数学物理方程第二章(2)
数学物理方程_谷超豪_第二章答案
数学物理方程谷超豪第二章答案1. 引言本文档是《数学物理方程》一书中第二章的答案。
该章节主要涵盖了偏微分方程的分类和解法。
在本文中，我们将解答课后习题和深入讨论相关概念，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
2. 偏微分方程的分类在第二章中，我们学习了偏微分方程的分类方法。
根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为以下几类：1.一阶偏微分方程：只涉及一阶导数的方程，如线性一阶波动方程和拟线性一阶方程等。
2.二阶偏微分方程：涉及二阶导数的方程，如线性二阶波动方程和拉普拉斯方程等。
3.高阶偏微分方程：涉及高阶导数的方程，如线性高阶波动方程和椭圆方程等。
根据自变量的个数，偏微分方程还可以分为以下两类：1.单自变量偏微分方程：只含有一个自变量的方程，如一维波动方程和一维热传导方程。
2.多自变量偏微分方程：含有多个自变量的方程，如二维波动方程和三维热传导方程。
3. 课后习题答案3.1 第一题题目：求解一维波动方程 $\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2} = c^2 \\frac{\\partial^2 u}{\\partial x^2}$，其中c为常数。
解答：我们可以使用分离变量法求解这个一维波动方程。
首先，假设c=c(c)c(c)，代入原方程得到：$$\\frac{T''(t)}{c^2T(t)} = \\frac{X''(x)}{X(x)}$$两边同时等于一个常数 $-\\lambda^2$，即：$$\\begin{cases} T''(t) + \\lambda^2 c^2 T(t) = 0 \\\\ X''(x) + \\lambda^2 X(x) = 0 \\end{cases}$$解这个常微分方程得到：$$\\begin{cases} T(t) = A\\cos(\\lambda c t) +B\\sin(\\lambda c t) \\\\ X(x) = C\\cos(\\lambda x) +D\\sin(\\lambda x) \\end{cases}$$其中c,c,c,c都是常数。
数学物理方程 齐海涛 热传导方程
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
4 / 63
热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
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X ( x )T ( t ) - a X ( x )T ( t ) 0
'' 2 ''
①
u( x , t ) 由
''
不恒为零，有：
''
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
取参数 使得 '' T (t ) a T (t )
2
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
n x l
其中 An 和 Bn 由上面给出。
A n Bn
2 l ( ) sin n d l 0 l l n 2 ( ) sin d na 0 l
由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的， 并且关于 x，t 能逐项微分两次，则和式 u(x,t) 确 实是问题(2.1)-(2.3)的解（古典解）。
第二章
分离变量法
备用知识回顾 齐次方程齐次问题的求解 非齐次方程齐次问题的求解 本章小结 作业：
P50 :5(2),6(3)， （2） 7
二阶常系数非齐次线性方程解法
方程
y py qy f ( x )
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设 y x e Qm ( x ) ,
周期
频率 波速
l
15
驻波法
下午3时36分
特点
u( x , t ) n1 un ( x , t ) 称为特征振动
u(x,t )是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不相同的
驻波叠加而成。 n na fn 2 2l n＝1的驻波称为基波,
u1 ( x, t )
频率为
角频率为
n>1的驻波叫做n次谐波。
m maxl , n
0 i 不是特征方程的根， k 1 i 是特征方程的单根.
