k x y ++-=+-==，G 横坐标的取值范围)0,21(- 22.(1)定义域(),1()1,+∞⋃∞- ……………………………………1分axe x a ax xf ---+='22)1(2)( ……………………………………2分 当2>a 时，令0)(>'x f 得12<<-x a a 或1>x 或aa x 2--<，)(x f 为增函数； 令0)(<'x f 得aa x a a 22-<<--，)(x f 为减函数 当20<<a 时，0)(>'x f ，)(x f 为(),1(),1,+∞∞-上的增函数 当2=a 时，在(),1(),1,0(),0,+∞∞-0)(>'x f ，)(x f 为(),1(),1,+∞∞-上的增函数 ……………………………………6分 （2）由（1）得：当20≤<a 时，)(x f 为)1,0(上的增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意；当2>a 时，)(x f 在)1,2(a a -增函数，在)2,0(aa -减函数， 对任意的∈0x )2,0(aa -，,1)0()(=<f x f 不符合题意；…………………………10分当0<a 时，令0)(>'x f 得aa x a a 22-<<--， 由12>-aa 得)(x f 在)1,0(为增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意； 当0)(,0>'=x f a ，)(x f 在)1,0(为增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意；综上，2≤a ……………………………………12分。
山西省2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试卷 Word版含答案
数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要2．已知双曲线2221y x b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．3y x =±C ．3y x =±D ．5y x =±3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A 15B ．22C 10D ．04．已知函数()321f x x ax x +---=在(),-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),33,-∞-+∞UB ．(3,3C ．(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣U D ．3,3⎡⎤-⎣⎦5．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如下图所示，则导函数()y f x ='的图象可能是（ ）6．已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，若ABC △为锐角三角形，则一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B <7．已知命题:p 存在实数α，β，满足()sin sin sin αβαβ+=+；命题2:log 2log 2a q a +≥(01a a >≠且)．则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∨8．已知()5,2A ，若点P 是抛物线216y x =上任意一点，点Q 是圆()2241x y -+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．129．如图所示，在正四面体A BCD -中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为（ ） A ．3B ．2C ．12D ．310.“平面内，动点到两个定点的距离之和为一定值”是“动点的轨迹为椭圆”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件11．设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点,2a N c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．25,26⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）A ．25B ．22C ．1D ．6 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）．13．若不等式234x -<与关于x 不等式20ax px q ++<的解集相同，则pq=_____． 14.如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在 棱AB 上．若二面角1D EC D --的大小为π4，则AE =________．16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 是两个定点，k 为非零常数，若PA PB k -=，则P 的轨迹是双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的弦AB ，O 为原点，若向量()12OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．则动点P 的轨迹是椭圆；③方程22520x x -+=的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点．其中正确命题的序号为________．三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知p ：x ->20，q ：ax ->40，其中a R ∈(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的范围； 18．（12分）设函数()()()ln ln 20f x x x ax a -=++>． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在(]0,1上的最大值为12，求a 的值．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()()2,0P n n > 在抛物线C 上，3PF =，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）求PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值．20．（12分）已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形． （1）求几何体A BCED -的体积；（2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小．21．（12分）已知点()6,0A -和点)6,0B ，记满足13PA PB k k ⋅=-的动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知直线():1l y k x =+与曲线C 有两个不同的交点M 、N ，且l 与x 轴相交于点E ．若向量2ME EN =u u u r u u u r，O 为坐标原点，求MON △面积．22．（12分）已知函数()()31,3f x x ax b a b =++∈R 在2x =处取得极小值43-．（1）求函数()f x 的增区间；（2）若3211033x ax b m m ++≤++对任意[]4,3x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围理数答案1．【答案】B【解析】由2log 1x <，得02x <<．∵()0,2⊂≠()1,2-，∴p 是q 成立的必要不充分条件．故选B ． 2．【答案】C【解析】由双曲线2221y x b -=，可得1a =，离心率为2cc a==，则b =y =，故选C ． 3．【答案】D【解析】以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则可得()11,0,2A ，()0,0,1E ，()0,2,1G ，()1,1,0F ，()11,0,1A E ∴=--u u u u r ，()1,1,1GF =--u u u r，设异面直线1A E 与GF 所成的角为θ，则1c os cos ,0A E GF θ=〈〉==u u u u r u u u r ，故选D ． 4．【答案】D【解析】()2321f x x ax =-+'-，∵()f x 在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x '的图象是开口向下的抛物线，∴()0f x '≤恒成立，∴24120Δa -=≤，∴a ≤D ． 5．【答案】A【解析】()f x 在(),0-∞上为增函数，在()0,+∞上变化规律是减→增→减， 因此()f x '的图象在(),0-∞上，()0f x '>，在()0,+∞上()f x '的符号变化规律是 负→正→负，故选A ． 6．【答案】A【解析】由导函数图象可知，0x >时，()0f x '>，即()f x 单调递增， 又ABC △为锐角三角形，则π2A B +>，即ππ022A B >>->， 故πsin sin 02A B ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，即sin cos 0A B >>，故()()sin cos f A f B >，故选A ．7．【答案】A【解析】当0αβ==时，满足()sin sin sin αβαβ+=+，故命题p 是真命题，则p ⌝是假命题， 当12a =时，log 21a =-，2log 1a =-，不等式不成立，故命题q 是假命题，则q ⌝是真命题， 则()p q ∧⌝是真命题，其余为假命题．故选A ． 8．【答案】B【解析】抛物线216y x =的焦点()4,0F ，准线方程为4x =-， 圆()2241x y -+=的圆心为()4,0，半径为1，1PA PF ≥-，1PA PQ PF PQ +≥+-，由抛物线定义知：点P 到直线4x =-的距离d PF =， ∴PF PQ +的最小值即A 到准线距离()549--=， ∴PA PQ +的最小值为918-=，故选B ． 9．【答案】B【解析】在正四面体A BCD -中，设棱长为a ，E 为棱AD 的中点， 如下图所示过A 做AO ⊥平面BCD ，则O 为平面BCD 的中心，延长DO 交BC 于G ，过E 做EF GD ⊥， 连接FC ，所以ECF ∠就是所求的CE 与平面BCD 的夹角． 所以222GD CD CG =-，求得3GD =， 所以3DO =，利用222AO AD OD =-，解得6AO =， 所以6EF =，3CE =，在EFC Rt △中，2sin EF ECF CE ∠==，故选B ． 10．B 11．【答案】D【解析】∵点,2a N c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +>，2212b a <，由椭圆的离心率2c e a ==>=，122MF MN a MF MN +=-+，又因为22MF MN NF -+≤，且22aNF =， 要11232MF MN F F +<恒成立，即2322222a a MF MN a c -+≤+<⨯， 则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．12．【答案】A【解析】设P 在平面ABCD 上的射影为P '，M 在平面11BB C C 上的射影为M '，平面1D PM 与平面ABCD 和平面11BCC B 成的锐二面角分别为α，β，则1'cos DP MD PMS S α=△△，11'cos PM C D PM S S β=△△，cos cos αβ=Q ，1''DP M PM C S S ∴=△△，设P 到1C M '距离为d ，则111222d =⨯⨯，d ， 即点P 在与直线1C M '的直线上，P ∴到1C的最短距离为d =， 故答案为A ．13．【答案】127【解析】由234x -<有4234x -<-<，1722x -<<，由于绝对值不等式的解集和20ax px q ++<的解集相同，故112x =-，272x =，是一元二次方程20ax px q ++=的两个根，由韦达定理得17722417322q apa -⋅=-=-+⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩，两式相除得127p q =． 14．. )2,1(- 15．【答案】2-【解析】以D 为原点，以DA u u u r，DC u u u r ，1DD u u u u r 为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设()02AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(),,x y z =m ，由题可知，()10,0,1D ，()0,2,0C ，()1,,0E λ，()10,2,1D C =-u u u u r ，()1,2,0CE λ=-u u u r，Q 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为()0,0,1=n ，(),,x y z =Q m 为平面1D EC 的法向量，()12020D C y z CE x y λ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u r u u u rm m ，令1y =，则()2,1,2λ=-m ， Q 二面角1D EC D --的大小为π4，cos 4π⋅∴=⋅m n m n ()222212λ-++，解得23λ=23λ=（舍去），23AE ∴=，故答案为23 16．