§2.1
分 离 变 量
引例： 有界弦的自由振动 研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
2 2u 2 u 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
k
解法 待定系数法。
(1)
x
0 k 1 2
不是特征方程的根 是特征方程单根 . 是特征方程重根
( 2)
f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
(1) (2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
1 n An x 10 x sin xdx 5000 0 10 当 n 为偶数， 0, 2 3 3 1 cos n 4 5n 3 3 , 当 n 为奇数。 5n 10 n 1 Bn 5000 n 0sin 10 d 0
2 2n 1 na Tn t cos x Asin t Tn '' t 2l l n0
将自由项按Fourier级数展开
2n 1 2 l A sin f n t cos xdx l 0 2l
3 2 ( x ) C , ( x ) C [ 0 , l ] 条件：若在区间 上，
，且 ( 0 ) ( l ) " ( 0 ) " ( l ) 0, ( 0 ) ( l ) 0 则无穷级数解
n at n at n x u( x , t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
2n 1 2 l 4A n f t A sin cos xdx 1 sin 其中： n 0 l 2l 2n 1
2n 1 由 cos x : n 0,1 的正交性，得 2l 2 na 4A n Tn t f n sin t Tn '' t fn 1 l 2n 1 Tn 0 Tn 0 0 对应的其次方程通解为：
2 2 特征值问题 n 故 n 2 , n 1， 2, 3, l 而 X (x ) sin nπ x , n 1, 2, n l 正是Fourier正弦级数的基本函数族．
第三步：先求特解，再叠加求出通解 再求解T： 2 2 " 2 n Tn ( t ) a Tn ( t ) 0 2 l
Tn t C1 cos a n t C2 sin a n t
fn sint 对应的非齐次方程个特解为： Tn t 2 2 a n
显然当 2 a 2n 0 时
0 sin
l
n x l
sin
m x ldx lFra bibliotek0
sin nt sin m t d t
0, n m , l , n m. 2
m, n 为自然数
u ( x , t ) ( A n cos
n 1
n at l
B n sin
n at l
) sin
2
ln
n
2
n 1, 2,
22 l 2
3 3 l 2
下午3时36分
18
例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速
x10 x 为零，初位移为 x 1000
，求弦做微小 与弦
2 a 10000 横向振动时的位移，其中
的材料和张力有关 . 解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解 ux, t 问题 2u 2u 2 10000 2 , 0 x 10, t 0; x t u | x 0 u | x 10 0; u | x 10 x , u | 0. t o t 0 1000 t
u( x , t )
n1
( An cos
n at l
B n sin
n at n x ) sin l l
………………...⑥
代入初始条件得：
x (x) A n sin n l n1 n a sin n x ( x ) B n l l n1
因点而 节点 处，振幅永 腹点
Nn 处，振幅最
t=t0时： un ( x, t0 ) An cos(nt0 n ) sin
n sin x l n na fn 2 2l v f nTn na 2l 2l n a T
n x l 2 Tn l n
(n 1, 2,3,)
10
0
因此，所求的解为：
u( x , t )
3 5
4
1
3
n 0 2n 1
2n 1 sin 10
x cos10 2n 1 t
例2 求定解问题
2 2u u 2 t 2 a x 2 A sin t , 0 x l , t 0 ux | x 0 u | x l 0; u u |t 0 0, |t 0 0. t
第四步: 利用特征函数的正交归一性确定待定系数 将 ( x ), ( x ) 展开为Fourier正弦级数，比较系 sin n x , 数得 l 或直接根据 l n 1,2,... A 2 ( ) sin n d n l 0 l 的正交性去计算 l n Bn 2 ( ) sin d na 0 l
'' X ( x) X ( x)
X ( x) X ( x) 0②
''
思考：先解哪一个方程？ 则
T (t ) a T (t ) 0 …..…….. ③
'' 2
X '' X 0 ⑤ X ( 0 ) 0, X ( l ) 0
二、解的物理意义
驻波叠加
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l x 初位相 N n sin( n t Sn ) sin n l
An 2 2 其中 N n ( An Bn ) , Sn arctan B , n n
(2.1) (2.2) ( 2.3)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
第二章
分离变量法
备用知识回顾 齐次方程齐次问题的求解 非齐次方程齐次问题的求解 本章小结 作业：
P50 :5(2),6(3)， （2） 7
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且 u( x , t ) 不恒为零，代入 方程得
(*)
An , Bn 如前定义。 为混合问题(2.1)-(2.3)的古典解, 其中
如果(*)定义的函数 u(x,t)不具备古典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解。
注1: 本书不讨论所求形式解是否满足古典解要求 的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得 到了解决。 注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 是条件限制。 (1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离 (2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
u ( x ,A tn ) cos ( A)n sin
2 l ( l 0