【答案】③④【解析】①不正确；若动点P 的轨迹为双曲线，则k 要小于A ，B 为两个定点间的距离， 当点P 在顶点AB 的延长线上时，K AB =，显然这种曲线是射线，而非双曲线；②不正确；根据平行四边形法则，易得P 是AB 的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为C ，那么有CP AB ⊥，即CPB ∠恒为直角，由于CA 是圆的半径，是定长，而CPB ∠恒为直角，也就是说，P 在以CP 为直径的圆上运动，CPB ∠为直径所对的圆周角，所以P 点的轨迹是一个圆，如图，③正确；方程22520x x -+=的两根分别为12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④正确；双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=焦点坐标都是()34,0，故答案为③④．17.解：设p 对应集合{}2|>=x x A ，q 对应集合{}04|>-=ax x B(1)当p 是q 的充分不必要条件时，B A≠⊂ 故0>a 且24<a2>∴a (2)当p 是q 的必要不充分条件时，A B ≠⊂当0=a 时，∅=B ，满足条件 当0>a 且24>a时，得2<a ，综上可知20<≤a ．18．【解析】函数()f x 的定义域为()0,2，()11'2f x a x x=-+-， （1）当1a =时，()()22'2x f x x x -+=-，∴当(2x ∈时，()0f x '>，当)2,2x ∈时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(2，单调递减区间为()2,2．（2）当(]0,1x ∈时，()()22'02xf x a x x -=+>-，即()f x 在(]0,1上单调递增，故()f x 在(]0,1上的最大值为()1f a =，因此12a =． 19．【解析】（1）24y x =，(2,22P ． （2）由题意，显然直线l 斜率不为0，设直线:1l x my =+，联立24y x =，得2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，124y y m +=，124y y =-，()()(121222PA PB x x y y ∴⋅=--+--u u u r u u u r ())12121212212x x x x y y y y =-++-++)2222212121212212854444y y y y y y y y m ⎛⎫=⋅-++-++=--+ ⎪⎝⎭，所以，当m =PA PB ⋅u u u r u u u r 最大值为9． 20．【答案】（1）403；（2） 【解析】（1）由该几何体的三视图可知AC ⊥平面BCED ，且4EC BC AC ===，1BD =． ∴()1414102BCED S =⨯+⨯=，∴几何体A BCED -的体积14033BCED V S AC =⋅⋅=． （2）分别以CA 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：()0,0,0C ，()0,0,4E ，()4,0,0A ，()0,4,1D ．所以()0,0,4CE =u u u r ，()4,0,4AE =-u u u r ，()0,4,3ED =-u u u r ，设平面AED 的法向量为(),,x y z =n ，00AE ED ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u r u u u r n n ，∴34x z z y ==⎧⎪⎨⎪⎩，于是可以取()4,3,4=n ． 设CE 与平面AED 所成的角为θ，则：sin CE CEθ⋅=⋅u u u r u u u r n n ∴CE 与平面AED所成的角为 21．【解析】（1）设点(),P x y 为曲线C 上任意一点， 由13PA PB k k ⋅=-13=-，整理得(2236x y x +=≠为所求． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，且()1,0E -，由2ME EN =u u u r u u u r 得()()1122121,,x y x y ---=+，∴122y y =-， 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，且不经过点A 或点B ， 故()1y k x =+可化为11x y k=-， 由221136x y k x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2212350y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且122221222221133 551133k k y y k k k y y k k +==⎧⎪⎪⎪++-==-+⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩+，又122y y =-，∴222222213 5213k y k k y k -=+-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+， 消去2y ，整理得215k =，即k =， ∴MON △的面积1212S OE y y =-=． 22．【解析】（1）()2f x x a '=+，由题意知()20f '=，()423f =-， 即484233a a b +=0⎧⎪⎨++=-⎪⎩，解得44a b =-⎧⎨=⎩，则()31443f x x x =-+， 令()240f x x '=->，解得2x >，或2x <-， 所以函数()f x 的增区间为(),2-∞-，(2,)+∞．（2）由于()443f -=-，()2823f -=，()423f =-，()31f =， 则当[]4,3x ∈-时，()f x 的最大值为283，要使3211033x ax b m m ++≤++对x 恒成立，只要()2max 103f x m m ≤++，即2281033m m ≤++，解得3m ≤-或2m ≥． 所以实数m 的取值范围是(][),32,-∞-+∞U ．。
2018-2019学年山西省长治市第二中学高二下学期期中数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年山西省长治市第二中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i |5==， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥【答案】A【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ． 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．. 函数y ＝4x 21x+单调递增区间是（ ） A ．（0，+∞） B ．()1，-∞ C ．（12，+∞） D ．（1，+∞）【答案】C【解析】先对函数求导，然后由y ’＞0可得x 的 范围，从而可求函数的单调递增区间． 【详解】解析：y ′＝8x 322181x x x--=，令y ′＞0，解得x 12＞， 则函数的单调递增区间为（12，+∞）． 故答案：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题． 4．若随机变量满足，，则下列说法正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量满足，，则：， 据此可得：.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选：C ． 【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元 B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa =9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 【考点】线性回归方程7．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：将圆的方程22680x y x y +--=化为标准方程得()()222345x y -+-=，过点(35)，的最长弦为直径，所以2510AC =⨯=；最短的弦为过点(35)，且垂直于该直径的弦，所以BD ==AC BD ⊥，四边形ABCD 面积111022S AC BD =⋅=⨯⨯=，故选B ． 【考点】1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．8．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =（ ）A ．33B ．31C ．17D ．15【答案】D【解析】由简单的合情推理得：()P n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以P （1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P （n ）+1＝2n ，所以P （n ）＝2n﹣1，得解．【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p （n ），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p （n ﹣1）， 则有P （n ）＝2P （n ﹣1）+1，则有P （n ）+1＝2[P （n ﹣1）+1]，又P （1）＝1，即()P n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以P （1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列， 由等比数列通项公式可得：P （n ）+1＝2n ，所以P （n ）＝2n﹣1， 即P （4）＝24﹣1＝15，故选：D ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．10．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数( )A ．479B ．180C ．455D ．456【答案】C【解析】对满足的六位数分类：（1）十万位大于4；（2）十万位等于4，十万位等于四这一类还需要再细分. 【详解】若十万位大于4，则有553A =360⨯个；若十万位等于4，当万位大于2时，有443A =72⨯个，当万位等于2千位不等于0时有333A =18⨯个，当万位等于2千位等于0时有222A +1=5⨯个， 则一共有：360+72+18+5=455个.选C.【点睛】排列组合问题中涉及到满足要求的几位数的个数时候，采用分类讨论比较方便，能精准的将满足要求的每类数利用排列数、组合数计算出来. 11．在341(2)x x x-+的展开式中常数项为（ ） A ．28 B ．28-C ．56-D ．56【答案】A【解析】()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故可通过求()821x -展开式中的4x 的系数来求常数项. 【详解】因为()2242311212x x x x x x x x--+-+==，故()82434112x x x x x-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又()821x -的展开式中4x 的系数为()628128C -=，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.12．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<【答案】A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n nm n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A【考点】独立事件的概率,数学期望.二、填空题 13．已知随机变量233X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，则E(X)= ______． 【答案】2【解析】根据根据二项分布的均值计算公式来计算即可. 【详解】 因为233X B ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以2()323E x np ==⨯=.【点睛】二项分布的均值与方差计算公式： （1）()E x np =； （2）()(1)D x np p =-.14．过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为______ 【答案】4【解析】确定焦点和虚轴写出直线的方程，与双曲线联立得到交点坐标，即可求弦长. 【详解】因为2228c a b =+=，所以焦点坐标(±；取0)，则平行于虚轴的直线方程为x =224x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=±⎪⎩，则弦长为：2(2)4--=. 【点睛】对于双曲线而言，过焦点且平行于虚轴的弦就是通径，其长度等于22b a. 15．现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为__________． 【答案】26【解析】分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
山西省长治市第二中学校高二数学下学期期末考试试卷 理(含解析)
2017—2018学年第二学期高二期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则A. B。
C. D。
【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合A=，所以,A∩B={0}，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知（为虚数单位）,则A. B。
C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用复数的除法计算得解.【详解】由题得，故答案为：B【点睛】本题主要考查复数的运算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.3。
函数是定义在上的奇函数，当时，,则A. B. C。
D。
【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】（1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）奇函数f（—x)=-f(x）.4。
下列命题中,真命题是A. 若，且，则中至少有一个大于1B.C。
的充要条件是D.【答案】A【解析】【分析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项A,假设x≤1，y≤1,所以x+y≤2,与已知矛盾，所以原命题正确。
当x=2时，2x=x2,故B错误．当a=b=0时,满足a+b=0，但=﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是=﹣1错误,∀x∈R，e x＞0，故∃x0∈R，错误，故正确的命题是A，故答案为:A【点睛】（1)本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假,考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。
（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.5。
因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是A. 大前提B. 小前提C. 推理形式D. 以上都是【答案】A【解析】【分析】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A。
山西省长治市开发区中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析
山西省长治市开发区中学2018-2019学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：C2. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.【详解】解：当时，由得，=，当时，在单调递减，是函数的最小值，当时，为增函数，是函数的最小值，又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故选：．【点睛】本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.3. 已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2B．2C．3 D．5参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选B．4. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q的值为（）A. 1B.C.D.参考答案：D5. 已知函数，使函数值为5的的值是（）A．-2 B．2或C．2或-2 D．2或-2或参考答案：A6. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A B C D参考答案：C略7. 下列四个函数中，在上是增函数的是（）A． B． C． D．参考答案：C8. 若函数在区间上为单调函数，且图象是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（）A．函数在区间上不可能有零点B．函数在区间上一定有零点C．若函数在区间上有零点，则必有D．若函数在区间上没有零点，则必有参考答案：D考点：函数的零点9. 若复数z满足，则（）A．B．C．13 D．15参考答案：C10. 函数f（x）＝｜x－2｜－lnx在定义域内的零点个数为( )A、0B、1C、2D、3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程+=1表示焦点位于y轴上的椭圆有个．参考答案：10考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据a＜b，对A中元素进行分析可得到答案．解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故答案为：10点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出a＜b．属基础题．12. 已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则数列{a n}的通项公式为．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】先看n≥2根据题设条件可知a n=3S n﹣1，两式想减整理得a n+1=4a n，判断出此时数列{a n}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．【解答】解：当n≥2时，a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n=3S n﹣3S n﹣1=3a n，即a n+1=4a n，∴数列{a n}为等比数列，a2=3a1=3，公比为4∴a n=3?4n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{a n}的通项公式为故答案为：13. 若是实数，是纯虚数，且满足，则参考答案：14. 球的体积是，则球的表面积是参考答案：略15. 已知函数y= f(x)的解析式为这三个中的一个，若函数为(－2,2)上的奇函数，则f(x)= ．参考答案：sin x16. 已知曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、曲线C2的交点为A,B,则弦AB的长为.参考答案：解析：由,,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:,即,故为圆心为,半径为的圆, :,即,表示过原点倾斜角为的直线。
山西省长治市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含解析
2019—2020学年第一学期高二第一次月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.下列命题正确的是（ ） A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. —个棱柱至少有五个面【答案】D 【解析】A 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B 不对，三棱柱的底面是三角形C 不对，棱柱的侧棱一定相等D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面 故选D2. 下列推理错误的是（ ）A. ,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊆B. ,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒⋂=C. lα，A l A α∈⇒∉D. ,A l l A αα∈⊆⇒∈ 【答案】C 【解析】试题分析：A 、B 分别是公理1、2的符号表示，故它们都是正确的；对于C ，有两种可能，，与相交；若交点为，则且．故错；D 是公理1的性质，正确．考点：平面的基本性质及推论．【易错点晴】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题，亦属于易错题．利用集合的符号语言来描述平面几何中点、线、面的位置关系，学生在理解上存在着差异，点相当于元素，而线与平面看成是点的集合，所以点与线面的关系是属不属于的关系，而直线与平面之间是含与不含的关系,线与面之间当然也可以进行交运算．3.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,E 为1AA 的中点，则异面直线BE 和1CD 所成角的余弦值为() A.1010B.310C.15D.35【答案】B 【解析】 【分析】取1DD 中点F ，连接,CF EF ，易证得四边形BCFE 为平行四边形，从而可知所求角即为1FCD ∠；分别求解出11,,CF CD D F 的长，利用余弦定理求得结果.【详解】取1DD 中点F ，连接,CF EF////EF AD BC Q ∴四边形BCFE 为平行四边形 //BE CF ∴ ∴异面直线BE 与1CD 所成角即为CF 与1CD 所成角：1FCD ∠设AB a =，则12AA a =222CF a a a ∴+=，22145CD a a a =+=，1D F a =2222221111310cos 2252CD CF FD FCD CD CF a a+-∴∠===⋅⋅本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，放入三角形中，利用余弦定理求得结果.4.已知ABC ∆在斜二测画法下的平面直观图,A B C A B C ∆∆''''''是边长为a 的正三角形，那么在原ABC ∆的面积为（ ） A.232a B.234a C.262a 26a【答案】C 【解析】直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形,23， 而原图和直观图面积之间的关系24S S =直观图原图， 那么原△ABC 的面积为：262a ， 故选C.点睛：本题主要考查平面图形的直观图和原图的转化原则的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基2 4.掌握两个图像的变换原则，原图像转直观图时，平行于x 轴或者和轴重合的长度不变。
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2018—2019学年第二学期高二第一次月考数学试题（理科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数ii z +-=12，则=z A ．22B ．25 C ．210 D ．215 2．三本不同的书给7位学生，每位至多1本，则不同的给法数是 A ．343B ．210C ．35D ．603．过)3,3(),1,3(B A 两点的直线的倾斜角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 4．设x x x x f ln 42)(2--=，则)(x f 的递减区间为 A ．)2,1(-B ．)2,0(C ．),2(),1,(+∞--∞D ．(),2+∞5．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上，则双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．y x =D ．y x = 6．设函数a x a x x f +-+=34)1()(．若)(x f 为偶函数，则)(x f 在1=x 处的切线方程为 A ．45-=x y B ．35-=x yC ．24-=x yD ．34-=x y7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A ．24B ．27C ．30D ．368．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．甲、乙可以知道对方的成绩 B ．甲、乙可以知道自己的成绩 C ．乙可以知道四人的成绩 D ．甲可以知道四人的成绩9．网格的小正方形边长为1，一个正三棱锥的侧视图为如图所示的三角形，则该正三棱锥的侧面积为A ．39B ．227C ．30333+D ．30310．已知11em dx x=⎰，函数)(x f 的导数))(()('a x m x a x f ++=，若)(x f 在x ＝a -处取得极大值，则a 的取值范围是 A ．1<aB ．01<<-aC ．1>a 或0<aD ．10<<a 或0<a11．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4=AF ，则线段AB 的长为 A ．5 B ．6 C ．316D ．320 12．设)(x f '为函数)(x f 的导函数，已知,1)(,ln )()(2ee f x x xf x f x ==+'则下列结论正确的是 A ．)(x f 在),0(+∞上单调递增 B ．)(x f 在),0(+∞上单调递减 C ．)(x f 在),0(+∞上有极大值 D ．)(x f 在),0(+∞上有极小值 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13．已知点)0,1(M 是圆5)1()2(:22=-+-y x C 内一点，则过点M 的圆的最短弦所在直线的方程是 14．=--⎰-dx x )4(222π15．已知A 、B 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A 不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排D法种数为16．椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的右焦点)0,(c F 关于直线x cby =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．实数m 取什么值时，复数i m m m m )2()232(22-+--（1）表示纯虚数；（2）表示的点位于第三象限．18．已知有3位女生，4位男生（1）这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；（2）从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法．19．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)．20．如图，⊥PA 平面,ABCD 四边形ABCD 是矩形，F E ,分别是PD AB ,的中点（1）求证：//AF 平面;PCE（2）若二面角B CD P --为45角，,3,2==CD AD 求PD 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知椭圆1222=+y x 的左焦点为,F O 为坐标原点 （1）求过O ，F 且与2:-=x l 相切的圆的方程；（2）设过F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与x 轴交点为G ，求G横坐标的取值范围．22．已知)(11)(R a e xx x f ax∈-+=- （1）设0>a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的)1,0(∈x ，恒有1)(>x f ，求a 的范围2018—2019学年第二学期高二第一次月考理数答案1—12 CBABB CCBDC CB13. 1+-=x y 14.π2- 15. 48 16.22 17. (1)m=21- (2)2020221<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-m m m18. (1)1440.3544=A A (2)313437=-C C19.证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立20.（1）作PC 的中点G ，连结,,EG FGPCD ∆中，FG 为中位线，CD FG //且,21CD FG =由CD AE //且CD AE 21=得四边形AEGF 为平行四边形，EG AF //，⊄AF 平面PCE ，⊂EG 平面PCE ，//AF ∴平面PCE (4)（2）法一：⊥PA 平面,ABCD ,CD PA ⊥∴又⊥∴⊥CD AD CD , 平面PAD ， ,PD CD ⊥∴PDA ∠∴为二面角BCD P --的平面角，45=∠∴PDA …………………………………… 8分由2=AD 得234,17,25,22,2======∆PEC S PC EC PE PD PA 设D 到平面PCE 的距离为,h 由PCE D DCE P V V --=得：PA S h S BCE PCE ⋅=⋅∆∆,17346=h 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值为.1717322117346=⋅………………………12分 （也可以得出二面角为PDA ∠后，借助⊥AF 平面PCD 得⊥EG 平面PCD ，得平面⊥PCE 平面PCD ，过D 作PC DM ⊥即可得PCE DM ⊥） 法二：⊥PA 平面,ABCD ,CD PA ⊥∴又⊥∴⊥CD AD CD , 平面PAD ， ,PD CD ⊥∴P D A∠∴为二面角BCD P --的平面角，45=∠∴PDA ……………………………………8分以A 为原点，AP AD AB ,,为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，),2,2,0(),0,2,0(),2,0,0(),0,2,3(),0,0,23(-=D P C E )0,2,23(),2,0,23(=-= 设平面PCE 的法向量为),,(z y x =由,0,0=⋅=⋅得()3,3,4-= 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值为.17173……………………………………12分 21.（1）F(-1,0)，OF 的垂直平分线：12x =-，半径为,23设圆心点坐标1(,)2b -， 49412=+b ，得2±=b ，圆方程为49)2()21(22=±++y x （2）设),(),,(2211y x B y x A 直线AB 方程：)1(+=x k y ，与1222=+y x 联立得： 0224)21(2222=-+++k x k x k ，2221214kk x x +-=+ AB 中点)21,212(222k k k k ++-，AB 的垂直平分线为)212(121222k k x k k k y ++-=+- 令)21(212121,0222k k k x y ++-=+-==，G 横坐标的取值范围)0,21(- 22.(1)定义域(),1()1,+∞⋃∞- ……………………………………1分axe x a ax xf ---+='22)1(2)( ……………………………………2分 当2>a 时，令0)(>'x f 得12<<-x a a 或1>x 或aa x 2--<，)(x f 为增函数； 令0)(<'x f 得aa x a a 22-<<--，)(x f 为减函数 当20<<a 时，0)(>'x f ，)(x f 为(),1(),1,+∞∞-上的增函数 当2=a 时，在(),1(),1,0(),0,+∞∞-0)(>'x f ，)(x f 为(),1(),1,+∞∞-上的增函数 ……………………………………6分 （2）由（1）得：当20≤<a 时，)(x f 为)1,0(上的增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意；当2>a 时，)(x f 在)1,2(a a -增函数，在)2,0(aa -减函数， 对任意的∈0x )2,0(aa -，,1)0()(=<f x f 不符合题意；…………………………10分当0<a 时，令0)(>'x f 得aa x a a 22-<<--， 由12>-aa 得)(x f 在)1,0(为增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意； 当0)(,0>'=x f a ，)(x f 在)1,0(为增函数，,1)0()(=>f x f 符合题意；综上，2≤a ……………………………………12分。